8线性代数练习题(带解题过程)

8线性代数练习题(带解题过程)

０

线性代数试题

一 填空题 ◆1． 设

A

为3阶方阵且

2

=A ，则

=

-*-A A 231 ；

【分析】只要与*

A 有关的题，首先要想到公式，

E

A A A AA ==**，从中推

你要的结论。这里1

1*

2--==A A A A

代入

A

A A A A 1)1(231311-=

-=-=---*-

注意： 为什么是3

)1(-

◆2． 设1

33322211

,,α+α=βα+α=βα+α=β，

如

3

21,,ααα线性相关，则3

21,,βββ线性

______(相关) 如

3

21,,ααα线性无关，则

3

21,,βββ线性

______(无关)

【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１

法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B =

这里)()()(A r AK r B r ==，

切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定

是方阵！！

◆3． 设非齐次线性方程b

x A m =⨯4

，2)(=A r ，3

2

1

,,ηη

η是

它的三个解，且

T

T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη

求该方程组的通解。(答案：

T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2

1

21++=

，形式不

唯一)

【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）

是多少，通解是如何构造的。其次要知

道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

２

组合仍为方程组的解)。

◆4． 当

=

k 时，

)

5,,1(k =β能由

)

1,1,2(),2,3,1(21-=α-=α线性表示

（答案8-=k ）

【分析】一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题。

你来做：设T

t )2,1,2(+-=β，T

t )1,1,1(1

+=α

，T

t )1,1,1(2

+=α

，

T

t )1,1,1(3+=α，

问t 为何值时，β不能由3

2

1

,,αα

α线性表示；

β

能由3

2

1

,,αα

α线性表示且表法唯

一；β能由3

2

1

,,αα

α线性表示且表法无穷多

并写出所有的表示方法。

注意： 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如

３

果不是方阵只有用初等行变换的方法

了。 ＊5． 设T

)1,1,1(3

11

=

α，求3

2

,αα

使[]

32

1

,,αα

α=Q 为正交矩

阵

【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题

1=x T α

当然要根据题之要求，还要使用

Schimidt 正交化，单位化过程（答案：详见教材P117

例3，还要再单位化）

你写一写

正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你

两个正交向量求一个向量与它们都正交

你也应该会！

带＊的题目可以暂时不看！

４

二 选择题

◆1． 设B A ,为满足0=AB 的两个非零矩阵，则必有

(A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量

组线性相关

(B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量

组线性相关

(C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量

组线性相关

(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量

组线性相关 【分析】遇到0

=⨯⨯p n n

m B A

，就要想到n B r A r ≤+)()(以及B 的

列向量均是线性方程组

=Ax 的解。

B 的每一列向量都是方程组Ax=0的解

向量，解向量组的极大无关组为方程组的基础解

５

系，基础解系中解向量的个数与自由未知量的个数相同，为n-r ；也即解向量中线性无关的解向量最多有n-r 个，因此，秩（B ）<=n-r;因此当0=AB 时，有n B r A r ≤+)()(

另外： 遇到AB C =要想到C 的列组都是A 的列组的线性组合，C 的行组都是B 的行组

的线性组合。从这个角度也可做此题，

你来想想。 ◆2．设n

m A

r n

m <=⨯)(，则（ ）（多选）。

（Ａ）]

,[O E A m

r

−→−

（Ｂ）]

,[O E A m

c

−→−

（Ｃ）对n

R b ∈∀，b Ax =必有无穷多解 （Ｄ）若O B O BA =⇒= （Ｅ）0

=A A

T

(答案:B,C,D,E )

【分析】