-第六章实数知识点复习

第六章知识点复习以及例题讲解

1、平方根

(1）定义:一般地，如果一个数的平方等于ａ，那么这个数叫做a的平方根,也叫做ａ的二次方根。

来表示,（读做“根号a”）

对于正数a

负的平方根用”表示(读做“负根号a” ）

如果x2＝a，则x叫做ａ的平方根，记作“a称为被开方数)。

(2)平方根的性质:

①一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;ﻫ②０只有一个平方根,它就是0本身；ﻫ③负数没有平方根.

(3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.

（４）算术平方根:正数ａ的正的平方根叫做a”。

(５,≥a≥0。

（6)公式：⑴2=a（a≥０);

2、立方根

（１）定义：一般地,如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。

即X3＝a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号”表示,读作“三次根号ａ”。

（2)立方根的性质：

正数有一个正的立方根；０的立方根是0;负数有一个负的立方根。

(3)开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．

3、规律总结

(1）平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。

（2)每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

二、平方根、立方根例题。

例1、（1）下列各数是否有平方根,请说明理由

①(-3)2②0 ２③-0．01 2

（2) 下列说法对不对?为什么？

①4有一个平方根②只有正数有平方根

③任何数都有平方根

④ 若 a>0,a 有两个平方根，它们互为相反数

例2、求下列各数的平方根: (１) 9 (2) （３) ０.３6 (4)

例3、设

,则下列结论正确的是( ) A.

B ． ﻫ C.

D. 举一反三:

【变式1】1)1.25的算术平方根是_＿_＿___＿＿_；平方根是＿__＿_＿___＿.2) -2７立方根是________＿＿. 3)＿_＿＿_____＿_, _＿＿_____＿＿_,

＿_＿___＿_＿__. ﻫ 【变式２】求下列各式中的ﻫ （1)

(２）

（3）

ﻫ

【例4、判断下列说法是否正确ﻫ （１）

的算术平方根是-3； (2）

的平方根是±15.

(3)当ｘ=0或2时， 例5、求下例各式的值:

（１) (2) （3) （4)

三、实数知识复习。

14

16932736427 327102 64-64-3

1、实数的分类

无理数:无限不循环的小数称为无理数。

2、绝对值

(1)一个正数的绝对值是它本身， 一个负数的绝对值是它的相反数, 零的绝对值是零。 (２)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。

(３）注意: 例6、当a<０时，化简

的结果是( ）

A 0

B -1

C 1

D ½

例７、化简下列各式:ﻫ (1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3） |-| 分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。ﻫ 解：(１) ∵

=１．４１4…<1.4

∴|-1．4|=1.4－ (2) ∵π=3．1４159…＜3．14２

∴|π－3.1４2|＝3．142-π

0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a

(3) ∵<, ∴|-|＝-ﻫ【变式1

】化简：

3、有关实数的非负性

注意：(1）任何非负数的和仍是非负数；

(2）若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.

例8、已知(x-６)2+

+｜y+2ｚ|=0，求(x-y)3-z 3的值。ﻫ 解:∵（x-6）2++|y ＋2z ｜＝0

且(ｘ-６)2≥0,

≥0, ｜y+2z|≥0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴

解这个方程组得 ﻫ ∴(x －y)3-z 3=(6－2)3-（-1）3=64+1=65

【变式2】已知

那么ａ+b-c 的值为＿_________＿

4、实数比较大小的方法

1、识记下列各式的值,结果保留４个有效数字:

错误! 错误! 错误! 错误! 错误!

2、方法一：差值比较法

a 20≥0 a 0(0)a a ≥

差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差,再根据当a-b ﹥０时，得到a ﹥b 。当ａ-b ﹤0时，得到a ﹤ｂ。当a-ｂ＝0,得到a ＝ｂ。 ３、方法二：商值比较法

商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数,先求出ａ与b 得商。当b a <1时，ab ；当b

a =1时,a=

b 。来比较a 与b 的大小。 4、方法三:平方法

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a>0，b ＞０时,可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 ５、方法四:估算法

估算法的基本是思路是设ａ，b 为任意两个正实数,先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

选择适当的方法比较下列数的大小。

（1)比较１-2与1-3的大小。 （2）比较83

13-与8

1的大小。 (3）比较２7与３3的大小 （4）当10 x 时，2x ,x ,

x

1的大小顺序是_＿___＿_＿＿_＿_＿_。 （１)解 ∵(１－2)－(1-3)=23->0 , ∴1－2>１－3。

（2)解：∵3<13<4 ∴13－3<1 ∴8313-＜8

1 (3）解:∵27=722•=28，33=332•=27。

又∵2８>27, ∴２7＞33。

(４)解:取x =

21，则:2x ＝41,x

1=2。 ∵41<21<2,∴2x

1。