高中物理第1章怎样研究抛体运动1.3研究斜抛运动教案沪科版必修Word版
高中物理第一章怎样研究抛体运动1.3研究斜抛运动素材1沪科版必修2(new)
1。
3 研究斜抛运动课前预习情景导入中国链球运动员顾原在第9届世界田径运动会上勇夺银牌（图1—3—1)，为国家夺得了荣誉．链球的运动轨迹为斜上抛运动，不考虑顾原的身高因素和空气阻力，试分析顾原掷链球过程中链球抛出时的仰角为多大．图1-3-1简答： 如图1-3—2,设上抛运动的倾角为θ，速度为v 0，则水平速度为v 0cosθ，竖直速度为v 0sinθ，要获得好成绩，是指水平位移x 最大．而运动时间t 由竖直速度决定，所以图1—3-2水平方向:x ＝v 0tcosθ竖直方向：0＝v 0tsi nθ-g 2T 由以上两式得x ＝v 0cosθ·gv g v θθ2sin sin 2200= 要想使x 有最大值，sin2θ＝1，即θ＝45°．知识预览如放不下可适当加行距1.将物体用一定的初速度斜向射出去，仅在重力作用下物体所做的运动叫做斜抛运动.2.斜抛运动的分解：斜抛运动可以看成沿初速度v 0方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动.3。
斜抛运动的规律:斜抛物体在任意时刻t 的位置坐标为x ＝v 0tcosθ;y ＝v 0tsinθ21-gt 2．斜抛物体在任意时刻t 的分速度为v x ＝v 0cosθ，v y ＝v 0sinθ—gt. 4。
斜抛运动物体的运动时间、射高、射程的表达式分别为T ＝g v θsin 20，Y ＝g v 2sin 220θ,X ＝g v θ2sin 20. 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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沪科版高中物理高一物理必修二《研究斜抛运动》说课稿
沪科版高中物理高一物理必修二《研究斜抛运动》说课稿一、引言1.1 课程信息•学科：高中物理•教材版本：沪科版•年级：高一•章节：物理必修二《研究斜抛运动》1.2 课程背景本节课是高中物理必修二中的一节重要内容，《研究斜抛运动》。
斜抛运动作为力学中的一个重要概念，涉及到物体在弹道上的运动规律。
通过研究斜抛运动，学生能够理解速度、加速度等物理概念，并能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学目标2.1 知识目标•理解斜抛运动的基本概念和相关物理量•掌握斜抛运动的运动规律和计算方法•理解重力加速度对斜抛运动的影响2.2 能力目标•能够分析斜抛运动中的物理量变化和相互关系•能够运用所学知识解决实际问题•能够进行实验观察并整理实验数据2.3 情感目标•培养学生的科学探究兴趣和实验观察能力•培养学生的合作意识和团队合作能力•培养学生的实践操作技能和科学思维能力•理解斜抛运动的运动规律•掌握斜抛运动的计算方法四、教学内容和步骤4.1 斜抛运动的基本概念•定义斜抛运动：指在水平面上以一定初速度和一定角度进行抛射的运动。
•引入斜抛运动的物理量：初速度、抛射角度、抛射高度、抛射距离等。
4.2 斜抛运动的运动规律•分析斜抛运动的自由落体分解及其速度和位移的分解，推导斜抛运动的运动规律。
•示意图辅助讲解，引导学生理解物体在斜抛运动过程中的变化规律。
4.3 斜抛运动的计算方法•推导斜抛运动的重要公式：水平方向速度的变化、垂直方向速度的变化、水平方向位移、垂直方向位移等。
•引导学生进行实际的数值计算和应用练习。
4.4 实验观察与数据整理•安排学生小组合作进行斜抛实验，观察实验现象和记录数据。
•引导学生整理实验数据，分析数据变化趋势，验证斜抛运动的运动规律。
5.1 情境导入法通过一个具体的实例引入斜抛运动的概念，激发学生的学习兴趣。
5.2 讲解与示范法结合示意图，讲解斜抛运动的基本概念和运动规律，并通过示例演示斜抛运动的计算方法。
沪科版高中物理高一物理必修二《怎样研究抛体运动》教案及教学反思
沪科版高中物理高一物理必修二《怎样研究抛体运动》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标1.1. 理解什么是平抛运动，垂直上抛运动和斜抛运动。
1.2. 掌握计算平抛运动、垂直上抛运动和斜抛运动的初速度、末速度、时间、高度、射程、最大高度等物理量的方法。
1.3. 掌握抛体运动的基本规律，如加速度大小和方向、运动状态等。
2. 技能目标2.1. 能够观察实验现象，归纳抛体运动的规律。
2.2. 能够根据所掌握的计算方法，计算出平抛运动、垂直上抛运动和斜抛运动的各种物理量。
2.3. 能够运用抛体运动的规律解决实际问题。
3. 情感目标3.1. 培养学生探究物理现象的兴趣和能力，培养学生的独立思考和自主学习的能力。
3.2. 培养学生的科学精神，让学生知道科学不是僵化的知识，而是在不断发展的。
二、教学过程1. 导入通过展示有趣的视频或图片，引导学生猜测向上抛掷的物体在空中会发生什么，猜测物体运动轨迹等问题，鼓励学生表述自己的看法。
请注意：导入部分视频和图片无法展示，如需展示，请使用教学资源库或出题人提供的资料。
2. 学习内容2.1. 平抛运动2.1.1. 基本公式•$v_{x}=v_{0}\\cos \\theta$•$x=v_{0}\\cos \\theta t$•$y=v_{0}\\sin \\theta t-\\dfrac{gt^2}{2}$•$v_{y}=v_{0}\\sin \\theta -gt$2.1.2. 实验项目两个学生在同一高度同时抛出两个小球，其中一个水平向前抛出，另一个竖直向上抛出，通过比较两个小球的运动轨迹，引导学生探究平抛运动规律。
2.1.3. 计算练习以实验数据为基础，引导学生通过计算求出小球的速度、运动时间、运动距离等物理量。
2.2. 垂直上抛运动2.2.1. 基本公式•$v_{0y}=v_{0}\\sin \\theta$•$y=v_{0}\\sin \\theta t-\\dfrac{gt^2}{2}$•$v_{y}=v_{0}\\sin \\theta -gt$2.2.2. 实验项目通过模拟实验，向上抛掷一个球，引导学生探究垂直上抛运动规律。
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师：在日常生活中，还有一些运动，既不是竖直下抛运动、又不是竖直上抛运动，更不是平抛运动，比如，节日夜空中绽放的礼花、篮球比赛中被投向篮框的篮球和被推出去的铅球等，我们把这一类运动的理想化状态称为斜抛运动。请看视频（播放视频），
学生探究：将塑料纸覆盖在频闪照片上，用描迹法在塑料纸上画出斜抛运动的轨迹图，并以抛出点为原点建立平面直角坐标系，画出小球所受的力及初速度方向，将初速度V0进行正交分解，和同桌讨论、分析小球沿水平方向及竖直方向各做什么样的运动。
每组一张频闪照片和一张印有方格坐标的透明塑料纸
取几份学生做的分析图进行投影，并根据学生所做图的情况，在黑板上画出正确的图,引导学生对小球沿水平方向及竖直方向所做的运动进行分析。
[讲述]：根据运 动的独立性，把平抛运动正交分解为沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。同学们可否来探究一下，为何我们要把平抛运动沿竖直方向和水平方向分解？我们可否采用类似的方法研究斜抛运动？
（复习平抛运动的处理方法）
引导学生探究：因为平抛运动只受竖直方向的重力作用，在竖直方向上的运动与自由落体运动相同，水平方向不受力的作用，根据运动的等时性和独立性，可以把平抛运动沿竖直方向和水平方向分解。
[板书]
2.斜抛运动分解为:
水平方向——匀速直线运动
竖直方向——竖直上抛运动
分析归纳得出：
1物体抛出方向与X轴正方向之间的夹角称为抛射角，用θ表示。
2斜抛运动物体在水平方向不受力，以水平初速度VX做匀速直线运动；在竖直方向有方向向上的初速度vy，且受到重力的作用，因此做初速度为vy的竖直上抛运动。
新课程沪科版必修2第1章 怎样研究抛体运动-新课标[原创][全套]
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第1章怎样研究抛体运动1.1 飞机投弹和运动的合成与分解【目标导航】1、了解物体做曲线运动的条件及求解方法。
2、掌握运动合成与分解简单问题的求解。
【知能点拨】1．知识概要（1）平抛运动：将物体沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
（2）合运动与分运动的关系①等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响。
③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
2．探究方略对事物的研究和探索通常都要经过从感性认识到理性认识的过程，我们这一章要研究抛体运动，首先要感受什么是抛体运动，当然飞机投弹的实验并不是每个人都可以做的，但我们可以在运动的汽车上、自行车上模拟、感受这一运动。
有条件的同学，可以借助家用摄像机，从不同的角度和位置拍摄物体的运动，不仅可以细致观察运动情况，而且还可以进一步体会在必修1中学习的有关参考系的知识。
为了能更好地研究抛体运动，本节中用了大量的篇幅介绍了运动的合成与分解。
这部分知识较难理解，所以课本中利用实验和日常生活中的经验进行了讲解。
3．我的认识（1）有人认为两个直线运动的合运动一定是直线运动，你认为这句话对吗？如果是两个匀速直线运动的合运动呢？（2）合运动的速度一定大于分运动的速度吗？（3）做曲线运动的物体所受的合外力一定是变力，这种观点对吗？【例题精析】例1.下列说法正确的是A.两匀速直线运动的合运动的轨迹必是直线B.两匀变速直线运动的合运动的轨迹必是直线C.一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是曲线D.两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线解析：物体做曲线运动的条件是所受的合外力方向与初速度方向不在一条直线上。
当物体所受合外力方向与初速度方向在一条直线上时，物体做直线运动。
物体做匀速直线运动时，合外力为零，两个匀速直线运动合成时，合外力仍为零，物体仍做匀速直线运动，A正确。
高中物理 第1章 怎样研究抛体运动 1.3 研究斜抛运动教师用书 沪科版必修2
1．3 研究斜抛运动斜抛运动及研究[先填空]1．定义将物体以一定的初速度斜向射出去，在空气阻力可以忽略的情况下，物体所做的运动．2．研究方法(1)把斜抛运动看成是沿初速度v0方向的匀速直线运动与沿竖直方向的自由落体运动．(2)将初速度v0分解为沿水平方向的分量v0x和沿竖直方向的分量v0y，如图131，将斜抛运动分解为水平分运动和竖直分运动．图1313．分运动的特点(1)水平方向上：不受力的作用，以速度v0x做匀速直线运动．(2)竖直方向上：受重力作用，初速度v0y、加速度g，沿竖直方向的分运动是匀变速直线运动．[再判断]1．斜抛运动可分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动．(×) 2．做斜抛运动的物体，其加速度不变．(√)3．斜抛运动因为忽略了空气阻力，故是匀变速曲线运动．(√)[后思考]观察图片132，思考以下问题：某洲际导弹试射的轨迹图132(1)忽略空气的阻力，导弹在水平和竖直方向的分运动有什么特点？(2)合运动的时间等于分运动的时间之和吗？【提示】(1)竖直方向为匀变速直线运动，先竖直上抛，再做自由落体运动，水平方向为匀速直线运动．(2)合运动的时间与分运动的时间相同．[合作探讨]如图133所示，是体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等．图133探讨1：在什么情况下，它们的运动可以看作是平抛运动？【提示】忽略空气阻力，沿水平方向抛出时看作平抛运动．探讨2：在什么情况下，它们的运动可以看作是斜抛运动？【提示】忽略空气阻力，沿斜向上方向抛出时可以看作斜抛运动．[核心点击]1．受力特点斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g.2．运动特点物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线．3．速度变化特点由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化相同，即Δv＝gΔt.4．对称性特点(1)速度对称：相对于轨道最高点两侧对称的两点速度大小相等，或水平方向速度相等，竖直方向速度等大反向(如图134)．图134(2)时间对称：相对于轨道最高点两侧对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的．(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称．1．(多选)关于斜抛运动，忽略空气阻力．下列说法中正确的是( )A．斜抛运动是曲线运动B．斜抛运动的初速度是水平的C．斜抛运动在最高点速度不为零D．斜抛运动的加速度是恒定的【解析】做斜抛运动的物体只受重力作用，加速度为g，水平方向为匀速直线运动，竖直方向做加速度为重力加速度g的匀变速直线运动，在最高点有水平速度．故A、C、D 正确．【答案】ACD2．若不计空气阻力，下列运动可以看成斜抛运动的是( )A．斜向上方发射的探空火箭B．足球运动员远射踢出的高速旋转的“香蕉球”沿奇妙的弧线飞入球门C．姚明勾手投篮时抛出的篮球D．军事演习中发射的导弹【解析】发射的火箭、导弹是靠燃料的推力加速运动，而“香蕉球”由于高速旋转受到较大的空气作用力，故A、B、D错误；而姚明勾手投篮抛出的篮球只受重力作用，故C 正确．【答案】 C3.(2016·三明高一检测)如图135是斜向上抛出物体的轨迹，A、B是轨迹上等高的两个点．物体经过A、B两点时不相同的物理量是( )图135A．加速度B．速度C ．速度的大小D ．动能【解析】 物体仅受重力作用，故加速度相同，A 错误；物体经过A 、B 两点时竖直速度大小相等方向相反，水平速度相等，故B 正确，C 、D 错误．【答案】 B斜抛运动的特点(1)斜抛运动的物体上升时间和下落时间相等，从轨道最高点将斜抛运动分成的前后两段运动具有对称性．(2)最高点的竖直分速度为零，水平分速度不为零．斜 抛 运 动 的 规 律[先填空]设以初速度v 0斜向上抛出，抛射角为θ. 1．飞行时间被抛物体从抛出到下落到与抛点在同一水平面的时间T ＝2v 0sin θg.2．射高斜抛运动的物体所达到的最大高度Y ＝v 20sin 2θ2g.3．射程在飞行时间T 内的水平距离X ＝v 0cos θ·T ＝v 20sin 2θg.4．弹道曲线(1)定义：由于空气阻力的影响，斜抛运动的轨迹不再是抛物线，这种实际的抛体运动曲线通常称为弹道曲线，如图136所示．图136(2)特点：弹道曲线和抛物线是不同的．由于空气阻力的影响，弹道曲线的升弧和降弧不再对称，升弧长而平伸，降弧短而弯曲．[再判断]1．斜抛运动的物体其运动时间与初速度大小无关．(×) 2．斜抛运动的物体到达最大高度时只有水平方向的速度．(√) 3．斜抛运动的物体射程与初速度大小和方向都有关．(√) [后思考]用如图137所示的实验装置探究射高Y 和射程X 与初速度v 0的关系时，用9号注射针头连接软管组成喷水嘴，再与高处盛有色水的细玻璃管容器相连．保持喷水嘴的方向不变，即抛射角不变．喷水时，随着容器中水位的降低，喷出水流的初速度减小，水流的射程怎样变化？水流的射高怎样变化？图137【提示】 随着容器中水位的降低，喷出水流的初速度v 0减小，抛射角不变，所以竖直分速度v y 和水平分速度v x 都减小，因此水流的射高Y 减小，水流在空中的运动时间减小，水流的射程X 减小．[合作探讨]斜抛运动是一种常见的运动形式．例如：水面上跃起的海豚的运动(如图138甲)；投出去的铅球、铁饼和标枪的运动等(如图138乙)．图138探讨1：抛出时的速度越大，物体的射程就会越远吗？【提示】 不一定，斜抛运动的物体，其射程还与抛射角有关． 探讨2：斜抛物体在空中的飞行时间由哪些因素决定？【提示】 根据t ＝2v 0sin θg，飞行时间由初速度和角度决定．[核心点击]1．分析方法将斜抛运动沿水平方向和竖直方向分解，根据分运动分析飞行时间、射程、射高，如图139所示：图1392．公式推导飞行时间：t ＝2v 0y g ＝2v 0sin θg射高：h ＝v 20y 2g ＝v 20sin 2θ2g射程：s ＝v 0cos θ·t ＝2v 20sin θcos θg ＝v 20sin 2θg3．射高、射程、飞行时间随抛射角变化的比较4.θ＝45°时，射程最大：X max ＝v 20g ；θ＝90°时，射高最大：Y max ＝v 202g.4．在不考虑空气阻力的情况下，以相同大小的初速度，抛出甲、乙、丙三个手球，抛射角为30°、45°、60°，则射程较远的手球是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定【解析】 不考虑空气阻力情况下，三个小球的运动可看做斜抛运动，然后根据斜抛运动的射程公式s ＝v 20sin 2θg分析．【答案】 B5．(2016·德州高一检测)一位田径运动员在跳远比赛中以10 m/s 的速度沿与水平面成30°的角度起跳，在落到沙坑之前，他在空中滞留的时间约为(g 取10 m/s 2)( )【导学号：02690010】A ．0.42 sB ．0.83 sC ．1 sD ．1.5 s【解析】 起跳时竖直向上的分速度v 0y ＝v 0sin 30°＝10×12m/s ＝5 m/s所以在空中滞留的时间为t ＝2v 0y g ＝2×510s ＝1 s ，故C 正确． 【答案】 C斜抛运动问题的分析技巧(1)斜抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定． (3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析．。
高中物理 第一章 怎样研究抛体运动 1.3 研究斜抛运动
1.3 研究斜抛运动
课前预习
情景导入
中国链球运动员顾原在第9届世界田径运动会上勇夺银牌（图1-3-1），为国家夺得了荣誉．链球的运动轨迹为斜上抛运动，不考虑顾原的身高因素和空气阻力，试分析顾原掷链球过程中链球抛出时的仰角为多大．
图1-3-1
简答： 如图1-3-2，设上抛运动的倾角为θ，速度为v 0，则水平速度为v 0cos θ，竖直速度为v 0sin θ，要获得好成绩，是指水平位移x 最大．而运动时间t 由竖直速度决定，所以
图1-3-2
水平方向：x ＝v 0tcos θ
竖直方向：0＝v 0tsin θ-g 2
T 由以上两式得x ＝v 0cos θ·g
v g v θθ2sin sin 2200= 要想使x 有最大值，sin2θ＝1，即θ＝45°．
知识预览
如放不下可适当加行距
1.将物体用一定的初速度斜向射出去，仅在重力作用下物体所做的运动叫做斜抛运动.
2.斜抛运动的分解：斜抛运动可以看成沿初速度v 0方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动.
3.斜抛运动的规律：斜抛物体在任意时刻t 的位置坐标为x ＝v 0tcos θ；y ＝v 0tsin θ2
1-gt 2．斜抛物体在任意时刻t 的分速度为v x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ-gt. 4.斜抛运动物体的运动时间、射高、射程的表达式分别为T ＝g v θsin 20，Y ＝g
v 2sin 220θ，X ＝g v θ2sin 2
0.。
高中物理第1章怎样研究抛体运动1.3平抛运动(两课时)教案沪科版必修2(2021年整理)
陕西省安康市石泉县高中物理第1章怎样研究抛体运动1.3 平抛运动（两课时）教案沪科版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省安康市石泉县高中物理第1章怎样研究抛体运动1.3 平抛运动（两课时）教案沪科版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§1-3平抛运动【教学目标】1．知识与技能方面：（1）知道平抛运动的特点是初速度方向为水平方向，只在竖直方向受重力作用,运动轨迹是抛物线;（2）理解平抛运动可以看作水平的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动，并且这两个运动互不影响。
2．过程与方法方面：体会平抛运动规律的探究过程，体会运动的合成和分解在探究平抛运动规律中的应用.3．情感、态度与价值观方面:通过实验探究平抛运动的规律,激发学习兴趣，增强求知的欲望。
【教学重难点】重点：平抛运动规律的探究过程。
难点：1。
平抛运动的研究方法——可以用两个简单的直线运动来等效替代；2。
平抛运动规律。
【教法学法】教师演示、引导，学生探究，讨论、交流学习成果。
【课型】新授课【课时】3课时【教具学具】平抛运动演示器，钢球作平抛运动的实验装置.【教学媒体】Microsoft Office PowerPoint幻灯片。
【教学过程设计】第一课时飞行员进行飞弹投射，命中目标。
同学们仔细观察子弹的轨迹,大家可以看到它的轨迹可见日常生活中不仅看到直线运动,运动——平抛运动。
A、目标正上方B、目标正上方之前C、目标正上方之后D、无法确定二、新课教学1、抛体运动教师活动：飞行员为什么能够命中目标呢？我们通过今天的学习就能够掌握其中的秘密。
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1.3 研究斜抛运动
教研中心
教学指导
一、课标要求
1.知道斜抛运动的特点是初速度方向斜向上方，只有竖直方向受重力作用.它的运动轨迹是抛物线.
2.知道斜抛运动可以看作两个不同方向运动的合运动.
3.知道什么是斜抛运动的射高和射程.定性地了解它们怎样随初速度和抛射角而改变.
4.知道什么是弹道曲线，知道它与抛物线不同.
二、教学建议
1.斜抛运动也是一种只在重力作用下的运动，教学中可以让学生比较斜抛运动与平抛运动的相同和不同，包括受力情况、初速度、运动轨迹以及运动如何分解等等，以提高学生的类比和综合归纳能力.
2.课本介绍了两种分解斜抛运动的方法.并说明一个运动如何分解不是绝对的，要从研究问题的需要和方便考虑.
3.对于“射高和射程如何随抛射角和初速度而改变”只要求通过演示实验使学生定性地了解.除了课本所示的实验，还可举学生熟悉的例子（如投掷铅球加以说明.
4.从知识的结构看，斜抛运动更具一般性，章后小结的第７条就是从深化对知识的理解和形成知识结构的角度提出的.可要求基础较好的学生考虑回答，但不一定作为普遍要求，以免增加学生负担.
资源参考
根据运动的独立性原理来解斜抛运动
根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上抛运动来处理，但有时也可以用其他的分解方法
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如图所示，从A 点以v 0的初速度抛出一个小球，在离A 点水平距离为s 处有一堵高度为h 的墙BC ，要求小球能超过B 点.问小球以怎样的角度抛出，才能使v 0最小？
先用最一般的坐标取法：以A 点作为原点，水平方向（AC 方向）作为x 轴，竖直方向作为y 轴.小球的运动方程为
⎪⎩
⎪⎨⎧=-•=•h gt t v s t v 20021sin cos θθ 可解得
h=stanθ=-gt 2/2v 02cos 2θ①
这是一个有关θ和v 0的函数关系，需要求θ为多少时v 0有极小值.将①式改写成
h=stanθ-gs 2(1+tan 2θ)/2v 02
即tan 2
θ-gs v 202tanθ+2202gs h v +1=0②
这是一个有关tanθ的一元二次方程，其判别式为
D=B 2-4AC=)2(422202402s gs
h v g v s -- ②式的解为
tanθ=s 1［220220202s g h v g
v g v ---］ 当v 0太小时，D —0,②式无解，说明在此情况下小球不可能越过BC 墙，当D=0时，②式有解，此时的v 0便是小球能越过墙顶的最小的v 0（因为如果再大，便会有两个θ值都能经过墙顶）.
g h v g v 202
402--s 2=0 取g
v 20作为未知数，可以解得 g
v 20=h±22s h + 舍去不合理解，v 0=)(22s h h g ++
此时tanθ=gs v 20,θ=arctan gs
v 20=arctan s s h h 2
2++ 这种解法的数学要求较高.
换一种坐标取法：以AB 方向作为x 轴（如图）.小球在x 、y 方向上都是做匀变速运动，v 0和g 都要正交分解到x 、y 方向上.
小球的运动方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=2
0202121t g t v y t g t v x y y x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)
2(cos 21sin )1(sin 21cos 2
020t g at v y t g at v x ϕϕ
当小球越过墙顶时，y 方向的位移为零，由②式可得 t=ϕαcos sin 20g v ③ ③式代入①式：
x=v 0cosαϕαcos sin 20g v -21gsinφ(ϕ
αcos sin 0g v )2 =ϕ
α220cos sin 2g v (cosαcosφ-sinαsinφ) =ϕ
220cos 2g v sinαcos(α+φ) =ϕ
220cos g v ［sin(2α+φ)-sinφ］ v 02
=ϕϕαϕsin )2sin(cos 2-+xg 当sin(2α+φ)最大，即2α+φ=
2π时，α=4π-21φ,v 0有极小值. v 02=xgcos 2φ/(1-sinφ)
=xgcos 2φ(1+sinφ)/(1-sin 2φ)
=xg(1+sin φ)
=xg(1+x
h ) =g(h+22s h +)
比较两种解法的v 0，可知两种解法的结果是相同的.第二种解法对数学的要求略低一些，而且求极值的意义也明确一些.
再换一种观念：将斜抛运动看成是v 0方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图所示.
在位移三角形ADB 中,用正弦定理
)
sin(sin sin 2102βαβα+==l t v gt ①
由①式中第一个等式可得t=β
αsin sin 20g v ② 将②式代入①式中第二个等式
)sin(sin sin 2220βαβ
α+=l g v 2v 02=αβαβsin )sin(sin 2+gl v 02=ββαβcos )2cos(sin 2++-gl 当-cos(2α+β)有极大值1时，即2α+β=π时，v 0有极小值.
因为2α+β=π,2α+φ+
2π=π 所以α=4π-2
1φ 与第二种解法结果相同，很明显，这种解法最简单明了.
从这个一题多解中可说明：一个较复杂的运动可按不同的观念分解成不同的两个运动，分得合理会给解题带来一些方便.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。