2020_2021学年新教材高中数学模块质量检测新人教A版必修第一册

模块质量检测一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |2x>4}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |0<x <3} C ．{x |1<x <3} D ．{x |2<x <3}2．函数f (x )＝e x＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)3．函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 4．下列函数在(0,1)为减函数的是( ) A ．y ＝lg x B ．y ＝2x C ．y ＝cos x D ．y ＝12x －15．现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③ B．①④③② C ．④①②③ D．③④②①6．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比( )A ．略有降低B ．略有提高C ．相等D ．无法确定 7．下列命题中正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ<0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度可得y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到的 8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，x ≤1，log 2x －1，x >1在(－∞，a ]上的最大值为4，则a 的取值范围为( )A ．[0,17]B ．(－∞，17]C ．[1,17]D ．[1，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题是真命题的是( )A ．若幂函数f (x )＝x α过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，则α＝－12B ．∃x ∈(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12xC ．∀x ∈(0，＋∞)，log 12x >log 13xD ．命题“∃x ∈R ，sin x ＋cos x <1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1” 10．已知0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12bB ．ln a >ln b C.1a >1b D.1ln a >1ln b11．已知函数f (x )＝a x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 其中a >0且a ≠1，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是奇函数B ．函数f (x )在其定义域上有零点C ．函数f (x )的图象过定点(0,1)D ．当a >1时，函数f (x )在其定义域上为单调递增函数12．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，下列四个结论正确的是( )A ．f (x )是以π为周期的函数B ．当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－1C ．f (x )图象的对称轴为直线x ＝π4＋k π(k ∈Z )D ．当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若扇形圆心角为120°，扇形面积为43π，则扇形半径为________．14．已知a >0，且a ≠1，log a 2＝x ，则a x＝________；a 2x＋a －2x＝________.15．已知lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值是________．16．在角θ1、θ2、θ3、…、θ30的终边上分别有一点P 1、P 2、P 3、…、P 30，如果点P k的坐标为(sin(15°－k °)，sin(75°＋k °))，1≤k ≤30，k ∈N ，则cos θ1＋cos θ2＋cosθ3＋…＋cos θ30＝________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．18．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，以角α的终边为始边，逆时针旋转π4得到角β. (1)求tan α的值； (2)求cos(α＋β)的值．19．(12分)某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x 百件，需另投入成本c (x )(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c (x )＝10x 2＋100x ；当年产量不小于30百件时，c (x )＝501x ＋10 000x－4 500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．(1)求年利润y (万元)关于年产量x (百件)的函数关系式；(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？20．(12分)已知f (x )＝log(3x＋1)＋12kx (x ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝12x ＋a 有公共点，求a 的取值范围．21．(12分)在①函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．22．(12分)已知实数a >0，定义域为R 的函数f (x )＝e xa ＋ae x 是偶函数，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 值；(2)判断该函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明；(3)是否存在实数m ，使得对任意的t ∈R ，不等式f (t －2)<f (2t －m )恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．模块质量检测1．解析：依据函数y ＝2x是增函数，可得B ＝{x |2x>4}＝{x |x >2}，则A ∩B ＝{x |2<x <3}． 答案：D2．解析：f (x )＝e x＋2x －3，函数单调递增，计算得到f (0)＝－2<0；f (1)＝e －1>0，故函数在(0,1)有唯一零点．答案：C3．解析：由函数y ＝1－x22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 答案：D4．解析：对数函数，底数大于1时，在x >0上增函数，不满足题意；指数函数，底数大于1时，在x >0上增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即x ∈[0，π]上为减函数；反比例型函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上分别为减函数，不满足题意．故选C. 答案：C5．解析：①y ＝x ·sin x 为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；②y ＝x ·cos x 为奇函数，它的图象关于原点对称，它在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值为正数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的值为负数，故第三个图象满足；③y ＝x ·|cos x |为奇函数，当x >0时，f (x )≥0，故第四个图象满足；④y ＝x ·2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A.答案：A6．解析：设现价为b ，原价为a ，则b ＝a (1＋10%)2(1－10%)2＝(1－0.01)2a <a ，故选A.答案：A7．解析：y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 的图象，故A 正确；y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x 的图象，故B 错误；y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象，故C 错误；y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，故D 错误．答案：A8．解析：易知f 1(x )＝2x＋2，x ≤1在(－∞，1]上单调递增，f 2(x )＝log 2(x －1)，x >1在(1，＋∞)上单调递增．因为f (1)＝4，f (17)＝4，所以a 的取值范围为[1,17]．答案：C9．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝4，∴α＝－2，A 错误；在同一平面直角坐标系上画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 12x 两函数图象，如图1所示．图1 图2由图可知∃x ∈(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12x ，故B 正确；在同一平面直角坐标系上画出y ＝log 13x与y ＝log 12x 两函数图象，如图2所示．由图可知，当x ∈(0,1)时，log 12x >log 13x ，当x ＝1时，log 12x ＝log 13x ，当x ∈(1，＋∞)时，log 12x <log 13x ，故C 错误；根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“∃x ∈R ，sin x＋cos x <1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1”，故D 正确．故选BD.答案：BD10．解析：因为0<a <b <1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b，因为0<a <b <1，y ＝ln x为增函数，所以ln a <ln b <0，又因为y ＝1x在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上也为减函数，所以1ln a >1ln b ，同理可得，1a >1b，故选ACD.答案：ACD11．解析：f (x )＝a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＝a x －a －x ，定义域为R ，f (－x )＝a －x －a x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，且f (0)＝0，故选项A ，B 正确，选项C 错误；a >1,0<1a<1，y ＝a x，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 在R上均为增函数，f (x )在其定义域上为单调递增函数，所以选项D 正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x 的最小正周期为2π，画出f (x )在一个周期内的图象，可得当2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，f (x )＝cos x ，当2k π＋5π4<x ≤2k π＋9π4，k ∈Z 时，f (x )＝sin x ，可得f (x )的对称轴方程为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )>0，f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，可得0<f (x )≤22， 综上可得，正确的有CD. 答案：CD13．解析：依题意可知，圆心角的弧度数为2π3，设扇形半径为r ，则12×2π3r 2＝4π3，r＝2.答案：214．解析：①由指对数的互化，log a 2＝x ⇒a x＝2；②a 2x＋a －2x＝(a x )2＋1ax 2＝22＋122＝174. 答案：217415．解析：由lg x ＋lg y ＝2得：xy ＝100，所以1x ＋1y ＝1100xy ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝1100(x ＋y )≥150xy＝15，当且仅当x ＝y ＝10时，取等号，故填15. 答案：1516．解析：P k (sin(15°－k °)，sin(75°＋k °))，即P k (sin(15°－k °)，cos(15°－k °))由三角函数定义知cos θk ＝sin(15°－k °)cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ30＝sin 14°＋sin 13°＋…＋sin(－14°)＋sin(－15°)＝sin 14°＋sin 13°＋…－sin 14°－sin 15° ＝－sin 15° ＝－sin(45°－30°)＝cos 45°sin 30°－sin 45°cos 30° ＝2－64. 答案：2－6417．解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 18．解析：(1)∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∴tan α＝45－35＝－43. (2)以角α的终边为始边，逆时针旋转π4得到角β，∴β＝α＋π4.由(1)利用任意角的三角函数的定义可得cos α＝－35，sin α＝45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.∴cos(α＋β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝17250.19．解析：(1)当0<x <30时，y ＝500x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500； 当x ≥30时，y ＝500x －501x －10 000x＋4 500－2 500＝2 000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 500，0<x <30，2 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥30.(2)当0<x <30时，y ＝－10(x －20)2＋1 500，∴当x ＝20时，y max ＝1 500；当x ≥30时，y ＝2 000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤2 000－2x ·10 000x＝2 000－200＝1 800，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，y max ＝1 800>1 500，∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元． 20．解析：(1)∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴log 3(3－x ＋1)－12kx ＝log 3(3x＋1)＋12kx ，化简得log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x＋13x ＋1＝kx ，即log 313x ＝kx ，∴log 33－x ＝kx ，∴－x ＝kx ，即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，∴k ＝－1； (2)由题意知，方程log 3(3x＋1)－12x ＝12x ＋a 有解，亦即log(3x＋1)－x ＝a ，即log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3x＋13x ＝a 有解， ∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x ＝a 有解， 由13x >0，得1＋13x >1，∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x >0，故a >0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． 21．解析：∵函数f (x )的图象相邻对称轴间的距离为π， ∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．方案一：选条件①∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3为奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0， 解得：φ＝π3＋k π，k ∈Z . (1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3； (2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ， ∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6， ∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π； 方案二：选条件②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32， ∴φ＝2k π，k ∈Z 或φ＝π3＋2k π，k ∈Z ， (1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3； (2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ， ∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6， ∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π. 方案三：选条件③ ∵23π是函数f (x )的一个零点， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝0， ∴φ＝k π－2π3，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3； (2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ， ∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6. ∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π. 22．解析：(1)因为定义域为R 的函数f (x )＝e x a ＋a ex 是偶函数，则f (－x )＝f (x )恒成立， 即e －x a ＋a e －x ＝ex a ＋a e x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a (e x －e －x )＝0恒成立， 因为e x －e －x 不可能恒为0，所以当1a－a ＝0时，f (－x )＝f (x )恒成立， 而a >0，所以a ＝1.(2)该函数f (x )＝e x ＋1ex 在(0，＋∞)上递增，证明如下 设任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x 1＋1e x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x 2＋1e x 2 ＝(e x 1－e x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 1－1e x 2 ＝(e x 1－e x 2)＋e x 2－e x 1e x 1e x 2＝e x 1－e x 2e x 1e x 2－1e x 1e x 2， 因为0<x 1<x 2，所以e x 1<e x 2，且e x 1>1，e x 2>1；所以e x 1－e x 2e x 1e x 2－1e x 1e x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)； 故函数f (x )＝e x ＋1ex 在(0，＋∞)上递增． (3)由(2)知函数f (x )在(0，＋∞)上递增，而函数f (x )是偶函数，则函数f (x )在(－∞，0)上递减．若存在实数m ，使得对任意的t ∈R ，不等式f (t －2)<f (2t －m )恒成立．则|t －2|<|2t －m |恒成立，即|t －2|2<|2t －m |2，即3t 2－(4m －4)t ＋m 2－4>0对任意的t ∈R 恒成立，则Δ＝(4m －4)2－12(m 2－4)<0，得到(m －4)2<0，故m ∈∅，所以不存在．。