函数综合试题练习汇编

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2023北京高三(上)期末数学汇编：三角函数章节综合

2023北京高三（上）期末数学汇编三角函数章节综合一、单选题 1．（2023秋·北京东城·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（） A ．625B ．1225C ．1825 D ．24252．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数()cos2f x x =在区间()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值为()M t ，则()M t 的最小值为（）A B ． C ．12D ．12−3．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知13πlg5,sin ,27a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）若()4sin π,cos 05αα−=−>，则tan α=（）A ．34B ．34−C ．43D ．43−5．（2023秋·北京房山·α、β是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（） A ．cos cos αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos sin αβ>D ．cos sin αβ<6．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数()sin 2f x x x =，则下列命题正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π3x =对称B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 最小正周期为π，且作π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．()f x 的图象向右平移π12个单位得到一个偶函数的图象 7．（2023秋·北京·高三校考期末）若角α的终边过点(3,4)P −，则cos 2=α（） A ．2425−B ．725C ．2425D ．725−二、填空题8．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________． 9．（2023秋·北京房山·高三统考期末）函数()0.03sin(1000π)0.02sin(2000π)0.01sin(3000π)f t t t t =++的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论： ①1500是函数()f t 的一个周期； ②()f t 的图象关于直线1500t =对称； ③()f t 的图象关于点1,0500⎛⎫⎪⎝⎭对称； ④()f t 在11,60006000⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中所有正确结论的序号是______.10．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）若函数cos sin y x x =−在区间[0,]a 上是严格减函数，则实数a 的最大值为________ 三、解答题11．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知函数()()2sin22cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递增区间.12．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知函数()cos2(02)f x x x ωωω=−<<，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， (1)求()f x 的解析式；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围.条件①：函数()f x 的图象经过点π,23⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到；条件③：函数()f x 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.13．（2023秋·北京·高三校考期末）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===−．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．四、双空题14．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知函数()cos f x x x −，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______；若将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为______.参考答案1．D【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案. 【详解】由三角函数的定义可知：cos ,sin OM PM αα==，故511cos s 62in 22OM PM αα⋅==，故51sin 2462α=，解得：sin2α=2425. 故选：D 2．D【分析】根据()f x 在x t =取最大值，可判断()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 要么在()f x 的单调减区间上，要么满足左端点到对称轴ππ2k +不小于右端点，即可得πππ3k t k ≤≤+，进而可求()M t 的最小值. 【详解】()cos2f x x =的周期为π，()cos2f x x =的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈,单调递减区间为ππ,ππ2k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ 当x t =取最大值，故可知ππ,π,ππ32t t k k ⎡⎤⎡⎤+⊄++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当ππππ32k t t k ≤<+≤+时，即πππ6k t k ≤≤+，Z k ∈,()f x 在()π,3t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R 单调递减，显然满足最大值为()M t ，当ππππ<23k t k t ≤<++时，要使()M t 是最大值，则需满足ππππππππ2323k t t k k t k ⎛⎫⎛⎫+−≥+−+⇒≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Z k ∈综上可知当πππ3k t k ≤≤+,Z k ∈时，()f x 在x t =取最大值()M t ， ()=2cos 2M t t 在πππ3k t k ≤≤+,Z k ∈单调递减，故当ππ3t k =+时，()M t 取最小值，且最小值为12−，故选：D 3．B【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/【详解】因为lg10<，所以112a <<，因为ππsinsin 76<，所以12b <，因为01322>，所以1c >，因此b a c <<，故选：B 4．D【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()4sin πsin ,cos 05ααα−==−>，所以3cos 5α=，所以sin 4tan cos 3ααα==−. 故选：D 5．D【分析】根据题设可得ππ0ππ22βαβ<−<<<−<，结合诱导公式判断内角α、β对应三角函数值的大小关系.【详解】由锐角三角形知：ππ2αβ<+<且π0,2αβ<<，所以ππ0ππ22βαβ<−<<<−<，则πsin()sin 2βα−<，即cos sin βα<，且πcos()cos 2βα−>，即sin cos βα>.又已知角的大小不确定，故A 、B 不一定成立，而C 错，D 对. 故选：D 6．C【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可.【详解】π()sin 222sin(2)3f x x x x ==+，对于A ，因为ππ2sin 22sin π02333f π⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3x =不是函数图象的对称轴，所以A 错误，对于B ，因为πππ2π2sin 22sin06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π(,0)6不是函数图象的对称中心，所以B 错误，对于C ，()f x 的最小正周期为2ππ2=，当()πππ2π22πZ 232k x k k −+≤+≤+∈即 ()5ππππZ 1212k x k k −+≤≤+∈时，()f x 单调递增，所以 ()f x 在π[0,]12上单调增，所以C 正确；把()f x 的图象向右平移 π12个单位得到函数πππ2sin 22sin(2)1236y x x ⎡⎤⎛⎫=−+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，没有奇偶性，所以D 错误，故选：C7．D【解析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P −知，4sin 5α，3cos 5α=−，故229167cos 2cos sin 252525ααα=−=−=−. 故选：D. 8．4【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.【详解】由于若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，πππ6223+=，则πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π,62,Z 362k k k ωω+=−=−∈，ππππ,62366T ωω=≥−=≤，由于0ω>，所以ω的值为4. 故答案为：4 9．①③④【分析】①应用诱导公式判断判断1()500f t +()f t =是否成立即可；②③2()500f t −、()f t 的等量关系判断正误；④判断ππ1000π[,]66t ∈−，ππ2000π[,]33t ∈−，ππ3000π[,]22t ∈−上sin(1000π)t ，sin(2000π)t ，sin(3000π)t 对应单调性，即可判断.【详解】①()()1()0.03sin 1000π2π0.02sin(2000π4π)0.01sin 3000π6π500f t t t t +=+++++()()0.03sin 1000π0.02sin(2000π)0.01sin 3000πt t t =++()f t =，所以1500是函数()f t 的一个周期，正确； ()()()2()0.03sin 4π1000π0.02sin 8π2000π0.01sin 12π3000π500f t t t t −=−+−+−()()0.03sin 1000π0.02sin(2000π)0.01sin 3000πt t t =−−−()f t =−，所以()f t 不关于直线1500t =对称，而关于点1,0500⎛⎫⎪⎝⎭对称，②错误，③正确； ④11,60006000t ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则ππ1000π[,]66t ∈−，ππ2000π[,]33t ∈−，ππ3000π[,]22t ∈−，而sin y x =在ππ[,]66−、ππ[,]33−、ππ[,]22−均递增，故()f t 在11,60006000⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确.故答案为：①③④10．34π【分析】化简cos sin y x x =−得到4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合cos y x =的单调递减区间得到4a ππ+≤，即可求出结果.【详解】因为cos sin 4y x x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭,又因为在区间[0,]a 上是严格减函数，且cos y x =的单调递减区间为[]()2,2k k k Z πππ+∈，所以4a ππ+≤，即34a π≤，所以实数a 的最大值为34π，故答案为：34π. 11．(1)1.(2)5π7π2π,2π1212k k ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .【分析】（1）化简()f x 的表达式，根据最小正周期求得ω的值；（2）根据三角函数图象的变换规律，可得()y g x =的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求得答案.【详解】（1）因为()2sin22cos f x x x ωω=+sin2cos21x x ωω=++π214x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==,依题意得ππω=，解得1ω=.（2）由（1）知()π214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到π14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向右平移π3个单位，得到πππ114231y x x ⎛⎫⎛⎫=−++−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()π112g x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，由函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ,令πππ2π2π,Z 2122k x k k −≤−≤+∈，得5π7π2π2π,Z 1212k x k k −≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5π7π2π,2π1212k k ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .12．(1)()π2sin(2)6f x x =−;(2)[2,)+∞.【分析】（1）化简()π2sin(2)6f x x ω=−，若选①，将点π,23⎛⎫⎪⎝⎭代入求得1ω=，可得答案；选②，根据三角函数图象的平移变化规律可得1ω=，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定1ω=，可得答案；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦确定ππ5π2[,]666x −∈−，从而求得()f x 的范围，根据不等式恒成立即可确定实数m 的取值范围.【详解】（1）()πcos22sin(2)6f x x x x ωωω=−=−;选①：函数()f x 的图象经过点π,23⎛⎫⎪⎝⎭，则ππ2sin(2)236ω⨯−=，所以πππ22π,Z 362k k ω⨯−=+∈，则13,Z k k ω=+∈，由02ω<<，可得1ω=，则()π2sin(2)6f x x =−；选②：函数()f x 的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到，即()π2sin(2)6f x x ω=−的图象可由函数()2sin2g x x =的图象平移得到，则1ω=，则()π2sin(2)6f x x =−.选③：函数()f x 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则函数的最小正周期为π，故2π22,1πωω==∴=，故()π2sin(2)6f x x =−.（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2[,]666x −∈−,则π1sin(2)[,1]62x −∈−，故()π2sin(2)[1,2]6f x x =−∈−，又当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≤恒成立，故2m ≥, 即实数m 的取值范围为[2,)+∞.13．（1）∠A =π3；（2）AC【分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高．【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在ABC 中,∵1πcos ,,π,sin 72B B B ⎛⎫=−∴∈∴=⎪⎝⎭由正弦定理得7ππsin ,π,0,,.sin sin sin 223a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫=⇒∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知2222cos b a c ac B =+−．因为17,8,cos 7a b B ===−，代入上式可得3c =或5c =−（舍）．所以2221cos 22b c a A bc +−==，又(0,π)A∈，所以π3A =．（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义在△ABC 中，∵sin sin()sin cossin cos C A B A B B A =+=+=1172⎛⎫−+ ⎪⎝⎭如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7， ∴AC［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义如图1，由（1）得1cos 842AD AC A =∠=⨯=，则14737AB =−⨯=．作BE AC ⊥，垂足为E，则sin 3BE AB A =∠==AC ．［方法三］:等面积法由（1）得60A ∠=︒，易求CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有11sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即3BE =所以AC 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角；（2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出；方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出；方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 14． 1 ()0,0(答案不唯一)【分析】化简()2sin 6f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，代入即可求出π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；由三角函数的平移变换求出()g x ，再由三角函数的性质求出()g x 的对称中心，即可得出答案.【详解】()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，所以π2sin 1336f ππ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()2sin 2sin 66g x x x ππ⎛⎫=+−= ⎪⎝⎭，所以()g x 的对称中心为(),0k π. 故()g x 的一个对称中心为()0,0. 故答案为：1；()0,0(答案不唯一).。

函数综合试题及答案

函数综合试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x + 3的反函数是：A. f^(-1)(x) = (x-3)/2B. f^(-1)(x) = (x+3)/2C. f^(-1)(x) = 2x - 3D. f^(-1)(x) = 3x - 2答案：A2. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：C二、填空题1. 已知函数f(x) = 3x - 1，求f(2)的值。

答案：52. 函数y = 2x + 1在x = 3处的切线斜率是：答案：6三、解答题1. 求函数y = x^3 - 3x的单调区间。

答案：函数y = x^3 - 3x的导数为y' = 3x^2 - 3。

令y' > 0，解得x < -1或x > 1。

令y' < 0，解得-1 < x < 1。

因此，函数在(-∞, -1)和(1, +∞)上单调递增，在(-1, 1)上单调递减。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的值域。

答案：函数f(x) = x^2 - 6x + 8可以写成f(x) = (x - 3)^2 - 1。

因为(x - 3)^2 ≥ 0，所以f(x) ≥ -1。

因此，函数的值域为[-1,+∞)。

四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3 + 2x在(-∞, +∞)上是增函数。

答案：证明：函数f(x) = x^3 + 2x的导数为f'(x) = 3x^2 + 2。

因为3x^2 + 2 > 0对于所有x ∈ (-∞, +∞)都成立，所以函数f(x)在(-∞, +∞)上是增函数。

五、应用题1. 已知函数f(x) = 5x - 3，求方程f(x) = 7的解。

答案：将7代入方程f(x) = 5x - 3，得到5x - 3 = 7，解得x = 2。

2023年北京市初三一模数学试题汇编：一次函数章节综合

2023北京初三一模数学汇编一次函数章节综合A．①③B．②④2．（2023·北京房山·统考一模）如图的等边ABC中，点变量x，以下哪个量作为因变量所示的函数关系（．ACD的面积．ACD的周长）与华氏温度（）是表示温度的两种方法，它们的关系A ．B ．C ．D ． 5．（2023·北京海淀·统考一模）图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（2023·北京西城·统考一模）设备每年都需要检修，该设备使用年数n （单位：年，n 为正整数且110n ≤≤）与每年至第n 年该设备检修支出的费用总和y （单位：万元）满足关系式 1.40.5y n =−，下列结论正确的是（）A ．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元B ．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元C ．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元D ．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元二、解答题(1)求m 的值及一次函数(y kx b k =+≠(2)当1x >时，对于x 的每一个值，函数取值范围．(1)求m的值及l的表达式；17．（2023·北京顺义·统考一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案__________；下列说法中，①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大；②当温度升高至比乙的溶解度小；③当温度为相同．所有正确结论的序号是、ACD的面积随着意；、ACD的周长随着故选C．【点睛】本题考查动点的函数图象．从图象中有效的获取信息，是解题的关键．B【分析】根据表格信息，求出函数解析式即可．【详解】解；由表格数据可得：则222y V t k t ==，∴运动路程y 是t 的二次函数，图象开口向下，图象变化趋势是先陡后缓；故选C【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，列出函数表达式，灵活运用所学知识解决问题．5．C【分析】设两个直线关系式，再表示出z ，x 之间的关系式，即可得出图象．【详解】根据图像可知y 与x 是一次函数，z 和y 是正比例函数，设关系式为y kx b =+，1z k y =，所以1111()z k y k kx b k kx k b ==+=+，可知z 与x 是一次函数，所以图像C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，表示出各函数关系式是解题的关键．6．D【分析】本题根据设出连续三年总支出，再两两相减得到连续两年的差值即可知道连续两年的每年的检修费，再根据总支出得到平均每年检修费．【详解】由题意得，前n 年支出总费用为 1.40.5y n =−万元，前1n +年支出总费用为： 1.4(1)0.5 1.40.9y n n =+−=+万元；前2n +年支出总费用为：() 1.4 20.5 1.4 2.3y n n =+−=+万元；易知，前n 年和前1n +年差值为1.4万元，前 1n +年和 2n +年差值为1.4万元，故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B 错误；第一到第五年总支出费用为1.450.5 6.5y =⨯−=万元，故平均每年检修费用为6.55 1.3÷=万元，故C 错误．15−年总支出为6.5万元，110−年总支出为1.4100.513.5y =⨯−=万元，所以610−年平均每年检测费用为(13.5 6.5)5 1.4−÷=万元，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质及基本不等式在实际生活中的应用，解题的关键是理解变量之间的关系．7．(1)一次函数的解析式+4y x =−；(2)1m ≥【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意列出关于m 的不等式即可求解．）一次函数∴0.5 2.5m ≤≤．【点睛】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．10．(1)21y x =−，1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭；）函数图象经过点32k，当两直线平行时，1>−时，对于∴312k≤≤．∴c 最小时，y 最小，即1c =时，最小值为5700元，此时9a =；②当2a =，4b =，3c =时，由（1）得61005700y =>，不合题意，舍去；当3a >时，4b =，82a c =−，∴5000.860049005600100y a c c =⨯+⨯+=+，∵1000>，∴c 最小时，y 最小，即1c =时，最小值为5700元，此时6a =；③当1a =，6b =，2c =时，50016006900259005700y =⨯+⨯+⨯=>，不合题意，舍去；综上，如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是9，2，1或6，4，1．故答案为：9，2，1或6，4，1．【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确的分类是解题的关键，注意租用甲型客车有优惠活动．。

2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编解析版

2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编1.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与一直线相交于A -1，0 ，C 2，3 两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式；(2)设点M 3，m ，求使MN +MD 的值最小时m 的值；(3)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，求PQ 的最大值．【答案】(1)解：由抛物线y =-x 2+bx +c 过点A -1，0 ，C 2，3 得-1-b +c =0-4+2b +c =3，解得b =2c =3 ，∴抛物线为y =-x 2+2x +3；设直线为y =kx +n 过点A -1，0 ，C 2，3 ，得-k +n =02k +n =3，解得k =1n =1 ，∴直线AC 为y =x +1；(2)解：∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴D 1,4 ，令y =0，则0=-x 2+2x +3，解得x =-1或x =3，即抛物线与x 轴的另一个交点为3，0 ，作直线x =3，作点D 关于直线x =3的对称点D ，得D 坐标为5，4 ，如图，连接ND 交直线x =3于点M ，此时N 、M 、D 三点共线时，NM +MD 最小，即NM +MD 最小，设直线ND 的关系式为：y =ax +b ，把点N 0,3 和D 5,4 代入得b =35a +b =4 ，1∴直线NM 的函数关系式为：y =15x +3，当x =3时，y =185，∴m =185；(3)解：如图，∵PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴设Q x ，x +1 ，则P x ，-x 2+2x +3 ，∴PQ =-x 2+2x +3 -x +1 =-x 2+x +2=-x -12 2+94，∵-1<0，∴PQ 有最大值，最大值为94．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为-1,0 ，且OA =OC =5OB ，抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】(1)解：∵点B 的坐标为-1,0 ，∴OB =1，∵OA =OC =5OB ，∴OA =OC =5，∴点A 5,0 ,C 0,-5 ；把点C0,-5代入得：-5a=-5，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x+1x-5=x2-4x-5；(3)解：∵直线CA过点C0,-5，∴可设其函数表达式为：y=kx-5，将点A5,0代入得：5k-5=0解得：k=1，故直线CA的表达式为：y=x-5，过点P作y轴的平行线交CA于点H，∵OA=OC=5，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD=∠OCA=45°，∴PD=PH，∵PD⊥AC，∴PD=22PH，设点P x，x2-4x-5，则点H x,x-5，∴PD=22x-5-x2+4x+5=-22x2+522x=-22x-522+2528，∵-22<0，∴PD有最大值，当x=52时，其最大值为252 8，此时点P52,-354 ．3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)解：∵OB =OC ，点C (0,3)，∴点B (3,0)，则抛物线的表达式为：y =a (x +1)(x -3)=a (x 2-2x -3)=ax 2-2ax -3a ，将点C (0,3)代入得，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，函数的对称轴为：x =1；(2)四边形ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC =AO 2+CO 2=12+32=10、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于直线x =1对称点C (2,3)，则CD =C D ，如图所示，取点A -1,1 ，则A D =AE ，点C 与C 关于x =1对称，则C 2,3 ，∴A C =32+22=13，∴CD +AE =A D +DC ，则当A 、D 、C 三点共线时，CD +AE =A D +DC 最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE=10+1+A D +DC=10+1+A C 10+1+13；(3)如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×(y C -y P )：12AE ×(y C -y P )=BE ：AE ，则AE=52或32，即：点E的坐标为32,0或12,0，∵C0,3，设直线CP的表达式：y=kx+3，将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立y=-x2+2x+3y=-2x+3，y=-x2+2x+3y=-6x+3，解得：x=4或x=8(x=0舍去)，故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45)．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为；(3)当▱CPBD是菱形时，求m的值．(4)当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？【答案】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3，(2)解：∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C(0,-3)，∵▱CPBD有两个顶点在x轴上时，∴点D在x轴上，∵四边形CPBD是平行四边形，∴CP∥BD，∴点P和点C为抛物线上的对称点，∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=--22×1=1，C(0,-3)，∴P(2,-3)，故答案为：(2,-3)；(3)解：设点P的坐标为(m,y)，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴BP2=(3-m)2+y2，CP2=m2+(m+3)2，∵▱CPBD 是菱形，∴BP =CP ，∴BP 2=CP 2，∴(3-m )2+y 2=m 2+(y +3)2，9-2m +m 2+y 2=m 2+y 2+6y +9，m +y =0，∵y =m 2-2m -3，∴m +m 2-2m -3=0，m 2-m -3=0，m =-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1=1±132，即m 1=1+132，m 2=1-132，∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点(点P 不与点B ,C 重合)，∴0<m <3，∴m =1+132；(4)解：如图所示，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，将B (3,0)，C (0,-3)代入得，3k +b =0b =-3 ，解得，k =1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =x -3，设P (m ,m 2-2m -3)，则E (m ,m -3)，∴PE =-m 2+3m ，∴S △PBC =12×3(-m 2+3m )，∵S ▱CPBD =2S △PBC=2×12×3(-m 2+3m )=-3m 2+9m=-3m -32 2+274，∴当m =32时，平行四边形CPBD 的面积有最大值．5.二次函数y =ax 2+bx +4a ≠0 的图象经过点A -4,0 ,B 1,0 ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)在对称轴上是否存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，存在的话，请求出点M 的坐标．不存在的话请说明理由．(3)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式．【答案】(1)解：把A -4,0 ,B 1,0 代入y =ax 2+bx +4a ≠0 得：16a -4b +4=0a +b +4=0 ，解得a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)在对称轴上存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，理由如下：连接AC 交对称轴于M ，则MB +MC 的和最小，如图：∵MA =MB ，∴MB +MC =MA +MC ，而C ，M ，A 共线，∴此时MB +MC 最小，在y =-x 2-3x +4中，令x =0得y =4，∴C 0,4 ，设直线AC 的表达式为y =rx +s ，由A -4,0 ，C 0,4 可得-4r +s =0s =4解得r =1s =4 ∴直线AC 解析式为y =x +4，由y =-x 2-3x +4=-x +32 2+254知抛物线对称轴为直线x =-32，在y =x +4中，令x =-32得y =52，∴M -32,52；(3)设BP 交y 轴于K ，如图：∵PD⊥x轴，∴∠DPB=∠OKB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OKB=2∠BCO，∴∠CBK=∠BCO，∴BK=CK，设OK=m，则CK=BK=4-m，∵OB2+OK2=BK2，∴12+m2=4-m2，解得m=15 8，∴K0,158，设直线BP的表达式为y=px+q，由B1,0，K0,15 8得到p+q=0q=158解得p=-158 q=158∴直线BP的表达式为y=-158x+158．6.如图，抛物线y=14x2-32x交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B，C(B在C左边)，交y轴于点D，连结OM，已知OM=5．(1)求OD的长．(2)P是第四象限内抛物线上的一点，连结P A，AC，OC，PO．设点P的横坐标为m，四边形OCAP的面积为S．①求S关于m的函数表达式．②当∠POC=∠DOC时，求S的值．【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=-b2a=3，∴DM=3，OA=6；∵OM =5，∴OD =OM 2-DM 2=52-32=4．(2)过点P 作PN ⊥OA 于N ,①由y =0得，0=14x 2-32x解得：x =0(舍去)，x =6∴OA =6，∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN=12×6×4+12×6-14m 2-32m=12+3-14m 2+32m=-34m 2+92m +12所以，S 关于m 的表达式为：S =-34m 2+92m +12②MC =CD -DM =5=OM ，∴∠MOC =∠MCO ．∵BC ∥x 轴，∴∠AOC =∠MCO =∠MOC ．∵∠POC =∠DOC ，∴∠POC -∠AOC =∠DOC -∠MOC ，∴∠POE =∠DOM ，∴tan ∠POA =tan ∠DOM =34，∴-y p x P =34∴y P =-34x p ，代入抛物线解析式得-34x p =14x 2p -32x p解得x P =0(舍去)或x P =3，∴y P =-34x p =-34×3=-94∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN =18.757.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过B -3,0 ,C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE +CE 的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使△BPC 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．【答案】(1)解：将点B -3,0 ,C 0,3 代入抛物线解析式得-9-3b +c =0c =3，解得b =-2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)解：∵抛物线解析式为y =-x 2-2x +3=-x +1 2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =-1，∵点A 、B 关于对称轴对称，∴BE =AE ，∴AE +CE =BE +CE ，∴当B 、C 、E 三点共线时，BE +CE 最小，即此时AE +CE 最小，∴BC 与对称轴的交点即为点E ，如下图，设直线BC 解析式为y =mx +n ，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 的解析式为y =x +3；当x =-1时，y =x +3=2，∴E -1，2 ；(3)解：∵B -3,0 ,C 0,3 ，∴OB =OC =3，∴BC =32+32=32，当B 为顶点时，则PB =BC =32，∴点P 的坐标为32-3,0 或-32-3,0 ；当C为顶点时，则PC=BC，∴点P与点B关于y轴对称，∴点P的坐标为3，0；当BC为底边时，则PC=PB，设点P的坐标为m，0，∴-3-m2=m2+32，解得m=0∴点P的坐标为0，0；综上，点P的坐标为0，0或3，0或32-3,0或-32-3,0．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=12x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M(点M在第四象限)，对称轴与抛物线y=12x2交于点N，且MN=4．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标．【答案】(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=12x2+bx，则点M的坐标为：-b,-1 2 b2，当x=-b时，y=12x2=12b2，即点N-b,12b2，则MN=12b2+12b2=4，解得：b=2(舍去)或b=-2，则平移后的抛物线表达式为：y=12x2-2x；(2)解：四边形OMPN是正方形，根据题意可得O0,0，M2,-2，N2,2，P4,0，记MN与OP交于点G，则G2,0，∴OG=GP=2，MG=NP=2，MN=OP=4，NO=NP=22，∴四边形OMPN是平行四边形，∵MN=OP=4，∴四边形OMPN是矩形，∵NO=NP=22，∴四边形OMPN是正方形；(3)解：设A a ,12a 2 ，B a +2,12a 2-2 ，C 2,12a 2-2 ，可得AB =22，AC =a -2 2+22，BC =a 2，①AB =AC ，22=a -2 2+22，即a 2-4a =0，解得a 1=4，a 1=0(舍去0)，∴A 4,8 ；②AB =BC ，22=a 2，解得a 1=22，a 1=-22，∴A 22,4 或A -22,4 ；③AC =BC ，a -2 2+22=a 2，解得a =2，∴A 2,2 ；综上，点A 的坐标是4,8 、22,4 、-22,4、2,2 ．9.综合与探究如图，抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D 5,3 ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：令y =0，则12x 2-32x -2=0，解得x =4或x =-1，∴A -1,0 ，B 4,0 ，令x =0，则y =-2，∴C 0,-2 ，设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ，将A -1,0 ，D 5,3 的坐标代入得，-k +b =05k +b =3 ，解得：k =12b =12，∴y =12x +12；(2)解：存在，理由如下：设P a ,0 ，则E a ,12a 2-32a -2 ，F a ,12a +12，∵P 线段AB 上的一个动点，∴E 在x 轴下方，∴EF =12a +12-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a +52=-12a -2 2+92，∵-12<0，∴当a =2时，EF 有最大值，最大值为92；(3)解：存在，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142；设M m ,12m 2-32m -2 ，N n ,12n +12，∵B 4,0 ，D 5,3 ，①当平行四边形对角线为BN 和DM 时，则4+n 2=5+m 20+12n +122=3+12m 2-32m -22 ，解得：m =0n =1 或m =4n =5 (当m =4时，M 4,0 与B 点重合，不符合题意，舍去)∴点M 的坐标为0,-2 ；②当平行四边形对角线为BM 和DN 时，则4+m 2=5+n 20+12m 2-32m -22=3+12n +122 ，解得：m =2+14n =1+14 或m =2-14n =1-14 ，∴点M 的坐标为2+14,4+142 或2-14,4-142，综上所述，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142 ．10.如图，已知直线y =34x +3与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，经过点C 的抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于A -6，0 、B 两点，顶点为E ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接DE ，求tan ∠CDE 的值；(3)设P 为抛物线上一动点，Q 为直线CD 上一动点，是否存在点P 与点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)解：对于y =34x +3，由x =0，得y =3，∴C 0，3 ，∵抛物线过点A -6，0 、C 0，3 ，-14×-6 2-6b +c =0c =3 ，解得：b =-1c =3 ，∴该抛物线为y =-14x 2-x +3；(2)解：由y =-14x 2-x +3=-14x +2 2+4得顶点E -2，4 ，过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，作EG ⊥y 轴于G ，连接EC ，则EF =4，DF =2，EG =2，CG =1，∴DF EF =12=CG EG，∵∠DFE =∠CGE =90°，∴△DFE ∽△CGE∴∠DEF =∠CEG ，EC DE =CG DF=12．∵∠CEG +∠CEF =90°，∠DEF +∠CEF =90°，∴∠DEC =90°，∴tan ∠CDE =EC DE =12；(3)设Q m ，34m +3 ①若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的上方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m +2，34m +7 ，代入抛物线得：34m +7=-14m +2 2-m +2 +3，解得m 1=-7，m 2=-4(舍去)∴Q -7，-94；②若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的下方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m -2，34m -1 ，同理得Q -3+892,15+3898或Q -3-892,15-3898 ，③若DE 为平行四边形的对角线∵∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P -m -6，-34m +1 代入抛物线得：-34m +1=-14-m -6 2--m -6 +3，解得m 1=-1，m 2=-4(舍去)∴Q -1,94，综上所述，点Q 的坐标为-7，-94 Q -3+892,15+3898 或Q -3-892,15-3898或-1,94 ．11.如图，已知抛物钱经过点A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合)，过M 作MN ∥y 轴交抛物线于点N ．若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；(3)在(2)的条件下，连接NB 、NC ，当m 为何值时，△BNC 的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)解：根据题意，抛物钱与x 轴交于点A (-1，0)，B (3，0)设抛物线解析式为y =a x +1 x -3将C (0，3)代入可得：-3a =3，解得a =-1即y =-x +1 x -3 =-x 2+2x +3；(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b将B (3，0)、C (0，3)代入可得：3k +b =0b =3 ，解得k =-1b =3即y =-x +3，则M (m ,-m +3)，N (m ,-m 2+2m +3)，MN =-m 2+2m +3--m +3 =-m 2+3m ；(3)由题意可得：S △BNC =S △BNM +S △MNC =12×MN ×OB =32-m 2+3m =-32m 2+92m∵-32<0，开口向下，∴m =-92-2×32=32时，S △BNC 面积最大，∴最大面积为S △BNC =-32×32 2+92×32=278．12.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，其中A 1,0 ，C 0,3 ．直线y =mx +n 经过B ，C 两点．(1)求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M ，使MA +MC 最小，直接写出点M 的坐标；(3)连接BD ，CD ，求△BCD 的面积．【答案】解:(1)将点A 1,0 ，C 0,3 代入y =-x 2+bx +c ，得-1+b +c =0,c =3,解这个方程组，得b =-2,c =3.∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3.当y =0时，0=-x 2-2x +3=-x +3 x -1 ，解得x 1=-3，x 2=1，∴点B 的坐标为-3,0 ，∵直线y =mx +n 经过B ，C 两点，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 解析式为y =x +3；∴当点M是直线BC和对称轴的交点时，MA+MC取得最小值，∵抛物线y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴点D的坐标为-1,4，对称轴为直线x=1，将x=1代入直线y=x+3，得：y=-1+3=2，∴点M的坐标为-1,2；(3)∵点D-1，4，点M-1,2，∴DM=4-2=2，∵点B-3，0，∴BO=3，∴S△BCD=S△DMB+S△DMC=12DM⋅BO=12×2×3=3．13.抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A-2,0和B4,0，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM，①求点P的坐标；②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2∴4a-2b-4=016a+4b-4=0，即2a-b=24a+b=1，∴a=12 b=-1∴抛物线的解析式为：y=12x2-x-4；(2)解：令x=0得y=-4，∴C0,-4设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0∴k=1b=-4 ，∴直线BC的解析式为：y=x-4 ∵P的横坐标为t，PM∥y轴，∴P t,12t2-t-4，M t,t-4，∴PM=t-4-12t2-t-4=-12t2+2t=-12t-22+2，∵-12<0，∴当t=2时，PM有最大值2，此时M2,-2；(3)解：①∵B4,0、C0,-4，∴OB=OC=4，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PN∥y轴∴∠NMB=∠OCB=45°，∠MNB=∠COB=90°，∴∠NBM=∠NMB，∴BN=MN，∴S△BMN=12BN2，又∠CMH=∠NMB=45°，∠CHM=90°，∴△CHM是等腰直角三角形∴S△CHM=12CH2∵S△BMN=9S△CHM∴12BN 2=9×12CH 2∴BN =3CH ，∵BN +CH =OB =4，∴CH =1∴P 1,-92 ；②设Q 0,m ，则CQ 2=4+m 2，CP 2=1+-4+92 2=54，PQ 2=1+m +92 2，(Ⅰ)当∠CQP =90°时，54=4+m 2+1+m +92 2，解得：m =-4(舍去)或m =-92，∴Q 0,-92 ；(Ⅱ)当∠CPQ =90°时，54+1+m +92 2=4+m 2，解得：m =-132， ∴Q 0,-132(Ⅲ)当∠PCQ =90°时54+4+m 2=1+m +92 2解得：m =-4(舍去)综上所述，存在点Q 0,-132 或Q 0,-92使得△CPQ 为直角三角形．14.如图，抛物线y =ax 2+bx +c a >0 交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ．(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；(2)若直线y=bx+t t>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧)，直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．【答案】解：(1)①把A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)分别代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=1b=-2 c=-3 ，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．②设P(m，0)，过Q作QH⊥x轴于H，则∠PHQ=90°，∵△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴PC=PQ，∠CPQ=90°，∴∠OPC+∠HPQ=90°，∠HQP+∠HPQ=90°，∴∠OPC=∠HQP，在△POC和△QHP中∠OPC=∠HQP∠COP=∠PHQCP=QP，∴△POC≌△QHP AAS，∴QH=OP=m，PH=OC=3．当点H在点P的右侧时，OH=m+3，∴Q(m+3，-m)，把Q(m+3，-m)代入y=x2-2x-3，得-m=m+32-2m+3-3，解得m=0或-5，此时，P(0，0)或P(-5，0)．当点H在点P的左侧时，H(m-3，0)，∴Q (m -3，m )，代入y =x 2-2x -3，得m =m -3 2-2m -3 -3，整理，得m 2-9m +12=0，解得m =9±332，此时P 9+332,0 或9-332,0 综上，点P 的坐标为P (0，0)或P (-5，0)或P 9+332,0或9-332,0 (2)设直线AM 为y =kx +m ，直线AN 为y =k 1x +m 1，联立y =bx +t y =ax 2+bx +c ，得ax 2+c -t =0，∴x M +x N =0．联立y =kx +m y =ax 2+bx +c ，得ax 2+b -k x +c -m =0，∴x A x M =c -m a ．同理，得x A x N =c -m 1a．∴x A x M +x A x N =x A x M +x N =0，∴c -m a +c -m 1a=0，∴c -m =m 1-c ．∵D (0，m 1)，E (0，m )，C (0，c )，∴CD =m 1-c ，CE =c -m ，∴CE =CD ，∴点C 为线段DE 的中点．15.如图，二次函数y =-x 2+c 的图象交x 轴于点A 、点B ，其中点B 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0,2)，过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D ．(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；(2)连接DB，则△DAB的面积为；(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵二次函数y=-x2+c的图象过点B(2,0)，∴0=-22+c，解得c=4∴二次函数解析式为y=-x2+4∴A点坐标为(-2,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴0=-2k+b2=b，解得：k=1b=2∴直线AC的解析式为y=x+2(2)∵直线AC：y=x+2与二次函数交于点A、D∴联立y=-x2+4y=x+2，解得x=-2y=0或x=1y=3∴D点坐标为：(1,3)∵AB=4∴S△DAB=12AB×y D =12×3×4=6(3)∵C(0,2)，A点坐标为(-2,0)∴∠CAB=45°当Q在正半轴时，∵∠AQB=135°，QA=QB∴∠QAO=22.5°=12∠CAO∴AQ平分∠CAO过Q作PQ⊥AC于P设OQ =x ，则OQ =PQ =x ,CQ =2PQ =2x∴OC =OQ +CQ =2x +x =2解得x =22-2∴Q 点坐标为(0,22-2)当Q 在与轴负半轴时，根据对称性可得Q 点坐标为(0,2-22)∴Q 点坐标为(0,2-22)或(0,22-2)(4)当AD 是矩形边长时过A 作AM ⊥AD 交抛物线于M∵直线AC 的解析式为y =x +2∴设直线AM 的解析式为y =-x +b 1代入A 点(-2,0)得b 1=-2∴直线AM 的解析式为y =-x -2∴联立y =-x 2+4y =-x -2，解得x =-2y =0 或x =3y =-5 ∴M 点坐标为(3,-5)∵此时MN 平行且等于AD∴由A (-2,0)平移到D (1,3)与由M (3,-5)平移到N 的平移方式一致∴N 点坐标为(6,-2)同理：:过D 作DM ⊥AD 交抛物线于M ，此时M (0,4)，N (-3,1)综上所述，存在，N 点坐标为(6,-2)或(-3,1)16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC 于点E．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h (h >0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC 始终有交点，求h 的最大值；(3)M 是(1)中抛物线上一点，N 是直线BC 上一点．是否存在以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：由D (2,1)可知，-b 2×-1 =24×-1 c -b 24×-1 =1，解得：b =4c =-3 ，∴y =-x 2+4x -3．(2)分别令y =-x 2+4x -3中，x =0，y =0得，B (3，0)，C (0，-3)；设BC 的表达式为：y =kx +n k ≠0 ，将B (3，0)，C (0，-3)代入y =kx +n 得，0=3k +n -3=0+n 解得：k =1n =-3 ；∴BC 的表达式为：y =x -3；抛物线平移后的表达式为：y =-x 2+4x -3-h ，根据题意得，y =-x 2+4x -3-h y =x -3，即x 2-3x +h =0，∵该抛物线与直线BC 始终有交点，∴-3 2-4×1×h ≥0，∴h ≤94，∴h 的最大值为94．(3)存在，理由如下：将x =2代入y =x -3中得E 2，-1 ，①当DE 为平行四边形的一条边时，∵四边形DEMN 是平行四边形，∴DE ∥MN ，DE =MN ，∵DE ∥y 轴，∴MN ∥y 轴，∴设M m，-m2+4m-3，N m，m-3，当-m2+4m-3-m-3=2时，解得：m1=1，m2=2(舍去)，∴N1，-2，当m-3--m2+4m-3=2时，解得：m1=3+172，m2=3-172，∴N3+172，17-3 2或N3-172，-17+32；②当DE为平行四边形的对角线时，设M p，-p2+4p-3，N q，q-3，∵D、E的中点坐标为：(2，0)，∴M、N的中点坐标为：(2，0)，∴p+q2=2-p2+4p-3+q-32=0 ，解得：p1=1 q1=3，p2=2q2=2(舍去)，∴此时点N的坐标为(3，0)；综上分析可知，点N的坐标为：1，-2或3+172，17-32或3-172，-17+32或(3，0)．。

(完整版)函数综合练习题及答案

函数综合练习题一. 选择题：二.填空题：3、已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时,1)(xx f =则当2-<x 时=)(x f ________________。

4．已知)11(x x f -+=2211xx +-，则)(x f 的解析式可取为 5．已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）； 6.函数y=245x x --的单调增区间是_________.三.简答题：1、已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域(-3<x<-1) 3、求函数的值域（1）求函数22122+-+=x x x y 的值域]2133,2133[+- （2）如 44y x x =++，求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4）4．已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．解：222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+，令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．5.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数．（2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x xf x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：22x -<<，即不等式的解集为(22-．6．已知函数xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a 的取值范围。

函数的综合50题.doc

(1 V v3、给定方程一+sinx-l = 0,有下列命题：(1)该方程没有小于0的实数解；(2)该方程有无数个实数解；(3) 辽丿该方程在(-00,0)内有且只有一个实数解；(4)若％是该方程的实数解，则x 0>-l.其中正确命题的个数是()A.lB.2C.3D.44、已知定义在R 上的函数f(x),对任意xWR,都有f (x+6) =f (x) +f(3)成立，若函数y = f(x + 1)的图象关于直线x=—1对称，则f (201 3) = ()5、定义域为［d,b ］的函数y = f(x )的图彖的两个端点为A,B,M (xj)是f(x)图彖上任意一点，其中兀=加+ (1-几)风/1丘/?),向量丽=/1刃+ (1-/1)西，若不等式|顾|"恒成立，则称函数/(x)在［d,列上“k阶线性近似二若函数y = x + -在［1,2］上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为()X6、定义在R 上的函数/(X )满足/(4) = 1 , f\x)为/(x)的导函数，已知y =广(X )的图像如图所示,若两个正数a 、b 满足f(2a + b) v 1,则 X 的取值范围是()67 + 2A• c|,+Q B. (一。

0,*) U £,+°°) C• (0,》 7、定义在{x\xeR,x^l}±函数的综合50题1、定义域为［a, b ］的函数y = f(x)图像的两个端点为A 、B, M (x, y)是/(x)图象上任意一点，其屮x = Aa + (l-2)b e [a.b]，已知向量ON = AOA + (1- A)OB ,若不等式\MN\<k 恒成立，则称函数/(x)在[c,b]上“k 阶线性近似二若函数y = x-~在［1, 2］上“k 阶线性近似”，贝I 」实数k 的取值范围为( )XI 3B. ［—, +oo)C. ［—12 2A. [0，+oo) 3 D. - A /2, +oo) 2、已知函数f(x) = x 2^2bx 的图象在点力(0,/(0))处的切线/与直线x-y+3二0平行，若数列的前n 项和为则S20H 的值为(2012 2010 A. ----- B. ------ 20112011 2013C. ------ 2012D. 20112012A. 0B. 201 3C. 3D. —201 3A ・[0，+ oo)B.[l, + oo)——A /2, +00D. _3 \ —F + 00L2一 2 丿>尸，则函数/(血的图象与函数C.yD. 4 2的函数/(I一兀)= —/(l + x),当x〉l 时，/⑴=坊g(x) = -cos^(兀+丄)(一3 5兀5 5)的图象的所有交点的横坐标之间和等于IA.4B. 6C. 8D. 108、己知函数/(x)是定义在/?上的单调增函数且为奇函数，数列血｝是等差数列，伽)7〉0,则/⑷)+ /(。

函数考试题及答案八年级

函数考试题及答案八年级一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数y=2x+3中，y随着x的增大而（）A. 减小B. 增大C. 不变D. 不确定答案：B2. 函数y=-3x+2的图象是一条（）A. 直线B. 射线C. 线段D. 曲线答案：A3. 下列哪个函数的图象经过点（1，2）？A. y=2x-1B. y=-2x+3C. y=x+1D. y=-x+2答案：C4. 函数y=x^2-4x+c的图象是一个开口向上的抛物线，那么c的值应该满足的条件是（）A. c>4B. c<4C. c=4D. c≥4答案：D5. 函数y=x^2+6x+9的最小值是（）A. 0B. 3C. 9D. 12答案：C6. 如果函数y=kx+b的图象经过原点，那么（）A. k=0，b=0B. k≠0，b=0C. k=0，b≠0D. k≠0，b≠0答案：B7. 函数y=-2x+1的图象与y轴的交点坐标是（）A. (0, -1)B. (0, 1)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：B8. 函数y=x^2-6x+8的图象与x轴有（）个交点。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C9. 函数y=3x-5的图象经过点（2，1），那么（）A. 函数图象经过该点B. 函数图象不经过该点C. 无法确定D. 函数图象与该点重合答案：B10. 函数y=-x+2的图象与直线y=x平行，那么（）A. 正确B. 错误答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y=3x-2中，当x=4时，y的值为______。

答案：102. 函数y=-2x+3与x轴的交点坐标为______。

答案：(3/2, 0)3. 函数y=x^2-4x+4的顶点坐标为______。

答案：(2, 0)4. 函数y=2x-1的图象与y=-x+2的图象的交点坐标为______。

答案：(1, 1)5. 函数y=-x+2的图象与y轴的交点坐标为______。

答案：(0, 2)三、解答题（每题5分，共15分）1. 已知函数y=2x-3，求当x=5时，y的值。

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函数综合试题练习函数综合试题一：选择题1．已知，则则A等于（）A．15 B． C． D．2252．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（）A． B．C． D．3．已知则的值等于( )A．0 B． C． D．94．若，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c5．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：① 0<a<b<1；② 0<b<a<1；③a=b；④ 1<a<b；⑤l<b<a．其中不可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（）A． B．C． D．7．已知：的不等实根一共有（）A、1个B、2 个C、3 个D、4个8．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.9．曲线在原点处的切线方程为A.B.C.D.10.设函数有（）A．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内的三个根B.四个实根C.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内的四个根D.分别位于区间（0，1）（1，2），（2，3），内的三个根11．函数的导数是（）A． B. C. D.12．与定积分相等的是（）A． B.C. -D. +二：填空题13．由曲线所围成的图形面积是 .14．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km，那么在时，汽车里程表读数与时间的函数解析式为__________。

15. 函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 。

16．给出下列四个命题：①函数（且）与函数（且）的定义域相同；②函数与的值域相同；③函数与都是奇函数；④函数与在区间[0，＋）上都是增函数。

其中正确命题的序号是_____________。

（把你认为正确的命题序号都填上）三：解答题17．（12分）设f (x)＝lg(ax2－2x＋a),(1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围。

18．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？19.（12分）设, 点P是函数的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P处有相同的切线.(1) 用表示a, b, c;(2) 若函数在上单调递减，求的取值范围.20．（12分）设函数, 其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围.21．（14分）已知函数，，且有极值．（1）求实数的取值范围；（2）求函数的值域；（3）函数，证明：，，使得成立．22．（12分）设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x*，1）为含峰区间；（2）对给定的r（0＜r＜0.5＝，证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r；（3）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）函数综合参考答案一：选择题BDCB，BDDB，DAAC二：填空题13．e－2 14．220； 15．(1,－3) 16．①③三：解答题17．解：(1) ∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞),∴ 当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax2－2x＋a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, a="">1.（6分）(2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞).要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，∴a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,解得0≤a≤1.……12分18．解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。

……5分答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

……6分（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得…………8分令得当时，是减函数；当时，是增函数。

当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

………………………………11分答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

（12分）19．解: (1) 因为函数, 的图象都过点, 所以,即.因为所以.………………3分又因为, 在点处有相同的切线, 所以而……………………………………………5分将代入上式得因此故,,………………6分(2) 解法一: (8)当时, 函数单调递减.由, 若; 若由题意, 函数在上单调递减, 则所以又当时, 函数在上单调递减.所以的取值范围为 (12)解法二：因为函数在上单调递减, 且是上的抛物线, 所以即解得所以的取值范围为………………………………………………………12分20．解: ………………………………………………1分(Ⅰ)据题意,…………………………………2分由知,是二次函数图象的对称轴又, 故是方程的两根..............4分设,将代入得比较系数得:故为所求.………………………………6分(其它解法酌情记分)另解：，…………………….1分据题意得………3分解得…………………5分故为所求.………………………………6分(Ⅱ)据题意,,则又是方程的两根,且则………………………………………8分则点的可行区域如图………………10分的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是…………………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）由求导可得………………………………………………………………………………1分令……………………………………………………………… 2分可得∵ ∴ ∴又因为单调递增极大值单调递减所以，有极值…………………………………… ……………………………………3分所以，实数的取值范围为．............................................................4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的极大值为 (5)分又∵ ，…………………………………………………………6分由，解得又∵∴当时，函数的值域为………………… 7分当时，函数的值域为．…………………………8分（Ⅲ）证明：由求导可得令，解得令，解得或……………………………… 10分又∵∴在上为单调递增函数……………………………………………………12分∴在的值域为∵ ，，∴，，使得成立．…………………………14分22（1）证明：设x*为f（x）的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减．当f（x1）≥f（x2）时，假设x*（0，x2），则x1<x2f （x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.当f（x1）≤f（x2）时，假设x*（ x2，1），则x*<≤x1f （x2），这与f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰区间.……4分（2）证明：由（I）的结论可知：当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1＝x2；当f （x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1－x1；对于上述两种情况，由题意得由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r，②将②代入①得x1≤0.5－r，x2≥0.5－r，③由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．…………………………………………8分（3）解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由（II）可知x1＋x2＝l，④在第一次确定的含峰区间为（0， x2）的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2，⑤由④与⑤可得，当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．由条件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02，从而x1≥0.34．因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．…12分抽屉原理与电脑算命“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。

其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。

我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。

抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法。

举个最简单的例子，把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。

这是因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果高中历史，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。