4-3拉普拉斯变换解微分方程

變換解微分方程 題過程:
分方程
題 02///=--y y y …..(*)
0)0(,1)0(/==y y 式等號兩邊做拉普拉斯變換
L
{=--}2///y y y L }0{ 性性質，得
L {}//y - L
{}/y -2 L {0}=y 2L {)}(t y -s y sy --)0()0(/L 2)0()}({-+f t y L 0)}({=t y
始條件，得L )}({t y 之代數方程
2s L )}({t y s -L 2)}({-t y L 1)}({-=s t y --------- (a)
數方程(a)，得
簡
單
L 1-L ODE
L {})()(s t y 之代數方程或低階ODE
)(t y L {})()(s t y
L )}({t y 21
2---=s s s
上式兩邊做反拉普拉斯變換，得
=) L -1 {L {)(t y }}= L -1 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212s s s
⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-11322131s s 及L {}
at e = a s -1 ， 解為
=)t 31 L -1 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21s + 32 L -1 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11s
31=
+t e 2 32 t e - 題t y y 2sin //=+ , …..(**)
1)0(,2)0(/==y y
*)式等號兩邊做拉普拉斯變換
L {}
=+y y // L {}t 2sin 換的微分性質以及L 22}{sin a s a at +=
，得 L
{}y +--)0()0(/y sy L 42
}{2+=s y 入初始條件，得L )}({t y 之代數方程
)1+L {}y 42122+=--s s
--------- (b) 代數方程(b)，得
{}y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++++=4132113512)4)(1(6822222223s s s s s s s s s
在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為
t t t 2sin 31sin 35cos 2-+ (由 L 22}{sin a s a at +=
，L 22}{cos a s s at += )
問題0)4(=-y y , …..(***)
0)0(,0)0(,1)0(,0)0(//////====y y y y
***)式等號兩邊做拉普拉斯變換
L
}{)4(y - L =)(y L 0)0(= 用拉普拉斯變換的微分性質，得
4s L -----)0()0()0()0(}{//////23y sy y s y s y L 0}{=y
入初始條件，得L )}({t y 之代數方程
)1(4-s L 0}{2=-s y --------- (c)
數方程(c)，得
1211211}2242
++-=-=s s s s y
上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為
11)sinh sin 22t t t =+
(由L 22}{sin a s a at += 以及L )}{sinh 22a s a at -= m 方法的好處在於能直接解出答案而不必去猜特別解及求微分方程的一般解 連續, |)(t f | at Ke ≤, M t ≥∀, K ,a , M 為常數, 則
N n s F t f n ∈∀=),()}()(, …..(D)
)(dt t f t
歸納法)
時,
⎰∞-0)(dt t f e ds d st = =-⎰∞-0)()(dt t f t e st L )}(){(t f t -， 成立。

=k 時，(D)式成立 即 =)()(s L k L
)}(){(t f t k -成立 證n=k+1時，(D)式成立。

=)()()(s F
k /) = ⎰∞--0)()(dt t f t e ds d st ⎰∞---0)()()(dt t f t e t k st = L )}(){(1t f t k +-，
成立。

線性微分方程
0)(22///2=-++y p t ty y t ， 方程(Bessel ’s equation of order p)， (p 0≥) essel 方程
02/=+y t ， t > 0…..(B)
以t ，
0///=++ty y ty
式等號兩邊做拉普拉斯變換，得
L {//ty }+ L {/y }+ L {ty }= 0
用上一個定理，得
ds d -
L }{//y + L }{/y 0)(/=-s F 用拉普拉斯變換的微分性質，得 ()()0)()0()()0()0()(//2=--+---s F y s sF y sy s F s ds d
代入初始條件，得可分離方程 (
)0)()(1/2=++s sF s F s 解上式，得
212)
1()(-+=s c s F 由二項式定理，上式可改寫
212)11()(-+=s s c s k k k s
C s c )1(2021∑∞=-= 12022)!2()!(2)1(+∞=∑-=k k k k
s k k c
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫)!!2...6.4.22)12...(5.3.1)1(!)1(21...12121k k k k k k
邊做反拉普拉斯變換，由L 1!}{+=
n n s n t ，及取c =1，得0階之Bessel 方程之一解 =)L 1-=)}({s F ≡-∑∞=k k k t k 2022)!(2)
1(
)(0t J
一類的0階之Bessel 函數
he first kind of order 0)。

為
∑∞=+-+=122
210)!(2)1(ln )(n n n n n t n H t t J ，
n H n 1...2111+++=
會介紹解)(2t y 如何求得)
方程之一般解為)()()(2211t y c t y c t y += ⎥⎥⎦⎤-+++-≡∑∞=+12221021)!(2)1()()2ln )
(2
)()2ln (2
n n n n n n t H t J t r t y t y r ππ
階之Bessel 函數
he second kind of order 0)，
=lim n →∞()57722.02ln ≅-n H
之一般解亦可表為
)(
)(
)(0
2
1
t
Y
c
t
J
c
t
y+
=。