拉斯变换解微分方程
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
03 拉普拉斯变换的逆变换
定义与性质
定义
逆变换是拉普拉斯变换的逆过程，将 拉普拉斯变换后的函数还原为原函数。
性质
逆变换具有线性性、时移性、微分性、 积分性和相似性等性质，这些性质在 求解常微分方程时具有重要作用。
逆变换的求解方法
表格法
通过查表或计算公式，将拉普拉 斯变换后的函数还原为原函数。 这种方法适用于已知拉普拉斯变 换函数的简单情况。
幂级数法
通过幂级数展开，将拉普拉斯变 换后的函数展开为无穷级数，然 后逐项积分得到原函数。这种方 法适用于较为复杂的拉普拉斯变 换函数。
积分法
通过积分运算，将拉普拉斯变换 后的函数进行积分，得到原函数。 这种方法需要熟练掌握积分运算 和拉普拉斯变换的性质。
04 拉普拉斯变换法的优缺点
优点
高效性
对于一些复杂或难以直接求 解的常微分方程，拉普拉斯 变换法能够提供一种简洁、 高效的求解方法。
普适性
拉普拉斯变换法适用于各种 类型的初值问题，具有广泛 的适用性。
易于计算
拉普拉斯变换的逆变换相对 容易计算，使得求解过程相 对简单。
可处理多变量问题
通过引入偏导数，拉普拉斯 变换法可以处理多变量微分 方程，这是其他方法难以做 到的。
缺点
不易理解物理意义
拉普拉斯变换将原始的微分方程转换为复 平面上的函数，这使得初学者不易理解其
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、 微分性、积分性和复共轭性等性质， 这些性质使得求解常微分方程变得更 为简便。
拉普拉斯变换的应用
求解常微分方程
通过拉普拉斯变换，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化求 解过程。
系统分析
在控制工程和信号处理等领域，拉普拉斯变换被广泛应用于系统分析 和系统设计。
简述拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理
简述拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理拉氏变换（Laplace transform）是一种重要的数学变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析和数学物理等领域。
拉氏变换可以将一个函数（时域函数）转换为另一个函数（复频域函数），从而简化了微分方程的求解和信号的处理。
拉氏变换的微分定理是指：对于一个函数f(t)及其拉氏变换F(s)，如果函数f(t)在某一点t=a处连续可微，则有如下关系成立：L{f'(t)} = sF(s) - f(0+)其中，L表示拉氏变换，f'(t)表示函数f(t)的导数，s表示拉氏变换后的复变量。
f(0+)是函数f(t)在点t=0+处的右极限值。
根据微分定理，可以将函数的微分转换为复变量s与函数拉氏变换的乘积。
这个定理的应用非常广泛，特别是在求解微分方程的过程中，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，从而简化了计算过程。
拉氏变换的积分定理是指：对于一个函数f(t)及其拉氏变换F(s)，如果函数f(t)在t=0处连续，并且存在某个常数C，使得对于所有s>C，有如下关系成立：L{∫f(t)dt} = F(s)/s其中，∫f(t)dt表示函数f(t)的不定积分。
利用积分定理，可以将函数的积分转换为拉氏变换的商。
积分定理为计算一些复杂函数的拉氏变换提供了便利，尤其是对于那些已知的函数F(s)的拉氏变换，可以通过积分定理得到函数f(t)的拉氏变换。
拉氏变换的比例定理是指：对于一个函数f(t)及其拉氏变换F(s)，如果函数f(at)（a为常数）在t=0处连续，则有如下关系成立：L{f(at)} = (1/a)F(s/a)根据比例定理，可以通过对函数进行时间缩放的方式来求解函数的拉氏变换。
这个定理的应用非常广泛，特别是在信号处理中，可以通过时间缩放来处理信号的延时和时间扩展问题。
综上所述，拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理为我们求解微分方程、计算复杂函数的拉氏变换提供了重要的工具和方法。
拉氏变换的数学方法解答
拉氏变换的数学方法解答拉氏变换是一种重要的数学工具，用于求解微分方程和积分方程。
它通过将时间域的函数转换为频率域的函数，从而简化了微分方程和积分方程的求解过程。
在本文中，我们将介绍拉氏变换的定义、性质以及如何使用拉氏变换来求解常见的微分方程。
首先，我们来介绍拉氏变换的定义。
拉氏变换是一种积分变换，它将一个在时间域上定义的函数f(t)转换为一个在复平面上定义的函数F(s)。
具体地，拉氏变换定义为：F(s) = L(f(t)) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复变量，e^(-st) 是指数函数。
拉氏变换的结果 F(s) 是一个复函数，它描述了函数 f(t) 在频率域上的性质。
下面我们来介绍拉氏变换的一些基本性质。
首先，拉氏变换是线性的，即对于任意的函数f(t)和g(t)，以及任意的常数a和b，有：L(af(t) + bg(t)) = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
其次，拉氏变换有一个重要的性质，即微分等式在变换后变为乘法等式。
具体地，对于一个函数f(t)和它的导数f'(t)，有：L(f'(t))=sF(s)-f(0)其中，f(0)是函数f(t)在t=0时的值。
另外，拉氏变换还有一个重要的性质，即积分等式在变换后变为除法等式。
具体地，对于函数f(t)的积分F(t)和它的拉氏变换F(s)，有：L(F(t))=1/sF(s)通过上述性质，我们可以将微分方程和积分方程通过拉氏变换转化为更简单的代数方程，从而求解微分方程和积分方程。
接下来，我们来介绍如何使用拉氏变换来解决常见的微分方程。
对于一个线性常系数微分方程：a_n*y^(n)(t)+a_(n-1)y^(n-1)(t)+...+a_1*y'(t)+a_0*y(t)=b(t)其中，y(t)是未知函数，a_i和b(t)是已知函数或常数。
我们可以将该微分方程转化为一个代数方程，通过拉氏变换求解。
拉氏变换微分定理公式
拉氏变换微分定理公式拉氏变换微分定理是拉氏变换中的一个重要定理，它是数学中的一种变换方法，可以将一个函数从时域转换到复频域。
它在信号处理、电路分析、控制系统等领域有着广泛的应用。
拉氏变换微分定理的公式表达为：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)其中，L{f'(t)}表示函数f(t)的导数的拉氏变换，F(s)表示函数f(t)的拉氏变换，s表示复频域中的复变量，f(0)表示函数f(t)在t=0时的值。
根据拉氏变换微分定理，我们可以通过对函数f(t)的拉氏变换来求得函数f'(t)的拉氏变换。
这个定理的推导可以通过对函数f(t)在时域进行微分，然后再进行拉氏变换来得到。
在实际应用中，拉氏变换微分定理可以帮助我们简化复杂的微分方程求解过程。
通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更加方便地进行分析和计算。
举个例子来说明拉氏变换微分定理的应用。
假设有一个电路，电路中的电流i(t)满足以下微分方程：L{i'(t)} + Ri(t) = V(t)其中，L表示电感的感值，R表示电阻的阻值，V(t)表示电路中的电压。
我们可以通过拉氏变换微分定理将上述微分方程转化为代数方程。
首先对方程两边进行拉氏变换，得到：sLI(s) - Li(0) + RI(s) = V(s)然后，我们可以解出电流i(t)的拉氏变换I(s)：I(s) = (V(s) + Li(0))/(sL + R)通过对I(s)进行拉氏逆变换，我们可以求得电流i(t)的表达式。
这个例子展示了拉氏变换微分定理在电路分析中的应用。
通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更加简化电路分析的过程，提高计算的效率。
除了在电路分析中，拉氏变换微分定理还有许多其他的应用。
在信号处理中，我们可以利用拉氏变换微分定理来分析信号的频谱特性。
在控制系统中，我们可以利用拉氏变换微分定理来分析系统的稳定性和响应特性。
总结而言，拉氏变换微分定理是一种重要的数学工具，它可以将函数从时域转换到复频域，简化复杂的微分方程求解过程。
用拉普拉斯变换方法解微分方程
例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt这个积分在p> a时收敛,所以有L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p >a) (1)例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt)=-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt根据罗必达法则, 有lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt2 -pt +m 2=-[a/p e p ]o =a/p (p >(2)0)例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt2 2 -pt +m=[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 022 2=3 /(P +3 ) (p > 0）⑶用同样的方法可求得2 2L[cos 3t]=p/(p+3 ) (p >0)二拉普拉斯变换的基本性质三拉普拉斯变换的逆变换四 拉普拉斯变换的应用2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。
这样就使方程求解问题大为简化。
拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
拉氏变换微分定理
拉氏变换微分定理
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s),或作相反变换。
时域⑴变量t是实数，复频域F(三)变量S是复数。
变量s又称“复频率二拉氏变换建立了时域与复频域(S域)之间的联系。
s=jw,当中的j是复数单位，所以使用的是复频域。
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t(t≥0)的函数转换为一个参数为复数S的函数。
拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t(t≥0)的函数转换为一个引数为复数s的函数。
f(t)表示实变量t的一个函数，F(三)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量S=。
+j∖∖u0026owega;的一个函数，其中。
和∖∖u0026owega;均为实变数J2=-l0F(三)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定:拉普拉斯变换。
拉氏变换的作用：求解方程得到简化。
且初始条件自动包含在变换式里。
拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。
即将微分方程变成代数方程。
拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。
利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程全文
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：
对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程
2
1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)
对于在 [0, ) 上有定义的函数 f (t)
sx0(n2)
x (n1) 0
16
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
F (s) test f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n t nest f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n L[tn f (t)]
10
§3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数
L1[F (s)] f (t)
也具有线性性质
L1[c1F1(s) c2F2 (s)] c1L1[F1(s)] c2L1[F2 (s)]
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
17
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
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§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种.一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49) 且(2-50)所以(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为 (2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 ( 2-56) 为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58) 拉氏变换为 (2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换为(2-60)因为(2-61) 由欧拉公式(2-62) 有(2-63)分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为(2-64) 同时，余弦信号的拉氏变换为(2-65)常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。
表2-1常见函数的拉普拉斯变换表三、拉氏变换的一些基本定理(1)线性定理若函数的拉氏变换分别为，则(2-66)(2)延迟定理若函数的拉氏变换为，则(2-67)信号与它在时间轴上的平移信号的关系见图2-18所示。
该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。
应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。
例2-9周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。
解：该信号为周期信号。
因此，已知信号第一周期的拉氏变换为时，应用拉氏变换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为锯齿波信号第一周期的拉氏变换为所以，锯齿波信号的拉氏变换为(3)衰减定理若函数的拉氏变换为，则(2-68) 该定理说明了时间信号在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移。
当时间函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其拉氏变换的求取计算。
例2-10试求时间函数的拉氏变换。
解：因为正弦函数的拉氏变换为所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。
(4)微分定理若函数的拉氏变换为，且的各阶导数存在，则各阶导数的拉氏变换为(2-69)(2-70)…………(2-71)当所有的初值(各阶导数的初值)均为零时，即则(2-72)(2-73)…………(2-74)证明：(在此只证明一阶导数的拉氏变换，其余请读者自证)由拉氏变换的定义式利用分部积分公式令则所以证毕。
(5)积分定理若函数的拉氏变换为，则(2-75)定理的证明同样采用分部积分公式可以证得，请读者自证。
式中为函数的在时刻的积分值。
积分定理与微分定理互为逆定理。
(6)初值定理若函数的拉氏变换为，且在处有初值，则(2-76)即时域函数的初值，可以由变换域求得。
证明由微分定理令即可证得。
注意，拉氏变换的初值定理是满足拉氏变换的定义的，因此由初值定理所求得的时间信号的初值为，而不是或者。
例如阶跃信号，可以利用拉氏变换的初值定理求得其初值为(7)终值定理若函数的拉氏变换为，且存在，则(2-77)即时域函数的终值，也可以由变换域求得。
证明：由微分定理两边对取极限因为，所以方程左边方程右边所以证毕。
(8)卷积定理若时域函数分别有拉氏变换，时域函数的卷积分为(2-7 8)又常表示为(2-79) 则其拉氏变换为(2-80)这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。
证明可参考其他教材。
时域函数在变换域中表示有两个优点。
一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。
常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。
表2-2 拉普拉斯变换的基本性质表四、拉普拉斯反变换拉普拉斯变换将时域函数变换为复变函数，相应地它的逆运算可以将复变函数变换回原时域函数。
拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。
由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为(2-81)上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。
所以已知反求时，通常采用的方法是部分分式法。
由于工程中常见的时间信号，它的拉氏变换都是s的有理分式。
因此，可以将分解为一系列的有理分式之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有理分式项所对应的时域函数，合成时域函数。
上述过程遵循的是拉氏变换的线性定理。
拉氏变换通常为s的有理分式，可以表为(2-82)式中，是分子多项式，是分母多项式，系数和均为实数，，为正整数，而且。
在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程，其所有的解称为的极点。
这样可以表示为(2-83)由复变函数的留数定理，可以确定的各分式，求得拉氏反变换为(2-84)下面分别讨论各种计算情况。
1．全部为单根可以分解为(2-85)其中(2-86)为复变函数对于极点的留数。
则拉氏反变换为(2 -87)例2-11 已知：，求拉氏反变换。
解：将分解为部分分式极点为：，则对应极点的留数为则分解式为查拉氏变换表可得2．有重根只考虑一个单根情况，设为单根，为重根，，则可以展开为(2-88)式中，与单根相对应的系数的求法与前述相同。
与重根相对应的各系数，，由留数定理可得计算公式如下：(2-89)…………(2-90)因为所以，拉氏反变换为(2-91)例2-12求的拉氏反变换。
解：可以分解为系数C1，C2，分别对应单根，，由前述单根情况计算为系数分别对应二重根s3=-1于是，的分解式为查表求得拉氏反变换为3．A(s)=0有共轭复数根时域函数有共轭复数根时，可以将其作为单根(互不相同)来看待。
但是在分解时，涉及到复数运算，计算繁琐。
拉氏变换中有如下的变换对：上述变换对的分母都是共轭复数形式的二次三项式，相对应的反变换均为正余弦型。
所以，除了可以按照单根情况计算外，还可以按照下述例题的计算步骤进行计算。
例2-13已知，试求其拉氏反变换。
解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以有：第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为第三步，写出拉氏反变换。
因为所以五、拉氏变换法求解微分方程列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。
微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。
采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。
拉氏变换法求解微分方程步骤如下：(1)方程两边作拉氏变换。
(2)将给定的初始条件与输入信号代入方程。
(3)写出输出量的拉氏变换。
(4)作拉氏反变换求出系统输出的时间解。
例2-14 滤波电路如图2-19所示，输入电压信号，电容的初始电压分别为0V和1V时，分别求时域解。
解：RC电路的微分方程为方程两边作拉氏变换由拉氏变换的线性定理得由拉氏变换的微分定理得将系统参数值带入整理得输出的拉氏变换为（1）时，（2）时，。