用拉普拉斯变换方法解微分方程
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。
它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。
在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。
因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。
本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。
一、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。
分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。
分数阶微分方程的形式一般为：$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。
$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。
一般情况下，分数阶微分方程无法通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。
下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。
二、拉普拉斯变换方法简介拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。
它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\s=x+jy\in R $$其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。
当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。
通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。
下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。
拉普拉斯解微分方程
拉普拉斯解微分方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
而解微分方程则是求解这些规律所遵循的方程的过程。
在解微分方程的方法中，拉普拉斯变换是一种常用的技巧，它将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解的过程。
拉普拉斯变换是由法国数学家拉普拉斯在18世纪末提出的。
它是一种将一个函数f(t)转化为另一个函数F(s)的方法，其中s是一个复变量。
具体而言，拉普拉斯变换将函数f(t)表示为积分的形式：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是一个指数函数，s是复变量，t是自变量。
通过拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转化为一个代数方程，从而更容易求解。
利用拉普拉斯变换求解微分方程的过程可以分为以下几步：1. 对给定的微分方程进行拉普拉斯变换，得到一个代数方程。
2. 解代数方程，得到变量F(s)的表达式。
3. 对变量F(s)进行逆变换，得到原函数f(t)的表达式。
这种方法的优点是可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解的过程。
但是，拉普拉斯变换的使用也需要注意一些问题。
拉普拉斯变换只适用于一些特定的函数，例如指数函数、幂函数、三角函数等。
对于其他类型的函数，可能需要使用其他方法进行求解。
拉普拉斯变换的逆变换并不唯一，即可能存在多个函数满足同一个变量的拉普拉斯变换。
因此，在进行逆变换时需要根据具体问题确定合适的逆变换。
由于拉普拉斯变换的计算过程较为繁琐，对于复杂的微分方程，可能需要进行多次变换和逆变换。
因此，在使用拉普拉斯变换求解微分方程时，需要具备一定的数学基础和计算能力。
除了求解微分方程外，拉普拉斯变换还具有其他的应用。
例如，在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便对信号进行分析和处理。
在控制理论中，拉普拉斯变换可以用来描述线性时不变系统的动态特性。
此外，拉普拉斯变换在概率论、微分几何等领域也有广泛的应用。
用laplace变换求解微分方程
用laplace变换求解微分方程Laplace变换是求解微分方程的重要工具之一。
它将微分方程转换为代数方程，进而利用代数方法进行求解。
下面将介绍Laplace变换的定义、性质和用法，并以一个例子来说明如何用Laplace变换求解微分方程。
一、Laplace变换的定义和性质Laplace变换将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，表示如下：F(s) = L[f(t)] = ∫_0^∞e^(-st)f(t) dt其中，s是复数变量，f(t)是一定条件下的函数。
Laplace变换具有以下性质：1. 线性性：若f(t)和g(t)是两个函数，a和b是常数，则有L[af(t)+bg(t)] = aL[f(t)]+bL[g(t)]。
2. 移位性：若F(s)是函数f(t)的Laplace变换，则有L[e^(at)f(t)] = F(s-a)。
3. 导数定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则f'(t)的Laplace变换为sF(s)-f(0)。
4. 积分定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则∫_0^t f(t) dt的Laplace变换为1/(sF(s))。
二、Laplace变换的用法1. 用Laplace变换求解微分方程：将微分方程转换为代数方程进行求解。
具体而言，可将微分方程左右两边同时进行Laplace变换，然后利用Laplace变换的性质进行消元求解。
2. 利用Laplace变换求解初值问题：即给定f(0)和f'(0)的初值条件下，求解微分方程的解。
可将初值条件施加于代数方程中，通过消元得到解F(s)，再对其进行反演Laplace变换即可得到解f(t)。
三、例题解析求解微分方程y''+2y'+y = t, y(0)=0, y'(0)=1。
1. 进行Laplace变换：对两边同时进行Laplace变换，得到(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)) +2(sY(s)-y(0)) + Y(s) = 1/s^2化简得到：Y(s) = 1/(s^2+2s+1) + s/(s^2+2s+1)2. 分解代数式：将分母因式分解，得到Y(s) = 1/[(s+1)^2] + s/[(s+1)^2]3. 反演Laplace变换：分别对两项进行反演Laplace变换，得到y(t) = t*e^(-t)因此，原微分方程的通解为y(t) = c1*e^(-t) + c2*t*e^(-t)，带入初值条件y(0)=0和y'(0)=1可得到c1=0和c2=1，因此，原微分方程的解为y(t) = t*e^(-t)。
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
03 拉普拉斯变换的逆变换
定义与性质
定义
逆变换是拉普拉斯变换的逆过程，将 拉普拉斯变换后的函数还原为原函数。
性质
逆变换具有线性性、时移性、微分性、 积分性和相似性等性质，这些性质在 求解常微分方程时具有重要作用。
逆变换的求解方法
表格法
通过查表或计算公式，将拉普拉 斯变换后的函数还原为原函数。 这种方法适用于已知拉普拉斯变 换函数的简单情况。
幂级数法
通过幂级数展开，将拉普拉斯变 换后的函数展开为无穷级数，然 后逐项积分得到原函数。这种方 法适用于较为复杂的拉普拉斯变 换函数。
积分法
通过积分运算，将拉普拉斯变换 后的函数进行积分，得到原函数。 这种方法需要熟练掌握积分运算 和拉普拉斯变换的性质。
04 拉普拉斯变换法的优缺点
优点
高效性
对于一些复杂或难以直接求 解的常微分方程，拉普拉斯 变换法能够提供一种简洁、 高效的求解方法。
普适性
拉普拉斯变换法适用于各种 类型的初值问题，具有广泛 的适用性。
易于计算
拉普拉斯变换的逆变换相对 容易计算，使得求解过程相 对简单。
可处理多变量问题
通过引入偏导数，拉普拉斯 变换法可以处理多变量微分 方程，这是其他方法难以做 到的。
缺点
不易理解物理意义
拉普拉斯变换将原始的微分方程转换为复 平面上的函数，这使得初学者不易理解其
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、 微分性、积分性和复共轭性等性质， 这些性质使得求解常微分方程变得更 为简便。
拉普拉斯变换的应用
求解常微分方程
通过拉普拉斯变换，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化求 解过程。
系统分析
在控制工程和信号处理等领域，拉普拉斯变换被广泛应用于系统分析 和系统设计。
拉普拉斯变换解二阶微分方程
拉普拉斯变换解二阶微分方程记输入函数f(t) 的拉普拉斯变换为 F(s) ，而解函数 y(t) 的拉普拉斯变换为 Y(s) ，而拉普拉斯变换的定义为 F(s)=∫0∞f(t)e−stdt ，积分之后t 会消失，而表达式是s的函数。
之前讨论的“好函数”也就是能够在拉普拉斯变换中积分求得解析式的函数。
第一个例子为 f(t)=eat ，因此 F(s)=∫0∞eate−stdt=e(a−s)ta−s|0t=∞=1s−a 。
只关注s>a的情况则积分的上限为0，因此得到了指数函数的拉普拉斯变换结果。
注意，该变换的极点为s=a，此时变换相当于对 eate−at=1 进行积分，所得为无限。
下面看一下拉普拉斯变换对于微分方程的作用效果：对于微分方程 dydt−ay=0 进行拉普拉斯变换。
首先，对于 dydt 进行拉普拉斯变换：∫0∞dydte−stdt=−∫0∞y(t)(−se−stdt)+ye−st|0∞=sY(s)−y(0)对一个函数y求导数，则其拉普拉斯变换函数Y(s)将乘上一个s，如果求导两次，则相当于乘上两次s。
得到这个结果之后，可以完成对整个方程的拉普拉斯变换：sY(s)−y(0)−aY(s)=0解得 Y(s)=y(0)s−a 。
求得的是拉普拉斯变换方程的解，还要进行逆拉普拉斯变换才能得到y(t)的解析式，其中y(0)为常数，则所求为 1s−a 的逆拉普拉斯变换函数，而前文已经推导过 1s−a 是指数函数的拉普拉斯变换，因此有 y(t)=y(0)eat 。
再举一例 dydt−ay=ect 。
对每一项进行变换得 sY(s)−y(0)−aY(s)=1s−c ，解得 Y(s)=1(s−c)(s−a)+y(0)s −a 。
第二项就是上例中的结果，它实际上就是方程的“零解”，而第一项则是从外源来的，需要用部分分式来进行处理。
1(s−c)(s−a)=1(s−c)(c−a)+1(a−c)(s−a) ，而其中的 1c−a1a−c 只是常数，因此可以得到 1(s−c)(s−a)→1c−a(ect−eat) ，这就是方程的特解。
2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程
−∞ 0 ε →0
∫
∞
r ( t ) dt =
∫
ε
lim
A
dt = lim
A
ε →0
t |ε = A 0
A – ε
δ (t ) =
{
0
t
0 ∞
t≠0 t=0
ε
δ（t）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为
0
存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后 的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即
L[ f ( t )] = F ( s ) =
∫
∞
f ( t )e − st dt
0
常称F(s)为f(t) 的变换函数或象函数，而f(t)为 F(s) 的原函数。 在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和 0+之分 。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的 函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在 t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是 不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表 现，我们约定式中的积分下限为0-。 二、几种典型函数的拉氏变换 ㈠阶跃函数 阶跃函数的定义是
r (t ) =
{
0 A
t <0 t ≥0
对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加 上一个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即
1(t ) =
{
0 1
t <0 t ≥0
A 0
阶跃函数的拉氏变换为
R ( s ) = L[ r (t )] =
拉普拉斯求解微分方程
拉普拉斯求解微分方程拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用于工程和科学领域。
在微分方程的求解中，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
本文将以拉普拉斯求解微分方程为主题，介绍拉普拉斯变换的原理和应用。
一、拉普拉斯变换的原理拉普拉斯变换是一种从时域到频域的变换方法，可以将一个函数从时域转化为复数域。
对于一个函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，t是时间变量，e^(-st)是拉普拉斯变换中的核函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个函数从时域转化为频域，从而可以更方便地进行分析和求解。
二、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程拉普拉斯变换在求解微分方程时非常有用。
通过将微分方程转化为代数方程，可以简化求解过程。
例如，考虑一个线性常系数微分方程：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = f(t)其中，y是未知函数，f(t)是已知函数，a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0是常数。
我们可以对方程两边同时进行拉普拉斯变换，得到：a_n [s^n Y(s) - s^(n-1) y(0) - s^(n-2) y'(0) - ... - y^(n-1)(0)] + a_(n-1) [s^(n-1) Y(s) - s^(n-2) y(0) - ... - y^(n-2)(0)] + ... + a_1 [s Y(s) - y(0)] + a_0 Y(s) = F(s)其中，Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换，y(0), y'(0), ..., y^(n-1)(0)是y(t)在t=0时的初始条件，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
通过求解上述代数方程，可以得到Y(s)，然后再进行拉普拉斯逆变换，即可得到y(t)的解。
微分积分方程利用拉普拉斯变换
微分积分方程利用拉普拉斯变换
微分积分方程利用拉普拉斯变换是指使用拉普拉斯变换来对微分积分方程进行解决。
无论是线性或非线性都可以采用这种方法。
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数的变换，它通常用于解决常微分方程（ODE）、求解积分方程等问题。
运用拉普拉斯变换求解微分积分方程，是将微分积分方程变换为一个关于新变量的线性方程组，解决线性系统，从而求解原问题的方法。
通常，拉普拉斯变换求解微分积分方程的过程如下: 首先，将微分积分方程写成常微分方程的形式，然后将常微分方程用拉普拉斯变换变换为线性的方程组；再求解该线性方程组，最后倒换回原来的变量得到解决方案，称之为拉普拉斯变换求解微分积分方程。
拉普拉斯变换求解微分积分方程的优势在于：其过程更加简单，不需要计算复杂的积分，因此可以极大地缩短求解时间；其次，可以易于定位问题，如将微分积分方程中的隐藏模式转换为明显的模式；第三，可以实现快速迭代求解，从而有效地避免采用数值方法的结果的不精确性和可能的精度损失。
拉普拉斯变换求解微分积分方程的本质是，将原问题从时域转换到频域，以提高求解效率，这使用拉普拉斯变换求解微分积分方程成为数值计算中的一种有效技术。
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例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.
解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt
这个积分在p> a时收敛,所以有
L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p >
a) (1)
例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.
解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt)
=-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt
根据罗必达法则, 有
lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e
上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0
因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt
2 -pt +m 2
=-[a/p e p ]o =a/p (p >
(2)
0)
例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt
2 2 -pt +m
=[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 0
2
2 2
=3 /(P +3 ) (p > 0）
⑶
用同样的方法可求得
2 2
L[cos 3t]=p/(p
+3 ) (p >
0)
二拉普拉斯变换的基本性质
三拉普拉斯变换的逆变换
四 拉普拉斯变换的应用
2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程
拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。
这样就使方程求解问题大为简化。
拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。
有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。
应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。
用古典方法求解微分方程全解时需要利 用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。
而应用拉氏变换就可省去这一步。
因为初 始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。
而且，如果所有初始条件都为零，那么求
取微分方程的拉氏变换式就更为方便， 只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 —,s 2
代替
dt
dt
应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下:
d 2 …就可得到。
(1)
对线性微分方程中每一
项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量 s 的代数方程(称为 变换
方程)
(2) 求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。
(3)
将输出的象函数表达式展开成部分分式(部分分式展开法参见附录二)。
(4) 对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表)，即得微分方程的全解。
举例说明
【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关 K 闭合之前，电容 C 上有初始电压
UJO)。
试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压
U c (网络输出)。
解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压 u c (t) U 0 • 1(t)输入。
故网络微分方程
为
U r Ri U c u c 1 idt c C
消去中间变量i ，得网络微分方程为
du c RC - u c
u r (t)
(2-44)
dt c
对上式进行拉氏变换，得变换方程
RCsU c (s) RCu c (O) U c (s) U r (s)
可见等式右边由两部分组成，一部分由输入所决定，另一部分由初始值决定。
将输出的象函数U c (s)展成部分分式:
等式两边进行拉氏反变换，得
此式表示了 RC 网络在开关闭合后输出电压 u c (t)的变化过程。
比较方程(2-45 )和(2-46)可见，方程右端第一项取决于外加的输入作用
u 0 • 1(t)，表
将输入阶跃电压的拉氏变换式 U r (s)
代入上式, s
并整理得电容端电压的拉氏变换式
U -(s)
U O
s(RCs 1)
RC (RCs 1)
u -(0)
1 U -(s)
-U O
s
RC RCs 1
U O
R CH U
-
(O
)
1 U -(s) U O
s
1 1 RC
U O
*(°) RC
(2-45 )
u -(t)
U
丄t
U °e
RC
1 t
U c (0)e RC
(2-46 )
示了网络输出响应U c(t)的稳态分量，也称强迫解；第二项表示U c(t)的瞬态分量，该分量随时
间变化的规律取决于系统结构参量R、C所决定的特征方程式(即RCs 显然，由于其特征根为负实数，则瞬态分量将随着时间的增长而衰减至零。
1 1 0)的根—。
RC 第三项为与初始值有
关的瞬态分量，其随时间变化的规律同样取决于特征根，当初始值u c(0)0时，则第三项为零, 于是就有
i
t
U c(t) U o U o e RC(2-47) RC网络的阶跃响应u c(t)及其各组成部分的曲线如图2-25所示。