第十三章 积分变换法求解定解问题
数学物理方程练习题第七版(学生用)
= u(0, t) 0= , ux (2,t) 1,
u(x= ,0)
cos π x + x3 − 3x2 − x.
2
3．求定解问题的解：
u
x= x + u yy
sinπ x,
0 < x < 1, 0 < y < 1,
= u(0, y) 1,= u(1, y) 2,
u(x,0) =1+ x,
7
u
rr
+
1 u
r
r
+
1 r2
uθθ
= 0,
u= (1,θ ) A cosθ (−π < θ ≤ π ).
4. 设 A, B 为常数，用试探法求如下定解问题的解：
u rr
1 +rur
+
1 r2
u
θθ
=
0,
r < a,
u r= =a A cosθ + B sinθ (−π < θ ≤ π ).
练习十五
练习六
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
3
2．求解如下定解问题：
= u tt
a2u
xx
+
t
sin
π l
x
,
u= (0,t) u= (l,t) 0, t ≥ 0,
X= ′(0)
X= (l)
0.
3. 求如下定解问题的解：
= ut uxx , 0 < x < 2, t > 0, ux= (0, t) u= (2, t) 0,
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
积分变换课后答案
1-1之袁州冬雪创作1．试证：若()f t 知足Fourier 积分定理中的条件，则有 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：操纵Fourier 积分的复数形式，有由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3)()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为持续的偶函数，其Fourier变换为12233sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f(t)的Fourier 积分为2)所给函数为持续函数，其Fourier 变换为()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数） f (t)的Fourier 变换为 这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1且f(-t)= -f(t)是奇函数，其Fourier 变换为12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数） f(t)的Fourier 积分为其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f(t)应以()()00002f t f t ++-代替）.3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分成果： 1）()e (0),t f t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为持续的偶函数，其Fourier 变换为再由Fourier 变换得 即2）函数()e cos t f t t -=为持续的偶函数，其Fourier 变换为 再由Fourier 变换公式得 即 242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为 故()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πtf t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则 （令u ω-=）()j 1e d 2πutF u u -∞=+∞⎰（换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πt F f t ωωω+∞=-=--∞⎰所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则（令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰（换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证 解：由Fourier 正弦变换公式，有 由Fourier 正弦逆变换公式，有 由此，当0t α=>时，可得5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为 所以反之，若已知()()F F ωω-=，则有此即标明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有亦即标明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为 所以反之，若已知()()F F ωω-=-，则有此即标明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i i F f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰，亦即标明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为持续的偶函数，由公式有但由于当0a >时 当0a <时当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换. 解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 ：cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F,由即得()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于故()()()()()πjδ5δ55δ52f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F. 14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F，其中()t ϕ为一实数，则其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j e e d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()()()()j j j j 1e e ed cose d cos 22t t tt F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另外一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解 ：02π,T ω=()1,00,ht t T f t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：分析：根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有 6．若()[()]F f t ω= F，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F分析：根据Fourier 变换的定义，再停止变量代换即可证明.证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰Fj e d（令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j e d （换u 为t ）()()t f t t ω+∞---∞=⎰j e d9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，操纵对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞=⎰Fj e d 11t t ω--=⎰j e d由对称性质：()[()]f t F ω= F，则()[()]2,F t f ω=-F π有12．操纵能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π，求下列积分的值：1）21cos xx x +∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ；3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x xx +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2x t =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d3）()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π，其中 从而4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d 1－41.证明下列各式：2）()1f t ()()()()()23123f tf t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212ddd;d d d f t f t f tf t f t f t t t t⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2)()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰6）()()()()1212dd d d d f t f t f f t t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰, ()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10)()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .注意：不克不及随意调换()1f t 和()2f t 的位置. 解：由()()1e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩，所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须知足 00t ττ>⎧⎨->⎩, 即0tττ>⎧⎨<⎩, 因此 （分部积分法）()2e sin cos e 10ttατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦FF ，证明:证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F,又 ()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-.由位移性质有()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的定义，有5）操纵位移性质及()u t 的Fourier 变换，有再由象函数的位移性质，有7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.解 由定义知9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e 0,0ttt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,当0τ>时，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以 当0τ<时，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以因此，()1e 2R αττα-=，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步调：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程；2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）. 解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F对方程双方取Fourier 变换，得即 其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩4．求解下列积分方程： 1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d 2）()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe.解：1）操纵卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与221t a +的卷积，即()221y t t a +.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程双方取Fourier 变换，有即 易知：22cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ，有即所以()()22b b a a a b Y baωωωω----==πee πe 由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ，()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F对方程双方取Fourier 变换，同理可得操纵钟形脉冲函数的Fourier变换224e et A ωββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的定义可求得：222e t βββω-⎡⎤=⎣⎦+F ，从而即 从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F ， 其中，记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F，则()22t f t -=，上式中第二项可操纵微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e，则因此()22222t t y t --=-π22221t t -⎫=-⎪⎭e .()x t ：其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程双方取Fourier 变换，可得 即 从而2－11．求下列函数的Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证成果.1)()sin 2t f t =.分析：用Laplace 变换的定义解题.解： j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L ()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>. 2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e e e t t st s t t t s s >-22220012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s s s s+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =. 解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =. 解 ：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换： 1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()∣∣∣j j j 000011cos e e d 12j 2j j j e e ees t j s tttststt t t s s--++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰()222111111Re()2j j j 11s s s s s s⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－21．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132mm m t s ss s s t t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L . 2)()1e t f t t =-. 解 ：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: 6) ()5sin23cos2f t t t =- 解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 8)()4e cos4t f t t -=.解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L，证明（象函数的微分性质）:特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ，并操纵此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=，求()F s . 解：()()()322sin 224e t t s s ωωω-===++22+3+3L ,2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰，求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t t t t t t ss s --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L , 3)()1ln 1s F s s +=-，求()f t .解:()1ln ,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L故 ()()-12sinh tF s f t t⎡⎤==⎣⎦L . 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L，证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 并操纵此结论计算下列各式：1)()sin kt f t t=，求()F s .解: ()2222sin kkkt s s kωωω===++L , 2)()3e sin 2t t f t t-=，求()F s .解:()()322esin 234tt s -=++L,2－31．设()()12,f t f t 均知足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦LL ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且 其中(),Re .c s c ββ>>+证明： 已知()()12,f t f t 均知足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也知足Laplace 变换存在定理的条件且标明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换在半平面()Re 2s c>上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上相对且一致收敛，而且在()Re 2s c >的半平面内，()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为 从而（交换积分次序）()()()1j 0j 2e 12πjd d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另外一种方法加以验证.1）()221F s s a =+.2）()()()sF s s a s b =--.3）()()()2s cF s s a s b +=++. 10）()()()2214sF s ss =++.解： 1）12211sin at s a a-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L . 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭,3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+,故10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－，有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s-+=.解 ： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点， 所以6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-,()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）m t n t （,m n 为正整数）. 解：mt()()()0d 1C d nttnknm mk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出m t n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠.解 ：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+.7) t sinh t解 ：t sinh sinh t t =t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a -()()0f t a ≥ .解：()u t a -()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10)()δt a -()()0f t a ≥. 解： 当t a <,()δt a -()0f t =. 当t a ≥,()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，操纵卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明：()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL L ， ()()()()()()000d d d t t tf t u t u f t f t f t t τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L L L L 3.操纵卷积定理，证明:()2221sin 2s a at a s t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦L. 证明 ：()()22222221ss F s s a s as a ==⋅+++,由 有2-51.求下列常系数微分方程的解： 1）()2e ,00t y y y '-==；8）()()()331,0000y y y y y y y '''''''''+++====； 12）()()()()()420,0000,01y y y y y y y ''''''''++=====；16）()π10sin 2,00,12y y t y y ⎛⎫''+=== ⎪⎝⎭.分析：解题步调，首先取Laplace 变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace 逆变换得最后的解.解：1）方程双方取Laplace 变换，并连系初始条件可得 即()()()1112121Y s s s s s ==-----. 从而方程的解为8）对方程双方取Laplace 变换，并连系初始条件，有即由留数计算法，由于10s =是()Y s 的一个一级极点，21s =-是()Y s 的一个三级极点，从而方程的解为2111e 2t t t -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.12）对方程双方取Laplace 变换，并连系初始条件，有 即从而方程的解为()()11cos sin sin 2y t Y s t t t t -⎡⎤==*=⎣⎦L. 16）对方程双方取Laplace 变换，并连系初始条件，有即()()()()222020114y Y s s s s '=++++()222020113141y s s s '⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭，从而 ()()()12010sin sin 20sin 33y t Y s t t y t -'⎡⎤==-+⎣⎦L.为了确定()0y '，将条件π12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式可得()1703y '=-，所以方程的解为2.求下列变系数微分方程的解： 1）()()40,03,00ty y ty y y ''''++===； 3）()()()2120,02ty t y t y y '''+-+-==； 5）()()()()10,000,0ty n y y y y n ''''+-+===≥. 解: 1）方程双方取Laplace 变换，有即[][][]40ty y ty '''++=L L L ，亦即 从而()()2d 40d Y s sY s s++=双方积分可得()211ln ln 42Y s c ++=或()Y s =取其逆变换，有欲求c ，可由条件()03y =得到，即()()0003y cJ c ===，所以方程的解为其中()()()2001!12kkk x J x k k ∞=-⎛⎫= ⎪Γ+⎝⎭∑称为零阶第一类Bessel 函数. 3）方程双方取Laplace 变换，有整理化简后可得 即这是一阶线性非齐次微分方程，这里 所以从而方程的解为()()132e e 3!tt c y t Y s t ---⎡⎤==+⎣⎦L()312e t c t -=+（1c 为任意常数） 5）方程双方取Laplace 变换，有即整理化简后可得 双方积分可得 即从而方程的解为()(2n n y t ct J =（c 为任意常数）其中n J 称为n 阶第一类Bessel 函数.3.求下列积分方程的解： 1）()()()0sin d ty t at t y τττ=+-⎰； 3）()()0d 16sin4ty y t t τττ-=⎰； 5）()()20d e tt y y t t τττ--=⎰. 解:1）显然，原方程可写为双方取Laplace 变换，并操纵卷积定理，有 所以从而方程的解为3）原方程可写为双方取Laplace 变换，并操纵卷积定理，有 即取其Laplace 逆变换，有()()()1084y t Y s J t -⎡⎤==±⎣⎦L，即标明()()084y t J t =及()()084y t J t =-均为所求.这里，0J 为零阶第一类Bessel 函数.5）原方程可写为双方取Laplace 变换，并操纵卷积定理，有 所以从而方程的解为()()12t t y t Y s ---⎛⎫⎡⎤==±=± ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭L，即()t y t -=及()t y t -=-均为所求. 4.求下列微分积分方程的解： 1）()()()()0cos d ,01ty t y t y τττ'-==⎰；3）()()()()()022d ,02ty t y t y u t b y ττ'++=-=-⎰； 5）()()()()30144d ,003ty t y t y t y ττ'-+==⎰；解:1）原方程可写为 双方取Laplace 变换，得 即从而方程的解为3）操纵微分性质与积分性质，对方程双方取Laplace 变换，有 即操纵延迟性质，方程的解为5）操纵微分性质与积分性质，对方程双方取Laplace 变换，有 即方程的解为5．求下列微分、积分方程组的解：1）e,322ettx x y y x y '⎧+-=⎪⎨'+-=⎪⎩()()001x y ==； 4）()()()()()()0,01,0,000;0,000x x y z x x y y z y z x x y z z y z ''⎧-++==⎪'''+-+===⎨⎪''''++-===⎩8）()02d 0,4et tx x y x x y ττ-⎧'''++=⎪⎨⎪'''-+=⎩⎰()()00,0 1.x x '==- 解：1）对方程组的两个方程双方分别取Laplace 变换，有 即解之可得取其逆变换，可得方程组的解为4）对方程组的三个方程双方分别取Laplace 变换，有解之可得（注意：后两个方程标明()()Y s Z s =且()()2X s s Y s =-） 取其逆变换，可得解为8）对方程组的两个方程双方分别取Laplace 变换，有即消去()Y s ，可得即将()X s 的成果代入得 化简得取其逆变换，可得方程组的解为7．设在原点处质量为m 的一质点在0t =时在x 方向上受到冲击力()k t δ的作用，其中k 为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.解:由题意知，在t 时刻质点m 处于x 轴正向的点()x t 处，其运动速度为()x t '，而加速度为()x t ''，且有初始条件()()000x x '==.根据Newton 定律，该质点的运动规律归结为下述微分方程的初值问题：方程双方取Laplace 变换，且记()()x t X s ⎡⎤=⎣⎦L ，则即()2kX s ms =，从而方程的解（即质点的运动规律）为11．某系统的激励()sin x t t=，当系统响应()e cos sin t y t t t -=-+时，求1）系统的传递函数()G s ； 2）系统的脉冲响应函数()g t ； 3）系统的频率响应函数()j G ω. 解:1）由传递函数的定义知2)由脉冲响应函数的定义知3)当系统的传递函数()G s 中s 取j ω时，则得到系统的频率响应函数，即。
一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程一偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； 4、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类(状态描述、变化规律)1、来源 I .质点力学：牛顿第二定律F =mr 连续体力学 II.麦克斯韦方程弹性体力学<(弹性定律)'弦 杆振动：出血力— a 2V 2 u (r , t ) = 0 (波动方程); 膜 0t 2 流体力学：质量守恒律:皿不V ・(p y ) = 0£ d t热力学物态方程：过+ (y -V )y ="p + f = 0 (Euler eq.).d t p JJ D .d c=fffp d i nV- D = p ; J E -d l =JJB -d s nVx E = B ;力B - d c= 0 nV- B = 0; J H - d l DjJ(j + D ) - d s nVx H = j + D . E = -V u , B = Vx A ,u ,A 满足波动方程。
、Lorenz 力公式n 力学方程;制axwell eqsT 电导定律n 电报方程。
IIL 热力学统计物理 热传导方程:以一 k V 2T = 0；特别：稳态(生= 0): V 23 = 0 (Laplace equation). < 八 01 扩散方程:0P - D V 2 p = 0. 、 01 IV.量子力学的薛定谔方程： i 方迦=—疟 V 2 u + Vu .0 01 2 m二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”--- “无理取闹”（物理趣乐）。
数学物理方法(傅里叶变换法)
utt u |t
0
a2u
xx 0( x
(x),ut |t (x)
)
解： 应用傅里叶变换，即用 eikx / 2 同乘方程和定解条件
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
2
定解问题变换成：U k 2a2U 0
U |t0 (x),U |t0 (x)
初始扰动只限于区域T0,如图,取一定点r,与T0
最小距离为d,最大距离为D,当t<d/a,
S
r at
跟
T0不相交,按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋
T0 d
Dr
没有到达r,当d/a<t<D/a,
S
r at
跟T0
相交,
u(r, t )
0
扰动到达r,当t>D/a,
S
r at
包围了T0,但跟T0不相交,u(r,t)=0,表明
N0 x/ 2a t ez2 dz
x/2a t
被积函数是偶函数,故
w(x,t) N0
2
x/ 2a t ez2 dz
0
误差函数
记做erfx,则w可写为:
x
w(x,t) N0erf ( 2a
) t
所求的解如下:
11
u( x, t )
N0
w(x,t)
N0 1 erf
dt
对t积分一次，并考虑零初始值可得：
U (t; k) ek2a2t t F ( ; k)ek2a2 d 0 t f ( , )eik ek e 2a2t k2a2 dd 0
进行傅里叶逆变换
积分变换法求解定解问题
1
F ()eixd
2
为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)=F-1[F(ω)]；称
函数f(x)为F(ω)的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换
(或像原函数)。
傅里叶变换与傅里叶逆变换是互逆变换，即
F1F() F1 F f (x) F1F f (x) f (x)
定义 13.1.3 多维傅里叶变换 n维情况下函数 f(x1, x2,…,xn)傅氏变换为
F1 F1() F2 () f1( x) * f2( x)
证明：
F f1(x) * f2(x)
f1( x) * f2 ( x) eixdx
f1( )
f2(x
)eixd dx
f1( )
f2 (u)ei(u )dud
x u
dx du
f1( )ei )
f2 (u)eiudud
n
12
dn
注：傅氏变换和其逆变换积分前的系数虽然各书 的写法各不相同，但只要这两个系数的乘积等于 1/2π，傅氏变换和其逆变换则均可满足。
三、δ 函数
定义 13.1.5 如果一个函数满足下列条件，则 称之为δ 函数，并记为δ(x)：
(
x)
0
x0 x0
(x)dx 1
等价定义（函数序列的极限）：
f (ax)e a
1 d(ax)
a
1
f
iu
(u)e a du
1
iu
f (u)e a du
a
a
1 F() 1 F()
aa a a
u ax dx du
卷积定义 知函数f1(x)和f2(x)，则它们的卷积定 义为：
f1(x) * f2(x) f1( ) f2(x )d
数学物理方法3-4积分变换法
§3.4.1
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
直线上的初值问题
例3.4.1求解热传导 问题
dU(, t) 2 2 a U(, t), t 0 解：利用傅立 dt 叶变换的性质 U(, 0) (), t a22 a22t C () U(, t) e C F(, ) e d
思考 利用积分变换方法求解问题的好处是什么？
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
傅立叶变换的定义
U ( , t ) u ( x, t )e
j x
1 dx , u ( x , t ) 2
U ( , t )e j x d
傅立叶变换的性质 微分性 位移性 f ( n ) (x) ( j ) n F ( )
e
d d
1 2a
t
( )e
2 x
4 a 2t
d
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
§3.4.2
半无界直线上的问题
半无界区域上的热传导（扩散）问题 2 u 2 u 0 x , t 0 t a x 2 0, 例3.4.4 求解 t 0 u (0, t ) u0 , u ( x, 0) 0, 0 x 做代换 u ( x, t ) v( x, t ) u0 转化为直线上热传导方程 2 v v 2 对称延拓法（奇延拓） a , 0 x , t 0 2 x t x0 u0 , v(0, t ) 0, t0 ( x) u0 , x0 v( x, 0) u0 , 0 x 考虑与无界区域上 波传播问题的差别
第三节+积分变换在解定解问题中的应用
u~( , t )
~( )ea2w2t
t
0
~f ( , )ea2 2 (t )d
再对 u~(,t) 进行傅氏逆变换
u(x,t) F
1[~( )ea2 2t ] F
[1 t ~f ( , )ea2 2 (t )d ] 0
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( )e 1
ea )
求u (x, s)的逆变换，利用延迟性质
L
[e 1 s
F
(s)]
f (t 0,
),
t t
(为非负实数)
有
u(x,
t
)
f0
2 f
t 0t
2 2
.
(t
x a
)
2
,
tx a
tx
2
a
第三节 积分变换在解定解问题中的应用
No. 18
dt
dt
ea2 2t (du~ a2 2u~) ea2 2t ~f (,t)
dt
第三节 积分变换在解定解问题中的应用
No. 6
数学物理方程
第五章 积分变换法
两边积分（从0—t），得
ea2 2tu~( , t)
u~( ,0)
t
0
e a 2 2
~f (,
)d
于是
[u(
x,
t
)]
u(
x,
t
)e
i
x
dx
第三节 积分变换在解定解问题中的应用
No. 12
数学物理方程
第五章 积分变换法
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(13.2.1)
【解】 先对时间t作拉氏变换
26
由此原定解问题中的泛定方程变为
再实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式以及卷积定理27 Nhomakorabea方程的解为
得原定解问题的解为 再作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，
28
第十三章 积分变换法
在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求
解常微分方程．经过变换，常微分方程变成了代数方
程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分 方程的解． 积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种 有效的求解方法．
1
对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积 分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程， 这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏 微分方程的解． 积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差 分方程等）中亦具有广泛的用途．尤其当泛定方程及边界 条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有 些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统 的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进 行易于求解．利用积分变换，有时还能得到有限形式的解， 而这往往是用分离变量法不能得到的．
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常微分方程的初值问题的解是
再进行逆傅里叶变换，
交换积分次序
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引用积分公式
且令
以便利用积分公式，即得到
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例13.1.4 求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题
【解】
利用
对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题
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上述问题的解为
为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即
若 则
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下面的讨论我们假设待求解的函数u及其一阶导数是有限的 .
13.1.1 弦振动问题
例13.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题
（假定：函数u及其一阶导数是有限的，以后不再特别 指出．这一定解问题在行波法中已经介绍.
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【解】
应用傅里叶变换，即用 遍乘定解问题中的各式，
并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅 里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：
求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题
【解】 根据与例13.1.1 相同的方法，作傅氏变换
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我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方 程的问题
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上述问题的解为
利用傅氏变换的性质有
故得到
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代入得到
即得
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13.1.2 热传导问题
例13.1.3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
【解】 作傅氏变换， 定解问题变换为
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根据傅氏变换定义，
的傅氏逆变换为
再利用卷积公式
最后得到原定解问题的解为
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13.2
拉普拉斯变换解数学物理定解问题
由于要作傅氏变换的函数必须定义在
上，故当我们讨论半无界问题时，就不能对变
量x作傅氏变换了．
因此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法
求解定解问题．
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13.2.1 无界区域的问题
例15.2.1 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
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特别是对于无界或半无界的定界问题，用 积分变换来求解，最合适不过了．（注明：无界或 半无界的定界问题也可以用行波法求解） 用积分变换求解定解问题的步骤为： 第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选
择适当的积分变换；
对于自变量在
内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量）常采用傅氏变换，
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自变量在 常采用拉氏变换．
内变化的定解问题（如时间变量）
第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏
微分方程化为一个含参量的常微分方程； 第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定 解条件； 第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．
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13.1 傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得 到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征 值求和的傅里叶级数． 对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时， 所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对 连续本征值求积分的傅里叶积分． 因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是
一种很适用的求解方法．
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而积分
即为
最后得到定解问题的解为
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13.1.3 稳定场问题
我们先给出求半平面内 拉普拉斯方程的第一
系统解法 边值问题的傅氏变换
例 13.1.5 定解问题
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【解】 对于变量
作傅氏变换，有
定解问题变换为常微分方程
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因为
可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
因为
，故得到
常微分方程的解为 设
简化表示为
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对其它函数也作傅氏变换，即为
于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
上述常微分方程的通解为
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代入初始条件可以定出
这样
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最后，上式乘以
并作逆傅氏变换．应用延迟定
理和积分定理得到
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.
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例13.1.2
为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，
我们特举一强迫弦振动问题：