积分变换法ppt
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积分变换二章12节-PPT精选文档
变换或者不存在，或者为非常义下的广义函 数给应用带来很大的不方便。
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也 是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其 中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b
j
则 得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是 一 个 复 参 量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也 是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其 中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b
j
则 得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是 一 个 复 参 量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出
积分变换与微分方程PPT课件
In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}]
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
数学物理方法课件-5 积分变换
生成的积分变换
F () sin xf (x)dx
与
F () cosxf (x)dx
分别称为正弦型和余弦型的傅立叶变换.
汉克变换 梅林变换 希尔伯特变换
§5.2 傅立叶积分与变换
1. 实数形式的傅立叶积分与变换
g(x)以2l为周期，则在[l, l]上
(2)
证明:
设f
(t)与f
(t)的公共增长指数为
，则
0
Re
p
时，
0
lim e pt f (t) 0
t
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例：已知
1 e ptdt 1 (Re p 0),
0
p
e p0t
e e p0t pt dt 1
b
a K (s, ) f ( )d
定义了一个从" f ( )到F (s)"的变换，即
F (s)＝
b
K(s, )
f
( )d
a
这种经过积分的方法，把一个函数变为另一个函 数的运算，称为积分变换.
注：I [a,b] E{(s, )
}，a,b可分别是 和 .
sI ,[a,b]
其中
ak
1
kl
l
l f ( ) coskd
,
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
k
2, k 0 1, k 0
考虑l 时的极限，若lim l f ( )d有限，则 l l
lim
F () sin xf (x)dx
与
F () cosxf (x)dx
分别称为正弦型和余弦型的傅立叶变换.
汉克变换 梅林变换 希尔伯特变换
§5.2 傅立叶积分与变换
1. 实数形式的傅立叶积分与变换
g(x)以2l为周期，则在[l, l]上
(2)
证明:
设f
(t)与f
(t)的公共增长指数为
，则
0
Re
p
时，
0
lim e pt f (t) 0
t
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例：已知
1 e ptdt 1 (Re p 0),
0
p
e p0t
e e p0t pt dt 1
b
a K (s, ) f ( )d
定义了一个从" f ( )到F (s)"的变换，即
F (s)＝
b
K(s, )
f
( )d
a
这种经过积分的方法，把一个函数变为另一个函 数的运算，称为积分变换.
注：I [a,b] E{(s, )
}，a,b可分别是 和 .
sI ,[a,b]
其中
ak
1
kl
l
l f ( ) coskd
,
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
k
2, k 0 1, k 0
考虑l 时的极限，若lim l f ( )d有限，则 l l
lim
积分变换.ppt
L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)
1 t
L
1
1[
s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt
F (s)ds
t
0t
s
26
或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
数理方程：第9讲积分变换法
L1 F p
L1
e
px a
f
t
L1
e
px a
查表得
L1
1
e
px a
p
2
x
e y2 dy g(t)
2a t
易证 而
g0 0
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p x
a
g
0
p
p x
e a
于是
L1[
p
1
e
p a
x
]
g
't
p
d dt
2
x
e
y2
dy
2
e
x2 4a2t
3
2a t
2a t 2
所以
u x,t f t g 't
x
t
f ( )
1
e d
4
x2 a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
例 设 x 1, y 0, 求解下面定解问题
2u x2 y xy u | y0 x 2 u | x1 cos y
解 对 y进行拉普拉斯变换, ux, y Ux, p
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
积分变换 PPT
z → z0
lim f ( z ) = ∞ .
z = 0 是二级极点 z = −2 是一级极点 是二级极点, 是一级极点.
10
2)极点的判定方法 极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z − z 0 的负幂项为有 限项 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) = ( z − z0 ) m
的邻域内解析, 其中 g (z ) 在 z0 的邻域内解析 且 g ( z0 ) ≠ 0.
lim (3) 利用极限 z z f ( z ) = ∞ 判断 . →
0
11
课堂练习
1 求 3 级数. 的奇点, 如果是极点, 的奇点 如果是极点 指出它的 级数 2 z − z − z+1
答案
1 1 , 由于 3 = 2 2 z − z − z + 1 ( z + 1)( z − 1)
lim (2) 判断极限 z→ z f ( z ) : 若极限存在且为有限值 若极限存在且为有限值, →
→
0
则 z0 为 f (z ) 的可去奇点 的可去奇点.
6
例3
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 − z + z − L 中不含负幂项 z 3! 5!
sin z z=0是 的可去奇点 . z
9
说明: 说明 (1)
g ( z ) = c− m + c− m +1 ( z − z0 ) + c− m + 2 ( z − z0 ) 2 + L
特点: 特点
1. 在 z − z 0 < δ 内是解析函数 2. g ( z0 ) ≠ 0
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1.积分变换
通过积分运算，把一个函数 f (x) 变换为另一个函数
F(a)，即F(a) f (x)K(a, x)dx
K(a, x)：积分变换的核，决定了变换的具体形式
f (x)：原函数，F(a)：像函数 几种积分变换：
傅里叶变换 拉普拉斯变换 梅林变换
f
(k)
1
(2 )1/2
f
( x)eikx dx
l l
f
( )eikn d ]eiknxkn
数学物理方法
Lim Lim 1
f (x)
[
2 kn 0 n
l l
f
( )eikn d ]eiknxkn
1
2
kn 0
[
n
l l
f ( )eikn d ]eiknxkn
（定积分定义） 1
[
f ( )eik d ]eikxdk
2
三维形式的傅里叶积分：
2 n1 2
2i
a0 ( an ibn eiknx an ibn eiknx )
2 n1
2
2
cn eikn x
n
数学物理方法
为了求系数
cn
需证明：
1 2l
e d l i(kn km )
l
nm
当n m时， 1 l ei0 d 1
2l l
当n m时， 1 l e d i (nm)/l 1
f ( p) f (t)e ptdx
0
F (a) f (t)xa1dx
0
数学物理方法
2.为什么进行积分变换？
（1）经过变换后，函数关系变得简单。 如：常微分方程 代数方程；
奇异函数（阶跃函数、 函数、格林函数等）规则函数
（2）对于有限边界的定解问题，分离变量法适宜；对于无界 问题，积分变换法适宜。
设想周期函数的周期2l 不断增大而趋于无穷，即自变量
每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有限值，函
数并不重复变化，即它已经转化为非周期函数。此时可以把
符合一定条件的非周期函数展开成傅里叶积分。可以证明： 如果定义在 (, ) 的函数在任一有限区间上满足狄利克雷
条件，且绝对可积( f (x) dx有界）。则在 f (x)的连续点处，傅
1 2l
l
l
f
l
( )eikn
1 kn
l
d
代入到 f (x) cneiknx 中得
n
Lim Lim f (x)
[ 1 l f ( )eikn d ]eiknx
[ 1 kn l f ( )eikn d ]eiknx
2l l n
l
2 kn 0 n
l
Lim 1
[
2 kn 0 n
里叶积分存在：
f (x) 1
2
f ( )eik d eikxdk
若 f (x)的第一类间断点处，积分等于 1 [ f (x 0) f (x 0)] 2
——傅里叶积分定理
数学物理方法
从傅里叶级数到傅里顺积分的过渡：
由于l ，所以相邻两kn值之差为
kn
kn1 kn
l
0
将
cn kn
一个以2l 为周期的函数 f (x)，若在区间[l,l]满足狄利克
雷条件：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有
限个极值点，则 f (x)在[l,l]上可展开为傅里叶级数
利用三角函数f (的x)正交a20关系n1，(a可nco得s nl
x
bnsin
n
l
x
)
an
1l l l
f
( )cos
关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题），但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤）。
数学物理方法
3.积分变换法求解数理方程的基本思想
n d
l
bn
1l l l
f
( )sin
n d
l
(n 0,1, 2, )
(n 1, 2, )
数学物理方法
傅里叶级数的复数形式（指数形式）：
令kn
n
l
，则
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos kn x
bn
sin
kn x)
a0 [ an (eiknx eiknx ) bn (eiknx eiknx )]
f
( x1 ,
x2
,
x3 )
1 (2
)3
[ f ( , , )e d ]e dk dk dk
i(k11k22 k33 )
i(k1x1k2x2 k3x3 )
12 3
123
123
采用记号：（书写方便）
3
x xiei i1
3
iei i1
3
k kiei i1
d 3 d1d2d3
cn
n
1 2l
e dx l i(kn km ) x
l
1 2l
l f (x)eikmxdx
l
cnnm cm
n
cn
1 2l
l f ( )eikn d
l
二、傅里叶积分和傅里叶积分定理
已知：满足狄利克雷条件的周期性函数 f (x)可展开成傅 里叶级数。
问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
数学物理方法
如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找到适
当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数的定解
问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函数，从而
得到所要求的解。从物理上讲，经过积分变换后，域发生
了变化。 例：
e it
时间域t 频率域
e ikx
空间域 波矢域
数学物理方法
第一节 傅里叶变换
一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
d 3k dk1dk2dk3 k k11 k22 k33
f
(x)
1
(2
)3
[
f ( )eik d 3 ]eikxd 3k
数学物理方法
f (x) 1
2
f
(
)eik
d
eikxdk
傅里叶积分的三角形式：
f (x) 1
dk
d f ( )eik (x )
2
1
d f ( ) dk[cos k(x ) i sin k(x )]
2
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦项是 k
的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f (x) 1
dk
f ( ) cos[k(x )]d
0
1
dk{[
f ( ) cos k( )d ]cos(kx) [ 1
l
l d[ei (nm)/l ]
2l l
2l i (n m) l
1
ei (nm)/l
i2l(n m)
l l
0
1
2l
e d l i(kn km )
l
nm
数学物理方法
对 f (x) cneiknx 两边同乘以eikmx，再对 x从l到l积分得
n
1
2l
l l
f
( x)eikm x dx
通过积分运算，把一个函数 f (x) 变换为另一个函数
F(a)，即F(a) f (x)K(a, x)dx
K(a, x)：积分变换的核，决定了变换的具体形式
f (x)：原函数，F(a)：像函数 几种积分变换：
傅里叶变换 拉普拉斯变换 梅林变换
f
(k)
1
(2 )1/2
f
( x)eikx dx
l l
f
( )eikn d ]eiknxkn
数学物理方法
Lim Lim 1
f (x)
[
2 kn 0 n
l l
f
( )eikn d ]eiknxkn
1
2
kn 0
[
n
l l
f ( )eikn d ]eiknxkn
（定积分定义） 1
[
f ( )eik d ]eikxdk
2
三维形式的傅里叶积分：
2 n1 2
2i
a0 ( an ibn eiknx an ibn eiknx )
2 n1
2
2
cn eikn x
n
数学物理方法
为了求系数
cn
需证明：
1 2l
e d l i(kn km )
l
nm
当n m时， 1 l ei0 d 1
2l l
当n m时， 1 l e d i (nm)/l 1
f ( p) f (t)e ptdx
0
F (a) f (t)xa1dx
0
数学物理方法
2.为什么进行积分变换？
（1）经过变换后，函数关系变得简单。 如：常微分方程 代数方程；
奇异函数（阶跃函数、 函数、格林函数等）规则函数
（2）对于有限边界的定解问题，分离变量法适宜；对于无界 问题，积分变换法适宜。
设想周期函数的周期2l 不断增大而趋于无穷，即自变量
每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有限值，函
数并不重复变化，即它已经转化为非周期函数。此时可以把
符合一定条件的非周期函数展开成傅里叶积分。可以证明： 如果定义在 (, ) 的函数在任一有限区间上满足狄利克雷
条件，且绝对可积( f (x) dx有界）。则在 f (x)的连续点处，傅
1 2l
l
l
f
l
( )eikn
1 kn
l
d
代入到 f (x) cneiknx 中得
n
Lim Lim f (x)
[ 1 l f ( )eikn d ]eiknx
[ 1 kn l f ( )eikn d ]eiknx
2l l n
l
2 kn 0 n
l
Lim 1
[
2 kn 0 n
里叶积分存在：
f (x) 1
2
f ( )eik d eikxdk
若 f (x)的第一类间断点处，积分等于 1 [ f (x 0) f (x 0)] 2
——傅里叶积分定理
数学物理方法
从傅里叶级数到傅里顺积分的过渡：
由于l ，所以相邻两kn值之差为
kn
kn1 kn
l
0
将
cn kn
一个以2l 为周期的函数 f (x)，若在区间[l,l]满足狄利克
雷条件：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有
限个极值点，则 f (x)在[l,l]上可展开为傅里叶级数
利用三角函数f (的x)正交a20关系n1，(a可nco得s nl
x
bnsin
n
l
x
)
an
1l l l
f
( )cos
关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题），但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤）。
数学物理方法
3.积分变换法求解数理方程的基本思想
n d
l
bn
1l l l
f
( )sin
n d
l
(n 0,1, 2, )
(n 1, 2, )
数学物理方法
傅里叶级数的复数形式（指数形式）：
令kn
n
l
，则
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos kn x
bn
sin
kn x)
a0 [ an (eiknx eiknx ) bn (eiknx eiknx )]
f
( x1 ,
x2
,
x3 )
1 (2
)3
[ f ( , , )e d ]e dk dk dk
i(k11k22 k33 )
i(k1x1k2x2 k3x3 )
12 3
123
123
采用记号：（书写方便）
3
x xiei i1
3
iei i1
3
k kiei i1
d 3 d1d2d3
cn
n
1 2l
e dx l i(kn km ) x
l
1 2l
l f (x)eikmxdx
l
cnnm cm
n
cn
1 2l
l f ( )eikn d
l
二、傅里叶积分和傅里叶积分定理
已知：满足狄利克雷条件的周期性函数 f (x)可展开成傅 里叶级数。
问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
数学物理方法
如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找到适
当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数的定解
问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函数，从而
得到所要求的解。从物理上讲，经过积分变换后，域发生
了变化。 例：
e it
时间域t 频率域
e ikx
空间域 波矢域
数学物理方法
第一节 傅里叶变换
一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
d 3k dk1dk2dk3 k k11 k22 k33
f
(x)
1
(2
)3
[
f ( )eik d 3 ]eikxd 3k
数学物理方法
f (x) 1
2
f
(
)eik
d
eikxdk
傅里叶积分的三角形式：
f (x) 1
dk
d f ( )eik (x )
2
1
d f ( ) dk[cos k(x ) i sin k(x )]
2
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦项是 k
的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f (x) 1
dk
f ( ) cos[k(x )]d
0
1
dk{[
f ( ) cos k( )d ]cos(kx) [ 1
l
l d[ei (nm)/l ]
2l l
2l i (n m) l
1
ei (nm)/l
i2l(n m)
l l
0
1
2l
e d l i(kn km )
l
nm
数学物理方法
对 f (x) cneiknx 两边同乘以eikmx，再对 x从l到l积分得
n
1
2l
l l
f
( x)eikm x dx