数学物理方程第四章 积分变换法

ut a uxx 0
2

2
把这个级数代入泛定方程，
n a n x [Tn (t ) l 2 Tn (t )]co s l ＝ f(x,t) n 0
2 2 '
方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程
右边也展开为傅里叶余弦级数，得到：
n2 2 a 2 n x n x ' [T n l 2 Tn ]cos l fn (t ) cos l n 0 n 0

其中 f n (t ) 为 f ( x, t ) 的傅里叶余弦级数的第n个
傅里叶系数。比较两边的系数，分离出Tn （t）
的常微分方程
n 2 2 a 2 Tn = 2 l
T 'n
f n (t )
代入初始条件，得
n x Tn (0) cos l = n 0

( x)
n x = n cos l n 0
U ' (t; k ) k 2 a 2U (t ; k ) F (t ; k ) U (t; k ) |t 0 0
其中 U (t ; k ) 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次 常微分方程，用 e
k 2 a 2t 遍乘方程各项
d k 2 a 2t k 2 a 2t [U (t ; k )e ] F (t ; k )e dt
系列三角函数之和，即
a0 f ( x) 2
[a
k 1

k
cos kx bk sin kx]
1 2π 1 2π ak f ( x) cos kx d x bk 0 f ( x)sin kxdx π π 0
4.1 傅里叶级数
傅里叶级数在应用上有以下优点： 能够表示不连续的函数、周期函数，能够对任意 函数作调和分析 若函数 f ( x) 以 f ( x 2l ) f ( x) 为周期，即 则可取三角函数族 n x x 2 x 1，cos ,cos , … cos l ，… l l x,sin 2 x , … sin n x， … sin l
e
2 k 2
e e dk =
k
2 4 2
可得结果
u ( x, t ) = 0
t

2 1 f ( , )[ e 4 a (t ) ]d d 2a (t )
( x )2
4.4 Laplace变换的定义和基本性质
Laplace变换应用范围：
线形性质：
(a,b是常数)
l[af (t ) bg (t )] aF ( s) bG( s)
1 s 相似性质： l[af (t )] F ( ) a a s 延迟性质 ： l[ f (t )u(t )] e F (s)
l[ f (n) (t )] sn F (s) sn1F (0) s n2 F (0) F (n1) (0) 微分性质： l 1[ F ( n) (s)] (1)n t n f (t )
如要求
f (0) f (l ) 0
n x sin ∣ =0; l x l
这时应延拓为奇的周期函数，因为
n x sin │ 0 =0, l x
如要求 f ' (0) f ' (l ) 0
这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级 数的和的导数在 x0 和 x l 为零
对于函数u(x,t),-l<x<l,t≥0,展开为傅里叶级
F (s) l[ f (t )]

0
f (t )e st dt
（其中 s j 为复参数）；
f (t ) l [ F ( s)]
1
2 j j
1
j
F ( s)e st ds
其中，F ( s ) 称为函数 f (t ) 的像函数， (t ) f 称为 F ( s )
1

i
i
L ( s )e d s
st
(t 0, 0)
Laplace 变换的特点
1、变换简单且容易计算； 2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义； 3、可处理的信号范围更广； 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数运 算； 5、自动引入初始条件，直接求出全解。
Laplace变换的性质 F ( s) l[ f (t )] G( s) l[ g (t )]

Tn (t)的常微分方程在初始条件下的解：
n2 2 a 2 l
2
Tn (t)= e
u( x, t )= { e
n 0
t
[ f n (t )e
l
2
n 2 2 a 2 l
2
t
dt n f n (t )dt ]
n x cos l
n2 2 a 2 l
2
tபைடு நூலகம்
[ f n (t )e
对t积分一次，计及零初始值，
U (t ; k ) = e
=
k 2 a 2t
t

F ( ; k )e
0
t
k 2 a2
d
d d

0


f ( , )e
ik k 2 a 2 ( t )
e
进行傅里叶逆变换
1 u ( x, t ) = 2
[
0
t

第四章 积分变换法 傅立叶变换与拉普拉斯变换
数学物理方程
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信 号f(x)进行表征：f ( x) P( x)

n0
N 1
n an x。
1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函
数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学
家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为
B(ω)=
f(ξ)cosωξdξ

1
复数形式的傅里叶积分
f(x)=

F(ω) e

i x
dω
i x *
1 其中 F(ω,t)= 2



u(x,t) [e
] dx
1
用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题
n x 第二类齐次边界条件下的本征函数：cos l (0,1,2,…), n x Tn (t )co s u(x,t)= l n 0
的像原函数.
注1：函数f (t )的Laplace变换就是函数 f (t )u(t )e t 的Fourier变换. 注2：由于Laplace变换只用到了函数f (t )在 t 0 的部分，为方便起见，在Laplace变换中所提 到的函数一般均约定在 t 0的部分为零. 换句话说，函数 f (t ) 等价于函数 f (t )u (t ). 注3：像函数F ( s )通常仅在复平面s上的某个区域内 存在，称此区域为存在域，它一般是一个右半平 面.当函数 f (t )只要不比某个指数函数增长得快时， 则它的Laplace变换一定存在，因此我们所接触 到的绝大多数函数的Laplace变换都是存在的.在 进行Laplace变换时，常常略去存在域.
数时，可将t视为参数，仅关于x展开为傅 里叶级数
n x n x u(x,t)=a0 (t)+ (an (t )co s l bn (t )sin l ) n 1

其中展开系数不是常数，而是关于t的函数，
n an (t ) l u ( , t ) cos l d nl 1

l l
作为基本函数族，将f ( x) 展开为级数
f ( x) = a0 + (a cosn x +b cos n x ) n n
n 1
l
l
1 l n an l l f ( ) cos l d n b 1 l f ( )sin n d 其中 n l l l

f ( , )e
ik k 2 a 2 ( t )
e
]• d dkeikx d
交换积分次序
u ( x, t ) = 0
t



1 f ( , )[ 2



e
k 2 a2 ( t ) ik ( x )
e
dk] d d
引用积分公式



2 n 1
(n 0) (n 0)
周期函数f(x)可以理解为由正弦波（含余弦与正
弦函数）叠加而成，其中an，bn为叠加的权值，表 示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。
显然，当信号具有对称性（偶）特征时，bk=0，
a0 f ( x) ak cos kx 2 k 1
Laplace变换的性质
t f (t )dt 1 F ( s ) 积分性质： l 0 s
F ( s )ds f (t ) l s t
1
周期函数的像函数性质：设
n x n x g(x)= a0 + (anco s l bn sin l n 1

)
在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非
周期函数f(x)的傅里叶展开。
f(x)= 0 A( ) cos xd 0 B( )sin xd

其中
1
A(ω )=




f(ξ)sinωξdξ
拉普拉斯变换
L(s) [ f (t )]

0
f (t )e
st
dt
(s是复数，s=
i
)
f (t )

的拉普拉斯变换
st