第4章-4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。
拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。
2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。
3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。
4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。
在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。
将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。
特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。
(整理)拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
matlab如何用拉普拉斯变换求解矩阵微分方程组
一、概述矩阵微分方程组是工程数学中常见的问题之一，在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。
对于矩阵微分方程组的求解，传统的方法通常是使用拉普拉斯变换或者矩阵求逆等技术，以得到方程组的解析解。
而在MATLAB中，我们可以利用其强大的数值计算能力来求解矩阵微分方程组，本文将介绍如何利用MATLAB中的拉普拉斯变换工具箱来求解矩阵微分方程组。
二、矩阵微分方程组的基本形式矩阵微分方程组通常可以表示为如下形式：其中，A(t)为n阶矩阵，x(t)为n维向量，f(t)为n维向量函数。
对于这样的矩阵微分方程组，我们的目标是求解x(t)。
三、MATLAB中的拉普拉斯变换工具箱MATLAB是广泛使用的数值计算软件，它提供了丰富的工具箱来处理各种数学问题。
其中，拉普拉斯变换工具箱（Laplace Transform Toolbox）提供了丰富的函数和工具，能够帮助我们对微分方程进行变换和求解。
四、利用拉普拉斯变换求解矩阵微分方程组的步骤1. 将矩阵微分方程组转换为拉普拉斯变换形式需要将矩阵微分方程组转换为拉普拉斯变换形式。
对于矩阵微分方程组，我们可以利用拉普拉斯变换的线性性质来进行变换，得到矩阵X(s)的表达式。
2. 求解拉普拉斯变换后的代数方程接下来，我们需要对拉普拉斯变换后的代数方程进行求解，得到矩阵X(s)的表达式。
3. 对结果进行拉普拉斯逆变换我们需要对求解得到的矩阵X(s)的表达式进行拉普拉斯逆变换，得到最终的解x(t)。
五、实例演示下面，我们通过一个具体的矩阵微分方程组来演示如何利用MATLAB 的拉普拉斯变换工具箱来求解。
假设我们有如下的矩阵微分方程组：A(t) = [1 2; 3 4]，x(t) = [x1(t); x2(t)]，f(t) = [t; 1]我们首先需要将矩阵微分方程组转换为拉普拉斯变换形式，然后求解得到矩阵X(s)的表达式。
对结果进行拉普拉斯逆变换，得到最终的解x(t)。
```matlabsyms s t;A = [1 2; 3 4];f = [t; 1];X = inv(s*eye(2) - A)*f;x = ilaplace(X, s, t);disp(x);```运行上述代码，我们可以得到矩阵微分方程组的解x(t)的表达式。
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳
精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。
(完整word版)拉普拉斯表变换在求解微分方程中的应用
目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1。
1 拉普拉斯变换的定义 (1)1.2 拉普拉斯变换的性质 (2)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (2)3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用 (3)3。
1 初值问题与边值问题 (3)3。
2 常系数与变系数微分方程 (4)3。
3 含 函数的微分方程 (4)3.4 常微分方程组 (5)3。
5 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 (5)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (8)4。
1 齐次与非齐次偏微分方程 (8)4.2 有界问题与无界问题 (9)4。
3 多维偏微分方程的求解 (11)结束语 (12)参考文献 (13)英文摘要 (13)致谢 (14)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班 学 生 岳艳林指导老师 韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用。
本文以讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用为目的，首先，介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次，给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；随后,举例拉普拉斯变换在求解微分方程与典型偏微分方程中的应用；最后，总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：线性微分方程；特解；偏微分方程；多维拉普拉斯变换 引言拉普拉斯变换在许多科学技术和工程领域有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着非常重要的作用.人们在研究这些系统时，往往是从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在许多场合下，这个数学模型是线性的.换句话说，它可以用线性的微分方程、微分积分方程乃至于偏微分方程等来描述。
用拉普拉斯变换法去分析和求解这类线性方程是十分有效的，甚至是不可缺少的。
1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分)()(0是复参量s dt e t f st -+∞⎰在s 的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st -+∞⎰=)()(0我们称此式为函数()f t 的Laplace 变换式。
拉普拉斯变换求解微分方程典型范例
Laplace 变换在微分方程(组)求解例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011n nn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰ （*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1n n nn d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即()()()1nnn n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1nnn m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1） 对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s d L tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++= 由此得()32331s s s X s s+++= 把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271s s Y s s s -+=+-+ 于是 ()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+- 2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dx x ydt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解. 解 设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0st Y s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333t t t x t te y t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例 4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦ 对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()212100s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t t y t t=⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦ 则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s ==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y du s y dy s u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++ 例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s +=求解得()()()1,1s x u x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111t x u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410s s Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13t y t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d d s X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f te dt +∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有 ()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得 ()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为 ()sin t x t t=。
第4章-拉氏变换
六、时域积分特征（积分定理）
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则
t 0
n
f
( x) d
x
1 sn
F (s)
f (1) (t)
t
f
( x) d
x
s 1F (s)
s 1
f
(1) (0 )
例1: t2(t)<---->?
t
0 (x) d x t (t)
t 2 (x) d x t x (x) d x t 2 (t)
4.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F( s )
aa
Re[s]>a0
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■
信号与系统
4.2 拉普拉斯变换性质
例：如图信号f(t)旳拉氏变换F(s) = es (1 es s es )
s2
求图中信号y(t)旳拉氏变换Y(s)。
f(t)
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
自动控制原理--用拉氏变换求解线性微分方程
R
u0 uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc t
应用拉a)氏变换法求解微分b方) 程的步骤归纳如下：
（1）对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方 程变成关于的代数方程；
（2）整理代数方程，求得待求函数的拉氏变换表达式；
（3）对拉氏变换式进行反变换得到待求函数的时域表达 式，即微分方程的解。
压
uc
(0)，求开关瞬时闭合后T 电容R 的端电压u0uc
t 。
uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc
解：网络的微分方程为 RC 两边进行拉氏变换得 sRCU
cd(aus)dc)t(t)RCuucC(t()0)uU0
C
(s)
1 s
U
0
(s)b)
t
所以
U (s) U0 RC U (0)
1．线性性质
设F1(s) L f1(t) ，F2(s) L f2(t)，a，b 均为常数，则有
Laf1(t) bf2(t) aL f1(t)bL f2(t) aF1(s) bF2(s)
2．微分性质
若L f (t) F(s) ，则有 L f '(t) sF (s) f (0)
3．积分性质
F (s)
s1）m1
s s1 s sm1
s sn
… cm1
lim
s s1
d ds
(s
s1 ) m
F (s)
cm j
1 dj lim
j! ss1 ds j
(s s1)m F(s)
…
c1
1
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变换求响应 y(t)。
解
dy(t) L[ ]
dt
sY(s)
y(0
)
sY(s)
1
d 2 y(t)
L[
]
dt 2
s
2Y
(s)
sy(0
)
y (0
)
s 2Y
(s)
s
s 2Y (s) s 5[sY(s) 1] 6Y (s) 1
Y(s) s 5 1 s 5 1 4 3 s 2 5s 6 (s 2)(s 3) s 2 s 3
对方程两端取拉氏变换，设 h(t) H (s)，由于h(t)为因果信号，故
h(t) sH(s)
h(t) s2H(s)
方程右端的拉氏变换 (t) s，
则 (s2 5s 6)H (s) s
H (s)
s2
s 5s
6
(s
s 2)(s
3)
2 3 s2 s3
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
把拉氏变换应用于初值微分方程问题，不需要专门求解t=0+初始值， 也不需要分别求解零输入响应与零状态响应，分析过程相对简单。
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
例4 26 已知系统的微分方程为 y(t) 5y(t) 6 y(t) x(t)
利用拉氏变换求该系统的冲激响应h(t)。
解：h(t)满足的微分方程为 h(t) 5h(t) 6h(t) (t)
s
s
H (s) s2 5s 6 (s 2)(s 3)
2 3 s2 s3
取H (s)逆变换得冲激响应
h(t) (2e2t 3e3t ) (t)
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
若系统的初始状态不为零，在对y(t)的各阶导数项取拉氏变换时， 还要计入初始状态。以二阶系统为例，设微分方程为 a2 y(t) a1y(t) a0 y(t) b2x(t) b1x(t) b0 x(t)
X (s)
sa2 y(0 ) a2 y(0 ) a1y(0 ) a2s2 a1s a0
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程应用拉普拉斯变换求解微分方程
例 已知系统的微分方程为
d 2 y(t) dy(t)
5 6y(t) x(t)
dt 2
dt
输入x(t) (t)，初始条件 y(0 ) 1、y(0 ) 0, 用拉普拉斯
Ya (s)
s2
X (s) 2.5s
1
s(s
1 0.5)(s
2)
1 s
s
4 3
0.5
s
1
3 2
Yb (s)
sy(0 )
y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
(s
1 0.5)(s
2)
s
2
3 0.5
2 3
s2
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 零状态响应和零输入响应
输入x(t)为因果信号，系统的初始状态y(0 )与y(0 )已知。 对式两端取拉氏变换，有
a2 s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) a1 sY (s) y(0 ) a0Y (s)
(b2s2 b1s b0 ) X (s)
Y (s)
b2s2 a2s2
b1s b0 a1s a0
2)
y(t)
1
2 3
e0.5t
1 3
e2t
(t)
Y(s) 1
2 3
1 3
s s 0.5 s 2
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 如果本例要求单独给出零状态响应和零输入响应，由式，
Y (s)
X (s) sy(0 ) y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
分别为
信号与系统分析
第4章
复频域分析
请同学们写出下列单边拉普拉斯变换的公式
单边拉普拉斯变换表
第4章
4.4利用拉普拉斯变换 求解线性微分方程
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
应用拉普拉斯变换求解微分方程
y(t) 5y(t) 6y(t) x(t)
对线性微分方程两端取拉氏变换，输入x(t)和输出y(t)分别变换为 X(s)和Y(s),由于X(s)和Y(s)间只是代数关系，从中可方便地求出Y(s)， Y(s)经逆变换后就是输出y(t)。
Ya (s)
s2
X (s) 2.5s
1
s(s
1 0.5)(s
2)
1 s
s
4
3 0.5
s
1
3 2
ya
(t)
1
4 3
e0.5t
1 3
e2t
(t)
Yb (s)
sy(0 )
y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
(s
1 0.5)(s
2)
s
2
3 0.5
2 3
s2
yb (t)
2 3
e0.5t
y(t) 4e 2t 3e 3t
仅适合于 t 0 的时间范围
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 例4 27 已知系统的微分方程为y(t) 2.5y(t) y(t) x(t)
输入x(t) (t)，初始状态y(0 ) 0，y(0 ) 1，求y(t)。
解：对微分方程两端取拉氏变换，有
2 3
e2t
(t)
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
作业： 4-9；4-10
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 2.5sY (s) y(0 ) Y (s) X (s)
Y (s)
X (s) sy(0 ) y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
根据已知输入，X (s) 1/ s，则
Y
(s)
s2
1 1 s 2.