第四章拉普拉斯变换与S域分析
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第4章 拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析
a j 1 sa
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. t的指数函数：eatu(t)（a为任意常数）
e u (t ) F ( s )
at
e e
1 sa
at
st
dt
0
0
e
( s a )t
dt
0
e
( s a )t
|
1 sa
(4.1-10)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例4.1-1 已知f(t)=e-atu(t)(a>0)，求f(t)的拉氏变换。
解 f(t)的收敛域如图4.1-2(a)所示， 包括jω轴，所以
e
at
u ( t )( a 0 ) F ( s ) F ( ) | s j 1 | s j
在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但 对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在 的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. 单边拉氏变换收敛区 收敛区:使f(t)e-σt满足绝对可积的σ取值范围， 或是
使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
指数阶f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为:
1）若f(t)是随时间衰减的： σ0<0，其拉氏变换的收敛区 收敛区包含虚轴jω， 函数的 傅氏变换存在； 例如单边指数信号 e-atu(t) （a>0）的σ0=-a， 其拉氏变 换的收敛区如图4.1-2(a)所示； 4.1-2(a)
由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt 的作用， 使得 f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有
第四章 拉普拉斯变换与s域分析
0 0
(t ) 1
清华大学出版社
10
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
单位阶跃信号：
F ( s) u (t )e dt
st 0
0
1 st 1 e dt e 0 s s
st
0
0
1 te dt 2 s
st
1 r (t ) 2 s
清华大学出版社
12
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
指数信号： f (t ) e t u(t ), ( 0)
F (s) e
0 t st
清华大学出版社
23
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.2.5 时域微分性质
若
f (t ) F (s) 则 f (t ) sF (s) f (0 )
表明：函数f( t )求导后的拉氏变换是原函数的象 函数乘以复量s，再减去原函数f( t )在0时的值。 如
duc (t ) C C[ sU c ( s) uc (0 )] dt
清华大学出版社
5
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.2 收敛域(ROC)的概念
选择适当的 值才可能使式子 F ( s) 积分收敛，即F(s)存在的条件为
0
f (t )e- st dt 的
使得
0
f (t )e- st dt
0
f (t )e
(t ) 1
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10
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
单位阶跃信号：
F ( s) u (t )e dt
st 0
0
1 st 1 e dt e 0 s s
st
0
0
1 te dt 2 s
st
1 r (t ) 2 s
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12
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
指数信号： f (t ) e t u(t ), ( 0)
F (s) e
0 t st
清华大学出版社
23
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.2.5 时域微分性质
若
f (t ) F (s) 则 f (t ) sF (s) f (0 )
表明：函数f( t )求导后的拉氏变换是原函数的象 函数乘以复量s，再减去原函数f( t )在0时的值。 如
duc (t ) C C[ sU c ( s) uc (0 )] dt
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5
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.2 收敛域(ROC)的概念
选择适当的 值才可能使式子 F ( s) 积分收敛，即F(s)存在的条件为
0
f (t )e- st dt 的
使得
0
f (t )e- st dt
0
f (t )e
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
第四章拉普拉斯变换与S域分析
第二种情况：极点为共轭复数
共轭极点出现在
求f(t)
例题
另一种方法
求下示函数F(s) 的逆变换f(t)： 解：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
求得
部分分式展开法
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1 )
A( s ) F ( s) k ( s p1 ) D( s )
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
证明：
推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
① ②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
证明：
例4-6
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
所以 e
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0
举例4.1:
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
部分分式展开法
A( s ) 设F ( s ) 1 D( s )
F1 ( s ) 则F ( s ) ( s p1 ) k
分解
K1i K11 k ( s p1 ) ( s p1 ) k i 1 K1k s p1
部分分式展开法
1 d i 1 其中K1i i 1 F1 ( s) s p 1 (i 1)! ds
第四章拉氏变换S域分析(共52张PPT)
分母多项式B(s) 0的根可能为实根或复根,若为
复根必共轭成对.
第十二页，共五十二页。
*零点与极点(jídiǎn)(有理真分式) • A(s)=0的根zi称为F(s)的零点(línɡ . diǎn)
A(s) amsm am1sm1 ... a1s a0 am (s z1)(s z2 )...(s zm )
• 一般(yībān)把使LT积分式收敛的s值范围称为LT 的收敛域.
(region of convergence, ROC)
• 指数阶函数:
若有常数
0
,
使得
lim
t
f
(t )e t
0
( 0 )
就称f (t)为 0指数阶函数.
而f (t)的收敛域为: 0 , 0称为收敛坐标.
第九页，共五十二页。
已知y(t) LT Y (s) 1.当y(0) 0 则有y(t) LT sY (s) 2.当y(0) 0 则有y(t) LT sY (s) y(0) 因此时域微分方程经由LT可变为代数方程, 而且能把初始条件的作用计入,简化了求解 过程,可以一步到位得到全响应.
第八页，共五十二页。
*收敛(shōuliǎn)域(ROC)
f ( )es( t0 )d 0
显然，只有当f (t)在[t0 ,0 ]内等于零时，才有
f (t t ) f ( )e e d LT
s st0
0
0
第二十七页，共五十二页。
F (s)est0
若t0 0，则
f (t t0 ) LT
0
f ( )es( t0 )d
t0 f ( )es( t0 )d 0
ILT[F (s)] f (t) 1
j
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
信号与系统课件(郑君里版)第四章
2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析基本要求通过本章的学习...
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。
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举例4.16:
如图所示电路， 0时开关s位于“１”端 t 电路达到稳定， 0时s从“１”端 t “２”端 求iL (t )
j
F ( s)e st ds, t 0
设一闭合围线的积分路径为无限大圆弧,
则上式中积分等于围线中 被积函数所有极点的留数之和
留数法
即f (t ) F (s)e 的留数
st 极点
若极点s pi处留数为ri , 围线中 有n个极点pi (k阶) 则f (t ) ri ,
est e t e jwt e t (cos wt j sin wt )
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的 重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅 度的增长速率或衰减速率。
三．拉氏变换的收敛域
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
第四章 拉普拉斯变换 与S域分析
第一节 引言
一、拉氏变换的优点
把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换， 经求解再还原为时间函数。 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 应用拉氏变换： （1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含 在变换式里。 （2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”， “积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代 数方程。 拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。 利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。
其中０与f t 有关， 过０ 的垂直线为收敛轴，
０在S 平面内称收敛坐标
拉氏变换收敛域举例
(1)有界非周期信号收敛域: 全平面 (即凡是有始有终,能量有限的信号); (2)有稳定幅度的周期信号收敛域: 0; 右半平面.
(3)随时间成正比增长的信号 0; (4)按指数eat 增长的信号 a。
pn t
u(t)
m n时，先用长除法将分子中的高次项提出， 余下的满足m n部分按上法分解
举例4-8:
已知 10( s 2)( s 5) F ( s) , s( s 1)( s 3)
求其逆变换
k3 k1 k2 解：部分分解法 F ( s ) （m n） s s 1 s 3
部分分式展开法
(1)极点为单实根的情况 ( p1 pn )
kn k1 m n时，F ( s ) s p1 s pn 其中ki ( s pi ) F ( s) s p （留数）
i
分解
f (t ) k1e
L1
p1t
kn e
0 1
f t τ ut τ e std t dτ f1 τ 2 0
s
d τ
L f1 t f 2 t F2 s f τ e
0 1
s
dτ
F1 ( s)F2 ( s)
第四节
拉氏逆变换
一、系统的s域分析方法
A( s ) F (s) D( s ) ( s ) 2 2 A( s ) D( s )( s j )( s j )
其中D(s)为分母除去共轭复根剩余部分
举例4.2:
s 5s 9 s 7 已知F ( s) , ( s 1)( s 2)
八．终值
终值存在的条件:
例如
九．卷积
时域卷 积定理
频域卷 积定理
证明：
L f1 t f2 t
0
0
f1 τ uτ f2 t ut τ dτ e std t
交换积分次序
L f1 t f2 t
0
L f1 t f 2 t f τ F2 s e
举例4.4:
解：k13 1 d2 F (s) 1 2 k2 sF ( s ) s 0 2 ds s p
1
1 4 s 2 s4
F (s)
2
s 1
s2 ( s 1)3
2
s 0
３ ２ ２ ２ － ( s 1)3 ( s 1) 2 ( s １ ) s
3 2
求其逆变换
解：长除法 F (s)
举例4.2:
s2 2 3 2 s 3s 2 s 5 s 9 s 7 s 3s 2 s
3 2
7 s 7 2s
2
６s ４ 2s s 3
2
举例4.2:
k1 k2 部分分式展开法 F ( s ) s 2 s 1 s 2
s2 令F1 ( s ) ( s 1) F ( s ) s
3
（重根p1极点处的留数）
举例4.4:
解：其中k11 F ( s ) s p 1 s2 s
k12
1
3
s 1
d F (s) 1 ds s p1 s ( s 2) 1 2 2 s s 1
部分分式展开法
A( s ) 设F ( s ) 1 D( s )
F1 ( s ) 则F ( s ) ( s p1 ) k
分解
K1i K11 k ( s p1 ) ( s p1 ) k i 1 K1k s p1
部分分式展开法
1 d i 1 其中K1i i 1 F1 ( s) s p 1 (i 1)! ds
s3 其中k1 ( s 1) ( s 1)( s 2) s3 k2 1 s 1 s 2
2 1 F (s) s 2 s 1 s 2
2
s 1
f (t ) '(t ) 2 (t ) 2e t e 2t u (t )
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0
举例4.1:
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
s 3
举例4.1:
100 20 10 解： F ( s ) 3s s 1 3( s 3)
10 3t 100 t f (t ) 20e e u (t ) 3 3
部分分式展开法
(2)极点包含共轭复根的情况 ( p1,2 j )
求解s域方程。 ，得到时域解答。
二．微分方程的拉氏变换
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型
·电阻元件的s域模型
·电感元件的s域模型
利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：
·电容元件的s域模型
电流源形式：
S域电路分析
s域电路分析方法：
将网络中每个元件用其s域模型代替； E E 将信号源写作变换式（ 或 ，U s ( s)或I s ( s)）； s sR 对此构成的s域模型图采用KVL和KCL 分析得到所需的系统方程变换式。
（所进行的数字运算是代数关系，类似电阻性网络； 戴维南定理与诺顿定理均适用； 适合较多结点或回路的网络分析。）
用拉氏变换方法分析系统时，最后还要 将象函数进行拉氏反（逆）变换。 求解拉氏逆变换的方法有：
（1）部分分式展开法
（2）长除法 （3）留数法
二、部分分式展开法
A( s) am s am1s a0 设F ( s) （有理式） n n 1 B( s) bn s bn 1s b0
第二节 拉氏变换的定义、 收敛域
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
则
2．拉氏逆变换
3．拉氏变换对
二、拉氏变换的物理意义
s j
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)， 或作相反变换。 时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。 变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
i 1 n
d k 1 1 k st ri ds k 1 ( s pi ) F ( s )e (k 1)!
举例
s2 已知F ( s ) , 3 s ( s 1) 求其逆变换
k13 k11 k12 k2 解：F ( s) 3 2 ( s 1) ( s 1) ( s 1) s
3 2 t f (t ) t e 2te t 2e t 2 u (t ) 2
作业
P251 4-4
第五节
拉氏变换法分 析电路
一. 用拉氏变换法分析电路的步骤
列s域方程（可以从两方面入手） • 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；
• 直接按电路的s域模型建立代数方程。
得多重根部分的逆变换 ：
K11 k 1 p1t f c (t ) t e ( k 1) ! K1i k i p1t p1t t e K1k e u (t ) (k i) !
L1
三、留数法
f (t ) 2 j j 1
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def
0
f (t )e st dt