第四章 拉普拉斯变换
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第四章 拉普拉斯变换
即，收敛域相应平移一 Res0 个
Res 0 a
例：求衰减的正弦函数 t sin t的象函数， 0 e 解： sin t
s
2 2
Res 0
令f (t ) sin t 则F ( s)
s2 2
由频移性质： e t sin t e t f (t ) F (s )
0为收敛轴，如图所示
F(s)的拉氏逆变换为
1 f (t ) F ( s) F ( s)e st ds 2j f (t ) F (s) 记为
1
五、一些常用函数的拉氏变换 1.阶跃函数
u (t )
2.指数函数
Hale Waihona Puke 0e st e st dt s
单边拉氏变换 当f(t)为有始函数时，即t＜0时f(t)=0
则 F ( s ) f (t )e st dt
0
记为F ( s ) f (t )
1 f (t ) F ( s )e st ds 2j f (t ) 0
t0 t0
f (t ) F (s) f (t )e st dt
0
在半平面Re(s ) 0上一定存在，积分 f (t )e st dt在 Re(s ) 1 0
0
上绝对一致收敛， ( s )在 Re(s )为解析函数。其收敛域 Re(s ) 0， F 为
注：零点、极点相抵消，为不可观测状态。例： 1 1 1 s 1 s 1 s 2 其中s=-1为不可观测状态。 四、复频移特性 若 f (t ) F ( s), Res 0
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
+
+
1 vC (0 ) s
-
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
f (t )u(t ) F (s)
f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 j
f1 (t )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
例2：求 (t 1)u (t 1), t 1, t 1, (t 1)u (t 1),
f1 (t ) f (t )e t
+
1 vC (0 ) s
-
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
f (t )u(t ) F (s)
f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 j
f1 (t )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
例2：求 (t 1)u (t 1), t 1, t 1, (t 1)u (t 1),
f1 (t ) f (t )e t
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
38
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
4.拉普拉斯变换
24
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
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拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
第四章拉普拉斯变换
1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2
0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0
e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n
0
t st t e dt e s
F ( )
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t
F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)
F1 ( ) [ f (t )e ]e
d t f (t )e
n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n
青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料
例2 求函数 f (t ) e
st
s R. 的拉氏变换
解 ℒ f (t ) est e pt dt e( p s ) t dt 1 0 0 ps
Re p s
1 e ps
st
例3 解
0 求单位斜坡函数 t t
二 位移性质
1
L [ F ( p a)] e f (t )
at
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
三 延迟性质
L [e
1
pa
F (p)]=u(t-a)f(t-a)
四 相似性质
1 p L F (ap ) f ( ) a a
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
五 微分性质
L [ F ( p)] (1) t f (t )
解：
1 令 f (t ) 1 由于 F ( p ) 所以 p d d 1 1 L[t ] F ( p) ( ) 2 dp dp p p n! n 可以依次类推 L[t ] n 1 。 p
2）拉氏变换式对参数P的导数
利用导数性质求解：L[t cos t ] 和L[t e2t ]
Hale Waihona Puke p L[sin t ] [ p 2 cos 0] p 1 p [ p 2 1] p 1
1 2 p 1
2）拉氏变换式对参数P的导数
dn 若L[f(t)] F(p), 则， n L[f(t)] F (n) p L[( t) n f (t )] dp
1 n 2 3 例已知 L[1] ，求 t , t , t 和 t 的拉普拉斯变换。 p
1 PS
所以
f t 1 et
第4章拉普拉斯变换
第四章 连续信号与系统的S 域分析1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统，()()t f dt dft y dt dy dty d 524522+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性解：(1) 方程两边取拉氏变换；()()()()4552455222+++=⋅+++=⋅=s s s s F s s s s F s H s Y()()()t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-+=+++⋅+=---4221212142122111459221(2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。
则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。
该题中，()114145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以系统稳定。
2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=++--30,20223'22y y t f dt dft y dt dy t d y d已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。
解：方程两边取拉氏变换()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=+++-=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-++++-=+⋅+++=++++++⋅+++=+=+=---+++-----------213225751725239232132512123325312312223632312312;3112030'023*********22。
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存在条件
f (t)dt
不满足
引入：衰减因子e-σt(σ为实常数）
σt 选择合适的 使得 : f ( t ) e dt
3
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F f(t)e
t
( j ) t f ( t ) e dt F ( j)
a 0 0
Re( s ) a 0
20
单边拉普拉斯变换的性质
3. 时移特性
若
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
st L 0 则 f ( t t ) u ( t t ) e F ( s ) t 0 0 0 0
t
为任意实数，则
e
t
收敛，于是满足 f (t). e
狄里赫利条件
cos t 1
u(t)et
e cos t 1
t
e. e
at t
( a )
2
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
j t F ( )F[f ( t)] f ( t) e dt f( t) F ( ) 1 1 t f(t) F [F ( )] F ( ) ej d 2
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换符号表示及物理含义
符号表示：
F ( s ) L [f( t )] b
1 f( t ) L [ F ( s )]
L f( t ) F ( s )
物理意义： 信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。
25
单边拉普拉斯变换的性质
8. 时域微分特性 重复应用微分性质，求得：
2 d f ( t ) L 2 s F ( s ) sf ( 0 ) f ' ( 0 ) 2 d t
Re( s ) 0
21
单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
若
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 1
L f ( t ) F ( s ) 2 2
Re( s )
2
则
f ( t ) * f ( t ) F ( s ) F ( s ) 1 2 1 2
( n )
( n ) st n ( t )] ( t ) e d t ( 1 ) 0
15
常用信号的拉普拉斯变换
６. t 的正幂函数 t n，n为正整数
n t n n st st n n 1 st L [ t u ( t )] ( t ) e d t ( e ) t e d t 0 0 0
证明：
d f( t) d f( t) st L e d t d d t t 0
f( 0 ) s f( t) e d t sF ( s )f( 0 )
0
st st f( t ) e f ( t )( s e ) d t 0 0 st
或 :lim f( t)e
σ t
0 的σ值范围
6
记：ROC＝region of convergence
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且收敛
条件较为苛刻，这就使其应用受到限制。实际中的信
号都是有起始时刻的 (t ＜ t0 时 f(t)=0) ，若起始时刻
t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变
Re( s ) max( , ) 1 2
19
L
单边拉普拉斯变换的性质
2. 展缩特性(尺度变换)
若 则
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
L
f( at ) F ( s / a ) a a
1 L1 L f( at ) F ( s / a )
1. 线性特性
若
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 1
L
f ( t ) F ( s ) 2 2
L
Re( s )
2
则
a f ( t ) a f ( t ) a F ( s ) a F ( s ) 1 1 2 2 1 1 2 2
L
Re( s ) max( , ) 1 2
收敛域至少是F1(s)的收敛域与F1(s)的收敛域的公共部分。
22
单边拉普拉斯变换的性质
5. 乘积特性
f ( t ) F ( s பைடு நூலகம் 2 2
L
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 若 1
关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析
和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。
8
拉普拉斯变换LT与ILT定义
L [ f( t )] F ( s ) B
f( t ) e
s t
st
j 1 1 st L [ F ( s )] F ( s ) e ds dt B j 2 j
2
Re( s )
则
1 f ( t ) f ( t ) [ F ( s ) * F ( s )] 1 2 1 2 2 πj
L
Re( s ) 1 2
23
单边拉普拉斯变换的性质
6、复频移性质
若
L
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
1 若 s a , 则 : e u ( t ) 0 s a
at
1 d t s s 0
0
a
12
1 若 s j , 则 : e u ( t ) 0 0 s j
j t
常用信号的拉普拉斯变换
２. 正余弦型函数
j t j t 0 0 e e 11 1 s cos t u ( t ) u ( t ) ( ) 0 2 2 2 2 s j s j s 0 0 0
(n )
st L [( t )] t ) e d t ( 0
'
1
d s
Re( s )
(est) t0 s
n d n st s ( e ) t 0 n d s
L [
d st ( t )] ( t ) ed t ' 0
L [
F ( s ) L d tf ( t ) Re( s ) 0 d s
24
单边拉普拉斯变换的性质
8. 时域微分特性
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
d f ( t ) L sF ( s ) f ( 0 ) Re( s ) 0 d t
n ! tu ( t ) , Re( s ) 0 n 1 s
n L
16
表 4.１
17
4.1拉普拉斯变换
意义： • 拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的 工具,使求解方程得到简化，且初始条件自 动包含在变换式里 • 利用系统函数零点、极点分布分析系统的 行为规律
18
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
j t j t 0 0 e e 11 1 0 sin t u ( t ) u ( t ) ( ) 0 2 2 2 j 2 j s j s j s 0 0 0
0
13
常用信号的拉普拉斯变换
３. 阶跃函数 u(t)
1 若 s 0 , 则 : u ( t ) 0 s
单边拉普拉斯变换存在的条件
j 收 S平面
左半平面
敛
右半平面
0
区
0称收敛条件
0称绝对收敛轴
11
常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数
1 e u (t ) s s0
s0t
L e u ( t ) e e d t e
s t 0 0 0
s t st 0
( s s ) t 0
F ( s ) f ( t )estdt b 1 j st F ( s ) e ds f (t ) b j 2 j
( 2 )
(Bilateral LT) 双边拉普拉斯变换 记作：
4
f(t) F ( s ) b
0
４、双曲正弦／余弦信号
t t e e 11 1 sh t u ( t ) u ( t ) ( ) 2 2 2 2 s s s
s ch t u ( t ) 2 2 s
0
14
三、常用信号的拉普拉斯变换
５.(t), (t)
o b f ( t ) e F ( s s ) b
s t b
则
7、复频域微分与积分
d F ( s ) tf ( t ) Re( s ) 0 d s
L
n d F ( s ) f (t) n ( t) f ( t) n F()d ds t s
t t f(t) e e j dt
( 1 )
1 1 j t f ( t ) e F F ( j) F ( j) e d 2 t
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