第二章_Laplace变换(答案)
第2章 2.1拉普拉斯变换
注意：在某一域内复 变函数 F(s) 及其所有 导数皆存在，则称该 复变函数 F(s) 在该域 内是解析的。
∞ −( s +a )t
L[ f (t )] = ∫ Ae e dt = ∫ Ae
0
dt
A −(s+a )t ∞ A =− e = 0 s+a s+a
在复平面上 有一个极点
为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零
1 = s + 0.5
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 5. 微分定理
若
L[ f (t )] = F ( s )
∞
则
df (t ) L[ ] = sF (s) − f (0) dt
df (t ) df (t ) −st 证明 L[ ]=∫ e dt dt dt 0
1 jωt − jωt sin ωt = (e − e ) jωt 2j e = cos ωt + j sin ωt 1 jωt e − jωt = cos ωt − j sin ωt cos ωt = (e + e − jωt ) 2 ω 1 1 1 1 ( s + jω ) − ( s − jω ) L[ sin ωt ] = − = = 2 2 j s − jω s + jω 2 j ( s − jω ) ( s + jω ) s + ω2
− at
复频域位移-------时域指数乘积
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 4. 时间比例尺定理
若
L[ f (t )] = F ( s )
laplace变换习题答案
laplace变换习题答案
Laplace变换习题答案
Laplace变换是一种非常重要的数学工具，它在控制工程、电路分析、信号处理等领域都有着广泛的应用。
通过Laplace变换，我们可以将一个复杂的微分方
程转化为一个简单的代数方程，从而更容易地解决问题。
在学习Laplace变换的过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们
可以更好地理解Laplace变换的原理和应用。
下面，我们来看几道Laplace变换的习题，并给出相应的答案。
1. 计算函数f(t) = e^(-2t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{e^(-2t)} = 1/(s+2)。
2. 计算函数f(t) = sin(3t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{sin(3t)} = 3/(s^2+9)。
3. 计算函数f(t) = t^2的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{t^2} = 2/s^3。
通过以上习题的解答，我们可以看到Laplace变换的计算并不复杂，只需要根
据定义进行变换即可。
但在实际应用中，可能会碰到更复杂的函数，需要运用
一些技巧和公式来进行计算。
因此，熟练掌握Laplace变换的原理和方法，对
于我们解决实际问题将会有很大的帮助。
总之，通过做Laplace变换的习题，我们可以更好地掌握这一重要的数学工具，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待Laplace变换，
多加练习，提高自己的数学水平。
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
第二章 拉氏变换
类似地，可得象函数的微分性质： 若，F (s) = £ [f (t)]，则
F ( s ) =-£ [ Hale Waihona Puke f (t ) ]，Re(s)>c
一般地 :
n F ( n ) ( s) = (1)n £ [ t f (t )]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则：
1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，
A( s) st A(sk )esk t Res e , sk B( sk ) B( s )
A(sk )e 即：f (t ) , (t 0) k 1 B( sk )
n
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £ [f (t)]
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
f (t ) Mect ,0 t
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
第二章 拉普拉斯变换
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
第二章 拉氏变换
此时 c11 F (s).(s p1 )
k s p1
，但求解取 c12 ,, c1k
却不能再用此法，否则分母将出现0。
其中
d c12 ( s p1 ) k F ( s ) ds s p1
d (i 1) 1 k 一般地 c1i (i 2,...k ) i 1 (s p1 ) F (s) (i 1)! ds s p1
t (2).g (t ) e f ( ) a
at
第三节 Laplace逆变换
Laplace 逆变换定义 前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函 数，而f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换（或象 原函数），记作：
am ( s z1 )( s z 2 )...( s z m ) bn ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
A( s) B( s )
1、 n m 且 B(s) 0 无重根，则：
F ( s) k k1 k 2 ... n s p1 s p2 s pn
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) f (t )e dt （Re(s)>0）
st 0
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f(t)
1
t
例5： 求函数 f (t ) (t ) cos t kekt u(t ),(k 0)
m 1 st m A( s )e ( s s1 ) , (t 0) B( s )
第二章 拉普拉斯变换
1. 常用函数的拉氏变换
(1) 指数函数
0
t0
f
(t
)
Aet
t0
（2.6）
式中，A和α为常数。
其拉氏变换为
L[ Aet ] Aetestdt A e( s)tdt A
0
0
s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换
(2) 阶跃函数
f
(t
)
0 A
t0 t 0
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ Asin t] A (e jt e jt )estdt 2j 0
A 2j
s
1 j
A 2j
s
1 j
A s2 2
（2.17）
类似地， Acost（如图2.3(b)所示）的拉氏变换可以导出如下：
L[ Acost] As s2 2
（2.18）
(5) 脉动函数
A
f
t
图2.1 单位阶跃函数
第二章 拉普拉斯变换
单位阶跃函数 u(t)
0
t0
u(t) 1
t 0
（2.10）
其拉氏变换为
L[u(t)] estdt 1
0
s
（2.11）
实际上，发生于t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时，
把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t) Au(t) 。
从拉氏变换 F(s)求时间函数 f (t) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
L1[F (s)] f (t) 1
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积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dt tete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
3．求下列函数的Laplace 变换式：（2）42()t f t t e =220(4)4251[]2124[].2(2)tt st te e e dt s t e s s +∞-==-⎛⎫==⎪--⎝⎭⎰解：由象函数的微分性质可得，L L（3）()cos f t t t =()()200'22221[cos ][][][]2211112211[cos ].1(1)it it it it it st it st e e t e e se e dt e e dt s i s i s s s t t s s --+∞+∞---+==+⎛⎫=+=+= ⎪-++⎝⎭-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎰⎰解：由象函数的微分性质可得，L L L L L 4．若[]()()f t F s =L，证明：()()∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰S f t F s ds t L 或1()[()]∞-=⎰Sf t t F s ds L 。
并利用此结论，计算下列式子： （1）sin ()ktf t t=，求()F s .（2）22()(1)sF s s =-，求()f t . 0000()()()()()()st st st sts s S f t f t e e dt f t dt f t e dsdt f t e dtds F s ds t t t -∞∞∞∞∞∞∞---⎡⎤=====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§3 Laplace 逆变换 §4 卷积一、选择题1．函数221s s +的Laplace 逆变换212[]1s s -=+L [ ] （A ）()cos t t δ+ （B ）()cos t t δ- （C ）()sin t t δ+ （D ）()sin t t δ-22222111122222()0.111(0).11111[][1][1][]11111()Res[,]Res[,]11()()sin 2st st it its F s s s s s s s s s t e i e i s s e e t t t i δδδ-----⎛⎫ ⎪→∞→ ⎪ ⎪=-→ ⎪+++ ⎪ ⎪=-=- ⎪+++ ⎪⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭ - =-=- ⎝⎭利用留数方法。
注：留数方法的条件要求当时，函数此时从而L L L L ⎪⎪⎪ 2．函数22s s e e s ---的Laplace 逆变换212[]ss e e s----=L [ ] （A ）(2)2(1)u t u t --- （B ）(1)2(2)u t u t ---（C ）2(1)(2)u t u t --- （D ）2(2)(1)u t u t ---2221111[()][(1)][(2)]2[]2[][]2(1)(2)s ss s s su t s e e u t u t s s e e e e u t u t s s s ---------⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪- ⎪=-=--- ⎪⎝⎭已知，由延迟性质可知，及，从而L L L L L L 3．设()sin()3f t t π=-，则[()]f t =L [ ]（A）212(1)s + （B）22(1)s s + （C ）3211s e s π-+ （D ）321s s e s π-+()()333333[sin()][][][]32221122i ii t i t it it i ie e e e t e e i i i e e i s i i s i πππππππ------⎛⎫- ⎪-==- ⎪ ⎪ ⎪=⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭L L L L 二、填空题1．设()(35)f t u t =-，则[]()f t =L。
5551[(35)][(3)]33s sse e u t e u t s s ---⎛⎫⎪-==⋅= ⎪⎪⎝⎭L L 2．函数41(2)s s ++的Laplace 逆变换141(2)s s -⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦L 。
()'''221442111(3)Res[,-2]=(2)(2)3!6stt st s s e s s t t e e s s --=-⎛⎫⎡⎤+⎡⎤++-⎣⎦⎪==⎢⎥ ⎪++⎣⎦⎝⎭L 3．函数1ss +的Laplace 逆变换11s s -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L 。
[]111111111111()Res[,1]()1st t s s s s t e t e s δδ-----⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪=--=-⎪+⎝⎭L L L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换式：（1）2()32f t t t =++[][][][]222'''3232321()3()21()11123232t t t t t u t t u t u t s s s s s s ⎡⎤⎡⎤++=++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⋅+⋅+⋅⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L（2）2()sin t f t e t -=[]2221sin 11sin (2)1tt s e t s -=+⎡⎤=⎣⎦++由，则L L2．若[]()()f t F s =L，且a 为正实数，证明[]1()()sf at F a a =L[]0011()()()()()s at s staad s f at f ate dtf ef e d F a a a aτττττττ=+∞+∞+∞-⋅-⋅-====⎰⎰⎰L3．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）。
（1）22()(1)(4)sF s s s =++[]22122222()2.(1)(4)()Res[(),]Res[(),]Res[(),2]Res[(),2]()(4)()(4)(1)(2)(1st st st st st st st sts i s i s i sF s z s i s i s s F s F s e i F s e i F s e i F s e i se se se se s i s s i s s s i s -==-===±=±++=+-++-=+++++-++++函数在平面上具有四个奇点和，它们都是一阶极点由留数方法可知，L2)(2)cos cos23s i s i t t=---=（2）21()6s F s s s +=+-4．若[()]()f t Fs =L ，证明[()]()tf t F s '=-L ，并利用此结论，设1()ln1s F s s +=-，计算()f t 。
11111()lnln(1)ln(1)111'()111111()['()][][][]1111()t tt ts F s s s s F s s s tf t F s e e s s s s e e f t t ------+==+---⇒=-+-⇒==-=-=-+-+--⇒=L L L L5．求下列卷积：（1）tt e *001t t tt t t t tt t tt t to t e e d e e d e de e e e d e te e t e τττττττττττττ-------*===-⎡⎤⎡⎤=-+=--=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰法一：222'2022112111[][][]1(1)10(1)1Res[,0]1;(1)1Res[,1](1)1[] 1.(1)t t stst s st stts t t e t e s s s s s s s s ee t s s s e e e s s se t s s ==-*=⋅=⋅=--=-=⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭==-=---法二：由于函数在复平面上具有一个二阶极点和一个一阶极点，从而由留数方法可知，L L L L（2）sin sin (0)kt kt k *≠222222222222'2222220'2222220[sin sin ][sin ][sin ]()()Res[,]();()()44Res[,]()()stst kti s st st s k k k kt kt kt kt s k s k s k k s ki s k k ek e i tki e s k s ki k k ek e ki s k s ki ==*=⋅=⋅=+++=±+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭法二：由于函数在复平面上具有两个个二阶极点，从而L L L 21222()4422sin cos []()().()22kti kti kti i te k k i i kt t kt t e t e s k k k k ---=-=-++-=-+由留数方法可知，L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§5 Laplace 变换的应用 综合练习题一、选择题1．设[()]()f t F s =L ，则下列公式中，不正确的是 [ ]（A ）1()(1)()[()]n n n f t F s t--=L （B ）1()[()](0)()f t sF s f t δ-'=-L（C ）10()()[]tF s f t dt s-=⎰L （D ）1()[()]at e f t F s a -=+L 2．利用Laplace 变换的性质，实积分sin (0)at te btdt a +∞->⎰的值为 [ ]（A ）22222()b a a b -+ （B ）22222()a b a b -+ （C ）2222()ab a b + （D ）2222()ab a b -+二、填空题1．设3()sin 2t f t te t -=，则[()]f t =L 。