第二章 拉普拉斯变换

非重根si：
二重根sj：
1.对F(s)的分母做因式分解后，将F(s)分 解为三部分：
2.利用留数定理确定待定系数：
由此得到F(s)的常用函数组合：
3.利用Laplace变换的线性性质和复移位性 质，反变换F(s)得到f(t):
三、象函数包含有共轭复根
• 共轭复根的特点是两个根具有相同的实部 和符号相反的虚部，如： • 共轭复根在象函数的分母中可以表示为：
的形式，其中
。
的形式，其中
。
6. 初值定理： 若 和 均可以进行Laplace变
换，且
存在，则：
7. 终值定理： 若 和 且
均可以进行Laplace变换，
存在，则：Байду номын сангаас
说明：该定理只适用于像函数 在复平 面右半平面和虚轴上（除坐标原点外）没有 极点的情况。即： 的根不能是 正实数或纯虚数
第二章
第3小节
的
推论：若
，则
同理：
4. 延迟性质： 时间函数 数等于 若 在时间轴上平移 的像函数 ，则： ,其像函 。 乘以指数因子
5. 复移位性质： 原函数 乘以指数 ，其像函数等于 的像函数 在复数域平移a，其中a 为实常数可取正、负值。 若 ，则：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例：电阻、电感、电容串联 构成的电路如图，其中， 各元件初始状态皆为0，即：
当电压源上产生单位阶跃函 数的电压后，电路的输出会 产生怎样的响应函数。
解： 1. 列写电路的微分方程 输入信号： 输出信号： 串联电路：
2. 对微分方程进行拉氏变换 零初始条件下：
3.求解拉氏变换后的代数方程：
代入： 得：
定义：
设函数 ，当 时有定义，而且积分
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函 数可写成： 称此式为函数 的拉普拉斯变换，记为：
称为 称为
的拉普拉斯变换的像函数， 的像原函数。
反变换的定义：
拉普拉斯变换与其反变换存在一一对应的关 系，像函数 可以惟一地确定其像原 函数 。
对于 称为 ，则 的拉普拉斯反变换，记为：
拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换
采用部分分式展开法将 展开成多个 常见象函数的叠加。 利用Laplace变换的性质和定理，并查询 Laplace变换表，得到各个象函数的Laplace 反变换。
一、象函数的根互不相同
例： 部分分式法： a. 分母做因式分解：
b. 采用待定系数法，将F(s)分成两部分：
用留数定理计算待定系数：
4. 对代数方程的解求拉氏反变换 部分分式分解(存在一对共轭复根，采用 配方法):
与Uo(s)的分子部分匹配：
Uo(s)的部分分式形式为：
调整为正弦函数、余弦函数的象函数形式：
公式：
由此得到F(s)的常用函数组合：
c. 利用Laplace变换的线性性质和复移位性 质，反变换F(s)得到f(t):
二、象函数的根有重根
象函数的根有重根时，也可以采用留数定 理进行部分分式分解。 例：
象函数的根有3个，分别是-2，-2，-1。 其中-2是重根。 对非重根和重根分别采用留数定理：
第二章
第1,2小节
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本概念
一、在线性定常微分方程求解中引入 拉普拉斯变换
在线性定常微分方程的求解过程中引入拉普 拉斯变换： 1. 先取微分方程的拉氏变换，将微分方程化 为象函数的代数方程； 2.根据代数方程的相关特性，求出象函数； 3.通过拉氏反变换求出原微分方程的变量的 解。
二、拉普拉斯（Laplace）变换定义
Laplace变换是数学积分变换的一种常用变 换。在控制工程中，描述系统动态特性的传 递函数模型和系统的频率特性都是建立在 Laplace变换基础上的。
优点： - 能把较复杂的运算转化为较简单的运算； （将常微分方程转化成代数方程） - 可以揭示系统各变量之间的关系或函数 的某些特性。
1.线性性质： 各函数线性组合的Laplace变换等于各 个函数Laplace变换的线性组合。 若 是常数， 则有： 反之：
2. 微分定理： 函数 求导后的Laplace变换等于 的像函数 乘以复变量s，再减去这个时 间函数的初值。 若 ，则：
推论：若
，则
特别当
，有
同理：
3.积分定理： 积分后的Laplace变换等于 像函数 除以复变量s。 若 ，则：
•这与正弦、余弦函数象函数的分母结构相 似：
• 部分分式展开时将共轭复根组合在一起，
并采用配方法求待定系数
例：
分成两部分：
采用配方法确定待定系数：
与F(s)的分子部分匹配：
F(s)做部分分式展开后：
第二章
拉普拉斯变换
第4小节 用拉普拉斯变换求解微分方程
对微分方程作拉氏变换，可以得到原函数 的代数方程，求解代数方程后，再经过拉氏反 变换，就可以得到微分方程的解。
三、基本环节的拉普拉斯变换
1. 单位阶跃函数的拉普拉斯变换 原函数： 象函数：
2. 单位斜坡函数的拉普拉斯变换 原函数： 象函数：
3. 指数函数的拉普拉斯变换 原函数： 象函数：
4. 正弦、余弦函数的拉普拉斯变换
原函数： 象函数：
5. 常用函数的拉普拉斯变换：
四、拉普拉斯变换的常用性质和定理