第四章拉普拉斯变换及S域分析
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第4章 拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析
a j 1 sa
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. t的指数函数：eatu(t)（a为任意常数）
e u (t ) F ( s )
at
e e
1 sa
at
st
dt
0
0
e
( s a )t
dt
0
e
( s a )t
|
1 sa
(4.1-10)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例4.1-1 已知f(t)=e-atu(t)(a>0)，求f(t)的拉氏变换。
解 f(t)的收敛域如图4.1-2(a)所示， 包括jω轴，所以
e
at
u ( t )( a 0 ) F ( s ) F ( ) | s j 1 | s j
在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但 对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在 的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. 单边拉氏变换收敛区 收敛区:使f(t)e-σt满足绝对可积的σ取值范围， 或是
使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
指数阶f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为:
1）若f(t)是随时间衰减的： σ0<0，其拉氏变换的收敛区 收敛区包含虚轴jω， 函数的 傅氏变换存在； 例如单边指数信号 e-atu(t) （a>0）的σ0=-a， 其拉氏变 换的收敛区如图4.1-2(a)所示； 4.1-2(a)
由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt 的作用， 使得 f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)
1
2j
F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)
0
estd t
即 u(t ) 1
est
s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t
F1( )
f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2
2 s3
L tn
n! s n1
4、冲激函数 (t)
第四章 拉普拉斯变换与s域分析
0 0
(t ) 1
清华大学出版社
10
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
单位阶跃信号：
F ( s) u (t )e dt
st 0
0
1 st 1 e dt e 0 s s
st
0
0
1 te dt 2 s
st
1 r (t ) 2 s
清华大学出版社
12
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
指数信号： f (t ) e t u(t ), ( 0)
F (s) e
0 t st
清华大学出版社
23
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.2.5 时域微分性质
若
f (t ) F (s) 则 f (t ) sF (s) f (0 )
表明：函数f( t )求导后的拉氏变换是原函数的象 函数乘以复量s，再减去原函数f( t )在0时的值。 如
duc (t ) C C[ sU c ( s) uc (0 )] dt
清华大学出版社
5
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.2 收敛域(ROC)的概念
选择适当的 值才可能使式子 F ( s) 积分收敛，即F(s)存在的条件为
0
f (t )e- st dt 的
使得
0
f (t )e- st dt
0
f (t )e
(t ) 1
清华大学出版社
10
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
单位阶跃信号：
F ( s) u (t )e dt
st 0
0
1 st 1 e dt e 0 s s
st
0
0
1 te dt 2 s
st
1 r (t ) 2 s
清华大学出版社
12
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.3 常用函数的拉普拉斯变换(单边拉式变换)
指数信号： f (t ) e t u(t ), ( 0)
F (s) e
0 t st
清华大学出版社
23
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.2.5 时域微分性质
若
f (t ) F (s) 则 f (t ) sF (s) f (0 )
表明：函数f( t )求导后的拉氏变换是原函数的象 函数乘以复量s，再减去原函数f( t )在0时的值。 如
duc (t ) C C[ sU c ( s) uc (0 )] dt
清华大学出版社
5
《信号与系统分析》——第四章 拉普拉斯变换及S域分析
4.1.2 收敛域(ROC)的概念
选择适当的 值才可能使式子 F ( s) 积分收敛，即F(s)存在的条件为
0
f (t )e- st dt 的
使得
0
f (t )e- st dt
0
f (t )e
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
第四章拉氏变换S域分析(共52张PPT)
分母多项式B(s) 0的根可能为实根或复根,若为
复根必共轭成对.
第十二页，共五十二页。
*零点与极点(jídiǎn)(有理真分式) • A(s)=0的根zi称为F(s)的零点(línɡ . diǎn)
A(s) amsm am1sm1 ... a1s a0 am (s z1)(s z2 )...(s zm )
• 一般(yībān)把使LT积分式收敛的s值范围称为LT 的收敛域.
(region of convergence, ROC)
• 指数阶函数:
若有常数
0
,
使得
lim
t
f
(t )e t
0
( 0 )
就称f (t)为 0指数阶函数.
而f (t)的收敛域为: 0 , 0称为收敛坐标.
第九页，共五十二页。
已知y(t) LT Y (s) 1.当y(0) 0 则有y(t) LT sY (s) 2.当y(0) 0 则有y(t) LT sY (s) y(0) 因此时域微分方程经由LT可变为代数方程, 而且能把初始条件的作用计入,简化了求解 过程,可以一步到位得到全响应.
第八页，共五十二页。
*收敛(shōuliǎn)域(ROC)
f ( )es( t0 )d 0
显然，只有当f (t)在[t0 ,0 ]内等于零时，才有
f (t t ) f ( )e e d LT
s st0
0
0
第二十七页，共五十二页。
F (s)est0
若t0 0，则
f (t t0 ) LT
0
f ( )es( t0 )d
t0 f ( )es( t0 )d 0
ILT[F (s)] f (t) 1
j
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析基本要求通过本章的学习...
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。
拉普拉斯变换.
二、拉普拉斯变换的优点
利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的 微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算， 将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算 量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两 个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。 在此基础上建立了线性时不变电路s域分析的 运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时 还引出了系统函数的概念。
• 难点：拉普拉斯变换在求解微分方程的优点
一、拉普拉斯的产生和发展
傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、 抽样、滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法 时，信号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会 遇 到 许 多 信 号 ， 例 如 阶 跃 信 号 (t) 、 斜 坡 信 号 t(t) 、单边正弦信号 sint(t) 等，它们并不满足 绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的 傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们 的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数， 使分析计算较为麻烦。
十九世纪末，英国工程师亥维赛德(O.Heaviside, 1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力工 程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的数 学论证。后来，法国数学家拉普拉斯(P. S. Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严 密的数学定义。于是这种方法便被取名为拉普拉 斯变换，简称拉氏变换。----因为是“拉普拉斯” 这个人定义的。
三、本章内容简介
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他
们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
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•另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。 1 j t 1 f (t ) F ωe dω F f ( t ) 2
拉氏变换的优点
把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换， 经求解再还原为时间函数。 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 应用拉氏变换：
4．tnu(t)
作业
P250 4-1
第三节 拉氏变换的基 本性质
一．线性
例题：
已知 则 同理
二．原函数微分
证明：
推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
① ②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
五．s域平移
证明：
ai,bi为实数，m,n为正整数。
则A( s ) am ( s z1 )( s z 2 ) B ( s ) bn ( s p1 )( s p2 ) 其中p1 , p2 ,
( s zm ) ( s pn )
其中z1，z2， zm 称F ( s )的零点 pn 称F ( s )的极点
1．拉普拉斯正变换
则
2．拉氏逆变换
3．拉氏变换对
二、拉氏变换的物理意义
s j
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)， 或作相反变换。 时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。 变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
est e t e jwt e t (cos wt j sin wt )
u(t)
m n时，先用长除法将分子中的高次项提出， 余下的满足m n部分按上法分解
举例4-8:
已知 10( s 2) 3)
求其逆变换
k3 k1 k2 解：部分分解法 F ( s ) （m n） s s 1 s 3
α
5. e 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标 ， 为非指数阶信号，无法 进行拉氏变换。
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def
0
f (t )e st dt
四．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
2.指数函数
3.单位冲激信号
全s域平面收敛
部分分式展开法 (1)极点为单实根的情况 ( p1
pn )
k1 m n时，F ( s ) s p1
分解
kn s pn
i
其中ki ( s pi ) F ( s) s p （留数）
f (t ) k1e
L1
p1t
kn e
pn t
０在S 平面内称收敛坐标
例题及说明
1.满足 lim f ( t ) e t 0σ σ 0 的信号成为指数阶信号 ；
t
2.有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在；
3. lim t ne t 0
t
0
4. lime t e t 0
t
t2
同理 : e
t
六．尺度变换
证明：
时移和尺度变换都有时:
七．初值
初值定理证明
由原函数微分定理可知
八．终值
证明： 根据初值定理证明时得到的公式
f 0 lim f ( t ) f 0 lim f (t )
t
t
终值存在的条件:
sF s 在右半平面和 jω 轴 (原点除外)上无极点。
例4-6
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
所以 e
t
s α cosω0 t u( t ) 2 s α ω02 ω0 sinω0 t u( t ) s α 2 ω02
例如
九．卷积
时域卷 积定理
频域卷 积定理
证明：
交换积分次序
第四节
拉氏逆变换
一、系统的s域分析方法
用拉氏变换方法分析系统时，最后还要 将象函数进行拉氏反（逆）变换。 求解拉氏逆变换的方法有：
（1）部分分式展开法
（2）长除法 （3）留数法
二、部分分式展开法
A( s) am s m am1s m1 a0 设F ( s) （有理式） n n 1 B( s) bn s bn 1s b0
（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含 在变换式里。
（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”， “积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代 数方程。 拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。 利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。
第二节 拉氏变换的定义、 收敛域
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的 重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅 度的增长速率或衰减速率。
三．拉氏变换的收敛域
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
其中０与f t 有关， 过０ 的垂直线为收敛轴，
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) s ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
第四章 拉普拉斯变换 与S域分析
第一节 引言
傅里叶变换的局限性
•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有
些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析
受到限制；
f t d t