第四章 拉普拉斯变换
第四章 拉普拉斯变换
即，收敛域相应平移一 Res0 个
Res 0 a
例：求衰减的正弦函数 t sin t的象函数， 0 e 解： sin t
s
2 2
Res 0
令f (t ) sin t 则F ( s)
s2 2
由频移性质： e t sin t e t f (t ) F (s )
0为收敛轴，如图所示
F(s)的拉氏逆变换为
1 f (t ) F ( s) F ( s)e st ds 2j f (t ) F (s) 记为
1
五、一些常用函数的拉氏变换 1.阶跃函数
u (t )
2.指数函数
Hale Waihona Puke 0e st e st dt s
单边拉氏变换 当f(t)为有始函数时，即t＜0时f(t)=0
则 F ( s ) f (t )e st dt
0
记为F ( s ) f (t )
1 f (t ) F ( s )e st ds 2j f (t ) 0
t0 t0
f (t ) F (s) f (t )e st dt
0
在半平面Re(s ) 0上一定存在，积分 f (t )e st dt在 Re(s ) 1 0
0
上绝对一致收敛， ( s )在 Re(s )为解析函数。其收敛域 Re(s ) 0， F 为
注：零点、极点相抵消，为不可观测状态。例： 1 1 1 s 1 s 1 s 2 其中s=-1为不可观测状态。 四、复频移特性 若 f (t ) F ( s), Res 0
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
+
1 vC (0 ) s
-
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
f (t )u(t ) F (s)
f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
s j
F ( s) f (t )e dt
st 0
单边拉氏变换
FB ( s ) f (t )e st dt
双边拉氏变换
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1 (t ) f (t )e
1 f (t ) 2
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟 j
f1 (t )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
例2：求 (t 1)u (t 1), t 1, t 1, (t 1)u (t 1),
f1 (t ) f (t )e t
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
4.拉普拉斯变换
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
第四章拉普拉斯变换
1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2
0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0
e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n
0
t st t e dt e s
F ( )
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t
F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)
F1 ( ) [ f (t )e ]e
d t f (t )e
n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n
青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料
例2 求函数 f (t ) e
st
s R. 的拉氏变换
解 ℒ f (t ) est e pt dt e( p s ) t dt 1 0 0 ps
Re p s
1 e ps
st
例3 解
0 求单位斜坡函数 t t
二 位移性质
1
L [ F ( p a)] e f (t )
at
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
三 延迟性质
L [e
1
pa
F (p)]=u(t-a)f(t-a)
四 相似性质
1 p L F (ap ) f ( ) a a
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
五 微分性质
L [ F ( p)] (1) t f (t )
解：
1 令 f (t ) 1 由于 F ( p ) 所以 p d d 1 1 L[t ] F ( p) ( ) 2 dp dp p p n! n 可以依次类推 L[t ] n 1 。 p
2）拉氏变换式对参数P的导数
利用导数性质求解：L[t cos t ] 和L[t e2t ]
Hale Waihona Puke p L[sin t ] [ p 2 cos 0] p 1 p [ p 2 1] p 1
1 2 p 1
2）拉氏变换式对参数P的导数
dn 若L[f(t)] F(p), 则， n L[f(t)] F (n) p L[( t) n f (t )] dp
1 n 2 3 例已知 L[1] ，求 t , t , t 和 t 的拉普拉斯变换。 p
1 PS
所以
f t 1 et
第4章拉普拉斯变换
第四章 连续信号与系统的S 域分析1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统，()()t f dt dft y dt dy dty d 524522+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性解：(1) 方程两边取拉氏变换；()()()()4552455222+++=⋅+++=⋅=s s s s F s s s s F s H s Y()()()t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-+=+++⋅+=---4221212142122111459221(2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。
则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。
该题中，()114145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以系统稳定。
2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=++--30,20223'22y y t f dt dft y dt dy t d y d已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。
解：方程两边取拉氏变换()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=+++-=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-++++-=+⋅+++=++++++⋅+++=+=+=---+++-----------213225751725239232132512123325312312223632312312;3112030'023*********22。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章拉普拉斯变换第一题选择题1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。
A、是反比关系；B、无关系；C、线性关系；D、不确定。
2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。
A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。
A、左半平面B、右半平面C、虚轴上D、虚轴或左半平面4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B 。
A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。
A 左半平面B 右半平面C 虚轴上D 虚轴或左半平面6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。
A 指数增长信号B 指数衰减信号C 常数D 等幅振荡信号7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是DA、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。
A 稳定B 不稳定C 临界稳定D 无法判断稳定性9．系统函数H(s)是由 D 决定的。
A 激励信号E(s)B 响应信号R(s)C 激励信号E(s)和响应信号R(s)D 系统。
10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是 B 。
A 指数增长信号B 指数衰减信号C 常数D 等幅振荡信号11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 BA、是反比关系；B、无关系；C、线性关系；D、不确定。
12．关于系统函数H(s)的说法，错误的是 C 。
A 是冲激响应h(t)的拉氏变换B 决定冲激响应h(t)的模式C 与激励成反比D 决定自由响应模式13．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在原点的极点，则它的h(t)应是 C 。
A 指数增长信号B 指数衰减振荡信号C 常数D 等幅振荡信号 14．系统函数)2)(1(1)(+++=s s s s H ，对应的微分方程为 B 。
A )()(2)(t f t y t y =+' B )()()(2)(3)(t f t f t y t y t y +'=+'+'' C 0)(2)(=+'t y t y D )()()(2)(3)(t f t f t y t y t y '+''=+'+'' 15．已知系统的系统函数为)23(2)(2+++=s s s s s H ，系统的自然频率为 B 。
A -1 , -2B 0 ,-1 , -2C 0, -1D -2第二题、填空题1、信号t e t x 2)(-=的拉普拉斯变换=)(s X4(2)(2)s s -+ 收敛域为22σ-<<2、连续时间系统稳定的条件是，系统函数H(s)的极点全部位于 s 平面的左半开平面。
3、函数t te t f 2)(-=的单边拉普拉斯变换为F(s)=2)2(1+s , 函数)2)(4(3)(++=s s s s F 的逆变换为： 6e -4t －3e -2t 。
4、函数)2sin()(t e t f t -=的单边拉普拉斯变换为F(s)=4)1(22++s 。
函数231)(2+-=s s s F 的逆变换为：t t e e --2。
.5、函数t t t f cos 2sin )(+=的单边拉普拉斯变换为F(s)=1122++s s 。
函数324)(+=s s F 的逆变换为：t e232-。
6、函数t e t f t ωcos )(-=的单边拉普拉斯变换为F(s)=22)1(1ω+++s s , 函数231)(2+-=s s s F的逆变换为：)()(2t u e e t t -。
7、已知系统函数1)(2+=s s s H ，起始条件为：0)0(,1)0(='=--y y ，则系统的零输入响应y zi （t ）= （cos ()t u t ⋅ ） 8、函数at e t f --=1)(的单边拉普拉斯变换为F(s)=)(a s s a+，函数6554)(2+++=s s s s F 的逆变换为：)()37(23t u e e t t ---。
9、函数t e t t f 73)(2)(--=δ的单边拉普拉斯变换为F(s)=732+-s , 函数)2)(4(3)(++=s s s F 的逆变换为=)(t f )()(2342t u e e t t---。
10、已知系统函数11)(+=s s H ，激励信号x (t)=sin t u(t)，则系统的稳态响应为45)t - 11、已知系统函数H （s ）=1)1(12++-+k s k s ，要使系统稳定，试确定k 值的范围（ 11k -<< ）。
第三题判断题1．若L =)]([t f 则),(s F L )()]([00s F e t t f st -=- （ √ ）2．L )1sin(121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--t s e s （ × ） 3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。
（ √ ） 4．系统函数H(s)是系统零状态响应的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比（√） 5．一个因果稳定的连续系统，其H (s)的全部极点须分布在复平面的虚轴或左半平面上。
(×)6．若已知系统函数)1(1)(+=s s s H ，激励信号为)()(2t u e t x t -=，则系统的自由响应中必包含稳态响应分量。
（ √ ）7．系统函数H(s)是系统冲激响应h(t)的拉氏变换。
（ √ ）8．系统函数H(s)与激励信号E(s)成反比 (× ) 9.系统函数与激励信号无关 （ √ ） 10．系统函数H(s)极点决定系统自由响应的模式。
(√) 11．某系统的单位冲激响应h(t)=e 2t u(t-1)是稳定的。
(×) 12．系统函数H(s)若有一单极点在原点，则冲激响应为常数。
( √ ) 13．线性时不变系统的单位冲激响应是由系统函数决定的，与激励无关。
(×) 14．一个信号如果拉普拉斯变换存在，它的傅里叶变换不一定存在。
(√) 15．由系统函数H(s)极点分布情况，可以判断系统稳定性。
(√) 16．利用s=jw ，就可以由信号的拉普拉斯变换得到傅里叶变换。
(×) 17．拉普拉斯变换的终值定理只能适用于稳定系统。
(√) 18．系统函数H(s)的极点决定强迫响应的模式。
(×) 第四题计算题1、求下列信号的拉普拉斯变换 1). tteα- 2). ()U at b -，0a > 3). 0cos t e t αω- 4). [cos ()]dt tU t dt5). (2)tU t - 解: 1). as e at +↔-1， ()211a s a s ds d te at +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-↔- 2.) ()s a bs a be s e a s a a b t a U b at U --=↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111 3.) t e at 0cos ω-,220cos ωω+↔s s t ， ()2020cos ωω+++↔-a s a s t e at4.)()[]t tU dt dt cos , ()1cos 2+↔s s t tU ， ()[]1cos 22+↔s s t tU dt d , ()[]()2212cos +-↔s s t tU dt d t5). (2)(2)(2)2(2)tU t t U t U t -=--+-1()U t s ↔，21()tU t s ↔，221(2)(2)s t U t e s ---↔∴()ss e s s e s s t tU 222221212--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+↔-2、求下列拉氏变换的原函数1). 1(1)ss e -- 2).21s e s -⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3). 21(1)s + 4). 21se s - 5). 33232s s s s ++解1). ()()()∑∑∞=∞=--=-*↔-⋅00111n n sn t U n t t U e s σ 2). ()()[]()()[]()()()()()44222221122--+---=--*--↔-⋅---t U t t U t t tU t U t U t U t U se s e ss3).()()()11112--↔+-t U e t s t4).()()1112--↔-t U t e ss5). []()t U e e s s s s s s s s s tt ---↔+-+=++=++22232211222323 3．已知如下图所示，求系统函数。
+-2u +-()f t221()1111s RLCH s Ls s s Cs RC LC R Ls Cs +==++++4．已知系统阶跃响应为)()1()(2t u e t g t--=，为使其响应为)()1()(22t u te et r t t----=，求激励信号)(t e 。
解：)()1()(2t u e t g t--=，则系统冲激响应为)(2)()(2t u e dtt dg t h t -== 系统函数 2s 2)(+=s H 2zs )2s (12s 1s 1)s (R +-+-= 2s s 1)s (H )s (R )s (E 21zs +-==∴)()211()(2t u e t e t--=∴ 5、已知某系统阶跃响应为)()(t u e t e t -=，零状态响应为)()221()(32t u e e e t r t t t +-=--，求系统的冲激响应)(t h ，并判断该系统的稳定性。
解： 11)(+=s s E 3221)1(21)(-++-+=s s s s R zs则：3821233)1(22121)()()(-+++=-++++-==s s s s s s s E s R s H zs )()8()(23)(32t u e e t t h t t ++=∴-δ因为系统函数有一极点在复平面有半平面，故该系统不稳定。
6、 线性时不变系统，在以下三种情况下的初始条件全同。
已知当激励)()(1t t e δ=时，其全响应)()()(1t u e t t r t -+=δ；当激励)()(2t u t e =时，其全响应)(3)(2t u e t r t -=。