电路第十三章 拉普拉斯变换
《电路》第十三章 拉普拉斯变换
S
12
3.积分性质
设： [ f (t)] = F (s)
则：
∫t
[ 0−
f
(t)dt] =
1 F(s) s
证：令
∫t
[ 0−
f (t)dt] =
φ( s )
[ f (t)] =
⎡ ⎢⎣
d dt
∫t 0−
f
(t
)dt
⎤ ⎥⎦
F(s) =
sφ(s) −
∫t 0−
f (t)dt
t =0−
应用微分性质
∴ φ(s) = F (s) s
注 f (t − t0) = 0 当 t < t0
[ ] ∫ 证：
f(t - t0 )
=
∞ 0−
f (t − t0 )e−stdt
∫=
f (t − t )e e dt ∞
f (t) = δ (t)
∫ F (s) =
[δ (t)] =
∞ 0−
δ
(
t
)e
−
st
dt
∫=
δ0+
0−
(
t
)e − st dt
= e−s0 = 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) = eat
[ ] ∫ F( s ) =
e at
=
e e dt ∞ at −st
0−
= − 1 e−(s−a)t s−a
1
− jω
−
S
1⎤
+ jω ⎥⎦
=
ω S2 +ω2
9
2. 微分性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若： [ f ( t ) ] = F ( S )
第十三章 拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的 方法间接求得。 设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数，且 n ≥m 。
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + L + am F ( s) = = D( s ) b0 s n + b1s n −1 + L + bn
∞
−
F (s) f (ξ )dξ ] = s
e-stdt，
利用∫ udv = uv − ∫ vdu
则： 0 [(
1 − st ∴ du = f (t )dv，v = − e s
− st ∞
∫ ∫
= (∫
t
t
0−
f (ξ )dξ )e − st dt ] = ( ∫
t
0−
0−
e f (ξ )dξ ) −s
16
例：13-7
s+3 求：F(s) = 2 的原函数f (t ) s + 2s + 5
17
3、D(s)=0 具有q阶重根p1 ， 其余为单根p2、 p3、
K11 K2 则：F ( s ) = + +L+ +( + L) 2 q s − p1 ( s − p1 ) ( s − p1 ) s − p2
则 f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。 本书涉及的f(t)均满足上述条件
1 c + j∞ 拉普拉斯反变换的定义： f (t ) = F ( s )e st ds 2πj ∫c − j∞
式中，M , c为正的有限常数
−1
用 [ ]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换 用 [ ]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换 例如：F(s)= [f(t)]=
13-1拉普拉斯变换
j
F
(S
)e
st
ds
3
定义在 (0, ) 区域内的函数 f (t) ，如果满足下列两个 条件：
（1） t 0 的任一有限区间内， f (t) 分段连续； （2）在 t 充分大时， f (t) 满足不等式
| f (t) | Mect 其中 M、C 为实常数（即 f (t) 为一指数函数），则 f (t) 的拉氏变换 F (s) f (t)est dt ，在复平面上
f (t)est ，再在（0－，∞）内对 t 积分，该积分称为单边
拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。 L[ f (t)] F (s) f (t)estdt
0
式中 s j 为复数（复频率变量） 上式对 t 求定积分后，变成了复变量 s 的函数，所以记作 F(s) 。
∴
|
0
f (t)e st dt |
M e ( c)t dt
0
当 c 0 ，即 c ，即 Re(s) c 时， M e( c)t dt 是
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
电路十拉普拉斯变换
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
第13章 拉普拉斯变换
k2 s2
k3 s5
0 .1 s
0 .5 s2
0 .6 s5
k 1 sF ( s )
s0
1 25
0 .1
k1
2s 1 3s 14s 10
2 s0
1 10
0 .1
k 2 ( s 2 ) F ( s ) s 2
2( 2) 1 2 ( 2 5)
I2(s) + sL2
+ i1
u1 –
u 1 L1
M
L1 L2
i2
+
u2 –
+ –
+ – + –
+
L2i2(0-)
U2(s)
–
Mi1(0-)
+
–
d i1 dt d i2 dt
M
d i2 dt
U 1 ( s ) sL 1 I 1 ( s ) L1 i 1 ( 0 ) sMI 2 ( s ) Mi 2 ( 0 ) U 2 ( s ) sL 2 I 2 ( s ) L 2 i 2 ( 0 ) sMI 1 ( s ) Mi 1 ( 0 )
本章重点：
1. 运算形式的电路定律和元件约束
2. 用运算法分析线性电路
§13－1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
F 双边拉氏变换：( s ) F 单边拉氏变换：( s ) 1 f (t ) 拉氏反变换： 2 j
f (t ) e
0
c j
c j
把傅氏变换的 j s j F f ( t ) e dt 记作 ( s ) L [ f ( t )] 正变换 1 F ( s ) e ds 记作 f ( t ) L [ F ( s )] 反变换
电路第十三章拉普拉斯变换
电路第十三章拉普拉斯变换第十三章拉普拉斯变换内容提要本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。
主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法(分解定理),还将介绍KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通过实例说明它们在电路分析中的应用。
目录§13—1拉普拉斯变换的定义§13—2拉普拉斯变换的基本性质§13—3拉普拉斯反变换的部分分式展开§13—4运算电路§13—5应用拉普拉斯变换法分析线性电路本章作业13—1(2)(4)(6)(8)、13—2(1)(3)、13—3(2)(4)、13—4、13—12、12—16、12—18§13—1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学变换。
定义：F()=∫f(t)e–tdt0–∞S=σ+jω拉普拉斯正变换1σ+j∞F()etdf(t)=拉普拉斯反变换2πj∫σ–j∞拉氏正变换f(t)拉氏反变换F()=L[f(t)]原函数一一对应象函数f(t)=L–1[F()]F()简写符号例：计算下列原函数的象函数；1.f(t)=ε(t)2.f(t)=δ(t)∞0–3.f(t)=e–αtε(t)4.f(t)=tε(t)解：F()=∫f(t)e–tdt1.F()=L[ε(t)]=∫∞0–ε(t)e–tdt=∫0∞–e–tdt=0+1–t–e1=0–∞∞2.F()=L[δ(t)]=∫δ(t)e–tdt=∫δ(t)dt=10–0–∞3.F()=L[e–αtε(t)]=∫∞∞0–e–αte–tdt=1e–(α+)t–α+∞0–1=α+0–124.F()=L[tε(t)]=∫=–1[te–t0–同理：F()=L[tnε(t)]=n!n+1te–tdt–∫∞0–e–tdt]=§13—2拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质若：L[f1(t)]=F1()L[f2(t)]=F2()则：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1()+A2F2()证：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=∫[A1f1(t)+A2f2(t)]e–tdt0–∞=∫A1f1(t)e–tdt+∫0A2f2(t)e–tdt0––∞∞=A1∫0f1(t)e–tdt+A2∫f2(t)e–tdt–∞∞0–=A1F1()+A2F2()例：计算下列原函数的象函数；1、常数U解：1、L[U]=L[Uε(t)]=U2、L[A(1–e–αt)]=L[A]–L[Ae–αt]=3、L[inωt]=L[1ejωt–2j11–=2j–jωαAA–A+α=(+α)2、A(1–e–αt)3、inωt1–jωte]2jω112j+jω=2+ω2同理：L[coωt]=22+ω二、(时域)微分性质设：L[f(t)]=F()则：L[f′(t)]=F()–f(0–)证：L[f′(t)]=∫∞df(t)0–dte–tdt=∫e–tdf(t)0–∞=e–tf(t)∞0––∫f(t)(–)e–tdt∞0–0–∞=–f(0–)+∫f(t)e–tdt=F()–f(0–)导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换为象函数乘以再减去初始值的代数运算。
13第十三章拉普拉斯变换
1 ( s 1)
2 t
3
( s 1)
t
2
f (t ) 3e
2 te
0 .5 t e
3t
小结： 1.由F(S)求f(t) 的步骤 1.) n =m 时将F(S)化成真分式
F (S ) C0 P(S ) D(S )
2.)求真分式分母的根，确定分解单元 3.)求各部分分式的系数 4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
2 t
(t ) 7e
(t )
例
求 F (s) s
2s 1
3
7s
2
10 s
的 原 函 数 f ( t )。
解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=－2，s3=－5
D ( s ) 3 s 14 s 10
2
K1
N (s) D ( s )
s s1
3
s p1
则： f (t ) K1e 当为n阶重根：
Kn
K 2te
d
( n 1) ( n 1)
p1t
1 2
K 3t e
n
2
p1t
1
(n 1)! ds
(s p )
1
F ( s)
s p1
例： 2 S ( S 1)
S 4
K1 S
K 21 ( S 1)
L[ (t )]
0
(t )e
St
dt
0 0
(t )e
St
dt
0 0
电路 第十三章 拉普拉斯变换
第十三章 拉普拉斯变换13．1 基本概念13．1．1拉普拉斯变换的定义一个定义在[)∞,0区间的函数()t f ，它的拉普拉斯变换式()S F 定义为()()dt e t f s F st -∞⎰-=0式中ωσj s +=为复数，()S F 称为()t f 的象函数，()t f 称为()S F 的原函数。
式中积分下限取-=0t ，把上述定义式作如下变形：()()()()dt e t f dt e t f dt e t f s F st stst-∞+--∞⎰⎰⎰+==+--0000可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及-=0t 时()t f 可能包含的冲激。
13．1．2 拉普拉斯变换的基本性质设()[]()s F t f L 11= ()[]()s F t f L 22=，则有下表中性质。
表13-1拉普拉斯变换的基本性质13．1．3 拉普拉斯反变换对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即()()[]()ds e s F js F L t f stj c j c ⎰∞+∞--==π211，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。
电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s 的多项式之比，即s 的一个有理分式()()()nn n mm m b s b s b a s a s a s D s N s F ++++++==-- 110110 式中m 和n 为正整数，且m n ≥。
若m n =时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原函数。
1．()0=s D 具有n 个单实根时()iini p s K s F -=∑=1式中：()()i p s i i s F p s K =-=|则 ()()[]t p ni i ie K s F Lt f ∑=-==112．()0=s D 具有重根时设()0=s D 除了m 个重根外，其它均为单根，共有n 个根。
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目录
§13—1 拉普拉斯变换的定义 §13—2 拉普拉斯变换的基本性质 §13—3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 §13—4 运算电路 §13—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
本章作业
13—1(2)(4)(6)(8)、13—2(1)(3)、 13—3(2)(4)、13—4、13—12、 12—16、12—18
例： δ(t) R C uC
求：uc(t)的冲击响应 duc 1 解： C + uc=δ(t) dt R 等式两边进行拉普拉斯变换
duc 1 L[C dt ]+L[ R uc]=L[δ(t)] 1 sCUC(s) –Cuc(0–)+ UC(s)=1 R 1 1 1 UC(s)= 1 1 = C s+ RC sC+ R
t 1 1 1 –τ uc(t)=L–1[ C 1 ]= C e s+ RC
1 (sC+ )UC(s)=1 R 进行拉氏反变换
三、(时域)积分性质 设：L[f(t)]=F(s) F(s) 则：L[ ∫ f(ξ)d(ξ)]= s 0–
t
积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算 转换为复频域中象函数除以s的代数运算。 d t f(ξ)d(ξ)=f(t) 证： dt ∫ 0– 两边进行拉氏变换 根据导数性质 d t f(ξ)d(ξ) ]=L[f(t)] L[ ∫ dt 0–
原函数f(t)
Aδ(t) Aε(t) Ae–αt 1–e–αt sin(ωt) cos(ωt) sin(ωt+ϕ) cos(ωt+ϕ) e–αtsin(ωt)
常用函数的拉氏变换表 象函数F(s) 原函数f(t)
A A/s A s+α α s(s+α) ω s2+ω2 s s2+ω2 ssinϕ+ωcosϕ s2+ω2 scosϕ+ωsinϕ s2+ω2 ω (s+α)2+ω2 e–αtcos(ωt) te–αt t sinh(αt) cosh(αt) (1–αt)e–αt 1 2 2 t 1 tn n！ 1 tne–αt n！
第十三章 拉普拉斯变换
内容提要
本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应 用。主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变 换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变 换的部分分式法（分解定理），还将介绍KCL和KVL 的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通 过实例说明它们在电路分析中的应用。
频域平移性质
部分分式展开法 F(s)一般可以写成关于s的两个多项式之比。 N(s) F(s)= D(s) N(s)、 D(s)是关于s的多项式 设：F(s)为有 理式( n>m)
a0sm+a1sm–1+‥‥‥+am–1s+am = b0sn+b1sn–1+‥‥‥+bn–1s+bn 对分母进行因式分解 N(s) = (s–p1)(s–p2)‥‥‥(s–pn)
例： 求单个正弦波的象函数。 f(t) f(t′) T t T
f(t)=sinωtε(t)–sin(ωt–T)ε(t–T) ω ω ω –sT F(s)=L[f(t)] = 2 2 – 2 2 e = 2 2 (1–e–sT) s +ω s +ω s +ω
五、(频域)导数性质 dF(s) 设：L[f(t)]=F(s) 则：L[tf(t)]= – ds dnF(s) 推广：L[tn f(t)]= (–1)n dsn 六、(频域)平移性质 设：L[f(t)]=F(s) 求：L[tneαt] 例： 解： n]= n! L[t sn+1 L[tneαt]= n! (s–α)n+1 则：L[e–αtf(t)]=F(s+α) 例：求：L[e–αtsinωt] ω 解：L[sinωt] = 2 2 s +ω ω –αtf(t)] L[e = (s+α)2+ω2
–∫
∞
0–
e–stdt ]=
§13 —2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质 若：L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s)
则： L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s) 证： L[A1f1(t)+A2f2(t)] =∫ [A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt
s2+3 k3 = 2 =1.4 s +2s+5 s= –2 f(t)=0.9e–tcos(2t+116.6º)+1.4e–2t
三、F(s)有重极点 k11 k1m k1m–1 N(s) +…… F(s)= F (s)(s–p )m = s–p +(s–p )2 +……+ m (s–p1) 1 2 1 1 k11=[(s–p1)mF(s)] s=p
象函数F(s)
s+α (s+α)2+ω2 1 (s+α)2 1 s2 α s2–α2 s s2–α2 s (s+α)2 1 s3 1 sn+1 1 (s+α)n+1
§13 —3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
1 σ+j∞ F(s)estds f(t)= 2πj ∫σ–j∞ 求：L–1[ 1 2 ] 例1： (s+α) –1[ 1 –αt –1[ 1 ]=t L 解：L 2 ]=te (s+α) s2 求：L–1[(1–2e–αs +e–2αs )/s2] 例2： 解： –1[(1–2e–αs +e–2αs )/s2] L =L–1[ 12 – 22 e–αs + 12 e–2αs ] s s s =t–2(t–α)ε(t–α)+(t–2α)ε(t–2α) 时域平移性质
例2: 解:
s3+6s2+15s+11 ] 求:L–1[ s2+5s+6 F(s)=s+1+ 4s+5 s2+5s+6
k1 k2 =s+1+ s+2 + s+3 7 –3 =s+1+ s+2 + s+3 L–1[F(s)]=δ′(t)+δ(t)–3e–2t+7e–3t
二、F(s)有共轭复极点 k2 k1 N(s) = s–α–jω + s–α+jω F(s)= (s–α–jω)(s–α+jω) N(s) N(α+jω) k1= s–α+jω = =|k1|ejθ 1 s=α+jω j2ω N(s) N(α–jω) k2= s–α–jω = =|k1|e–jθ1 s=α–jω –j2ω |k1|e–jθ1 |k1|ejθ 1 L–1[F(s)]=L–1[ + ] s–α–jω s–α+jω =|k1|ejθ 1e(α+jω)t +|k1|e–jθ1 e(α–jω)t =|k1|eαt[ej(θ 1+ωt)+e–j(θ1+ωt)] =2|k1|eαtcos(ωt+θ1) k1、k2共轭
1 1
N(s) k1 = (s–p2)‥‥‥(s–pn) s=p1
k2=(s–p2)F(s) s=p
2 n
kn=(s–pn)F(s) s=p
例1:
求:L–1[
s2+2s–2 ] s(s+2)(s+3)
k1 k2 k3 s2+2s–2 解: F(s)= s(s+2)(s+3) = s + s+2 + s+3 s2+2s–2 ] = – 1 k1=[ (s+2)(s+3) s=0 3 s2+2s–2 ] =1 k2=[ s=–2 s(s+3) k3 = 1 3 1 1 F(s)= – 1 1 + s+2 + 1 s+3 3 s 3 L–1[F(s)]=– 1 +e–2t + 1 e–3t 3 3
式中p1、p2、‥‥‥ pn为D(s)=0的根，称为F(s)的极点。
一、F(s)的极点为各不相等的实数根 p1≠p2≠‥‥‥≠pn N(s) F(s)= (s–p1)(s–p2)‥‥‥(s–pn) p1、p2‥‥‥pn为实数 k1 k2 kn = s–p + s–p +‥‥‥+ s–p 1 2 n 则：L–1[F(s)] =k1ep1t+k2ep2 t+‥‥‥+knepnt 如何求k? 用(s–p1)乘以上面等式两边 N(s) kn k2 =k1+ s–p (s–p1)+‥‥‥+ s–p (s–p1) n 2 (s–p2)‥‥‥(s–pn) 即 k1=(s–p1)F(s) s=p 令s=p
§13 —1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换是一种数学变换。 定义： F(s)=∫ f(t)e–stdt
0– ∞
S=σ+jω 拉普拉斯正变换
1 σ+j∞ F(s)estds f(t)= 拉普拉斯反变换 2πj ∫σ–j∞ 拉氏正变换 f(t) 拉氏反变换 F(s)=L[f(t)] 原函数 一一对应 象函数 f(t)=L–1[F(s)] F(s) 简写符号
t t 0– 0–
sL[ ∫ f(ξ)d(ξ)]– ∫ f(ξ)d(ξ) F(s) 因此：L[ ∫ f(ξ)d(ξ)]= s 0–
t
=0
t=0
=F( s)
四、(时域平移)延迟性质 f(t) 时域平移 t 设：L[f(t)]=F(s)
f(t–t0) t
t0 则：L[f(t–t0)ε(t–t0)]=e–st0 F(s) f(t′′) t T t