电路十拉普拉斯变换
电路 拉普拉斯变换
电路拉普拉斯变换电路是电子学中的基础概念之一，它描述了电流和电压在不同元件之间的传输和转换关系。
而拉普拉斯变换则是一种用于分析电路行为的数学工具，它将时间域中的电路描述转换为复频域中的代数表达式。
本文将从电路和拉普拉斯变换两个方面分别展开，探讨它们的原理和应用。
我们来了解一下电路的基本概念。
电路由电源、元件和导线组成，其中电源提供电流源，元件则包括电阻、电容和电感等。
电路中的电流和电压遵循欧姆定律和基尔霍夫定律，根据电压和电流的关系可以推导出电路的行为和特性。
通过分析电路中的电流和电压，我们可以获得电路的稳态和暂态响应，进而了解电路的工作情况和性能。
而拉普拉斯变换则是一种用于描述电路行为的数学工具。
它将时间域中的电路描述转换为复频域中的代数表达式，从而方便我们进行分析和计算。
拉普拉斯变换的核心思想是将时域函数转换为复频域函数，通过变换后的函数来描述电路中的电流和电压。
在复频域中，我们可以方便地进行代数运算和求解，进一步分析电路的特性和行为。
通过拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而了解电路的频率响应和稳态特性。
传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系，通过对传递函数进行分析，我们可以了解电路对不同频率的输入信号的响应情况。
通过拉普拉斯变换的技巧，我们可以方便地求解传递函数，并进一步分析电路的频率响应和稳态特性。
除了频率响应和稳态特性，拉普拉斯变换还可以帮助我们分析电路的暂态响应和稳定性。
通过拉普拉斯变换，我们可以将电路的微分方程转换为代数方程，从而方便地求解电路的暂态响应。
通过分析电路的暂态响应，我们可以了解电路在初始状态和瞬态过程中的行为和特性。
此外，拉普拉斯变换还可以帮助我们分析电路的稳定性，通过求解特征方程和判断极点位置，我们可以判断电路是否稳定并进行稳定性分析。
除了理论分析，拉普拉斯变换还有广泛的应用。
在电路设计和工程实践中，我们经常需要对电路进行建模和分析。
通过拉普拉斯变换，我们可以将电路建模为复频域中的代数表达式，从而方便地进行分析和计算。
电路的拉普拉斯变换分析法
E s2 2
E s2 2
- sT
e2
E s2 2
- sT
1 e 2
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
- sT
L
f t
E s2 2
1e 2 1- e-sT
E s2 2
1
- sT
1-e 2
7.2.4 频率平移特性
若 f (t) L
F (s)
则 L{ f (t)e-s0t } F (s - s0 )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
第十章 拉普拉斯变换
2 t
e ) (t )
t
分母项的分解 及分子系数的 确定主要取决 于D(S)=0根的 情况。 17
1.设 D(s)=0 有 n 个 单 实 根 S n = P n
则 : F ( s)
N ( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
K1 s p1
K2 s p2
Kn s pn
(K 1 ~K n 待 定 系 数 )
确 定 Ki:
( s p1 ) F ( s ) K1 ( s p1 ) K2 s p2 ( s p1 ) Kn s pn
令 : s p1
] L[ f ( t )] S F ( s ) f ( 0 )
'
L [ f ( t )] L [( f ( t )) ] S [ S F ( s ) f ( 0 )] f ( 010 )
'
例 8 ① L[cos t ] L[
1
S
d dt
N (s) D(s)
e
sT0
依据拉氏变换延迟性质:
L [
1
N (s) D( s)
] f (t )
则:
L [
1
N (s) D(s)
e
sT0
] f (t T0 ) (t T0 )
可见：关键在于真分式的拉氏反变换。
步 骤 ：① 将 真 分 式 F ( s )
N (s) D(s)
st
st
L[ f (t )]
(t T ) e
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用在电路中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在分析电路的动态行为、求解电路的传递函数和时域响应等方面起着至关重要的作用。
拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转化为代数方程，从而简化了电路分析的复杂性，使得我们能够更加方便地理解电路的工作原理和性能特性。
1. 拉普拉斯变换的基本概念和原理拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的数学工具，它可以将一个时域函数转化为复频域函数，从而方便进行系统的动态分析和响应预测。
在电路分析中，我们经常会遇到包含电压、电流随时间变化的问题，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将这些时域函数转化为复频域函数，更好地理解电路的行为和响应。
2. 拉普拉斯变换在电路分析中的应用通过拉普拉斯变换，我们可以方便地求解电路的传递函数，从而可以预测电路的动态响应和稳态性能。
这对于电路的设计和优化至关重要，因为我们可以通过分析传递函数，预测电路在不同频率下的响应特性，从而更好地进行电路参数选择和性能优化。
3. 拉普拉斯变换在滤波器设计中的应用滤波器是电子系统中常见的一个功能模块，它可以对信号进行滤波和频率选择，通过应用拉普拉斯变换，我们可以方便地分析滤波器的频率响应和频率特性。
这对于滤波器的设计和性能评估非常重要，因为我们可以通过分析频率响应，选择合适的滤波器类型和参数，从而满足系统对信号处理的要求。
4. 拉普拉斯变换在控制系统中的应用控制系统是现代工程技术中一个重要的方向，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将控制系统的微分方程转化为代数方程，从而方便进行控制系统的分析和设计。
拉普拉斯变换在控制系统中的应用，可以帮助我们更好地理解控制系统的稳定性、性能和鲁棒性，从而更好地设计和优化控制系统。
5. 总结与展望通过对拉普拉斯变换在电路分析中的应用进行深入探讨，我们可以看到，在电路设计、滤波器设计和控制系统设计中，拉普拉斯变换都扮演着非常重要的角色。
它为我们提供了一种方便、高效的数学工具，帮助我们更好地理解电路的动态行为和系统的频率特性。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。
在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：U(s)=L[u(t)]=1/s3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)4.积分操作的拉普拉斯变换：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)5.导数操作的拉普拉斯变换：L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)7.卷积操作的拉普拉斯变换：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)8.乘法操作的拉普拉斯变换：L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[u(t)]=1/s(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)(4) f(t) = sin(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) u(t)] = ω / (s² + ω²) (5) f(t) = cos(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) u(t)] = s / (s² + ω²) (6)f(t)=δ(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[δ(t)]=1(7) f(t) = e^(at) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) δ(t)] = 1 / (s - a)(8) f(t) = sin(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) δ(t)] = ω / (s² + ω²)(9) f(t) = cos(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) δ(t)] = s / (s² + ω²)拉普拉斯变换的公式非常有用，可以将时域问题转化为复频域问题，从而更容易进行分析和求解。
电路 拉普拉斯变换
电路拉普拉斯变换电路拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将电路中的信号转换为复数域中的函数，从而方便地进行分析和设计。
在本文中，我们将介绍电路拉普拉斯变换的基本概念、性质和应用。
让我们来了解一下电路拉普拉斯变换的定义。
电路拉普拉斯变换是指将电路中的信号f(t)转换为复数域中的函数F(s)，其中s是复数变量。
具体地，F(s)可以表示为以下积分形式：F(s) = ∫[0,∞) f(t) e^(-st) dt其中，e^(-st)是指数函数，s是复数变量，t是时间变量。
这个积分式可以看作是对信号f(t)在时间域上的加权积分，其中权重由指数函数e^(-st)决定。
接下来，我们来看一下电路拉普拉斯变换的性质。
首先，电路拉普拉斯变换是线性的，即对于任意常数a和b，有以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}电路拉普拉斯变换具有时移性质和尺度变换性质。
时移性质指的是，将信号f(t)向右移动t0个单位时间后，其拉普拉斯变换为：L{f(t-t0)} = e^(-st0) F(s)尺度变换性质指的是，将信号f(t)的时间尺度缩小为k倍后，其拉普拉斯变换为：L{f(kt)} = 1/k F(s/k)我们来看一下电路拉普拉斯变换的应用。
电路拉普拉斯变换可以用于求解电路中的各种参数，如电压、电流、功率等。
例如，对于一个电路中的电压信号v(t)，可以通过拉普拉斯变换求解其复数域中的传递函数H(s)，从而方便地进行频率响应分析和滤波器设计。
此外，电路拉普拉斯变换还可以用于求解微分方程和积分方程，从而解决各种工程问题。
电路拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将电路中的信号转换为复数域中的函数，从而方便地进行分析和设计。
通过了解电路拉普拉斯变换的基本概念、性质和应用，我们可以更好地理解电路中的各种参数和现象，从而提高电路设计和分析的效率和准确性。
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
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（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
表13-2元件的伏安关系及运算电路
元件
时域形式
频域形式1
频域形式2
R
L
C
M
在分析时，注意以下几点：
（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向；
（3）解题指导：象函数乘以 ，相当于时域中发生了时移 。
例13-6已知象函数 。求其原函数 。
解题指导：当包含有共轭复根时，往往用配方法做比较简单。
解象函数可变换为
其原函数为
例13-7求 的拉氏反变换。
解题指导：当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进行求解。
解所给函数 不是真分式，用长除法，得
1．拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；
2．拉普拉斯变换的定义及其基本性质；
3．拉普拉斯反变换的部分分式展开法；
4．元件伏安关系及电路定律的复频域形式；
5．运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡过程。
13．2．2本章难点
前面我们学习了用经典法求线性电路的动态过程的方法，学习了用相量法求正弦激励下线性电路的稳态过程的方法，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全过程，因此，它是全面分析线性电路的一种有力工具。拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如避开了在 作用下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。在学习本章内容的同时，注意与前面所学内容相比较，注意它们之间的联系。
第十三章拉普拉斯变换
13．1基本概念
13．1．1拉普拉斯变换的定义
一个定义在 区间的函数 ，它的拉普拉斯变换式 定义为
式中 为复数， 称为 的象函数， 称为 的原函数。式中积分下限取 ，把上述定义式作如下变形：
可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及 时 可能包含的冲激。
13．1．2拉普拉斯变换的基本性质
解题指导：首先正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。
解由题图得函数的时域表达式为
其象函数为
例13-2求图13-2(a)所示三角脉冲电流的象函数。
解题指导：本题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函数，再进行求解。
解对电流 求导，波形如题图13-2（b）所示。则
设 ，则有下表中性质。
表13-1拉普拉斯变换的基本性质
序号
性质名称
时域
复频域
1
线性
2
尺度变换
3
时移性
4
频移性
5
时域微分
6
时域积分
7
复频域微分
8
初值定理
9
终值定理
10
时域卷积
11
复频域卷积
13．1．3拉普拉斯反变换
对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即 ，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的 的多项式之比，即 的一个有理分式
（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；
（3）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。
2．基尔霍夫定律的运算形式如表13-3所示见附表13-3。
表13-3基尔霍夫定律的运算形式
名称
时域形式
运算形式
3．用运算法分析动态电路的步骤
复频域的基尔霍夫定律和各种元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对应。因此，在线性直流电路中建立的各种分析方法、定理可推广用于复频域电路模型。具体步骤如下：
式中 和 为正整数，且 。
若 时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原函数。
1． 具有 个单实根时
式中：
则
2． 具有重根时
设 除了 个重根外，其它均为单根，共有 个根。
式中：
则
3． 具有共轭根时
若 有复数根，一定是一对共轭根。设有 个单根，其中两个为一对共轭根， ， 。
于是得到
根据拉普拉斯的微分性质 ，即得
例13-3已知周期函数 ，周期为 ，试求其拉氏变换式。
解题指导：这是一个周期函数的象函数的求解问题。可利用拉普拉斯变换的时移特性。
解求周期函数的拉氏变换，可以应用时移特性。用 ， ，…分别表示第一周、第二周的波形，则
根据时移特性，若：
则：
根据上式，首先求第一个周期波形的拉氏变换式。由拉氏变换定义可得：
应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须经过三个过程：（1）从时域到复频域的变换，即对电路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路；（2）在复频域对电路列方程和应用电路定理，求出相应的象函数；（3）从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。用拉氏变换法求解线性电路的响应时，要注意以下几点：
1．初始状态的确定。对于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。