第九章_拉普拉氏变换(二)
f1 ( ) f2 (t ) d
称为函数 f1(t)与 f2(t)的卷积, 记为 f1(t)*f2(t).
即
f1(t ) f2 (t ) f1( ) f2 (t )d .
(1)
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第九章 拉普拉氏变换
7 June 2020 第10页
若当自变量为负时，函数值为0，则上式可 表示为：
解：根据卷积的定义，得
t
f1(t ) f2 (t )
sin(t )d
0
cos(t ) |0t
2.2 结合律
f1(t ) [ f2 (t ) f3 (t )] [ f1(t ) f2 (t )] f3 (t ).
2.3 分配律
f1(t ) [ f2 (t ) f3 (t )] f1(t ) f2 (t ) f1(t ) f3 (t ).
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第九章 拉普拉氏变换
7 June 2020 第12页
f (t )d t,
则
h'(t) f (t), h(0) 0.
于是 L[h'(t )] sL[h(t )] h(0) sL[h(t )],
即
t
1
1
L[ f (t)dt] L[ f (t)] F (s).
0
s
s
重复应用上式，可以得到
t
t
t
1
L[ d t d t
0
0
0 f (t )dt] sn F (s).
f (t )estdt f (t )estdt
0
f (t )estdt. 因t 时 f (t ) 0
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第九章 拉普拉氏变换
6、相似性质
若L[ f (t)] F(s), a 0,则
L[
f
(at )]
1
F(
s ).
aa
7 June 2020 第7页
证明：由拉氏变换的定义知
7 June 2020 第6页
5、延迟性质
若L[ f (t )] F (s), 又 t 0时 f (t) 0,则对于
任一非负实数，有
L[ f (t )] e s F (s).
或者 L1[e s F (s)] f (t ).
证明：根据定义，得
L[ f (t )] f (t )estdt 0
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第九章 拉普拉氏变换
7 June 2020 第3页
另外，关于像函数的积分，有如下公式：
若L[ f (t)] F (s),则
f (t)
L[ t ] s F (s)ds. (*)
f (t)
L[ tn ]
ds dsL
s
s
F (s)ds.
s
特别地，在*式中令s=0，则
f (t ) e0tdt
证明： 根据定义，得
L[es0t f (t )] e s0t f (t )e std t f (t )e(ss0 )td t
0
0
F (s s0 ), Re(s s0 ) c.
这个性质表明了一个像原函数乘以e s0t 的
拉氏变换等于其像函数作位移s0 .
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第九章 拉普拉氏变换
L[ f (at )] f (at)estdt 0
at u
f
su
(u)e a du
1
F(
s ).
0
aa
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第九章 拉普拉氏变换
7 June 2020
练习题 求下列函数的拉氏变换：
第8页
(1) f (t ) te2t cos 3t;
(2) f (t ) t t e3t sin 2t d t. 0
本讲内容小结：
主要介绍了拉氏变换的几个性质. 重点掌握 微分性质；积分性质；位移性质.
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第九章 拉普拉氏变换
§3 卷 积
7 June 2020 第9页
卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算
在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.
下面着重介绍卷积的概念与卷积定理. 1、卷积
定义 设函数 f1(t), f2(t)在整个数轴上有定义, 则
t
0 1 f2(t )d
t 0
t 1 e (t )d
0
e t t e d 1 e t (t 0). 0
第13页
f1(t ) f2 (t ) 0 (t 0).
练习：请计算 f2 (t ) f1(t ).
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第九章 拉普拉氏变换Fra bibliotek7 June 2020 第14页
例2 求函数 f1(t ) t, f2 (t ) sin t 的拉氏卷积.
t
f1(t ) f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d . (2)
-------拉氏变换下的卷积的定义.
注：不同变换下的卷积定义不同.
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第九章 拉普拉氏变换
2、卷积的性质
7 June 2020 第11页
2.1 交换律 f1(t ) f2 (t ) f2 (t ) f1(t ).
0t
0
1 s2
1
ds
arctan
|0
2
.
思考题：
sin t et dt ? 0t
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第九章 拉普拉氏变换
4、位移性质
7 June 2020 第5页
若L[ f (t)] F (s), 则
或者
L[es0t f (t)] F (s s0 ), Re(s s0 ) c. L1[F (s s0 )] es0t L1[F (s)] e s0t f (t ).
浙江科技学院
Zhejiang University of Science and Technology
第九章 拉普拉氏变换
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第九章 拉普拉氏变换
7 June 2020 第2页
3、积分性质
若L[ f (t)] F (s), 则
t
1
L[0 f (t )dt] s F (s).
证明：设
t
h(t ) 0
例1
设
f1(t)
0, 1,
t 0, t 0;
求 f1(t)*f2(t).
f1()
1
Oo
0, t 0, f2 (t ) et , t 0.
f2(t)
1
O
t
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第九章 拉普拉氏变换
解：代入定义，计算积分即可.
7 June 2020
t
f1(t ) f2(t ) 0 f1( ) f2 (t )d
f (t ) dt
F (s)ds.
0t
0t
0
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第九章 拉普拉氏变换
7 June 2020 第4页
例8 求 f (t ) sin t 的拉氏变换.
t
解：因为
L[sin t]
1 s2 1 ,
所以
L[sin t ]
t
s
1 s2
1
ds
arctan
s
|s
2
arctan
s.
于是
sin t dt
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9.3 拉普拉斯逆变换
§9.3 Laplace 逆变换 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
轻松一下 ……
18
§9.3 Laplace 逆变换
利用留数计算反演积分的定理证明 第 附： 九 章 证明 如图，作闭曲线 C L C R , 当 R 充分 CR st 大时，可使 的所有奇点包含 F ( s ) e 拉
普 拉 斯 变 换 在 C 围成的区域内。由留数定理有：
e2 t et t et .
12
§9.3 Laplace 逆变换 第 九 章 解 方法一 利用查表法求解 拉 普 拉 斯 变 换
( s 1)2 (1) F ( s ) [( s 1)2 4] ( s 3)
B s C (s 1) 2 C B 1 1 A 2 , 2 , 2 2 s3 (s ) 1 ( s1 )4 2
§9.3 Laplace 逆变换 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.3 Laplace 逆变换
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 二、求 Laplace 逆变换的方法
1
§9.3 Laplace 逆变换 第 一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 九 章 1. 公式推导 推导 (1) 由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知， 拉 普 函数 f (t ) 的 Laplace 变换 F ( s ) F ( j ) 拉 斯 就是函数 f ( t ) u( t ) e t 的 Fourier 变换， 变 t j t 换 F ( s ) F ( j ) [ f ( t ) u ( t ) e ] e dt . 即 (2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t ) 的连续点 t 处，有
第九章 拉氏变换.
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
拉普拉氏变换
1
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
0 A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )e st dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )
s0
例2：
R
(t)
校验：
+
u
uc (0 ) 0 du RC u (t ) dt
1 SRCU ( S ) U ( S ) S 1 U(S) S (1 SRC )
- C
1 1 u(0 ) lim S lim 0 s S (1 SRC ) s (1 SRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 SRC )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c j st f (t ) c j F (s)e ds 2j
设：
注
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e st F ( s )
0
f ( t t0 ) 0 当 t t0
证：
令t t0
f(t - t )
0
t f ( t t0 )e
0
0
f ( t t0 )e st dt
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
0 A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )e st dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )
s0
例2：
R
(t)
校验：
+
u
uc (0 ) 0 du RC u (t ) dt
1 SRCU ( S ) U ( S ) S 1 U(S) S (1 SRC )
- C
1 1 u(0 ) lim S lim 0 s S (1 SRC ) s (1 SRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 SRC )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c j st f (t ) c j F (s)e ds 2j
设：
注
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e st F ( s )
0
f ( t t0 ) 0 当 t t0
证：
令t t0
f(t - t )
0
t f ( t t0 )e
0
0
f ( t t0 )e st dt
拉氏变换
3、积分定理
f(t)先积分再取拉氏变换，由积分定理有：
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) L [ f ( t )dt ] s s
1 f 式中， 0 f t dt在0时刻的初始值。
( 1 ) ( 2 ) F ( s ) f ( 0 ) f (0 ) 2 L [ f ( t )( dt ) ] 2 2 s s s
X ( s)
0 例1、求指数函数 f ( t ) at e
(t 0 ) (t 0 )
的拉氏变换 F( s ) 。
变量置换法
解：由拉氏变换的定义式有：
F ( s ) f ( t )e
0
st
dt e e
0
at st
dt e
0
( a s )t
L [ ( t )] 1
常用函数的Laplace变换见附表-1。
三、拉氏变换的基本定理
1、性线定理
（1）比例性
L[ af ( t )] aF( s )
（2）叠加性
L[ f1 ( t ) f 2 ( t )] F1 ( s ) F2 ( s )
2、微分定理
原函数的导数的拉氏变换为： 一阶导：
例（1）f(t)的拉氏变换为 F ( s ) ，应用终值定理求f(t)的 s( s 5 ) 终值。 1 （2）已知F ( s ) ( s 1 ) ，应用初值定理求 f ( 0 )和f ( 0 ) 的值。
2
5
解：（1）由终值定理有：
lim f (t ) lim s F ( s) lim s
于是：
st st st 0 ( te )dt 0 e dt 0 ste dt
拉普拉斯变换的性质
f (t ) 拉 s F ( s) d s [ t ]. 普 拉 斯 一般地，有 变 ds ds s F ( s) d s 换 s s
[
f (t ) ]. n t
n次
20
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
9
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 2. 位移性质
[e f ( t )] F ( s a ) . ( a 为复常数 ) 拉 普 拉 s 1 t 斯 [ e cos t ] . 例如 2 变 ( s 1) 1 换 1 [ e t sin t ] . 2 ( s 1) 1
2( s 6 24s 2 32) . 3 2 3 s ( s 4)
16
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 已知 拉 普 拉 斯 变 换2 [ sin 2 t ] 2 , 2 s 2 3t
根据位移性质有
[e
2 sin 2t ] , 2 ( s 3) 4
令 x t
0
f ( x ) e s x e s d x
e s F ( s ) .
6
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质
( 为非负实数 )
[ f (t )] e s F ( s ) . f (t ) 0 , 则: 拉 性质 设 当 t < 0 时 普 拉 f ( t ) 0 这一约定。 斯 注意 性质中强调了当 t < 0 时 变 因此，本性质也可直接表述为： 换 [ f (t ) u(t ) ] e s F ( s ) .
[
f (t ) ]. n t
n次
20
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
9
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 2. 位移性质
[e f ( t )] F ( s a ) . ( a 为复常数 ) 拉 普 拉 s 1 t 斯 [ e cos t ] . 例如 2 变 ( s 1) 1 换 1 [ e t sin t ] . 2 ( s 1) 1
2( s 6 24s 2 32) . 3 2 3 s ( s 4)
16
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 已知 拉 普 拉 斯 变 换2 [ sin 2 t ] 2 , 2 s 2 3t
根据位移性质有
[e
2 sin 2t ] , 2 ( s 3) 4
令 x t
0
f ( x ) e s x e s d x
e s F ( s ) .
6
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质
( 为非负实数 )
[ f (t )] e s F ( s ) . f (t ) 0 , 则: 拉 性质 设 当 t < 0 时 普 拉 f ( t ) 0 这一约定。 斯 注意 性质中强调了当 t < 0 时 变 因此，本性质也可直接表述为： 换 [ f (t ) u(t ) ] e s F ( s ) .
拉氏变换
0
(t
)e
st
dt
=e-s(0)
=1
0
（2）指数函数 f(t) =eat
a为实数
F(s) L[ f (t)] eatestdt 0
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的 象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意实 常数，
1 (s a)2
常用函数的拉氏变换表见教材P294。
第三节：传递函数
常用函数拉普拉斯变换对照表
原函数f (t) 象函数F (S)
(t)
1
1
1(t )
s
t
1 t2
1 s2
1
2
s3
e at
1 sa
一、单位阶跃函数 (Unit step function)
(t)
1. 定义
(t)
0 1
(t 0- ) (t 0 )
二、拉普拉斯变换及反变换
1、拉普拉斯变换（拉氏变换） 一个定义在[0，∞)区间的函数f(t)，它的拉普
拉斯变换式F(s)定义为
F(s) f (t)estdt 0
式中 s =δ+jω为复数，F(s)称为f(t)的象函数，f(t) 称为F(s)的原函数。
est 称为收敛因子。
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的 复变函数F(s)。
O
t
2. 延迟单位阶跃函数
0
(t
t 0
)
1
(t t ) 0-
拉普拉氏变换与反变换
理：
L[e x(t )] X (s a)
5、延时定理：
at
L[ x(t a) 1(t a)] eas X (s)
6、初值定理：
t 0
lim x(t ) lim sX ( s )
s
7、终值定理：
lim x(t ) lim sX ( s )
分解因式，根据不同情况，利用待定系数法求反拉 氏变换
拉氏变换的运用
求解微分方程
X (s) L[ x(t )] x(t )est dt ˆ
0
式中：s为复变量；x(t)为原函数；X(s)为象函数
二、简单拉氏变换： 1、单位阶跃函数1(t) 2、指数函数 e at 3、正弦函数sinωt和余弦函数cosωt 利用欧拉公式 e j cos j sin
e j cos j sin e j e j sin 2j e j e j cos 2j
4、幂函数tn 利用Γ（gama）函数的性质：
(a ) x a 1e x dx ˆ
0
(n 1) n(n) n! u st u t s 1 dt du s L[t ] t e dt
拉普拉氏变换与反变换
一、定义： 对于函数 x(t )，如果满足下列条件： x （1）当t<0时， (t ) =0； 当t>0时，x(t)在每个有限区间上是分段连续的。 （2） x(t )et dt ，其中σ为正实数，即x(t)为指数级的； 0 则可定义x(t)的拉氏变换X(s)：
n n st
s n 1
1
n! u e du n 1 s
n u
L[e x(t )] X (s a)
5、延时定理：
at
L[ x(t a) 1(t a)] eas X (s)
6、初值定理：
t 0
lim x(t ) lim sX ( s )
s
7、终值定理：
lim x(t ) lim sX ( s )
分解因式，根据不同情况，利用待定系数法求反拉 氏变换
拉氏变换的运用
求解微分方程
X (s) L[ x(t )] x(t )est dt ˆ
0
式中：s为复变量；x(t)为原函数；X(s)为象函数
二、简单拉氏变换： 1、单位阶跃函数1(t) 2、指数函数 e at 3、正弦函数sinωt和余弦函数cosωt 利用欧拉公式 e j cos j sin
e j cos j sin e j e j sin 2j e j e j cos 2j
4、幂函数tn 利用Γ（gama）函数的性质：
(a ) x a 1e x dx ˆ
0
(n 1) n(n) n! u st u t s 1 dt du s L[t ] t e dt
拉普拉氏变换与反变换
一、定义： 对于函数 x(t )，如果满足下列条件： x （1）当t<0时， (t ) =0； 当t>0时，x(t)在每个有限区间上是分段连续的。 （2） x(t )et dt ，其中σ为正实数，即x(t)为指数级的； 0 则可定义x(t)的拉氏变换X(s)：
n n st
s n 1
1
n! u e du n 1 s
n u
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
第九章1拉普拉斯变换.ppt
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1[F (s) F (t)] 1[F (s)] 1[F (s)]
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例4 求cost的拉氏变换。
例5 已知F (s) 5s 1 ,求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
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相似性质
设L[ f (t)] F (s),则对任一常数a 0有
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例 8 求 L[eattm ] .
解：已知
[t
m
]
(m 1) s m 1
0
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例7 利用象函数性质计算 sin t etdt. 0t
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4. 位移性质： 若 L[ f (t)] F (s) ,则
L[e at f (t)] F (s a），(Re(s a) c)
证： F (s) f (t)estdt (Re(s) c) 0 L[e at f (t)] e at f (t) estdt 0 f (t) e(sa)tdt 0 F (s a） (Re( s a) c)
[ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0)
f (n1) (0)
（当 Re( s) c 成立）
其中，f (k) (0)应理解为lim f (k) (t). t 0
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证： [ f (t)] sF (s) f (0)
0
证： 由拉氏变换定义
L[ f (t)] f (t)estdt 0