第九章-拉普拉斯变换

T
(1 0 )T
表明 1 也在收敛域内。


T
x(t )e 0t dt
12
e at , 0 t T 例1. x(t ) 其它 0,
X ( s) e e dt e
at st 0 0
T
T
( s a )t
1 ( s a )T dt [1 e ] sa
17
1 例1. X ( s) ( s 1)( s 2)
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
s 1, s 2 极点：
j
2 1
j
2 1
j
2 1



右边信号
左边信号
双边信号
18
1 例2. X ( s) ( s 1)( s 2)
ROC : 2 Re[s ] 1
思考题：对于本例中的X(s),若收敛域分别为： (a) Re[s]>-1;(b)Re[s]<-2,求这两种情况下的x(t)？
2t
t
19
9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
•
可以用零极点图表示 X ( s ) 的特征。当ROC包
括 j 轴时，以s j代入 X ( s ) ，就可以得
到 X ( j ) 。以此为基础可以用几何求值的方法
第9章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM
1. 双边拉普拉斯变换与反变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 单边拉普拉斯变换；
本章内容对应于教材第9章9.1-9.6节，以及9.9节。9.7-9.8节 关于LTI系统分析内容将在LTI系统分析部分集中讲述。
9. 3 拉普拉斯反变换的求法
对有理函数形式的 X ( s ) 求反变换一般有两种方
法,即部分分式展开法和留数法。
部分分式展开法：
1. 将 X ( s ) 展开为部分分式。 2. 根据 X ( s ) 的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t ) e u(t ) e u(t )
t 2t
j
1
X (s) e e dt e e dt
t st 2t st 0 0



1 e u(t ) , Re[s ] 1 s 1
t
j
2
1 e u (t ) , Re[s] 2 s2
2015-7-3
9.0 引言
复指数函数是一切LTI系统的特征函数。相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合 傅里叶变换是以复指数函数的特例 e j t和 e j n 为基本分解 信号。对更一般的复指数函数 e st 和 z n ，也能以此为基本 信号对信号进行分解。 将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况（拉普拉斯变 换）就是本章要讨论的中心问题。
0
at
u(t )
0 ( s a )t
X (s) e e dt e
at st
dt
1 在 Re[s] a 时，积分收敛：X ( s) sa
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
6
几点结论：
1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任 何信号的拉氏变换都存在，也不是 s 平面上的任何复 数都能使拉氏变换收敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 s的集合，称为拉氏 变换的收敛域 (ROC) 。收敛域对拉氏变换是非常重要 的概念。 3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式， 只是它们的收敛域不同。只有拉氏变换的表达式连同 相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。 4. 如果一个信号的拉氏变换的ROC包含 j 轴，则信 号的傅里叶变换也存在，并且： X ( j ) X ( s) s j 7
i i i i
1 i 1 1
i
i
X (s1 )
i
s1 i s1 i
i
i
即：从所有零点向 s1 点作零点矢量，从所有极点向 s1 点 作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢 量的长度之积即为 X (s ) 。所有零点矢量的幅角之和减 1 去所有极点矢量的幅角之和即为 X (s1 ) 。 当 s1取为 j 轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。 考查 s1在 j 轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角 的变化，即可得出 X ( j ) 的幅频特性和相频特性。 23
X ( s )有极点
s a
( s a )T
考查零点，令 e
1
2 k（k为整数） 得 s a j T
显然 X ( s )在 s a 也有一阶零点，由于零极
点相抵消，致使在整个S平面上无极点。
13
例2. x(t ) e
bt
b t
x(t ) e u(t ) e u(t )
不满足狄里赫利条件的信号 • u(t) • 增长信号 eat u (t ), a 0
t 乘一衰减因子 e 后收敛
u(t )e t ,
0
4
eat e t u(t ), a
例1.
x(t ) e u(t )
at st ( s a )t 0 0
at
， 是振荡频率，
控制衰减速度
3
X (s) x(t )e e


t jt
[ x(t )e t ] dt [ x(t )e t ]e jt dt F[


拉氏变换是对傅里叶变换的推广，x(t ) 的拉氏变换就是 t x(t )e 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以 使本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 e t后满足该 条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存 在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
幅频特性：是 的偶函数， 0 时，取最大值1， 随着 ，H ( j) 单调下降， 1 时，下降到最大值的1 2 | H ( j ) |
a
a
s1 a
矢量 s1 a 称为零点矢量，它的长度 | s1 a |
表示 X (s1 ) ,其幅角即为 X (s1 ) 。
21
2. 单极点情况：
1 X ( s) , 极点 sa
j
sa
0
s1
a
s1
X ( s1 )
1 s1 a
a
s1 a
X ( s1 )
11
性质4的证明： 若 x(t ) 是右边信号, T t , 0 在ROC内， 则有 x(t )e
0t
绝对可积，即：


T
x(t )e 0t dt
若1 0 ，则

e

T
x(t )e 1t dt
x(t )e 0t e (1 0 )t dt
X (s) e e dt e
1 在 Re[s] a 时，积分收敛：X ( s) sa
dt e
0

( a )t jt
e
dt
当 a 0 时， x(t ) 的傅里叶变换存在: 1 at j t X ( j ) e e dt ( a 0) 0 a j 拉氏变换收敛的区域为 a ，包括了 j 轴。
其中 s j

若 0，s j 则有: X ( j ) x(t )e jt dt 这就是 x(t ) 的傅里叶变换。 连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
j
s 平面
在 0 (s平面的 j 轴)上的特例。
FT: 实频率， 是振荡频率

LT: 复频率
1 1 X (s) s 1 s 2
1 ROC1: Re[ s ] 1 e t u( t ) s 1 ROC1、ROC2 1 2 t ROC2: Re[ s] 2 e u (t ) 必须各自包含ROC s2
x(t ) e u(t ) e u(t )
拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用 傅氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于 傅里叶分析方法不适用的许多 问题。拉普拉斯分析是傅里 叶分析的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。
2
9.1 拉普拉斯变换
一.双边拉氏变换的定义：
X (s) x(t )e dt
st
当 X ( s )是有理函数时，其ROC总是由X ( s) 的
极点分割的。ROC必然满足下列规律：
1. 右边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最右边极点 的右边。 2. 左边信号的ROC一定位于 X ( s ) 最左边极点 的左边。
3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间
的带形区域。
15
bt
j
b
1 b e u (t ) , Re[s] b sb 1 bt e u (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X ( s) s b s b
b Re[ s] b
当 b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明X ( s ) 不存在。
2 t

j
1 1 2s 3s 2
2
1

8
Re[s ] 1
j
2s 3 X ( s) 2 , Re[ s] 1 s 3s 2

2
1
极点
零点
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部