第九章 拉氏变换 PPT
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《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉氏变换课件
（指数式） A Ae A A cos j A sin （三角式）
j
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换
0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
证明：
f (t )] F (s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
j
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换
0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
证明：
f (t )] F (s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
第9章 拉普拉斯变换
特别地,当
f (0) f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0
时,
f ( n ) (t ) s n F ( s) ℒ
可以证明
( n ) (t ) s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
a
u d v uv | - v d u
9.2.3 积分性质
（1）象原函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s),
则
F ( s) ℒ [ 0 f (t )dt ] s t -1 F ( s ) ℒ 0 f (t )dt s
t
一般地
1 ℒ [ 0 dt 0 dt 0 f (t )dt ] s n F (s)
sin k t e - st dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
即
k sin kt 2 2 s k
s 同理可得 cos kt 2 2 s k
2 如 ℒ sin 2t 2 s 4 s ℒ cos 3 t 2 s 9
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t ) a 0 则 ℒ
f (at ) 1 F s a a
ℒ
-1
s F ( a ) af (at )
9.2.2 微分性质 （1）象原函数的微分性质
k - st e cos k tdt s 0
k - 2 s
- st - st k e sin k tdt e cos k t 0 0
第九章 拉氏变换.
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得
工程控制理论-拉普拉斯变换ppt
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0)
证明：
L
df (t) dt
df (t) estdt 0 dt
estdf (t)
0
est f (t) s f (t)estdt sF (s) f (0)
0
0
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
L
d2 f dt
(t)
2
s2F
(s)
t
s0
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质
(6) 初值定理
若： L f (t) F(s)
则：
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
lim
s
0
df (t dt
拉普拉斯变换简表 (续3)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
13
1 a
(1-e -at )
1 s(s+a)
14
1
b-a
(e -at -e -bt )
1 (s+a) (s+b)
15
1
b-a
(be
-bt
-ae
–at
)
s (s+a) (s+b)
16
sin(t + )
cos + s sin s2+2
L eat eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(5) 正弦信号函数
正弦信号函数定义：
两 e jt cost jsin t
第九章 拉普拉斯变换
L
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )
jt jt e e 2t (1 2e ( ))u (t ) 2j
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
部分分式展开的第一步是把分母 D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )
jt jt e e 2t (1 2e ( ))u (t ) 2j
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
部分分式展开的第一步是把分母 D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
拉氏变换详解ppt课件
st 0 0 0
t
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0
10
t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0
f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0
令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0 st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0
右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
sn
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
t
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0
10
t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0
f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0
令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0 st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0
右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
sn
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
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(4) L sikn ts2 kk2,(R s)> e0)( (5) L co ks ts2 sk2,(R s)> e0)(
§9.2 拉氏变换的性质
(1) 线性性质
设a、为常数, 且 L [f( t) 有 ] F ( s )L [ ,g ( t) ] G ( s )
则 L α f 1 ( t ) β f 2 ( 有 t ) α F 1 ( s ) β F 2 ( s ).
3°f (t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数)
即存在常数M > 0及c > 0使
| f(t)|≤Mect (0≤t <+∞)
c称为 f(t)的增长指数
则f (t)的拉氏变换 F(s) f(t)estdt 0
在半平面Re(s)＞c 一定存在，F(s)是解析函数。
三、关于拉氏变换的积分下限问题
f (t)在t=0附近有界时, f(0)与f (t)的Laplace变换无关
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L [f( t) ] F [f( t)e tu ( t) ]f ( t)e ( j) w tdt 0
0
0
Ased t t
Aae tesd t t
0
0
A(1 1 )
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解:
L[f(t)]
s
ikntsed t t
0
1(ejktejkt)estdt
0 2j
1[ 1 1 ] 2j sjk sjk
s2
k k2
显然L+[d(t)]=0
d d 而 0 (t)e sd t t (t)e sd t te st =1.
0
t 0
例5 求函数f(t)=etd(t)etu(t)的laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt 0
d [ et (t)etu (t)e]sd t t 0
0
s
L1 1estdt 1
0
s
(Res > 0)
例2 求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换
解: L f(t) e kte sd tt e (s k )td t 1
0
0
sk
(Res > Rek)
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: 根据定义有
又称 f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆
变换)或象原函数，即f(t)=L1[F(s)]
例1 分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以 及f(t)=1的拉氏变换
解: 由拉氏变换的定义有
Lu(t) 1estdt 1 est 1 (Res > 0)
0
s 0 s
Lsgtn )(1estdt 1 (Res > 0)
L(sk in )t
sikntsed t t
0
s2e skt2(ssikn tkcok)st0
k
s2k2
[Re>(s0)]
同理可得
s L[ck o]tss2k2
[Re>0 (s])
二、拉氏变换的存在定理
拉氏变换存在定理: 设函数f (t)满足下列条件：
1°当t＜0时，f (t)=0； 2°f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点 的个数是有限个，且都是第一类间断点；
§9.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分
f
(t)estdt
0
在s的某一域内收敛(s是一个复参量) ，则由此积
分决定的函数可写为 F(s) f(t)estdt 0
称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象
函数，记为F(s)=L[f(t)].
例1: 求常数A的Laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt Aestdt
0
0
A estdt A/s 0
例2: 求函数f(t)=A(1eat)的Laplace变换.
解:
L [f(t) ]
A (1eat)esd t t
0
Ased t t Aae tesd t t
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
Lf(t) f(t)esd t t 0
f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个 积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点
假如包括，我们把积分下限记为0 ；
L f(t)0
f(t)esd t ,t
假如不包括，我们把积分下限记为0，于是得出
双边拉氏变换:
L [f(t) ]
f(t)e(jw )td
ห้องสมุดไป่ตู้
t
傅氏变换:
L[f(t)]
f(t)ejwdt t
傅氏变换与拉氏变换的关系
当t 0 f (t) 0
双边拉氏变换
s j
t
0
单边拉氏变换
s j
0 t
傅氏变换
s j
t
L[f(t)]F[f(t)u(t)et]
(sj)
d (t)e (s )td t e (s )td(tRes > Re)
0
0
e(s)t
e(s)t
s
t0 s
0 s
四、常用函数的拉氏变换公式
(1) L[u(t)]1,(Rs)e>(0) s
(2) L [ek]t1,(R s)> eR (ke ))( sk
d (3 ) L [(t) ]1(R s)> e)(
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
解: L[f(t)] cokstsed t t 0
1(ejk t ejk)testdt
02
1[ 1 1 ] 2 sjk s jk
s2
s
k2
(2) 相似性质(a为正实数) 设L[f(t)]=F(s), 则当a为正实数时
Lf at 1F s
a a
证明：L f(a)tf(a)e tstdt 0
令
at，Lf(a)t
f(
s
)ea
了不同的拉氏变换。记
L
f(t)
0
f(t)esd t t
00f(t)esd t tR f(t)
例4 求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.
解: L[d(t)] d(t)estdt d(t)estdt
0
0
00d(t)estd t L[d(t)] [Re(s) > ]