数学基础拉氏变换
常用的拉氏变换表
常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。
它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。
而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。
拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。
下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。
其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。
其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。
例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。
在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。
基本函数的拉氏变换
基本函数的拉氏变换引言：在探索基本函数的拉普拉斯变换之前，首先需要了解什么是拉普拉斯变换以及其在数学和工程学中的应用。
拉普拉斯变换是一种数学方法，用于解决微分方程。
它将一个函数从时间域转换到复频域，从而让我们可以更轻松地处理微分方程的操作。
它提供了一个重要的数学工具，用于求解控制系统和信号处理等应用中的许多问题。
本文将阐述基本函数的拉普拉斯变换，主要包括单位阶跃函数、单位冲击函数、指数函数和正弦函数的拉普拉斯变换表达式及其应用。
一、单位阶跃函数的拉普拉斯变换单位阶跃函数一般表示为u(t)，表示斜坡从0到1的标准阶跃，如图1所示。
阶跃函数在控制系统中具有重要的作用。
单位阶跃函数通常被用作激励输入来测试系统的性能。
拉普拉斯变换后，单位阶跃函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{u(t)\}={1\over s}$$二、单位冲击函数的拉普拉斯变换单位冲击函数一般表示为δ(t)，表示在t=0时刻的无穷大脉冲信号，如图2所示。
冲击函数在控制系统中也具有重要的作用。
在线性系统中，冲击响应又称为单位脉冲响应或简称脉冲响应。
拉普拉斯变换后，单位冲击函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\delta(t)\}=1$$三、指数函数的拉普拉斯变换指数函数一般表示为e-at，其中a为常数，表示一个衰减的曲线，如图3所示。
指数函数在控制系统和信号处理中常常用于表示衰减或增加的信号。
拉普拉斯变换后，指数函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{e^{-at}\}={1\over s+a}$$当a>0时，指数函数随时间的增长而不断衰减。
而当a<0时，指数函数随时间的增长而不断增加。
四、正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数一般表示为sin(ωt)，其中ω为常数，描述一个振荡信号，如图4所示。
正弦函数在控制系统和信号处理领域中也广泛应用。
拉普拉斯变换后，正弦函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\sin\omega t\}={\omega\over s^2+\omega^2}$$这里我们用欧拉公式将正弦函数转换为指数函数的形式，即：$$\sin\omega t={e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\over 2j}$$用欧拉公式可以对任意角频率的函数进行拉普拉斯变换。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换。
它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。
并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。
因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。
在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。
最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。
在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。
2.1拉氏变换2.1.1拉氏变换的定义若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作[()]f t L 或)(s F ，并定义为：[()]()()e dL stf t F s f t t +∞-==⎰（2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。
原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。
所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。
在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。
必e 1[1()]1e d L st stt t ss+∞-+∞-=⋅=-=⎰(2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。
⑵单位脉冲函数单位脉冲函数如图2.2所示。
其定义为()0t t t δ∞=⎧=⎨≠⎩ 同时，()d 1t t δ+∞=⎰，即脉冲面积为1。
而且有如下特性：()()d (0)t f t t f δ+∞-∞⋅=⎰(0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结1、指数函数000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Aet f t α,其中,A 和a 为常数; αααα+===⎰⎰∞+-∞---s A t e A t e Ae Ae L t s st t t 0)(0d d ][ 2、阶跃函数000)(><⎩⎨⎧=t t At f ,其中,A 为常数; sA t Ae A L st ==⎰∞-0d ][ 3、单位阶跃函数 0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ,其中,A 为常数;⎰⎰∞-∞-∞----==000d d ][t sAe s e At t Ate At L st st st 20d sA t e s A st ==⎰∞-A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成rt-t 05、单位斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t t t f⎰⎰∞-∞-∞----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st201d 1s t e s st ==⎰∞- 6、正弦函数00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t tA t f ω,其中A 为常数; )(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式：拉式变换为： 2201212d )(2]sin [ωωωωωωω+=+--=-=⎰∞--s A j s j A j s j A t e e e j A t A L st t j t j 同理余弦函数的拉式变换为：22]cos [ωω+=s As t A L 7、脉动函数 t t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000,000)(,其中,A 和t 0为常数;脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成;)()()(000t t u t A t u t A t f --= )1()()()]([00000000st st e st A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L ---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡= )(21sin t j t j e e jt ωωω--=8、脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况;t t t A t g <∆<∆<<⎪⎩⎪⎨⎧∆=→∆,000lim )(0[]()A s As s e A e s A t g L s s ==∆∆-∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆=∆-→∆∆-→∆d d )1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克Disac 函数,1d )(0)(-0000=-⎩⎨⎧=∞≠=-⎰∞∞t t t t t t t t t δδ量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设,而不可能在物理系统中发生;但是,如果系统的脉动输入量值很大,而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入;当描述脉冲输入时,脉冲的面积大小是非常重要的,而脉冲的精确形状通常并不重要;脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量;单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数ut-t 0在间断点t=t 0上的导数,即)(d d )(00t t u tt t -=-δ 相反,如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：)(d )(000t t u t t t tt -=-⎰δ 积分的结果就是单位阶跃函数 ut-t 0利用脉冲函数的概念,我们可以对包含不连续点的函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值;10、加速度函数000)(2<≥⎩⎨⎧=t t At t f ,其中,A 为常数; 拉氏变化为：300202212d 2d ][s At te e t s A t e At At L st st st =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰∞-∞-∞- 当A=21时称之为单位加速度函数,用at 表示,发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -,图像如下： )t 00t 图单位加速度函数(a)(b) 8642123411、单位加速度函数：00210)(2≥<⎪⎩⎪⎨⎧=t t t t a30020221d 211d 21)(21s t te e t st e t t u t L st st st =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎰⎰∞-∞-∞-。
7.1拉氏变换的基本概念
存在性进行讨论．
二.例题
例1 求单位阶梯函数 的拉氏变换 .
例2 求指数函数 拉氏变换 .
（t≥0，a为常数）的
例3 求一次函数 拉氏变换 .
（t≥0，a为常数）的
例4 求正弦函数 拉氏变换 .
类似可得：
（t≥0）的
例5 求分段函数 的拉氏变换 .
小结
拉氏变换的定义 几种常见函数的拉氏变换
几种常见函数的拉氏变换
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
第7章 拉普拉斯变换
7.1 拉氏变换的基本概念 7.2 拉氏变换的性质
7.3 拉氏变换的逆变换 7.4 拉氏变换的应用举例
7.1 拉氏变换的基本概念
本讲概要
➢拉氏变换的定 f (t)的定义域为 [0,+∞), 若广义积分
对于数 p 在某一范围内的值收敛, 在此积分就确定了一个参数为 p 的函数 , 记作
函数F(p)称为f (t)的拉普拉斯变换。这时F(p)称为f (t) 的像函数，函数f (t)称为F(p)的像原函数，以上公式 称为函数 f (t)的拉氏变换式，用记号L[f (t)]表示，即
说明：
(1)定义中 , 只要求在 t ≥上0 f (t)有定义 , 为了方便, 假定t<0时, f (t) =0;
第二节 拉氏变换公式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-7：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-8：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-9：求如下函数的拉氏变换
F(S) L[1(t)] est ( 1)d(st)
0
s
（2－12）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
（2－13）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
幂函数 t n 拉氏变换（法1）
根据函数 ( ) x1exdx 0
O f ’’(t)
O
L[f(t)]= A/s- A/s ·e-sT
t
t
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-9：求图所示三角波的拉氏变换 f (t) 2
从图可知，三角波左边函数斜率
T
为
k1
4 T2
，右边函数斜率为
O
k2
4 T2
，则分段函数可表示为：
T
Tt
2
f (t) f1(t) f2 (t) f11(t) f12 (t) f21(t) f22 (t)
解：（1） cos(t) 1 d sin(t) dt
L[sin(t )]
s2
2
L[cos(t )]
L
1
d
sin(t)
dt
1
s
s2
2
0
s2
s
2
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L[
dn dபைடு நூலகம் n
f (t)]
sn F (s) sn1 f (0) sn2 f(0) sf (n2) (0) f (n1) (0)
9
3.4 初值定理
原函数的初值等于其象函数乘以s的自变 量s趋向无穷大时的极限值。
使F(s)及其导数趋于无穷大的奇点称为极点 使F(s)=0的点叫做零点
例如
F (s)
(s
s2 3)2 (s 2
3
j)
零点为 极点为
z1 2
p1 3, p2 2 3 j
且p1为2阶极点
4
1.2拉普拉斯变换的定义
若f(t)是时间t的函数，且t<0时，f(t)=0; s是复 变量, 则f(t)的拉氏变换F(s)定义为
解：该式可以分解为如下形式
其中
F (s) c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)( s
1
2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)( s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
14
1
1
c3
[ (s
1)( s
2)(s
3)
(s
3)]s3
10
所以 F(s) 1 1 1 1 1 1 6 s 1 15 s 2 10 s 3
A A
F (s) Ae st dt est
0
s 0s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2) 求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 e s )
2
F (s) Fx jFy
jω
幅值： A F 2 F 2
x
y
Fy
F(s)
相角：
tan 1
Fy Fx
角度从实轴开始，沿逆时针计算
0
Fx
Re
如果在某一域内，复变函数F(s)及其所有阶导 数都存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。
3
在s平面上，使函数F(s)解析的点称为正常点， 使F(s)为非解析的点称为奇点
f (0) lim f (t) lim sF (s)
t0
s
3.5 终值定理
若 f () 存在 f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
10
3.6 延迟定理
L[ f (t )] es F (s), a 0
3.7 与 eat 相乘
L[eat f (t)] F (s a)
1
s 2s2
(11 L ) 1
0 s
0 s
1! 2!
6
（3）求指数函数f(t)= eat 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
1
0
0
sa 0 sa
几个重要函数的拉氏变换
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
δ(t)
1
sin( t)
(s2 2 )
1(t)
1/s
cos(t)
s
(s2 2 )
t
1 s2
eat sint
(s a)2 2
eat
1/(s+a) eat cost
sa
(s a)2 2
7
3. 拉氏变换性质
设 f (t) 的拉氏变换为 F (s)
3.1 线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的
拉氏变换之和
F (s) B(s) a1 a2 an
A(s) s p1 s p2
s pn
系数ak叫做极点s=-pk上的留数，留数ak可由下式决定
ak
lim [(s
s pk
pk )
B(s)] A(s)
[(s
pk )
B(s) A(s) ]s pk
13
例1：求函数F(s)的拉氏逆变换
F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
其对应的拉氏逆变换为
f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t 6 15 10
15
例 2
求F (s)
1 s(s 1)2
的逆变换
解：F (s)
a s
b s 1
(s
c 1)2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1, b 1, c 1
F (s)
1 s
1 s 1
F (s)
L(
f
(t))
0
f
(t )e st dt
由拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程 称为拉普拉斯反变换，定义为
f
(t)
L1 (F (s))
1
2j
c j
c j
F
(
s)e
st
dt
其中常数c选择的比F(s)的所有奇点的实部都大。
5
1.3 常用函数的拉氏变换
(1) 求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
11
4. 拉普拉斯反变换
4.1 求拉普拉斯变换的展开式
拉氏变换常以如下形式出现 F (s) B(s)
A(s)
如果F(s)被分解成下列分量
F (s) F1(s) F2 (s) Fn (s)
并且F1(s),F2(s),…,Fn(s)的拉普拉斯反变换可以容易 得到，则 f (t) L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[F2 (s)] L1[Fn (s)]
f1(t) f2 (t) fn (t)
12
4.2 只包含不同极点的部分分式展开
考虑下列因式形式的F(s)
F(s)
B(s ) A(s )
K(s z1)(s z2)...(s zm ) (s p1)(s p2)...(s pn )
如果F(s)只包含不同的极点，则F(s)可展开成为下列 简单的部分分式之和：
(s
1 1)2
f (t) 1 et tet
16
4.3 包含多重极点的F(s)部分展开
通过例子说明
自动控制原理
数学基础－－ 拉普拉斯变换
刘宝 liubao@
1
1. 拉普拉斯变换的定义
1.1 复变量和复变函数
一个复数包括实部和虚部，如果实部和虚部 都是变量，则称其为复变量。在拉氏变换中， 复变量用符号s表示，表示
s j
一个复变函数F(s)是s的函数，它具有实部和虚
部
F (s) Fx jFy
L[af (t) bf (t)] aF (s) bF (s)
1
2
1
2
3.2 积分定理
不定积分 定积分
L[
f (t)dt]
F(s) s
f 1 (0) ,
s
f 1 (0)
f (t)dt t0
t
F (s)
L[0 f (t)dt] s
8
3.3 微分定理
L[ d f (t)] sF (s) f (0) dt