拉氏变换详解
信号与系统第6章拉氏变换
可见，冲激函数的拉氏变换为常数
6.4 拉氏变换的基本性质
1、线性
函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )]
即
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
A ( s ) a m s m a m 1 s m 1 a1 s a 0 F (s) B(s) bn s n bn 1 s n 1 b1 s b0
系数 a i bi 都是实数， m n 为正整数。 为便于分解，将上式写成：
A ( s ) a m ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) F (s) B ( s ) bn ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
2、微分
3、积分
若 L[ f (t )] F (s) ，则
L[
t
F (s) f 1 (0) f ( )d ] s s
其中：
f
( 1)
(0) f ( )d ，为常数
0
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t t0 )u(t t0 )] e st0 F (s)
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
第十章 拉普拉斯变换
2 t
e ) (t )
t
分母项的分解 及分子系数的 确定主要取决 于D(S)=0根的 情况。 17
1.设 D(s)=0 有 n 个 单 实 根 S n = P n
则 : F ( s)
N ( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
K1 s p1
K2 s p2
Kn s pn
(K 1 ~K n 待 定 系 数 )
确 定 Ki:
( s p1 ) F ( s ) K1 ( s p1 ) K2 s p2 ( s p1 ) Kn s pn
令 : s p1
] L[ f ( t )] S F ( s ) f ( 0 )
'
L [ f ( t )] L [( f ( t )) ] S [ S F ( s ) f ( 0 )] f ( 010 )
'
例 8 ① L[cos t ] L[
1
S
d dt
N (s) D(s)
e
sT0
依据拉氏变换延迟性质:
L [
1
N (s) D( s)
] f (t )
则:
L [
1
N (s) D(s)
e
sT0
] f (t T0 ) (t T0 )
可见：关键在于真分式的拉氏反变换。
步 骤 ：① 将 真 分 式 F ( s )
N (s) D(s)
st
st
L[ f (t )]
(t T ) e
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换1. 介绍拉氏变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它能够将时域中的信号转换为复频域中的函数。
拉氏变换可以帮助我们更好地理解和分析各种常见信号的特性和行为。
本文将介绍常见信号的拉氏变换，并详细讨论每个信号类型的特点和拉氏变换公式。
我们将涵盖常见的连续时间信号和离散时间信号，以及它们在频域中的表示。
2. 连续时间信号2.1 常值信号常值信号是指在整个时间范围内保持恒定数值的信号。
它在时域中表示为：x(t)=A其中，A是常数。
对于常值信号，其拉氏变换为：X(s)=A s2.2 单位阶跃函数单位阶跃函数是一种在t=0时从零跳跃到单位幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=u(t)其中，u(t)是单位阶跃函数。
单位阶跃函数的拉氏变换为：X(s)=1 s2.3 单位冲激函数单位冲激函数是一种在t=0时瞬时达到无穷大幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=δ(t)其中，δ(t)是单位冲激函数。
单位冲激函数的拉氏变换为：X(s)=12.4 指数衰减信号指数衰减信号是一种随时间指数衰减的信号。
它在时域中表示为：x(t)=e−at其中，a是正常数。
指数衰减信号的拉氏变换为：X(s)=1 s+a2.5 正弦信号正弦信号是一种周期性的连续时间信号。
它在时域中表示为：x(t)=Asin(ωt+ϕ)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ是相位差。
正弦信号的拉氏变换为：X(s)=ω(s2+ω2)3. 离散时间信号3.1 单位取样序列单位取样序列是一种在离散时间点上取值为1的序列。
它在时域中表示为：x[n]=δ[n]其中，δ[n]是单位冲激函数。
单位取样序列的拉氏变换为：X(z)=13.2 指数衰减序列指数衰减序列是一种随时间指数衰减的离散时间信号。
它在时域中表示为：x[n]=a n u[n]其中，a是正常数，u[n]是单位阶跃函数。
指数衰减序列的拉氏变换为：X(z)=11−az−13.3 正弦序列正弦序列是一种周期性的离散时间信号。
拉氏变换的数学方法解答
拉氏变换的数学方法解答拉氏变换是一种重要的数学工具，用于求解微分方程和积分方程。
它通过将时间域的函数转换为频率域的函数，从而简化了微分方程和积分方程的求解过程。
在本文中，我们将介绍拉氏变换的定义、性质以及如何使用拉氏变换来求解常见的微分方程。
首先，我们来介绍拉氏变换的定义。
拉氏变换是一种积分变换，它将一个在时间域上定义的函数f(t)转换为一个在复平面上定义的函数F(s)。
具体地，拉氏变换定义为：F(s) = L(f(t)) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复变量，e^(-st) 是指数函数。
拉氏变换的结果 F(s) 是一个复函数，它描述了函数 f(t) 在频率域上的性质。
下面我们来介绍拉氏变换的一些基本性质。
首先，拉氏变换是线性的，即对于任意的函数f(t)和g(t)，以及任意的常数a和b，有：L(af(t) + bg(t)) = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
其次，拉氏变换有一个重要的性质，即微分等式在变换后变为乘法等式。
具体地，对于一个函数f(t)和它的导数f'(t)，有：L(f'(t))=sF(s)-f(0)其中，f(0)是函数f(t)在t=0时的值。
另外，拉氏变换还有一个重要的性质，即积分等式在变换后变为除法等式。
具体地，对于函数f(t)的积分F(t)和它的拉氏变换F(s)，有：L(F(t))=1/sF(s)通过上述性质，我们可以将微分方程和积分方程通过拉氏变换转化为更简单的代数方程，从而求解微分方程和积分方程。
接下来，我们来介绍如何使用拉氏变换来解决常见的微分方程。
对于一个线性常系数微分方程：a_n*y^(n)(t)+a_(n-1)y^(n-1)(t)+...+a_1*y'(t)+a_0*y(t)=b(t)其中，y(t)是未知函数，a_i和b(t)是已知函数或常数。
我们可以将该微分方程转化为一个代数方程，通过拉氏变换求解。
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t 0
s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。
(6)位移定理：
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 es L[ f (t )] es F (s) 8
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以 eat
即： L[eat f (t)] F (s a)
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
] s p1
19
, bli
1 d i M (s) {[
i! ds D(s)
(s
p1)l ]}s p1
b1
(l
1 {d l1 1)! ds
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
]}s p1
系数cl1,, cn ,仍按以前的方法计算
M (s) c j [ D(s) (s p j )]s pj 式中p j ( j l 1,, n)是D(s) 0的其余互异极点。
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
1
0
0
sa 0 sa
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s) f(t)
F(s)
δ(t) 1
sinwt
w (s2 w2 )
1(t)
1/s
coswt s
(s2 w2 )
t
1 s2
eat sin wt
w
(s a)2 w2
eat
1/(s+a)
eat cos wt
sa (s a)2 w2
2
❖ 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
9
0
(8)卷积定理
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
则f (t) eat ebt ba
例2：求
F (s)
1 s2 (s 1)
的逆变换。
解：
F (s)
1 s2 (s 1)
1 s2
1 s
1 s 1
f (t) L1[F (s)] t 1 et
13
例3.
F (s)
1 s(s 1)2
则微分方程两边同时取拉氏变换（初始条件不为零）
s2F (s) sf (0) f (0) 4sF (s) 4 f (0) 5F (s) 0
F (s)
s2
s5 4s 5
(s
s5 2)2 1
s23 (s 2)2 1
(s
s
2 2)2
1
(s
3 2)2
1
y e2t cost 3e2t sin t
f (0)
右边 lim[sF (s) f (0)] lim sF (s) f (0)
s0
s0
7
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。
(5)初值定理：lim f (t) lim sF (s)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
4
(3)积分性质 若 L[ f (t)] F(s)
则
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0)
s
s
式中 f 1 (0) 为积分 f (t)dt 当t=0时的值。
1 s
)]s
1
(s2 ) 1
s 1
21
b1
1 (2s3) 2!
s 1
1
c
1 s(s 1)3
s
1
s0
F (s)
1 s
1 (s 1)3
1 (s 1)2
1 s 1
y 1 1 t 2et tet et
2
22
❖ 如果不记公式,可用以下方法求解
F (s)
1 s(s 1)3
a s
b1 (s 1)3
L[af1 (t) bf 2 (t)] aL[ f1 (t)] bL[ f 2 (t)]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t)] F(s) ，则有 L[ f (t)] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 es )
1 (11 s 2s2 ) 1
0 s
0 s
1! 2!
1
e （3）例3.求指数函数f(t)= at 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
20
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
证：设 h(t) f (t)dt 则有 h(t) f (t) 由上述微分定理，有
L[h(t)] sL[h(t)] h(0)
L[h(t)] 1 L[h(t)] 1 h(0) 1 L[ f (t)] 1 h(0)
s
s
s
s
1 F (s) 1 f 1(0)
s
s
5
即：
L[
f (t)dt] F (s) f 1(0)
c3
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
3)]s3
1 10
F(s) 1 1 1 1 1 1 6 s 1 15 s 2 10 s 3
f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t
6 15 10
17
❖ （2）情况2:F(s)有共轭极点
例2：求解微分方程
y 4y 5y 0, y(0) y(0) 1
0
0
10
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
[
f (t 1
)1(t
) f ( )d ]e st dt 2
00
f 2 ( )d
f (t 1
)1(t
)e st dt
0
0
令t , 则
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
f 2 ( )d
f ( )e d s ( ) 1
18
❖ （3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重
极点 p1,而其余极点均不相同。
那么
F (s)
M (s) D(s)
bl (s p1)l
(s
bl 1 p1)l1
s
b1 p1
cl1 cn
s pl1
s pn
式中bl
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
]s p1
bl 1
d ds
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
f
(t)est dt
s
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
0
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
s2F (s) sf (0) f (0)
s
s
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
L[
f
(t)dt 2 ]
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
函数除以 s n 。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
0 dtm
dt 1 m1
m1 dt
m
27
c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得 到系统传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
b 0
a
sm sn
b s m1 1
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证：由微分定理，有 L[ f (t)] f (t)est dt sF (s) f (0)