拉普拉斯变换 例题解析
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
第四章拉普拉斯变换与S域分析
第二种情况：极点为共轭复数
共轭极点出现在
求f(t)
例题
另一种方法
求下示函数F(s) 的逆变换f(t)： 解：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
求得
部分分式展开法
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1 )
A( s ) F ( s) k ( s p1 ) D( s )
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
证明：
推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
① ②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
证明：
例4-6
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
所以 e
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0
举例4.1:
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
部分分式展开法
A( s ) 设F ( s ) 1 D( s )
F1 ( s ) 则F ( s ) ( s p1 ) k
分解
K1i K11 k ( s p1 ) ( s p1 ) k i 1 K1k s p1
部分分式展开法
1 d i 1 其中K1i i 1 F1 ( s) s p 1 (i 1)! ds
第十四章拉普拉斯变换
第十四章 拉普拉斯变换典型例题例14-1 求以下函数的象函数。
（1）单位冲激信号()t δ （2）单位阶跃信号()t ε （3）单边指数信号()t e at ε- （4）单边正弦信号()t t εωsin 解（1） 单位冲激信号()t δ的象函数()()[]()10=====--∞⎰-t stst e ds e t t L s F δδ即 ()1↔t δ （14-5） 可以看出，按拉氏变换定义式（14-1）进行计算，能计及t=0时()t f 中所包含冲激函数。
（2） 单位阶跃信号()t ε的象函数()()[]()se s ds e ds e t t L s F st st st 11000=-====∞-∞--∞⎰⎰-εε即 ()st 1↔ε （14-6）由于()t f 的单边拉氏变换其积分区间为[)∞-,0，故对定义在()∞∞-,上的实函数()t f 进行单边拉氏变换时，相当于()()t t f ε的变换。
所以常数1的拉氏变换与()t ε的拉氏变换相同，即有 s 11↔同理，常数A 的拉氏变换为 sAA ↔ （14-7）（3）指数信号()t eatε-的象函数()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a st at at +====⎰⎰∞+-∞-----10ε 即 ()as t e at+↔-1ε （14-8） 同理()as t e at -↔1ε（4） 单边正弦信号()t t εωsin 的象函数 由于 ()t j tj e e jt ωωω--=21sin 故()()[]()()22112121sin ωωωωεεωωω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-s j s j s j t e e j L t t L s F t j t j 即 ()22sin ωωεω-↔s t t （14-9）例14-2 求单边余弦信号()t t εωcos 的象函数。
拉普拉斯变换终值定理证明
拉普拉斯变换终值定理证明一、拉普拉斯变换终值定理设函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，如果sF(s)在s平面的右半平面及除原点外的虚轴上解析（即sF(s)的所有奇点均位于s平面的左半平面），则lim_{t→∞}f(t)=lim_{s→0}sF(s)。
二、证明过程1. 已知f(t)的拉普拉斯变换F(s)=∫_{0}^∞f(t)e^-stdt。
- 首先求f(t)的导数f^′(t)的拉普拉斯变换。
- 根据拉普拉斯变换的导数性质，L<=ft{f^′(t)right}=sF(s) - f(0)，其中L<=ft{f^′(t)right}=∫_{0}^∞f^′(t)e^-stdt。
- 对L<=ft{f^′(t)right}进行反演积分表示：- L<=ft{f^′(t)right}=∫_{0}^∞f^′(t)e^-stdt=(1)/(2π j)∫_{σ - j∞}^σ + j∞(sF(s)-f(0))e^stds。
- 当t > 0时，f(t)=f(0)+∫_{0}^tf^′(τ)dτ。
- 考虑lim_{t→∞}f(t)：- lim_{t→∞}f(t)=f(0)+lim_{t→∞}∫_{0}^tf^′(τ)dτ。
- 对∫_{0}^tf^′(τ)dτ进行拉普拉斯变换的反演：- ∫_{0}^tf^′(τ)dτ=(1)/(2π j)∫_{σ - j∞}^σ + j∞(sF(s)-f(0))/(s)e^stds。
- 现在求lim_{s→0}sF(s)：- 由于sF(s)在s平面的右半平面及除原点外的虚轴上解析。
- 考虑lim_{s→0}sF(s)，根据L<=ft{f^′(t)right}=sF(s)-f(0)，当s→0时，lim_{s→0}sF(s)=lim_{s→0}(L<=ft{f^′(t)right}+f(0))。
- 因为L<=ft{f^′(t)right}=∫_{0}^∞f^′(t)e^-stdt，当s→0时，lim_{s→0}L<=ft{f^′(t)right}=∫_{0}^∞f^′(t)dt。
拉普拉斯变换的应用及综合举例
E (1 e R
R t L
.
).
17
例 质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端(如图)，作用在物体上 的外力为 f ( t )。若物体自静止平衡 位置 x 0 处开始运动， 求该物体 的运动规律 x( t ) .
(跳过?)
(2) 求 Laplace 逆变换，得
3 t x ( t ) e 2t , 2
1 t 1 2 3 y( t ) e t . 2 2 2
14
P232 例9.24
(跳过?)
解 (1) 由于 f ( t ) sin t 0 f ( x ) sin(t x ) d x , 因此原方程为 f (t ) a t f (t ) sin t . (2) 令 F ( s)
R
R i (t ) L i (t ) E , i (0) 0 .
令 I ( s)
[ i (t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
E R I ( s ) L sI ( s ) , s
E 1 1 E 求解此方程得 I ( s ) R s s R s( R sL) L
解 (1) 由 Newton 定律及 Hooke 定律有
m x( t ) f ( t ) k x( t ) .
即物体运动的微分方程为
m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
18
解 (1) m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
A , 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为 m0 角频率为 0 , 称 0 为该系统的自然频率或固有频率。
拉普拉斯变换实验报告答案
评分：《信号与系统》实验报告实验题目：拉普拉斯变换实验班级：姓名：学号：指导教师：实验日期：拉普拉斯变换实验一、实验目的：1、了解拉普拉斯变换及其逆变换的符号方法；2、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形；3、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形。
二、实验设备：多媒体计算机，matlab软件。
三、实验内容：１．例题4-8 求下示函数的逆变换F（s）=10(s+2)(s+5)/s(s+1)(s+3)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容syms s; %定义系统sf = ilaplace(10*(s+2)*(s+5)/s/(s+1)/(s+3)) %进行拉式变换实验结果:f =100/3 - (10*exp(-3*t))/3 - 20*exp(-t)2.例题4-9 求下示函数的逆变换F（s）=(s^3+5s^2+9s+7)/(s+1)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,5,9,7]; %函数分子的系数a1 = [1,1]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-12p =-2-1k =1 23.例题4-10 求下示函数的逆变换F（s）=(s^2+3)/(s^2+2s+5)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,0,3]; %函数分子的系数a1 = [1,2,5]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-0.2000 + 0.4000i-0.2000 - 0.4000i1.4000p =-1.0000 + 2.0000i-1.0000 - 2.0000i-2.0000k =[]4.例题4-12 求下示函数的逆变换F(s)=(s-2)/s(s+1) ^3该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,-2]; %函数分子的系数a1 = [1,0]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,1] %函数分母第二个因式的系数a = conv(conv(a1,a2),conv(a2,a2)); %令a的值使a1，a2收敛的收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =2.00002.00003.0000-2.0000p =-1.0000-1.0000-1.0000k =[]５.例题4-17图4-17所示电路在t=0时开关S闭合，接入信号源e(t)=VmSIN(wt),电感起始电流等于零，求电流i(t)。
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
0
sin t dt t
0
1 π d s arctan s |0 2 s 1 2
四、位移性质 若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
证明:
根据Laplace变换式, 有
at
求L [ea t t m].
m
( m 1) 利用位移性质， , 已知 L [ t ] m 1 s
可得:
( m 1) L [e t ] m 1 (s a)
at m
求L [e –at sin k t].
k 已知 L [sin kt ] 2 , 利用位移性质， 2 s k
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L f (t k ) L [ f (t k )] k 0 k 0
F ( s )e ks
k 0
,有 0
1 F ( s) (Re( s ) c ) s 1 e
求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. f t
由象函数的微分性质,有
d k L [t sin kt ] 2 ds s k 2
k L [sin kt ] 2 s k2
同理
s
2ks
2
k2
2
(Re( s ) 0)
拉普拉斯变换详解
s2 s2
s
例3 求周期函数的拉氏变换
解
设f1(t)为第一周函数
[ f1(t )] F1(s)
f(t) 1
T/2 T
... t
则：
1 [ f (t )] 1 esT F1(s)
证：f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
[ f (t )] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
S
校验：
U(S)
1
S(1 SRC )
u(0
)
lim
s
S
S(1
1 SRC
)
lim
s
(1
1 SRC
)
0
u() lim 1 1 s0 (1 SRC )
小结： 积分
(t) (t)
t (t ) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
)
例3 求 : f (t) teat的象函数
解
[te αt ] d ( 1 ) 1
ds s α (s α)2
3.积分性质
设： [ f (t)] F (s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
s
F(s)
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ( s )
[ f (t)]
d dt
t
0
f
(t )dt
(s
p
)
kn
s pn
f
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(
)
L(s ) =
2 s s + 2s + 2
(
2
)
L−1 : l (t ) = L-1 [L(s )]
复习拉普拉斯变换的有关内容 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 复函数
s = σ + jω
F(s ) = Fx + jFy
例： F(s ) = s + 2 = σ + 2 + jω （2）复数模、相角
ur
Δu − u a − θ m − θ up − − − − − − − −
l
消去中间变量得：
Tm & l& + l& + k 1 k 2 k 3 k 4 k m l = k 1 k 2 k 3 k m u a ─二阶线性定常微分方程
即： &l& +
1 & k1k 2 k 3k 4 k m kk kk l+ l = 1 2 3 m ua Tm Tm Tm
[ [
]
]
4
拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： L[af1 ( t ) + bf 2 ( t )] = aF1 (s) + bF2 (s) （2）微分定理： L[f ′(t )] = s ⋅ F(s ) − f (0)
证明：左 = ∫ f ′ ( t ) ⋅ e − st dt = ∫ e − st df ( t )
∞ 0
⎧f ( t )：像原 ⎨ ⎩F(s)：像
3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃： 1(t ) = ⎨
L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e −st dt =
0
∞
⎧0 t < 0 ⎩1 t ≥ 0
∞
− 1 −st e s
[ ]
0
=
−1 (0 − 1) = 1 s s
2.
指数函数： f ( t ) = ⎨
∞ ∞
⎧0 t < 0
at ⎩e
t≥0
L[f ( t )] = ∫ e at ⋅ e −st dt = ∫ e −(s−a )t dt
0 0
=
− 1 − ( s −a ) t e s−a
[
]
∞ 0
=
−1 1 (0 − 1) = s−a s−a
3. 正弦函数： f ( t ) = ⎨
⎧0 ⎩sinωt
1).F(s) = 2s 2 − 5s + 1 s ( s 2 + 1)
s s + 8s + 17
2
f(t) = 1 + cost-5sint
2).F(s) =
f(t) = 17e −4t cos(t + 14o ) = e −4t ( cost − 4sint ) f(t) = 1 − t 1 + 9t −10t e − e 81 81
F(s) =
F(s) =
π s 5 0.866s + 2.5 15 e = 2 2 s +5 s 2 + 52
3).f (t) = sin(5t +
π
3
)
4).f (t) = e −0.4t cos12t 5).f (t) = t ⋅ ⎡ ⎣1 − 1[ t − t 0 ]⎤ ⎦ F (s) = 1 − (1 + t 0s ) e − t 0s s2
0
∞
左 = ∫ f ′(t ) lime −st dt = ∫ f ′(t ) ⋅ 1 ⋅ dt = f (t ) 0 = f (∞ ) − f (0) = 右 = lim sF(s ) − f (0 )
s→0 0 s→0 0
∞
[
]
∞
∞
∴有： f (∞ ) = lim sF(s )
s →0
证毕
z 例 9： F(s ) =
1 求 f (∞) s(s + a )(s + b ) 1 1 = s(s + a )(s + b ) ab
解： f (∞ ) = lim s
s→0
z 例 10： f (∞ ) = sinωt t → ∞ ≠ lim s s→0
ω =0 s + ω2
2
拉氏变换附加作业 一． 已知 f(t),求 F(s)=?
1
1 1 （3）积分定理： L ∫ f (t )dt = ⋅ F(s ) + f (-1) (0) s s 1 零初始条件下有： L ∫ f (t )dt = ⋅ F(s ) s
[
ω
L[sin′ωt ] =
1
]
ω
⋅s⋅
s ω = 2 2 s +ω s + ω2
2
（证略）
[
]
进一步有：
⎡ ⎤ 1 1 1 1 L ⎢ ∫∫L∫ f (t )dt n ⎥ = n F(s ) + n f (−1) (0 ) + n −1 f (− 2 ) (0) + L + f (− n ) (0) s s s ⎢{ ⎥ s ⎣ n ⎦
⎤ ⎡ ⎤ e − 2t cos(5t − )⎥ = L⎨e −2t cos ⎢5( t − )⎥ ⎬ z 例 8： L ⎡ ⎢ 3 ⎦ 15 ⎦ ⎣ ⎣ ⎩ ⎭
π − (s + 2 ) ⎧ -π s s+2 s ⎫ 15 e = ⎨e 15 2 = ⋅ 2 ⎬ s + 5 ⎭ s →s + 2 (s + 2)2 + 5 2 ⎩
&A − x & 0 ) = k 2x0 ∴ k 1 ( x i i − x A ) = k1x A 解出 x A = x i −
k2 x0 k1
&i − 代入 B 等式： f(x
k2 &0 − x & 0 ) = k 2x0 x k1
& i = f(1 + f ⋅x
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
π
⎧
π
⎫
（5）终值定理（极限确实存在时）
lim f (t ) = f (∞ ) = lim s ⋅ F(s )
t →∞ s →0
证明：由微分定理 ∫ f ′(t )e −st dt = sF(s ) − f (0)
0
∞
f ′(t )e −st dt = lim sF(s ) − f (0 ) 取极限： lim s →0 s →0 ∫
2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
(
)
虚位移定理： L[e at ⋅ f (t )] = F(s - a ) （证略） z 例 6：求 L[e at ]
解 : L e at = L 1(t ) ⋅ e at =
[ ] [
]
1 s−a
z 例 7： L[e -3t ⋅ cos5t ] =
s s + 52
2
=
s →s + 3
s+3 (s + 3)2 + 5 2
时间函数 传递函数
（4）X-Y 记录仪（不加内电路）
⎧比较点 : Δu = u r - u p ⎪ ⎪放大器 : u a = k 1 ⋅ Δu ⎪ && + θ& = k u ⎪电动机 : Tmθ m m m a ⎨ ⎪减速器 :θ = k 2θ m ⎪绳轮 : l = k ⋅ θ 3 ⎪ ⎪ ⎩电桥电路 : u p = k 4 ⋅ l
1 - t T
1).f(t) = 1-e
1 1 1 T F (s) = − = 1⎞ s s+ 1 ⎛ s⎜s + ⎟ T ⎝ T⎠
2).f (t) = 0.03(1 − cos2t)
s ⎤ 0.12 ⎡1 F(s) = 0.03 ⎢ − 2 = 2⎥ ⎣ s s + 2 ⎦ s ( s 2 + 22 )
[ ]
=
t =0
1 s3
（4）位移定理 实位移定理： L[f (t - τ )] = e −τs ⋅ F(s )
⎧0 t < 0 ⎪ z 例 5： f (t ) = ⎨1 0 < t < 1 ⎪0 t > 0 ⎩
求F(s )
解： f ( t ) = 1( t ) − 1( t − 1)
∴ F(s ) = 1 1 −s 1 − ⋅ e = 1 − e −s s s s
第二章：控制系统的数学模型 §2.1 引言
·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达 式。 ·建模方法 ⎨
⎧机理分析法 ⎩实验法（辩识法） ⎧时域：微分方程 ⎩复域：传递函数
·本章所讲的模型形式 ⎨
§2.2 控制系统时域数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立
（1）L-R-C 网络
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12