第4章 拉普拉斯变换
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第4章_拉普拉斯变换
若 x(t ) 是右边信号, T t , 0 在ROC内，
则有 x(t )e 0t 绝对可积，即：
T
x(t )e 0t dt
若 1 0 ，则
T
T
x(t )e 1t dt
0t ( 1 0 ) t
x(t )e e
( 1 0 )T
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform 复指数信号 e st 是一切LTI系统的特征函数。 如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t )，则系统对
e 产生的响应是:
y(t ) H (s)e ，其中 H (s) h(t )e st dt
st
st
显然当s
t 2t
j
1
X ( s) e e dt e e dt
t st 2t st 0 0
1 e u (t ) , Re[s] 1 s 1
t
j
2
1 e u (t ) , Re[s] 2 s2
2 t
1 1 2s 3 X ( s) 2 , s 1 s 2 s 3s 2
j 时，就是连续时间傅里叶变换。
一.双边拉氏变换的定义：
X ( s) x(t )e st dt
称为 x(t ) 的双边拉氏变换，其中 s j 。
s 若 0，
j 则有: X ( j ) x(t )e jt dt
这就是 x(t )的傅里叶变换。 表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在 0 或是在 j 轴上的特例。
条件的信号在引入 e t 后满足该条件。即有些信 号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表 明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
第四章拉普拉斯变换与S域分析
第二种情况：极点为共轭复数
共轭极点出现在
求f(t)
例题
另一种方法
求下示函数F(s) 的逆变换f(t)： 解：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
求得
部分分式展开法
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1 )
A( s ) F ( s) k ( s p1 ) D( s )
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
证明：
推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
① ②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
证明：
例4-6
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
所以 e
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0
举例4.1:
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
部分分式展开法
A( s ) 设F ( s ) 1 D( s )
F1 ( s ) 则F ( s ) ( s p1 ) k
分解
K1i K11 k ( s p1 ) ( s p1 ) k i 1 K1k s p1
部分分式展开法
1 d i 1 其中K1i i 1 F1 ( s) s p 1 (i 1)! ds
第四章拉普拉斯变换
1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2
0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0
e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n
0
t st t e dt e s
F ( )
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t
F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)
F1 ( ) [ f (t )e ]e
d t f (t )e
n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n
第4章 拉氏变换--1
15
例4-1：求 f (t ) = sin (ωt ) 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) = sin (ωt ) = e jωt − e − jωt ) ( 2j
∵
L
e
± jω t
1 = s jω
(σ
> 0)
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 ω sin ω t = = − ( ) 2 j s − jω s + jω s 2 + ω 2
17
补充例题：
求三角脉冲的拉氏变换。
E
0
f (t )
E f ' ' ( t ) = [δ ( t ) − δ ( t − T )] − Eδ ' ( t − T ) T
两边同时进行拉氏变换，得：
f ′(t )
E T
T
t
E F2 ( s ) = (1 − e − sT ) − Ese − sT T
由时域微分性质，有：
at
− σt
(σ > a )
e −σt u( t ). cos ω1 t
5
拉氏正变换*
F1 (ω ) = F f ( t )u( t ) ⋅ e
因果
[
−σ t
] = [ f (t )u(t ) e ]⋅ e
+∞ −σ t −∞
− jω t
dt
=
+∞
0
f ( t ) ⋅ e − (σ + jω ) t d t = F (σ + jω )
∞
若L[ f ( t )] = F ( s )，则
拉普拉斯变换.
二、拉普拉斯变换的优点
利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的 微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算， 将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算 量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两 个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。 在此基础上建立了线性时不变电路s域分析的 运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时 还引出了系统函数的概念。
• 难点：拉普拉斯变换在求解微分方程的优点
一、拉普拉斯的产生和发展
傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、 抽样、滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法 时，信号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会 遇 到 许 多 信 号 ， 例 如 阶 跃 信 号 (t) 、 斜 坡 信 号 t(t) 、单边正弦信号 sint(t) 等，它们并不满足 绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的 傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们 的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数， 使分析计算较为麻烦。
十九世纪末，英国工程师亥维赛德(O.Heaviside, 1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力工 程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的数 学论证。后来，法国数学家拉普拉斯(P. S. Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严 密的数学定义。于是这种方法便被取名为拉普拉 斯变换，简称拉氏变换。----因为是“拉普拉斯” 这个人定义的。
三、本章内容简介
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他
们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
第4章-4.3拉普拉斯变换的性质
lim x(t ) x() lim sX ( s )
t s 0
举例
x1 (t ) * x2 (t )
卷积定理
X 1 ( s) X 2 ( s)
1 X 1 ( s) * X 2 ( s) 2j
x1 (t ) x2 (t )
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质
单边拉氏变换中要求a>0
dX (s) tx(t ) ds
dX ( s ) d ds ds
x(t )e
0
st
dt dt
0
d st x(t ) e dt ds
0
[tx (t )]e
st
L[tx (t )]
重复运用上述结果，还可得
(t ) x(t )
n
d X (s) ds
L[
d n x(t ) dt n
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例4-14 应用微分性质求 x(t ) (t ) 的变换。 解
d (t ) L[ (t )] L[ ] s L[ (t )] (0 ) s dt
应用微分性质求x(t ) cos(0t )的单边拉氏变换。
第一周期的拉氏变换 第n周期的拉氏变换
x1 (t nT ) e
snT
X 1 (s)
X1 ( s ) X (s) e sT 1
2 1 e e sT ) s (1 s
利用时移特性 利用无穷技术求和
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例 求周期信号的拉氏变换 x(t )
2 ( s a) 3
2
类似得
t e
2 at
t e
t s 0
举例
x1 (t ) * x2 (t )
卷积定理
X 1 ( s) X 2 ( s)
1 X 1 ( s) * X 2 ( s) 2j
x1 (t ) x2 (t )
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质
单边拉氏变换中要求a>0
dX (s) tx(t ) ds
dX ( s ) d ds ds
x(t )e
0
st
dt dt
0
d st x(t ) e dt ds
0
[tx (t )]e
st
L[tx (t )]
重复运用上述结果，还可得
(t ) x(t )
n
d X (s) ds
L[
d n x(t ) dt n
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例4-14 应用微分性质求 x(t ) (t ) 的变换。 解
d (t ) L[ (t )] L[ ] s L[ (t )] (0 ) s dt
应用微分性质求x(t ) cos(0t )的单边拉氏变换。
第一周期的拉氏变换 第n周期的拉氏变换
x1 (t nT ) e
snT
X 1 (s)
X1 ( s ) X (s) e sT 1
2 1 e e sT ) s (1 s
利用时移特性 利用无穷技术求和
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例 求周期信号的拉氏变换 x(t )
2 ( s a) 3
2
类似得
t e
2 at
t e
第4章 拉氏变换
f (t )
A T
0
T A ( t T )
17
t
拉普拉斯变换的性质
例 10
f (t ) t e
(t 2)
(t 1)
dF ( s ) 1 s 方法一：因为 (t 1) e 用频域微分性质 tf ( t ) ds s 1 s s t (t 1) 2 e 应用频移性质 f ( t )e at F( s a ) s 2 s s 1 e 2 e t t ( t 1 ) e 2 ( s 1) 1 方法二： f (t ) e t e (t 1) (t 1) e t (t ) s 1 1 s ( t 1 ) ( t 1) e 应用时移性质： e 应用频域微分性质： s 1 d 1 s 1 1 s s t e ( t 1 ) ( t 1 ) ( e ) e e 2 ds s 1 ( s 1) s 1
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s) 2j
12
f1 (t ). f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cost· (t)
1 j t 应用线性性质: cos t (e e j t ) 2 1 1 1 s cos t ( t ) 2 2 s j s j s 2
应用频域微分性质
1 (t ) t(t)，因为： s
2 t (t ) 3 s
2
dF ( s ) tf ( t ) ds
1 1 t ( t ) ( ) 2 s s
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拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
Fc ( s ) K1 K2 K ( s j ) K 2 ( s j ) 1 s j s j (s )2 2 ( s )( K1 K 2 ) j ( K1 K 2 ) (s )2 2 ( s ) 2 A j 2 jB (s )2 2 (s ) 2A 2B 2 2 (s ) (s )2 2
t0 0
拉普拉斯变换的基本性质
4. 频移特性
L f ( t ) F ( s) 若
L at f ( t ) e F (s a) 则
拉普拉斯变换的基本性质
5. 时域微分特性
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
df (t ) L sF ( s ) f (0 ) Re( s ) 0 dt
若 则
L f (t ) F ( s )
Re( s ) 0
a0
1 f (at ) F ( s / a ) a
L
拉普拉斯变换的基本性质
3. 时移特性
若 则
f (t ) F ( s)
L
L f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
常用信号的拉普拉斯变换
5.余弦信号 cos 0t
6.正弦信号 sin 0t
常用信号的拉普拉斯变换
at e cos 0t 7.衰减余弦信号
at e sin 0t 8.衰减正弦信号
拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性特性
若
L f1 (t ) F1 ( s )
K1 K
1
* 2
( 且有K1 A jB )
若将与共轭复数有关的逆变换用 f c (t ) 表示，则：
K1 K2 f c (t ) L s j s j 2e t ( A cos t B sin t )
推导如下！！
拉普拉斯变换的基本性质
11. 乘积特性
f1 (t ) F1 ( s )
L L f 2 (t ) F2 ( s )
Re( s ) 1 Re( s ) 2
1 f 1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( s ) * F2 ( s )] 2πj
k 0
若计算出f1(t)的Laplace变换F1(s)，利用Laplace变换的时 移特性和 周期信号的 移特性 线性特性，即可求得单边 线性特性 周期信号 Laplace变换为
L[ f (t )] e
k 0
skT
F1 ( s )
F1 ( s ) 1 e
sT
Re(s) > 0
F ( s) K1k K11 K12 E ( s) ( s p1 ) k ( s p1 ) k 1 ( s p1 ) D ( s )
t L
拉普拉斯变换的基本性质
7. 频域微分特性
L f ( t ) F ( s) 若
n dF ( s ) d F ( s) L L n n 则 tf (t ） , t f (t ） ( 1) ds ds n
思考：求解函数 tu(t ) 的拉氏变换。
1 提示：可以用两种方法来求，答案为 2 。 s
L
Re( s ) 1 2
例 试求如图所示周期信号的单边 Laplace变换。 周期信号
f (t) 2 t
0
1
2
3
4
5
分析：周期为T的单边周期信号f(t)可以表示为第一个周期
信号f1(t)及其时移f1(tkT)的线性组合，即
f (t ) f 1 (t kT )u (t kT )
t ( j ) t F [ f (t )e t ] f (t )e t e jt dt 0 e e dt
不存在!
令 s j
0 e ( s )t dt
若
1 s
拉氏变换的定义和收敛域
推广到一般情况：
F [ f (t )e
因为 所以
例 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解： 1)
d 2 f (t ) L 2 s F ( s ) sf ( 0 ) f ' ( 0 ) 2 dt
s 2 F (s)
1 2e s e 2 s
1 2e s e 2 s F (s) s2
关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和计 零的左极限 f(t) 算时可以直接利用起始给定的0-状态，并且可以把 状态 在t=0时刻出现的冲激包含到积分中去。 时刻出现的冲激
拉氏变换的定义和收敛域
二、拉普拉氏变换的收敛域
拉氏变换的定义和收敛域
j 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
例 试求如图所示周期信号的单边 Laplace变换。 周期信号
f (t) 2 t
0
1
2
3
4
5
解：
f1 (t ) 2[u (t ) u (t 1)]
f (t ) f1 (t ) f1 (t 2) f1 (t 4)
2 F 1( s ) L{ f 1 (t )} (1 e s ) Re( s ) s F1 ( s ) 2s 4 s F ( s ) F1 ( s )(1 e e ) 2 s Re(s) > 0 1 e
1) F(s)为有理真分式( m < n)，极点为一阶极点
A (s) A( s ) F (s) B( s ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
kn k1 k2 F (s) s p1 s p 2 s pn
k i (s pi ) F (s)
s pi
i 1,2, , n
f (t ) (k1e
p1t
k2e
p2t
kne
pn t
)u (t )
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
2) F(s)为有理真分式( m < n)，包含共轭复数极点
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
此时， K1 , K 2 呈共轭关系，即有：
u (t )
2. 阶跃函数 u(t)
st
1 （ 0） s ( 0 j 0 )
1 L[u (t )] － 1 e dt 0 s
( 0或 Re( s ) 0)
常用信号的拉普拉斯变换
3.单位冲激信号 ( t )
L[ (t )] (t )e st dt 1
Re( s )
例 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解： 2)
f (t ) f1 (t ) f1 (t )
1 e s 其中：F1 ( s ) s
1 e s 2 F ( s) F1 ( s) F1 ( s) ( ) s
Re( s )
拉普拉斯反变换
L f1 (t ) F1 ( s ) L f 2 (t ) F2 ( s ) L
Re( s ) 1 Re( s ) 2
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
Re( s ) max( 1 , 2 )
d n f (t ) n n 1 n2 s F ( s ) s f ( 0 ) s f ' ( 0 ) ... f n dt
n 1
(0 )
注意：若 f(t) = 0, t<0, 则有f r(0 ) = 0，r=0,1,2,...
d n f (t ) L n s F (s) n dt
t
]
f (t )e
t
e
jt
dt
f (t )e ( j )t dt
令s= +j
f (t )e st dt F ( s )
f (t )e st dt
拉普拉斯正变换
定义： F ( s )
对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2 πj
计算拉普拉斯反变换方法： 拉普拉斯反变换
1. 查表法 2. 利用常用信号拉氏变换与性质 3. 采用部分分式展开法 4. 利用复变函数中的留数定理
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
A( s ) am s m am 1s m 1 a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn 1s n 1 b1s b0
故：f c (t ) 2e t ( A cos t B sin t )
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
3) F(s)为有理真分式( m < n)，极点为k重极点
A( s ) A( s ) F (s) B ( s ) ( s p1 ) k D ( s )
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2 πj
拉普拉斯反变换
拉氏变换的定义和收敛域
拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示：
F ( s ) L [ f ( t )]
物理意义：
f ( t ) L 1 [ F ( s )]
L f (t ) F (s)
拉普拉斯变换的基本性质