第四章拉普拉斯变换与S域分析-新修正版
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【时间管理】第4章拉氏变换与连续时间系统S域分析1
则有
Fb (s)
f (t)est dt
f (t) 1
2j
j
F j b
(s)est
ds
双边拉 普拉斯 变换对
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
Fb (s) —— f (t) 的双边拉氏变换或象函数 f (t) —— Fb (s) 的双边拉氏逆变换或原函数
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
Fb ( j)
f (t)e( j)t dt
相应的傅立叶逆变换为
f (t) 1
2
Fb (
j)e( j)t d
令 s j, 则 ds jd
系统性能.
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
在第3章中知道，有些函数不满足绝对可积的条件，
使求解傅立叶变换困难。为此，引入一衰减因子 e t
（ 为实常数）乘以信号 f (t) 。
1 t0 f (t) et t 0
一、傅立叶分析应用条件上的限制： （1）运用傅立叶分析必须满足一定的条件，因而限制
了它的应用范围； （2）对于给定初始状态的系统难于进行频域分析。
◇ 鲁东大学电子与电气工程学院
SIGNALS AND SYSTEMS
4.1 引言
赫维塞德
针对第一个问题——即找到一种新的 变换，既有类似于傅立叶变换的性质，又 能克服在应用上的局限。
第四章 拉普拉斯变换
即，收敛域相应平移一 Res0 个
Res 0 a
例：求衰减的正弦函数 t sin t的象函数， 0 e 解： sin t
s
2 2
Res 0
令f (t ) sin t 则F ( s)
s2 2
由频移性质： e t sin t e t f (t ) F (s )
0为收敛轴，如图所示
F(s)的拉氏逆变换为
1 f (t ) F ( s) F ( s)e st ds 2j f (t ) F (s) 记为
1
五、一些常用函数的拉氏变换 1.阶跃函数
u (t )
2.指数函数
Hale Waihona Puke 0e st e st dt s
单边拉氏变换 当f(t)为有始函数时，即t＜0时f(t)=0
则 F ( s ) f (t )e st dt
0
记为F ( s ) f (t )
1 f (t ) F ( s )e st ds 2j f (t ) 0
t0 t0
f (t ) F (s) f (t )e st dt
0
在半平面Re(s ) 0上一定存在，积分 f (t )e st dt在 Re(s ) 1 0
0
上绝对一致收敛， ( s )在 Re(s )为解析函数。其收敛域 Re(s ) 0， F 为
注：零点、极点相抵消，为不可观测状态。例： 1 1 1 s 1 s 1 s 2 其中s=-1为不可观测状态。 四、复频移特性 若 f (t ) F ( s), Res 0
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
第4章 拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
Fc ( s ) K1 K2 K ( s j ) K 2 ( s j ) 1 s j s j (s )2 2 ( s )( K1 K 2 ) j ( K1 K 2 ) (s )2 2 ( s ) 2 A j 2 jB (s )2 2 (s ) 2A 2B 2 2 (s ) (s )2 2
t0 0
拉普拉斯变换的基本性质
4. 频移特性
L f ( t ) F ( s) 若
L at f ( t ) e F (s a) 则
拉普拉斯变换的基本性质
5. 时域微分特性
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
df (t ) L sF ( s ) f (0 ) Re( s ) 0 dt
若 则
L f (t ) F ( s )
Re( s ) 0
a0
1 f (at ) F ( s / a ) a
L
拉普拉斯变换的基本性质
3. 时移特性
若 则
f (t ) F ( s)
L
L f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
常用信号的拉普拉斯变换
5.余弦信号 cos 0t
6.正弦信号 sin 0t
常用信号的拉普拉斯变换
at e cos 0t 7.衰减余弦信号
at e sin 0t 8.衰减正弦信号
拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性特性
若
第4章 拉普拉斯变换、连续时间
3. 频移 若 L [ f (t )] F ( s) 则 L [ f (t )e t ] F ( s ) 证明 : L [ f (t )e
t
] f (t )e t e st dt
0
f (t )e ( s )t dt F ( s )
F ( s) f (t )e st dt
0
－－－单边拉氏变换
f (t )
2 j j
1
j
F ( s)e st ds
对于某些非因果信号，其单边拉氏变换也从0-时刻开始的，所 以f(t)的单边拉氏变换可以理解为f(t)u(t- 0-)的单边拉氏变换。 单边拉氏变换与傅氏的区别： 傅氏变换将时域函数f(t)变换为频率函数F(ω) ，t和ω都是实 数；拉氏变换将时间函数f(t)变换为复变函数F(s) ，s为复数也称 作“复频率”。 ω只能描述振荡的频率， s不仅能给出振荡频率， 还可以表示振荡幅度的变化。
f1(t ) f2(t )
0
t
0
t0 T+ t 0
t
f3(t )
f4(t )
0
t0
T
t
0
t0
t
解 ：f1(t)、 f4(t)可以直接用公式：
F1 ( s)
s2 2
F4 ( s)
st e s2 2
0
f 2 (t ) sin (t t0 )u (t ) [sin t cos t0 cos t sin t0 ]u (t )
sin (t t0 ) cos t0 cos (t t0 ) sin t0 u (t t0 )
0
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
§4.05 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型
电容元件的s 模型
电流源形式
第
二.利用s域模型求响应的步骤 • 求起始状态 (0-状态)；
• 画s域等效模型；
5 页
• 列s域方程（代数方程）；
• 解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)
或 I (s )；
• 拉氏反变换求v(t)或i(t)。
例4-5-1
X
第
电流源形式的s域模型：
6 页
VL ( s) sLI L ( s) LiL (0 )
iC ( t )
vC ( t )
C
1 ( 1 ) 1 0 iC (0 ) iC ( ) d C C vC (0 )
IC ( ) sC s
VC ( s )
1 sC
v (0 ) s
X
4.5 用拉氏变换分析电路
主要内容
• 电路元件的s域模型 • 利用s域模型求电路响应的步骤
第 1 页
X
第
一．电路元件的s域模型(P.211-212)
优点 1. 电阻元件的 s 域模型
2 页
v R (t ) R i R (t )
VR ( s) R I R ( s)
VR ( s ) 或 I R ( s) R
iR (t )
R
v R (t )
I R ( s)
VR ( s )
R
X
第
2.电感元件的s域模型
d i L (t ) v L (t ) L dt
3 页
v L (t )
iL (t )
L
应用原函数微分性质
VL ( s ) LsI L ( s ) i L (0 ) s LI L ( s ) Li L (0 )
§4.05用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型
第四种情况 α ω R 较大，低 Q ，不能振 0
路 0 ， 无损 LC 回 耗 的 第一种情况：α p ω p ω 2 j 0 1 j 0 E 1 j ω t j ω t C 0 0 i t e e E sin 0t L2 j ω L 0 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 ω 0 ω 即 R 较小 Q 的 LC ， 回 高 路 Q ， 第二种情况： α 0 2 α 2 ω ω α 引入符号 α2 ω ω d 0 0 j d
(1) 起 始 i 状 0 0 态 A, v 0 为 0 V ０ L C (2) t 0的 s域等效模型 (3) 列方程
1 E LsI s RI s I s Cs s
1 E LsI s RI s I s Cs s E E 1 I s 1 L 2 R 1 s Ls R s s sC L LC 极点 p1, p2：
第三种情况：α ω0
R 2L 1 LC
p p α 1 2
E 1 Is 这时有重根的情况， I s 表示式为 2 L s α R t E E t L i t eα te 2 L L R 越大，阻尼大，不能产 生振荡，是临界情况
2 2 2 2 α ω E 1 0 α ω t αt t 0 i t e e e 2 2 L 2 α ω
Is ( ) c [ s U ( s ) u ( 0 ) ] c c c
I ( s ) scU ( s ) cu ( 0 ) c c c
u 0 ) 1 c( U s ) I s ) c( c( sc s
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2021/3/3
修正版
38
举例4.3:
已知F (s)
(s2
s2 3 2s 5)(s
2)
,
求其逆变换
解：F (s)
s2 3
(s 1 j2)(s 1 j2)(s 2)
2021/3/3
k1 k2 k0 s 1 j2 s 1 j2 s 2
p1,2 j , ( 1, 2)
修正版
1, 2 A 1 , B 2
5
5
f
(t)
2et
1 5
cos(2t)
2 5
sin(2t)
7 5
e2t
u(t)
2021/3/3
修正版
41
举例4.4:
已知F (s)
s2 s(s 1)3
,
求其逆变换
解：F (s)
k11 (s 1)3
k12 (s 1)2
k13 (s 1)
k2 s
令F1 ( s)
2021/3/3
修正版
9
五、 常用信号的拉氏变换
1 阶跃函数 u(t) L 1 , 0
s
2冲激函数 (t) L 1,
3指数函数 eat L 1 , －a
sa
2021/3/3
修正版
10
常用信号的拉氏变换
4
增长函数 t
n
L
n! s n 1
(n
0),
如
t
L
1 s2
，
时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变 量s又称“复频率”。
拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
s j
est et e jwt et (cos wt j sin wt)
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复 频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长 速率或衰减速率。
第四章 拉普拉斯变换
与S域分析
2021/3/3
修正版
1
第一节 引言
2021/3/3
修正版
2
一、拉氏变换的优点
把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经 求解再还原为时间函数。
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 应用拉氏变换：
（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换 式里。
求其逆变换 解：部分分解法 F(s) k1 k2 k3 （m n）
s s 1 s 3
其中k1 sF (s) s0 10(s 2)(s 5) 100 (s 1)(s 3) s0 3
2021/3/3
修正版
33
举例4.1:
解：k2 (s 1)F (s) s1
10(s 2)(s 5)
jw
收 敛 轴
收 敛 区
则f (t)et在 ０范围内收敛
其中０与f t 有关，
０
0
收 敛 坐 标
过０的垂直线为收敛轴，
０在S平面内称收敛坐标
2021/3/3
修正版
8
拉氏变换收敛域举例
(1)有界非周期信号收敛域: 全平面
(即凡是有始有终,能量有限的信号);
(2)有稳定幅度的周期信号收敛域: 0;右半平面. (3)随时间成正比增长的信号 0; (4)按指数eat增长的信号 a。
2021/3/3
修正版
6
三、从算子法的概念说明拉氏变换的定义
f (t) F (s) df (t) sF(s) (当f(0)=0)
dt df (t) sF(s)-f(0) (当f(0) 0)
dt
2021/3/3
修正版
7
四、拉氏变换收敛域
拉氏变换的收敛域：当 ０时 lim f (t)et 0 t
0
5 正弦信号 sin(0 t )
L
0 s2 02
cos(0 t )
L
s2
s
02
2021/3/3
修正版
11
常用信号的拉氏变换
6 衰减正弦 e at
sin(0 t )
L
(s
0
a)2
02
e at
cos(0 t )
L
(s
sa
a)2 02
7 衰减斜升
teat L 1 (s a)2
求解拉氏逆变换的方法有：
（1）部分分式展开法
（2）长除法
（3）留数法
2021/3/3
修正版
22
二、部分分式展开法
设F (s)
A(s) B(s)
am s m bn s n
am1sm1 bn1sn1
a0（有理式） b0
则A(s) am (s z1)(s z2 ) (s zm ) 其中z1，z2， zm称F (s)的零点 B(s) bn (s p1)(s p2 ) (s pn ) 其中p1, p2 , pn称F (s)的极点
L
1
2
j
F1(s) F2 (s)
2021/3/3
修正版
18
拉氏变换的基本性质
10 尺度变换性：
若f (t) L F (s)
则f
(at)
L
1 a
F
s a
(a 0)
11
极值性：若f
(t)
L
F
(s)，df (t) dt
L L
df (t) dt
则初值
f
(0
)
lim
s
sF
(s)
终值 lim f (t) lim sF (s)
fc (t) et (K1e jt K1e jt )u(t)
2et Acos t B sin t u(t)
2021/3/3
修正版
27
部分分式展开法
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1)
F (s)
(s
A(s) p1 )k D(s)
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
2021/3/3
t
s
2021/3/3
修正版
17
拉氏变换的基本性质
8时域卷积性：
若f1(t) L F1(s), f2 (t) F2 (s) 则f1(t) f2 (t) L F1(s) • F2 (s)
9 s域卷积性：若f1(t) L F1(s), f2 (t) L F2 (s)
则f1(t) •
f2 (t )
t
s0
仅当sF (s)在s平面的虚轴上及其右边均解析时
（原点除外）才可应用终值定理
2021/3/3
修正版
19
作业
P250 4-1(1)(15)(19) 4-3(3)，4-5(2)
2021/3/3
修正版
20
第四节 拉氏逆变换
2021/3/3
修正版
21
一、系统的s域分析方法
用拉氏变换方法分析系统时，最后还要 将象函数进行拉氏反（逆）变换。
2021/3/3
余下的满足m n部分按上法分解
修正版
24
部分分式展开法
(2)极点包含共轭复根的情况 ( p1,2 j )
A(s) F(s)
D(s) (s )2 2
A(s)
D(s)(s j )(s j )
其中D(s)为分母除去共轭复根剩余部分
2021/3/3
修正版
25
１ 线性性：
若f1(t) L F1(s), f2 (t) L F2 (s) 则k1 f1(t) k2 f2 (t) L k1F1(s) k2F2 (s)
2时域平移性：
若f (t)u(t) L F (s)
则f (t t0 )u(t t0 ) L est0 F (s)
3 s域平移性：若f (t) L F (s)
部分分式展开法设F1 ( s A( s ) D(s)
则F (s)
F1 ( s)
(s j )(s j )
分解
K1
K2
s j s j
2021/3/3
修正版
26
部分分式展开法
其中K1,2
F1 (
2
j )（留数） j
K1、K2呈共轭关系：K1,2 A jB
得共轭复根有关部分逆变换为 L 1
则 tf (t) L sdF (s) ds
2021/3/3
修正版
16
拉氏变换的基本性质
6时域积分性：
若f (t) L F (s)
则 t f ( )d L F (s) f (1) (0)
－
s
s
7 s域积分性：若f (t) L F (s)
则 f (t) L
F ()d
f (t)estdt
0
其中s j（因果系统）
单边拉氏逆变换：f (t) １ j F (s)estds
2 j j
拉氏变换对：原函 f (t) L f (t) F (s)
2021/3/3
象函 F (s) L1F(s) f (t )
修正版
5
二、拉氏变换的物理意义
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)， 或作相反变换。
2021/3/3
修正版
37
举例4.2:
部分分式展开法 F (s) s 2 k1 k2 s 1 s 2
其中k1
(s
1)
(s
s3 1)(s
2)
s 1
2
k2
s3 s 1
s 2
1
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) '(t) 2 (t) 2et e2t u(t)
修正版
28
部分分式展开法
设F1 ( s)
A( s ) D(s)
则F (s)