第三章连续时间信号的变换域分析
信号与线性系统 第四版 管致中 第3章1
11
傅里叶级数的指数形式
可以从三角傅立叶级数直接导出，由欧拉公式：
1 sin nt e jnt e jnt 2j 1 jnt cos nt e e jnt 代入三角形傅氏级数中去， 2
a0 f (t ) an cos nt bn sin nt 2 n 1 n 1
7
例
试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里 f (t) 叶级数。 f (t ) a0 an cos nt bn sin nt 1
2
n 1 n 1
T 2
2 T 2 2 T a0 f (t )dt dt T (1)dt 0 T 0 T 0 T 2
0
T 2
T
n
2
(cos n
T
T 2
8
1)
例
将具有不连续点的周期函数（如 矩形脉冲)进行傅立叶级数展开 后，选取有限项进行合成。当选 取的项数越多，在所合成的波形 中出现的峰起越靠近原信号的不 连续点。当选取的项数很大时， 该峰起值趋于一个常数，大约等 于总跳变值的9%。这种现象称 为吉布斯效应。
______。 B
2
f (t )
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是
1
0
T 2
T
t
-1
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。
奇函数：只含正弦项； 半周镜象对称： 只含奇次谐波
25
例 3 习题3.8
t0
t0+T
信号与系统中的连续时间信号分析
信号与系统中的连续时间信号分析在信号与系统学科中，连续时间信号分析是一项重要的研究领域。
它涉及到对连续时间信号的特性和行为进行深入的研究与分析。
通过对连续时间信号的理解，我们可以更好地理解和应用于实际系统中。
连续时间信号是一种在时间上是连续的信号，与离散信号相对应。
通过对连续时间信号的分析，我们可以研究信号的频谱特性、系统响应以及信号处理等方面的问题。
下面将介绍一些连续时间信号分析的重要概念和方法。
一、连续时间信号的分类在连续时间信号的分析中，我们将信号分为不同的类型，以便更好地理解和处理它们。
常见的连续时间信号类型包括周期信号、非周期信号、能量信号和功率信号。
1. 周期信号周期信号是指信号在时间上具有重复性质的信号。
在数学上，周期信号可以表示为f(t) = f(t ± T)，其中T是信号的周期。
周期信号在通信系统中经常出现，例如正弦信号、方波信号等。
2. 非周期信号非周期信号是指无法用周期性来描述的信号。
非周期信号在实际应用中也非常常见，例如脉冲信号、指数信号等。
3. 能量信号能量信号是指信号的总能量有限，即信号在无穷远处的能量为零。
能量信号通常在短时间内集中能量，如方波信号、冲激信号等。
4. 功率信号功率信号是指信号的功率在无穷远处有限，即信号的总功率为有限值。
功率信号通常在长时间内分散能量，如正弦信号等。
二、连续时间信号的频谱分析频谱分析是连续时间信号分析的重要手段，通过对信号的频谱特性进行研究，可以了解信号的频率成分以及频率响应等信息。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要工具。
通过傅里叶变换，我们可以将连续时间信号表示为不同频率分量的叠加。
2. 频谱密度函数频谱密度函数是描述信号功率随频率变化的函数。
通过计算信号的频谱密度函数，我们可以了解信号的频率特性和功率分布等信息。
三、连续时间系统的分析连续时间信号的分析还涉及到对系统的研究和分析。
连续时间系统是通过输入信号产生输出信号的物理系统，例如滤波器、放大器等。
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
第数字信号处理讲义--3章_连续时间信号的采样
图3-6采样内插恢复
3.4连续时间信号的离散时间处理
随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。
一、C/D转换
C/D转换
时域分析频域分析
二、D/C转换
D/C转换
D/C变换整个是C/D变换的逆过程
三、连续时间信号的离散化处理
即：
例1：数字微分器
带限微分
例2：半抽样间隔延时
设带限于，要求
3.6利用离散时间信号处理改变采样频率
3.6.1脉冲串采样
3.5离散时间信号的连续时间处理
离散时间信号的连续时间处理
从时域角度看：
从频域角度看：
3.6.2离散信号抽取与内插
抽取——从序列中提取每第N个点上样本的过程。
令
2.内插
抽取又称为减抽样,内插又称为增抽样。
减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。
在采样前加一低通滤波器,以滤除高于2倍采样频率成分,以避免高频成分的干扰。
3.7.2 A/D转换中的量化误差
数字信号不仅在时间上是离散的，而且在取值上也不连续，即数字信号的取值必须为某个规定的最小数量单位的整数倍。
因此，为了将模拟信号转换成数字信号，还必须将采样/保持电路输出的采样值按照某种近似方式归并到相应的离散电平上，也就是将模拟信号在取值上离散化，我们把这个过程称为量化。将量化后的结果（离散电平）用数字代码来表示，称为编码。于单极性模拟信号，一般采用自然二进制编码；对于双极性模拟信号，则通常采用二进制补码。经过编码后得到的代码就是A/D转换器输出的数字量。
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
连续时间信号的时域分析和频域分析
时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律，主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域， 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号， 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示，即波形图 ，也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析：通过观察音频信号的时域波形，可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取：从音频信号中提取出各种特征，如 短时能量、短时过零率等，用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换：将音频信号从时域转换 到频域，便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号调制和解调， 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性，能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性， 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数，能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中，两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中，两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中，通过对频域信号进行加权处理，可以设计
信号分析31
（有限能量） i为任意整 数
1，如果x（t）在区间内与 gi ( t )正交，则x（t）必属 于这个正交集。
2，若x（t）与 gi ( t )正交，但 gi ( t ) 中不包含x（t）， 则此集不完备。
信号表示为正交函数集
4、复变函数的正交特性。 若 f 1( t ) 和 f 2( t )是t 的复变函数，则有关正交特性 的描述如下： 若 f1 (t ) 在区间 ( t 1, t 2 ) 内可由 C 12 f 2( t )来近似， 使均方误差幅度最小的 C12 之最佳值是 f (t ) c f
信号表示为正交函数集
矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为
即
则
A C 1V 1 C 2V 2 CrVr CnVn A Vr A Vr Cr Kr Vr Vr
V 1、V 2、V 3Vn Vm Vm Km (Vm不为单位矢量） Vl Vm 0 (l m )
均方误差
t2 t 1 f ( t ) gi ( t )dt Ki
n t 2 2 2 ( t ) [ f ( t ) c r g r ( t )] dt t 2 t1 t1 r 1
1
信号表示为正交函数集
3、用完备正交函数集表示信号
定义1： g 2( t ) t) • 如果用正交函数集 g1( ， ，… gn( t ) 在区间 (t1, t 2) 近似 n 表示函数 f ( t ) crgr ( t )
信号表示为正交函数集
定义2： 如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t )之外， 不存在有限能量的函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
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频谱。73.1.3 期信号的频谱及其特点例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅 里叶级数，并画出各自的频谱图。
解：一个周期内 f%(t)的表达式为：
E
f%(t)
2
E 2
0 t T1 2
T1 2
t
T1
a0
1 T1
T1 f%(t)dt 0
0
an
2 T1
T1 0
f%(t) cos n1tdt
2E
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51
L
)
或
f%(t)
2E
n 1,3,5L
1 n
cos(n1t
)
2
9
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
Fn
1 2 (an
jbn
)
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f%(t) jE e j 1t jE e j3 1t L jE e j 1t jE e j3 1t L
Fne jn1t
n
（3）
为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，
各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。
如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 cn 及 n
等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位
情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位
现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称 性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。
（1）偶函数
f%(t) f%(t)
bn
2 T1
T1
2 T1
f%(t) sin n1tdt
0
2
1 T1
2 T1
a0 T1
2 T1
2
f (t)dt
T1
2 0
f (t)dt
an
2 T1
0
2E
bn
2 T1
T1 0
f%(t) sin n1tdt
n
0
n 1,3,5L n 2, 4, 6L
8
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
2E
cn
bn
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
n
arctan(
bn an
)
2
(n 1,3,5 )
因此
f%(t)
2E
n1,3,5L
1 n
sin
n1t
cn
n
arctan(
bn an
)
Fn 为 n1 的偶函数，n为 n1 的奇函数
6
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
1. 周期信号的频谱
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
f (t) c0 cn cos(n1t n )
（1） （2）
n1
f (t)
T1
2 T1
2
f (t) cos n1tdt
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中只含有（直流）和余弦分量。
3
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为
f%(t) ,
其重复周期是T1,角频率
1
2
f1
2
T1
f%(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
（1）
n1
直流分量：
a0
1 T1
t0 T1 f%(t )dt
t0
余弦分量的幅度：
an
2 T1
t0 T1 t0
f%(t) cos n1tdt
3 5
0 n
Ω1
Ω1
5
3Ω1 5Ω1
3Ω1 5Ω1
5Ω1 3Ω1 Ω1 Ω1
Ω
n
3Ω1 5Ω1
2
Ω1
3Ω1
5Ω1
0
Ω 5Ω1 3Ω1 Ω1
Ω
2
2
11
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
2. 周期信号频谱的特点 （1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱
称为离散频谱。
3
3
Fn
E
n
(n 1, 3, 5L )
n
2
(n 1,3,5L ) (n 1, 3, 5L
)
2
10
2E
cn
n
n 1,3,5
Fn
E
n
(n 1,3,5 )
0
n
2
n 2,4,6
(n 1,3,5 )
cn 2E
2E
3 2E
n 2
2
(n 1,3,5 )
(n 1,3,5 )
Fn E
EE
1
第3章 傅里叶变换分析
从本章起，我们由时域分析进入变换域分析，即傅里 叶变换（频域）分析和拉普拉斯变换（复频域）分析。在 频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论 非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。在复频域分析 中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念， 进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的 性质及拉普拉斯逆变换。
2
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成 正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函 数集或复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是 “傅里叶级数”。前者称为三角形式的傅里叶级数，后者 称为指数形式的傅里叶级数，它们是傅里叶级数两种不同 的表示形式。
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n 而逐渐
衰减到零。
12
3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系
已知信号 f%(t)展为傅里叶级数的时候，如果 f%(t)是实函数而
且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出
正弦分量的幅度：
bn
2 T1
t0 T1 t0
f%(t) sin n1tdt
以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T1
或 T1 ~ T1 22
4
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f%(t) c0 cn cos(n1t n )
其中
cn2 an2 bn2
n 1
n
arctan(
bn an
)
（2）
c0 a0
5
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
f%(t)
Fne jn1t
n
其中
1
Fn T1
t0 T1 f%(t )e jn1t dt
t0
F0 a0 c0
Fn
Fn
e
j n 1 (a 2
n
jb n)
（3） ------ 复振幅
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
第3章 连续时间信号的变换域分析
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 3.2 典型周期信号的频谱 3.3 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的频谱 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 拉普拉斯变换 3.8 拉普拉斯变换的基本性质 3.9 拉普拉斯逆变换 3.10 连续信号的频域与复频域的MATLAB分析