13第8章4卷积拉氏变换的应用.
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉氏变换卷积定理
拉氏变换卷积定理拉氏变换是一种重要的数学工具，可以将一个时间域上的连续信号转换为一个复平面上的函数。
通过拉氏变换，我们可以更好地了解信号的频率特性和系统的稳定性。
在信号处理中，经常会用到拉氏变换卷积定理，下面我们就来详细介绍一下。
首先，我们先回顾一下卷积的定义。
对于两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积可以表示为：$h(t) = f(t) * g(t) = int_{-infty}^{infty} f(tau)g(t-tau) dtau$其中，$h(t)$表示f(t)和g(t)的卷积函数，符号*$表示卷积运算。
上式的积分区间是$(-infty, infty)$，表示整个时间轴上的积分。
接下来，我们考虑拉氏变换下的卷积定理。
设f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，则有：$H(s) = F(s)G(s)$其中，H(s)表示f(t)和g(t)的卷积函数的拉氏变换。
这个定理表明：在拉氏变换下，卷积运算等于两个函数的拉氏变换之积。
证明如下：$h(t) = f(t) * g(t) = int_{-infty}^{infty} f(tau)g(t-tau) dtau$两边同时进行拉氏变换得到：$H(s) = mathcal{L}{f(t) * g(t)} = int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty} f(tau)g(t-tau) e^{-st} dtau dt$ 将积分顺序交换，得到：$H(s) = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty}f(tau)g(t-tau) e^{-st} dt dtau$对内层积分进行变量代换t = t' + tau，得到：$H(s) = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty}f(tau)g(t') e^{-s(t'+tau)} dt' dtau$对t'进行积分，得到：$H(s) = int_{-infty}^{infty} f(tau) int_{-infty}^{infty} g(t') e^{-st'} e^{-stau} dt' dtau$将$F(s) = mathcal{L}{f(t)}$和$G(s) = mathcal{L}{g(t)}$代入，得到：$H(s) = F(s)G(s)$这就是拉氏变换下的卷积定理的证明过程。
拉普拉斯变换的应用
毕业设计（论文）题目：拉普拉斯变换的应用院（系）数学科学学院专业信息与计算科学届别学号姓名指导老师摘要拉普拉斯变换是重要的定理.本文首先叙述拉普拉斯变换的相关定理及其推广，然后通过了举例子的方法来列举了拉普拉斯变换在广义积分、微分方程求解中应用, 以及拉普拉斯变换的延迟性质的应用关键词：拉普拉斯变换; 拉普拉斯变换应用；拉普拉斯变换的推广.ABSTRACTThe theorem of Laplace transform is important.This paper described the related theorem and its extension of the Laplace transformation, then an example through the way of enumerating the Laplace transformation applied in the generalized integral, differential equation, and delay the nature of the application of Laplace transformKeywords:Laplace transform; Laplace transform application; A generalization of Laplace transform.目录第一章拉普拉斯变换的概念及存在定理 (4)引言 (4)1.拉普拉斯变换的定义 (4)2.拉普拉斯变换的存在定理 (4)3.拉普拉斯变换的基本性质 (6)第二章拉普拉斯变换的推广及其逆变换 (7)1.拉普拉斯变换的推广 (7)2.拉普拉斯逆变换 (7)第三章拉普拉斯变换的应用 (9)1.利用拉普拉斯变换解微分方程（组） (9)2.用拉普拉斯变换解积分方程 (12)第四章利用拉普拉斯变换求解广义积分 (13)1.主要方法及证明 (13)2.计算⎰∞0)(dtttf型积分 (15)3.计算⎰∞>)0(),(tdxxtf型积分 (16)第五章延迟性质在拉普拉斯变换中的应用 (18)结语 (20)参考文献 (21)后记 (22)第一章 拉普拉斯变换的概念及存在定理引 言复变函数论产生于18世纪，它是数论、代数、方程等理论研究中的重要方法之一，以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.在数学中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,常常采取一种变换手法,如数量乘积或商通过对数变换变成和或者差然后再作指数变换即得原来数量的乘积和商.所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换,一般是化为含参数的积分.积分变换理论和方法不仅在数学许多分支中,而且在其他自然科学和各种工程技术领域中有广泛应用,已经成为不可缺少的运算工具 ,本论文主要总结归纳了拉普拉斯的变换几个重要方面的应用.通过本论文，不仅能使你对拉普拉斯的变换有更加深入的了解，而且能掌握其运用，增强自身的实际运用能力，使得自己对于拉普拉斯的变换有了真正意义上的掌握，而不是仅仅是停留在课本上的认识.1.拉普拉斯变换的定义：设函数ƒ(t)在[0，∞]上有定义，如果对于复参变量jw s +=β,积分dt e t f s F st -+∞⎰=0)()(在复平面s 的某一个区域内收敛，则称)(s F 为函数)(t f 的拉普拉斯变换，记为)]([￡)(s f s F =;对应地，称函数)(s f 为)(s F 的拉普拉斯逆变换，记为)]([￡)(-1s F t f =.同时，)(s F 和)(s f 分别被称为像函数和原函数.2.拉普拉斯变换的存在定理：若函数)(t f ）满足下列条件：(1)在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续；(2)当∞→t 时，)(t f 具有有限的增长性，即存在常数0>M 及0≥c ，使得 ct Me t f ≤)( )0(∞<≤x （1） 成立（其中c 称为)(t f 的增长指数，或者称)(t f 的增长是不超过指数级的）.则)(t f 的拉普拉斯变换F(s)在半平面c s >)Re(上一定存在，拉普拉斯积分在c c >≥1Re 上绝对收敛而且一致收敛，并且)(s F 在c s >)Re(的半平面内解析.证 设jw s +=β,则t st e e β--=，由不等式（1），可得dt e M dt e t f s F t c st ⎰⎰+∞--+∞-≤=0)(0)()(β 又由c s >=β)Re(，即0>-c β，可知上式右端积分收敛，因此)(s F 在半平面c s >)Re(上存在.注1 上述拉普拉斯变换存在定理证明表明，一个函数即使它的绝对值随着t 的增大而增大，但只要不比某个指数函数增长得快，则它的拉普拉斯变换就存在，这一点可以从拉普拉斯的变换与傅里叶变换的关系中得到一种直观的解释.大多数物理和工程技术中常见的函数都满足存在定理的条件，因而拉普拉斯变换的应用范围较傅里叶更广泛.注2 存在定理中的条件是充分而非必要条件.例如，对于函数m t t f =)(来说，当1->m 时，拉普拉斯变换是存在的；但当21=m 时，t t f 1)(=却不满足存在定理中的条件(1)，因为这时)(t f 在0=t 时为无穷大，不满足在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续的要求.同理，单位脉冲函数)(t δ也不满足定理中的条件，但)(t δ的拉普拉斯变换是存在的.注3 当满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数)(t f 在0=t 处有界时，积分dt e t f t f st ⎰+∞-=0)()]([ψ中的下限取+0或者-0不会影响其结果。
拉氏变换
拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。
(2)从变换后的方程中解出象函数。
(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。
例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
拉普拉斯积分变换
由位移性质得
L eat
sin kt
k (s a)2
k2
27
5. 延迟性质 若 L f (t) F(s)，又t 0 时 f (t) 0 则对于任一非负实数 τ 有
L f (t τ ) esτ F (s),
或
L1 esτ F (s) f (t τ )
证
L f (t τ )
f (t τ ) est dt
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
由微分性质有
L k 2 cos kt L f (t) s2 L f (t) sf (0) f (0)
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
8
例3 求正弦函数 f (t) sin kt（k为实数）的拉
氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
f
(t) t
F (s)ds
s
或
f
(t)
tL1
s
F
(s)ds
拉氏变换
机械工程控制基础
y ′′ + p y ′ + qy = f ( x ) → y *
拉氏变换
1 . f ( x ) is k n x n + k n 1 x n 1 + + k 1 x + k 0 isn ' t root y * → y * = x 2 R n ( x ) → 0 is single root y * → y * = xR n ( x ) * * 2 0 is double root y → y = x R n ( x ) a isn ' t root y * → y * = β xe ax 2 . f ( x ) is Ae ax → a is single root y * → y * = β xe ax a is double root y * → y * = β x 2 e ax a isn ' t root y * → y * = Pn ( x ) e ax 3 . f ( x ) is Pn ( x ) e ax → a is single root y * → y * = xP n ( x ) e ax a is double root y * → y * = x 2 Pn ( x ) e ax ω isn ' t single root y * → y * = M cos ω x + N sin ω x 4 . f ( x ) is A sin ω x → ω is single root y * → y * = x ( M cos ω x + N sin ω x ) α ± β j isn ' t root y * → y * = e α x ( M cos β x + N sin β x ) 5 . f ( x ) is Ae ax sin β x → ω is single root y * → y * = xe α x ( M cos ω x + N sin ω x )
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
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复数函数与积分变换
14.计算以下积分.
15.求以下卷积.
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复数函数与积分变换
16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
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18.试求以下积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ(t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条 件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.
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复数函数与积分变换
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定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，假设存在两个常数M>0及σ>0, 对于一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，那么称f(t)为指数级函数，σ 为其增长指数.
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复数函数与积分变换
(2) 原函数的微分性质
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这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
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复数函数与积分变换
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
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复数函数与积分变换
定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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复数函数与积分变换
例8.20 此题也可用留数理论来做.
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L[f (4) (t ) ] s L[f (3) (t )] f (3) (0)
s4F (s) s3 f (0)s2 f (0) sf (0) f (0) 1
例1 求微分方程 y 2 y 3 y et
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 1 的解
2i
2i
2i
7
例5 求微分方程 y 3 y3 y y 1
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s)
L[y ] s2Y (s) L[y ] s3Y (s)
进行拉氏变换得到
Y (s)
1 s(s
求其逆变换
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s)
L[y ] s2Y (s) L[y ] s3Y (s)
对原方程的两边进行拉氏变换得到
s3Y (s)3s2Y (s) 3sY (s)Y (s) 6
6 Y (s) (s 1)4
§8.4 拉氏变换的应用
1.线性性质 L[a f (t) ] a L[f (t)] L[f (t) g(t)] =L[f (t)]+L[g(t)]
2. 微分性质 设 L[f (t)] F (s) Re(s) c
则 L[f (t) ] s L[f (t)] f (0) sF (s) f (0) L[f (t)] s L[ f (t)] f (0) s2 F (s)sf (0) f (0) L[f (t) ] s L[f (t ) ] f (0)
1)3
Y(s
s3Y (s) )est
s(
3
est s
s2Y 1)3
(s) 3sY (s)Y ( 的孤立奇点 s
s) 1 s
0, 1
y(t )
1
1 2!
[s1e s t]
s1
1
1 2
2 2st s2t 2 s3
est s1
1 1 (2 2t t2 ) et 2
8
练习 求微分方程 y 3 y3 y y 6et
两Yy(边(tLs))进[eea行[stLc(t2os[拉(s(ctssko氏1tse]变k1(11t)(换i]ei2s))sst(2ti]2s)ssYa2s2)((21tas1ss)i)kkee2[21(s2(2t1s(siYs)it1)(2s1))ti的ee)2st2t二Y]e(级ists1)极ie点(its2ss(tse11t)1s21in)ii1t
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y ] sY (s) y(0)
L[y ] s2Y (s)1y(0)
对原方程的两边进行拉氏变换得到
s2Y (s) 1 2sY (s) 3Y (s) 1
s1 (s2 2s 3)Y (s) 1
1
Y
(
s)e
s
t(
s
(s 1)(
2) es s 1)(
s1 求的其孤逆立变奇换点 s 3, 1
y(t)
3 e3t[s2 4
6s 6 s3
est] s1
3 4
e 3 t
7 4
e t
t et 25
例3求微分方程 y y 4sin t 5cos 2t
满足初始条件 y(0) 1, y(0) 2 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y ] s2Y (s) sy(0) y(0)
s2Y (s) s 2
进行拉氏变换得到
s2Y (s) s 2
Y (s)
4 s2 1
5s s2
4
L[cos kt L[ sin kt
] ]
s2 s2
(s2
s k2 k k2
1)Y
(
s)
4 s2 1
5s s2
4
s
2
Y
(s)
s2
2
1
则
L[y] sY (s) y(0) sY (s) 1
L[y ] s2Y (s) s 1y(0)
对原方程的两边 进行拉氏变换得到
s2Y (s) s 1 4sY (s) 4 3Y (s) 1
s1 (s2 4s 3)Y (s) s 5
1
Y (s)est
(s2 6s 6) est (s 3)(s 1)2
s s2 4
y(t) 2sin t cos 2t6
172页10(3) 求微分方程 y 2 y2 y 2et cos t
满足 初始条件 y(0) 0, y(0) 0 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s) y(0)
L[y ] s2Y (s) sy(0) y(0)
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 1 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y ] sY (s) y(0)
L[y ] s2Y (s)1y(0)
对原方程的两边进行拉氏变换得到
s2Y (s) 1 3sY (s) 2Y (s) es 1
(s2
3s
s
2)Y (s)
1
es
s
Y (s) 1 1 es es es
L[y ] s2Y (s) 2y(0)
两边 进行拉氏变换得到 s2Y (s) 2 2sY (s) Y (s) 0
Y (s)
(s
2 1)2
Y (s)est
2e s t (s 1)2
的孤立奇点 s 1
y(t) [2est ] 2te t
s1
3
172页10(2) 求微分方程 y 3 y2 y H (t 1)
s 1 s 2 2s s 1 2(s 2)
y(t ) e t e2t [ 1 e(t1) 1 e2(t1) ]H (t 1)
2
2
4
172页10(1) 求微分方程 y 4 y3 y et
满足初始条件 y(0) 1, y(0) 1 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
求其逆变换
s1
Y (s)est
6e s t (s 1)4
的4级极点 s 1
y(t)
6 3!
t
s
3)
s1
求其逆变换
的孤立奇点 s 1,1,3
y(t) 1 e t 3 e t 1 e3t
4 88
பைடு நூலகம்
2
练习172页10(6) 求微分方程 y 2 y y 0
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 2 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s) y(0)