积分变换 第6讲拉氏变换的性质及应用
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
数学物理方法 拉氏变换
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2 πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s p 2 n
令 s = p1 方法2
求极限的方法
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
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N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
s 1
3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s )] s 1 d [ s 4 ] 4 s 1 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
返 回
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[ sF ( s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F ( s) sf (0 ) f (0 )
积分变换 第6讲拉氏变换的性质及应用
的拉氏变换.
s -1
(习题一,1(5)),由积分性质
1 s -1
2
ds
s
s
1 1 1 1 s -1 s - 1 - s 1 d s 2 ln s 1 2 s 1 2 ln s 1 s -1
13
如果积分 则有
f (t ) t
d t存在, 按(2.10)式, 取s 0
F ( s) E s
2 2
(1 e
-
T 2
s
), 其中
2 T
从而
L [ fT (t )] F (s) 1- e
- sT
E s
2 2
1 1- e
-s T 2
26
这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法, 即设fT(t) (t>0)是周期为T的周期函数, 如果
fT (t ) f (t ) 0 0t T 其他
而 所以 L [m!] m!L [1] L [t ]
m
m! s (Re( s ) 0).
7
m! s
m 1
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函 数的微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则 F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c. (2.6) 和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c. (2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和 求导可以调换次序
t
f (t ) d t , 则有
0
h(t ) f (t ), 且h(0) 0 由上述微分性质, 有 L [ h(t )] sL [ h(t )] - h(0) sL [ h(t )], 即 f (t ) d t 1 L L 0 s
常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用
estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由 于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt
积分变换laplace
(n)
(t ) s F ( s ) s
n
n1
f (0) s
n 2
f ( 0 ) f
( n1)
(0)
17
例1 求
f
t
t
m
的拉氏变换（m为正整数）。
m 1
解 由于 f
0
f 0 f
(m )
0
0, 而 f
m
t
存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| M e c t, 0 t <. 则 f (t)的拉氏变换
F ( s)
f ( t )e d t
st
0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半平面 内, F(s)为解析函数.
6
y
Mect
f (t)
O
e
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
0
L [ u ( t )]
1 s
(R e ( s ) 0 ) .
4
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
解 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f ( t )]
e e
kt
st
dt
0
e
( sk ) t
L a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s ),
1
L
b1 F 1 ( s ) b 2 F 2 ( s ) b1 f 1 ( t ) b 2 f 2 ( t ) .
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
拉氏变换.doc
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
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s
f (t ) 一般地, 有L n d s d s F ( s ) d s s s s t n次
12
例4 求函数 f (t )
因L [sinh t ] sinh t L t 1
2
sinh t t
1 s
F (s)
10
重复应用(2.8)式, 就可得到:
L
{ d t d t f (t ) d t} s
0 0 0
t
t
t
1
n
F ( s)
(2.9)
n次
11
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则
F (s) d s
的拉氏变换.
s -1
(习题一,1(5)),由积分性质
1 s -1
2
ds
s
s
1 1 1 1 s -1 s - 1 - s 1 d s 2 ln s 1 2 s 1 2 ln s 1 s -1
13
如果积分 则有
f (t ) t
d t存在, 按(2.10)式, 取s 0
f(t)
f(t-t)
O
t
t
18
0 t t 的拉氏变换. 例7 求函数 u (t - t ) 1 t t 1 已知L [u (t )] , 根据延迟性质 s
L [u (t - t )] 1 s e
- st
u(t-t)
1 O
t
t
19
例8 求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换. 利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为
5
例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变 换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k2cos kt, 则 L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即 -k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s 移项化简得
L [e
at
f (t )]
0
e
at
f (t ) e dt
- st
dt
0 -( s - a )t
f (t ) e
上式右方只是在F(s)中将s换为s-a, 因此
L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c)
15
例5 求L [eattm].
已知L [t ]
m at m
d ds F (s)
ds
d
f (t ) e
- st
- st
dt
0
d ds
f (t ) e
0
d t -
tf (t ) e
- st
dt
8
0
例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.
因为L [sin kt] k s k
2 2
根据上述微分性质可知 d k 2ks L [t sin kt] 2 2 2 d s s k (s k 2 )2 同理可得 d s L [t cos kt] 2 2 d s s k 2s
且L [f(t)]=F(s), 则
L [ fT (t )]
F ( s) 1- e
- sT
27
初值定理与终值定理
(1)初值定理 若L [ f (t )] F ( s ), 且 lim sF ( s ) 存在, 则
s
或写为
lim f (t ) lim sF ( s ) t 0 s f (0) lim sF ( s ) s
2
T T t - u t - 2 2
T 2 s
2 2 s T
(1 - e
),
2 T
24
例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉 氏变换
fT(t)
E
O
T 2
T
3T 2
2T
5T 2
t
25
由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏 变换为
f (t ) A[u (t ) u (t - t ) u (t - 2t ) ] Au(t - kt )
k 0
f(t)
4A 3A 2A
1A O
t
2t
3t
t
20
利用拉氏变换的线性性质及延迟性质, 可得
1 1 - st 1 - 2 st 1 -3 st L [ f (t )] A e e e s s s s
L [cos kt]
s s k
2 2
(Re( s ) 0)
6
例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0) 即 L [m!]=smL [tm]
=>函数的周期拓展
22
例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变 换 f1(t) E f(t) E
O T 2
f2(t)
T
t
O
T t 2
E
O
T 2
T
t
23
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t )] L [ f1 (t )] L [ f 2 (t )] 2 EL sin t u (t ) T 2 EL sin T E 2 T
t
f (t ) d t , 则有
0
h(t ) f (t ), 且h(0) 0 由上述微分性质, 有 L [ h(t )] sL [ h(t )] - h(0) sL [ h(t )], 即 f (t ) d t 1 L L 0 s
t
f (t )
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在 拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要 求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件, 并且把这些函数的增长 指数都统一地取为c. 在证明性质时不再 重述这些条件
2
1. 线性性质 若a,b是常数 L [f1(t)]=F1(s), L [f2(t)]=F2(s), 则有 L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
当Re(s)>0时, 有|e-st|<1, 所以, 上式右端圆括号 中为一公比的模小于1的等比级数, 从而
L [ f (t )] A 1
- st
s 1- e
A
st s 1 - e 2
1
1 e 2 st
A st 1 coth 2s 2
3
2.微分性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) (2.3) 证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
a
u d v uv | - v d u
b a a
b
L [ f (t )] e
- st
f (t ) e
- st
dt
- st
21
一般地, 若L [f(t)]=F(s), 则对于任何t>0, 有
L f (t - kt ) L [ f (t - kt )] k 0 k 0 F (s) e
k 0 - kst
F (s)
1 1- e
- st
(Re( s ) c)
L [ f ( t - t )]
f (t - t ) e
- st
dt
- st
0
t
f (t - t ) e
- st
0
- t u, t u t , d t d u 上式
f ( u) e
- s ( u t )
du e
(m 1)
s
m 1
, 利用位移性质, 可得
L [e t ]
(m 1)
( s - a)
m 1
例6 求L [e-atsin kt]
已知L [sin kt]
at
k s k
2 2
,由位移性质得 k
L [e sin kt]
( s a) k
2
2
16
5. 延迟性质 若L [f(t)]=F(s), 又t<0时f(t)=0, 则 对于任一非负数t0, 有 L [f(t-t)]=e-stF(s) (2.13) 证 根据(2.1)式, 有
- st
0
f ( u) e
- su
du
17
0
e
- st
F ( s ) (Re( s ) c )
函数f(t-t)与f(t)相比, f(t)从t=0开始有非零数值. 而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值. 即延迟了 一个时间t. 从它的图象讲, f(t-t)是由f(t)沿t轴 向右平移t而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st.