第二章拉普拉斯变换
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第二章 拉普拉斯变换
例5 求正弦函数 f (t ) sin k t
解 ℒ
st
(k R) 的拉氏变换
则
1 f (t ) 0 sin k t e dt 0 sin k t de s t s 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s 1 s t 2 e cos k tdt 0 s 1 st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
f (t T ) f (t ) (t 0)
当 f (t ) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1 ℒ f (t ) s T 1 e
T
0
f (t )e s t dt
这是求周期函数拉氏变换公式
2.2 拉普拉斯变换的性质
2.2.1 线性性质 ℒ [ f 2 (t )] F2 ( s) ， , 常数 设 ℒ [ f1 (t )] F1 ( s) ， 则
Re s 0
n t 例4 求幂函数 n 1 的拉氏变换。
解: ℒ t 0
n
n 1 t e dt s n 1
n st
Re s 0
当 n 为正整数时,
n! ℒ t s n 1
n
Re s 0
0
2 k k sin k t e s t dt 2 2 s s
0
sin k t e s t dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
2.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 可以证明:若 f (t ) 是周期为 T 的周期函数,即
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
第二章 拉普拉斯变换
k 解：已知 L[sin kt ] = 2 由位移性质得 2 s +k
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
拉普拉斯变换
L[ f
(n)
(t )]
( n 2)
s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) s f s L [ f (t )] s n 1i f ( i ) (0)
n i 0 n 1
(0) f
( n 1)
(0)
L [ t m ] 和 L cos kt ， 练习： 利用（2.4）式，求
s 1
①
(m 1) m (m)
② Γ(1) 1
由上述性质，可知当 m为正整数时，有 (m 1) m ! ，
从而当 m 为正整数时，有 （Re (s) > 0）。
m! L [ t ] m 1 s
m
例6 求单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换
注：广义函数 (t )是用“分布”的概念定义的。具体说 来， ) f (t ) (t 满足条件：对任意连续函数 , 成立着 b 当 0 [ a, b] 0 f (t ) (t )dt f (0) 当0 [a, b] a
解：由
(t )
L (t )
的性质，可得
0
(t ) e st dt e st
t 0
1
注意：上式意味着积分区间包含了它的端点。
书上的附录Ⅱ（见 p106）给出了一些常见函数的拉氏变换。 请特别记住以下结果：
①
1 L 1 s
②
(m 1)
s m 1
§2.3 拉普拉斯逆变换（ p72）
定理：若 s1、s2、…、sn 是F(s) 所有奇点，且当 s→∞时F(s)→0。则有
f (t ) L1[ F ( s)] Res[ F ( s) e st , sk ]
(n)
(t )]
( n 2)
s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) s f s L [ f (t )] s n 1i f ( i ) (0)
n i 0 n 1
(0) f
( n 1)
(0)
L [ t m ] 和 L cos kt ， 练习： 利用（2.4）式，求
s 1
①
(m 1) m (m)
② Γ(1) 1
由上述性质，可知当 m为正整数时，有 (m 1) m ! ，
从而当 m 为正整数时，有 （Re (s) > 0）。
m! L [ t ] m 1 s
m
例6 求单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换
注：广义函数 (t )是用“分布”的概念定义的。具体说 来， ) f (t ) (t 满足条件：对任意连续函数 , 成立着 b 当 0 [ a, b] 0 f (t ) (t )dt f (0) 当0 [a, b] a
解：由
(t )
L (t )
的性质，可得
0
(t ) e st dt e st
t 0
1
注意：上式意味着积分区间包含了它的端点。
书上的附录Ⅱ（见 p106）给出了一些常见函数的拉氏变换。 请特别记住以下结果：
①
1 L 1 s
②
(m 1)
s m 1
§2.3 拉普拉斯逆变换（ p72）
定理：若 s1、s2、…、sn 是F(s) 所有奇点，且当 s→∞时F(s)→0。则有
f (t ) L1[ F ( s)] Res[ F ( s) e st , sk ]
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换
械的
控位
移
制定
理理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一 常数a,有
L[eatf (t)] F(s a)
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机微
械分
控
定 理
制
理
论
设f(t)的拉氏变换为F(s),
则 L[df (t)] L[ f '(t)] sF(s) f (0 )
dt
其中f(0+)由正向使t 0时的f(t)值。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法Leabharlann 一、复数和复变函数机
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
械
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
控
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果 不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比
制 较大小.
理 共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
证明技巧：可利用微分定理来进
行证明
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机
械
终 值
控定
制理
理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值
定理表示为：
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机 拉普拉斯(Laplace)变换:
械 时域的微分方程
复数域的代数方程
控 优点：1、用图解法预测系统性能；
制
2、解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量
和稳态分量。
理
第二章 拉普拉斯变换
1. 常用函数的拉氏变换
(1) 指数函数
0
t0
f
(t
)
Aet
t0
（2.6）
式中，A和α为常数。
其拉氏变换为
L[ Aet ] Aetestdt A e( s)tdt A
0
0
s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换
(2) 阶跃函数
f
(t
)
0 A
t0 t 0
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ Asin t] A (e jt e jt )estdt 2j 0
A 2j
s
1 j
A 2j
s
1 j
A s2 2
（2.17）
类似地， Acost（如图2.3(b)所示）的拉氏变换可以导出如下：
L[ Acost] As s2 2
（2.18）
(5) 脉动函数
A
f
t
图2.1 单位阶跃函数
第二章 拉普拉斯变换
单位阶跃函数 u(t)
0
t0
u(t) 1
t 0
（2.10）
其拉氏变换为
L[u(t)] estdt 1
0
s
（2.11）
实际上，发生于t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时，
把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t) Au(t) 。
从拉氏变换 F(s)求时间函数 f (t) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
L1[F (s)] f (t) 1
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
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f (t ) Me ( M和k为实常数)
kt
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4
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第二章
拉普拉斯变换
如果复变函数 F ( s ) 是时间函数 f (t ) 的拉氏变换，则f (t ) 称为 F ( s ) 的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
控 制 工 程 基 础
f (t ) L [ F ( s )]
1
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第二章
拉普拉斯变换
四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)
若 L[ f (t )] F ( s )，对于任意常数a(实数或复数)，有
Le
控 制 工 程 基 础
at
f t F s a
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第二章
控 制 工 程 基 础
L f t
T 0
0
f t e st dt
st 2T st
f t e dt f t e dt
T
n 1T
nT
f t e st dt
n 0
n 1T
nT
f t e st dt
(0) f (t )dt
0
t
t 0
推论 若
L[ f (t )] F (s)
则
t t t 1 1 ( 1) 1 ( 2) n L f (t )(dt ) n F ( s ) n f (0) n 1 f (0) 0 0 0 s s s 1 (n) f (0) s
推论 若
L[ f (t )] F (s) ，则
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L s F ( s ) s f (0) s f (0) f (0) n dt ( n 1) (0) 0 时，有 特别地，当 f (0) f (0) f
控 制 工 程 基 础
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2
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第二章
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t )， t 0 ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换定义为
控 制 工 程 基 础
L[ f (t )] F ( s ) f (t ) e dt
st 0
象函数(Image Function)
控 制 工 程 基 础
数学表达式为
e at
0 t
r ( t) = (指数增长函数) r (t)= e-at (指数衰减函数) 其中a >0 。
其拉氏变换为
at
eat
图2-1-5 指数函数
1 L[e ] e e dt 0 sa 1 at at st L[e ] e e dt 0 sa
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第二章
拉普拉斯变换
( 1) ( 2) (n) f (0) f (0) f (0) 0 当初始条件为零时，
t 1 L f (t )dt F ( s ) 0 s
控 制 工 程 基 础
t t t 1 n L f (t )( dt ) n F ( s ) 0 0 0 s
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第二章
拉普拉斯变换
注:欧拉公式
控 制 工 程 基 础
e cos t j sin t
jt
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第二章
拉普拉斯变换
第二节 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质(Linearity)
线性性质指同时满足叠加性和齐次性 。
控 制 工 程 基 础
叠加性 (Additivity Property)：指当几个激励信号 同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独 作用所产生的响应之和。如 r1 c1，r2 c2 ，则
st
1 jt jt st (e e )e d t 2j 0 2 2 s
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第二章
拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) cos t
控 制 工 程 基 础
(t≥0)
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第二章
拉普拉斯变换
八、初值定理(Initial Value Theorem)
若 L[ f (t )] F (s) ，且 lim sF ( s ) 存在，则
控 制 工 程 基 础
L 1 e 2 t cos3t t 3 (t )
L1 L e 2 t Lcos3t L t 3 L t
1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
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第二章
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第二章
拉普拉斯变换
主要内容 第一节 拉普拉斯变换简介
控 制 工 程 基 础
第二节 拉普拉斯变换的性质 第三节 拉普拉斯反变换 第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程
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1
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第二章
拉普拉斯变换
第一节 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏 变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。
L[ f
(n)
(t )] s F ( s )
n
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第二章
拉普拉斯变换
七、积分性质(Integration Property)
若L[ f (t )] F ( s)则 L
其中 f
控 制 工 程 基 础
(-1)
0
t
( 1) F ( s ) f (0) f (t )dt s s
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s )
，对任意实数 a ,则
as
控 制 工 程 基 础
L[ f (t a )] e
F (s)
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第二章
拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f (t ) 是以T 为周期的周期函数,即 f (t T ) f (t ) ， 则有
原函数(Original Function )
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3
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第二章
拉普拉斯变换
一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： (1)在t<0时， f (t ) 0 (2)在t≥0的任一有限区间内， f (t ) 是分段连续的；
控 制 工 程 基 础
(3)当t→﹢∞时， f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数， 即
r3 r1 r2 c3 c1 c2 。
齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘 以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：r c ，
则 kr kc 。
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第二章
拉普拉斯变换 a和b为常数
若有
L[ f 1 (t )] F1 ( s )
(t )
1
控 制 工 程 基 础
0
图2-1-1 单位脉冲函数
t
t 0 (t ) 0 t 0
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7
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第二章
拉普拉斯变换
函数具有如下重要性质
控 制 工 程 基 础
(t ) dt
0
0
(t ) dt 1
(t ) f (t ) dt f (0)
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5
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第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
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6
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第二章
拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：
控 制 工 程 基 础
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0
n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n ( n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
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at
st
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第二章
拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
0
t
控 制 工 程 基 础
图2-1-2 单位阶跃函数
0 u (t ) 1
t0 t0
u(t ) 的拉氏变换为 L[u (t )]
0
u (t ) e dt e dt
st st 0