第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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第2章—拉普拉斯变换的数学方法
0
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
f t f t se st dt
27
若f(t)的二阶、三阶、……，各阶导函数存在，则：
L f n t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 0 f n 1 0
2.1 复数和复变函数
2. 复数的表示方法 （1） 点表示法
复平面
10
2. 复数的表示方法
（2） 向量表示法 模
s r 2 2
辐角 arctan
（3） 三角函数表示法和指数表示法
r cos
三角函数表示法
r sin
cos j sin
0
14
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
s为复数，s = σ + jω，称f(t)为原函数，F(s)为象函数。 拉氏变换F(s)存在条件：
(1) 在任一有限区间上， f(t)分段连续， (2)被积函数 f(t)e-st 绝对值收敛， 只有有限个间断点 即f(t)e-σt绝对可积
23
3. 周期函数的拉氏变换
设函数f(t)是以T为周期的周期函数，即f(t+nT)=f(t) ，n为整数。 则f(t)的拉氏变换为： L f t f t e st dt
0
f t e dt
T st 0
2T
T
f t e dt
st
L f at f e
0
s a
1 1 1 s a d f e d F a a 0 a a
s
26
6. 微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且其一阶导函数f’(t)存在，则
第二章 拉普拉斯变换
例5 求正弦函数 f (t ) sin k t
解 ℒ
st
(k R) 的拉氏变换
则
1 f (t ) 0 sin k t e dt 0 sin k t de s t s 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s 1 s t 2 e cos k tdt 0 s 1 st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
f (t T ) f (t ) (t 0)
当 f (t ) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1 ℒ f (t ) s T 1 e
T
0
f (t )e s t dt
这是求周期函数拉氏变换公式
2.2 拉普拉斯变换的性质
2.2.1 线性性质 ℒ [ f 2 (t )] F2 ( s) ， , 常数 设 ℒ [ f1 (t )] F1 ( s) ， 则
Re s 0
n t 例4 求幂函数 n 1 的拉氏变换。
解: ℒ t 0
n
n 1 t e dt s n 1
n st
Re s 0
当 n 为正整数时,
n! ℒ t s n 1
n
Re s 0
0
2 k k sin k t e s t dt 2 2 s s
0
sin k t e s t dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
2.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 可以证明:若 f (t ) 是周期为 T 的周期函数,即
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
第二章 拉氏变换
m
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
第二章 拉普拉斯变换
k 解：已知 L[sin kt ] = 2 由位移性质得 2 s +k
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
拉氏变换公式
拉普拉斯变换的数学方法 微分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重微分
（2－21）
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
eas f ( )es d 0
eas F (s)
（2－24）
原函数平移 像函数乘以 e-s
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-8：求f(t)的象函数
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
解：f(t)=t
t
( )d
0
L[f(t)]= 1 1 ss
1 s2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 衰减定理（复位移定理）
（2－23）
原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 例2-7：求 et sint 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得：
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重微分
（2－21）
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
eas f ( )es d 0
eas F (s)
（2－24）
原函数平移 像函数乘以 e-s
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-8：求f(t)的象函数
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
解：f(t)=t
t
( )d
0
L[f(t)]= 1 1 ss
1 s2
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 衰减定理（复位移定理）
（2－23）
原函数乘以指数函数e-at像函数F(S)在复数域中作位移a
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 例2-7：求 et sint 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得：
由于 δ(t)=dε(t)/dt
L[ (t)] L[d (t) / dt]
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 s
三、单位斜坡函数
0 t<0 r (t ) t t≥0 r (t ) 的拉氏变换
L[r (t )] t e dt
st 0
r (t )
f (t )
o
图2-2-3 单位斜坡函数
t
1 st 1 st (te ) e dt s s 0 0
（令t a 则） f ( )
0 s ( a )
a
e
as
0
d 0 f ( )e e d as f ( )e s d
sa s
e F (s)
eas 。 这个性质表明， f (t a)的象函数F (s)等于f (t )的象函数乘以指数因子
2 L[ f (t )] s F (s)
L[ f ( n) (t )] s n F (s)
7 积分性质
若 则
L[ f (t )] F (s)
L[
0
F ( s) f ( 1) (0) f (t )dt] s s
其中 f
推论：
(-1)
(0) f (t )dt
d n f (t ) n n 1 n2 L[ ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) f n dt
( n 1)
2
(0)
当 f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
L[ f (t )] sF (s)
第一节 拉氏变换的定义
一、拉氏变换定义 对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（简称拉氏变换） 或F(s)定义为 （2-1-1） 式中，s为复数，s=σ+ ј ω， f(t)称为原函数， F（s）为象函数。习惯 上以小写字母表示原函数，以其对应的大写字母表示象函数。 二、函数进行拉氏变换的条件 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 在t<0时， f (t ) 0 ； 在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；
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2. 实数域的位移定理－延时定理
L[ f (t a)] e as F ( s)
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且：
f (t a) 0, t a
2013-12-30
17
例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 1 1 1(t ) 1(t T ) T T
2013-12-30 15
2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
L[ K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )] K1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
(2-3)
2013-12-30
16
2.4 拉氏变换的性质
1 j f (t ) L [ F ( s)] F ( s)e st ds 2j j
1
(2－2)
其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
2013-12-30
9
2.3 典型时间函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 定义为：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
L[sin t ] sin t e st dt
0
1 jt sin t (e e jt ) 2j
s2 2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为：
L[cost ]
2013-12-30
cost
1 jt (e e jt ) 2
f (t ) Meat
2013-12-30
（2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
该条件使得积分绝对值收敛。
8
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
L1[ F ( s)]
定义为如下积分：
控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
2013-12-30
1
提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
2013-12-30
2
拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程
G(s) u jv
2013-12-30
G (s) s 2 1 ( 2 2 1) j 2
6
K ( s z1 ) ( s zm ) G( s) ( s p1 ) ( s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
4
引言 复数和复变函数 （3）复变函数的概念
G( s) u(s) jv (s)
s
为自变量。
2013-12-30
5
例：
s j
s j
u u ( , ) v v( , )
u u ( , ) 2 2 1 v v( , ) 2
拉氏变换
复数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
2013-12-30
3
引言 复数和复变函数 （1）复数的概念
s j,
1
数。 j
其中， ,
均为实
为虚单位。 （2）复数的表示法 s j, 点表示法 2 2 arctan 向量表示法 s r 三角函数表示法 s r (cos j sin ) j j e cos j sin 指数表示法 s re 2013-12-30
L[e at cos t ]
sa ( s a) 2 2
2013-12-30
21
2.4 拉氏变换的性质
5. 相似定理（也称尺度定理）
对于任意常数a, 有 1 s L[ f (at )] F ( ) a a (2 - 7)
2013-12-30
22
2.4 拉氏变换的性质
6. 微分定理
11. f(t)/t的拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s ), 则函数f (t ) / t的拉氏变换为
f (t ) L[ ] F ( s )ds s t
(2 -18)
2013-12-30
26
2.4 拉氏变换的性质
12. 卷积定理 函数f(t)和g(t)的卷积定义为：
t
0
f (t ) g ( )d f (t ) g (t )
27
2.5 拉氏反变换的数学方法
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 。 L1 [ F ( s)] 由F(s)可按下式求出
1
1 C j st f (t ) L [ F ( s )] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须 是一种能直接查到的原函数的形式。
2013-12-30
7
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)， 并定义为：
L[ f (t )] F (s) f (t )est dt
0
(2－1)
f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：
（1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点；
0
(t )dt 1 (t ) f (t ) dt f (0)
0
单位脉冲函数的拉氏变换为：
L[ (t )] (t )e st dt e st 2013-12-30
0
t 0
1
11
2.3 典型时间函数的拉氏变换
3 单位斜坡函数 定义为： 0, t 0 f (t ) t, t 0 单位斜坡函数的拉氏变换为：
单位阶跃函数的拉氏变换为：
L[1(t )]
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0
e st 1 1(t )e st dt s 0 s
10
2.3 典型时间函数的拉氏变换
2 单位脉冲函数 定义为： , t 0 (t ) 0, t 0 单位脉冲函数的重要性质：
若时间函数f (t )的拉氏变换为F ( s)，且其一阶导数f '(t )存在，那么 L[ f '(t )] sF ( s) f (0 ) 其中f (0 )是时间正向趋近于零时的f (t )值。 （2－8）
7. 积分定理
假设f (t )的拉氏变换F ( s )，则 L[
t 0
F ( s) f (t )dt ] s
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
4 4 s 2 4 s 2 4 sT F ( s ) L[ f (t )] 2 2 2 2 e 2 2 e 2 2 e T s T s T s T s T s 4 2 2 (1 2e 2 e sT ) T s
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2.5 拉氏反变换的数学方法
拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法－简单象函数； (2) 有理函数法－需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式 之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。
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T T
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19
2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换
设f(t)是以T为周期的周期函数，即：
f (t nT ) f (t )
则f(t)的拉氏变换为：
1 L[ f (t )] 1 e sT
T
0
f (t )e- st dt
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20
2.4 拉氏变换的性质
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
1 1 sT 1 L[ f (t )] e (1 e sT ) Ts Ts Ts
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18
例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
L[t ]
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0
e st e st te st dt t ( )dt 0 s 0 s e st 1 st 1 dt 2 e 2 0 s s s
12
0
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t ) e
23
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8 终值定理
Back
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
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24
9 初值定理
Back
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25
2.4 拉氏变换的性质
L[ f (t a)] e as F ( s)
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且：
f (t a) 0, t a
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17
例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 1 1 1(t ) 1(t T ) T T
2013-12-30 15
2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
L[ K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )] K1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
(2-3)
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16
2.4 拉氏变换的性质
1 j f (t ) L [ F ( s)] F ( s)e st ds 2j j
1
(2－2)
其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
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9
2.3 典型时间函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 定义为：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
L[sin t ] sin t e st dt
0
1 jt sin t (e e jt ) 2j
s2 2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为：
L[cost ]
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cost
1 jt (e e jt ) 2
f (t ) Meat
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（2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
该条件使得积分绝对值收敛。
8
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
L1[ F ( s)]
定义为如下积分：
控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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1
提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
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2
拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程
G(s) u jv
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G (s) s 2 1 ( 2 2 1) j 2
6
K ( s z1 ) ( s zm ) G( s) ( s p1 ) ( s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
4
引言 复数和复变函数 （3）复变函数的概念
G( s) u(s) jv (s)
s
为自变量。
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5
例：
s j
s j
u u ( , ) v v( , )
u u ( , ) 2 2 1 v v( , ) 2
拉氏变换
复数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
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3
引言 复数和复变函数 （1）复数的概念
s j,
1
数。 j
其中， ,
均为实
为虚单位。 （2）复数的表示法 s j, 点表示法 2 2 arctan 向量表示法 s r 三角函数表示法 s r (cos j sin ) j j e cos j sin 指数表示法 s re 2013-12-30
L[e at cos t ]
sa ( s a) 2 2
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21
2.4 拉氏变换的性质
5. 相似定理（也称尺度定理）
对于任意常数a, 有 1 s L[ f (at )] F ( ) a a (2 - 7)
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22
2.4 拉氏变换的性质
6. 微分定理
11. f(t)/t的拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s ), 则函数f (t ) / t的拉氏变换为
f (t ) L[ ] F ( s )ds s t
(2 -18)
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26
2.4 拉氏变换的性质
12. 卷积定理 函数f(t)和g(t)的卷积定义为：
t
0
f (t ) g ( )d f (t ) g (t )
27
2.5 拉氏反变换的数学方法
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 。 L1 [ F ( s)] 由F(s)可按下式求出
1
1 C j st f (t ) L [ F ( s )] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须 是一种能直接查到的原函数的形式。
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7
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)， 并定义为：
L[ f (t )] F (s) f (t )est dt
0
(2－1)
f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：
（1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点；
0
(t )dt 1 (t ) f (t ) dt f (0)
0
单位脉冲函数的拉氏变换为：
L[ (t )] (t )e st dt e st 2013-12-30
0
t 0
1
11
2.3 典型时间函数的拉氏变换
3 单位斜坡函数 定义为： 0, t 0 f (t ) t, t 0 单位斜坡函数的拉氏变换为：
单位阶跃函数的拉氏变换为：
L[1(t )]
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0
e st 1 1(t )e st dt s 0 s
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
2 单位脉冲函数 定义为： , t 0 (t ) 0, t 0 单位脉冲函数的重要性质：
若时间函数f (t )的拉氏变换为F ( s)，且其一阶导数f '(t )存在，那么 L[ f '(t )] sF ( s) f (0 ) 其中f (0 )是时间正向趋近于零时的f (t )值。 （2－8）
7. 积分定理
假设f (t )的拉氏变换F ( s )，则 L[
t 0
F ( s) f (t )dt ] s
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
4 4 s 2 4 s 2 4 sT F ( s ) L[ f (t )] 2 2 2 2 e 2 2 e 2 2 e T s T s T s T s T s 4 2 2 (1 2e 2 e sT ) T s
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2.5 拉氏反变换的数学方法
拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法－简单象函数； (2) 有理函数法－需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式 之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。
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T T
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2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换
设f(t)是以T为周期的周期函数，即：
f (t nT ) f (t )
则f(t)的拉氏变换为：
1 L[ f (t )] 1 e sT
T
0
f (t )e- st dt
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2.4 拉氏变换的性质
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
1 1 sT 1 L[ f (t )] e (1 e sT ) Ts Ts Ts
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例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
L[t ]
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e st e st te st dt t ( )dt 0 s 0 s e st 1 st 1 dt 2 e 2 0 s s s
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t ) e
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8 终值定理
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原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
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2.4 拉氏变换的性质