第二章 拉普拉斯变换
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2第二章拉普拉斯变换及其应用
斜坡函数的定义式为：
f
(t)
0 Kt
(t 0) (t 0)
式中k为常数
在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。
在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，
根据拉氏变换的定义式有：
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2.1 拉氏变换的概念
F (s) LKt Ktestdt 0
L
f
(t
)(dt
)2
F(s) s2
L
n
f
(t)(dt)n
F(s) sn
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2.2 拉氏变换的运算定理
上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等 于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分 重要的运算定理。
五、位移定理 L et f (t) F(s )
即
0
(t)dt lim 0
0
(t)dt 1
（2.2）
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2.1 拉氏变换的概念
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。 它的变换式由式（2.1）有
F (s) L (t) (t)estdt 0
lim
0
0
(t
)e
st
dt
(t
)e
st
dt
存在（收敛），应满足下列条件：
当 t 0 ， f (t) 0 ；
当 t 0 ， f (t) 分段连续；
当 t ，est 较 f (t) 衰减得更快。
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2.1 拉氏变换的概念
由于
f (t)est dt
0
是一个定积分，t 将在新函数中消失。
因此， F(s) 只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原
第二章 拉普拉斯变换
例5 求正弦函数 f (t ) sin k t
解 ℒ
st
(k R) 的拉氏变换
则
1 f (t ) 0 sin k t e dt 0 sin k t de s t s 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s 1 s t 2 e cos k tdt 0 s 1 st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
f (t T ) f (t ) (t 0)
当 f (t ) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1 ℒ f (t ) s T 1 e
T
0
f (t )e s t dt
这是求周期函数拉氏变换公式
2.2 拉普拉斯变换的性质
2.2.1 线性性质 ℒ [ f 2 (t )] F2 ( s) ， , 常数 设 ℒ [ f1 (t )] F1 ( s) ， 则
Re s 0
n t 例4 求幂函数 n 1 的拉氏变换。
解: ℒ t 0
n
n 1 t e dt s n 1
n st
Re s 0
当 n 为正整数时,
n! ℒ t s n 1
n
Re s 0
0
2 k k sin k t e s t dt 2 2 s s
0
sin k t e s t dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
2.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 可以证明:若 f (t ) 是周期为 T 的周期函数,即
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
第二章 拉普拉斯变换
k 解：已知 L[sin kt ] = 2 由位移性质得 2 s +k
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换
械的
控位
移
制定
理理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一 常数a,有
L[eatf (t)] F(s a)
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机微
械分
控
定 理
制
理
论
设f(t)的拉氏变换为F(s),
则 L[df (t)] L[ f '(t)] sF(s) f (0 )
dt
其中f(0+)由正向使t 0时的f(t)值。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法Leabharlann 一、复数和复变函数机
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
械
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
控
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果 不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比
制 较大小.
理 共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
证明技巧：可利用微分定理来进
行证明
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机
械
终 值
控定
制理
理
论
若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值
定理表示为：
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机 拉普拉斯(Laplace)变换:
械 时域的微分方程
复数域的代数方程
控 优点：1、用图解法预测系统性能；
制
2、解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量
和稳态分量。
理
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
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根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第二章 拉普拉斯变换
t
的 Fourier 变换
两点说明
(1) 像函数 F ( s ) 的存在域一般是一个右半平 Re s c 面 即只要复数 s 的实部足够大就可以了。 ,
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零，
(1)
(2) (3)
[1] = [ u ( t ) ]
[ ( t ) ] 1; [t m ]
s m!
m 1
1 s
;
(4)[eat源自]1 sa
2
;
s ; .
(5)
Γ ( m 1) s
m 1
[ cos a t ]
[
sin a t
;
(6)
]
s a a s a
2
2
2
特点 变换的结果均为分式函数。
3、复数的向量表示法 4、复数的三角表示法 5、复数函数
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铃
2
1、复数域
1.1 虚单位:
实例 : 方程 x 1 在实数集中无解
2
.
对虚数单位的规定:
( 1 ) i 1;
2
(2) i 可以与实数进行四则运算
3
虚数单位的性质:
i i;
1 4 2 2
i 1;
4n 2
1,
i
4n 3
i.
4
1.2 复数的代数形式的定义:
对于 x , y R , 称 z x yi 或 z x iy 为复数 .
实部 记做：Rez=x
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如果时间函数 f (t )在t＝0处包含一个脉冲函数
函数用拉氏积分 0
e st dt
进行变换；
第二章 拉普拉斯变换
(4) F (s)为时间函数 f (t ) 的拉氏变换。
于是，时间函数f (t ) 的拉氏变换为
L[ f (t )] F (s) e dt[ f (t )] f (t )e st dt
st 0 0
0
( j ) t
（2.2）
dt
这就产生了一种新的变换—拉普拉斯（Laplace）变换， 简称拉氏变换。 我们规定：
(1) f (t ) (t )u(t ) 为时间t的函数，并且当t<0时 f (t ) 0 ；
(2) s j为复变量； (3) L 为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间
At 2 f (t ) 0 t0 t0
（2.27）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
A L[ At ] At e dt t 2e st 0 s 1 2A 3 s
2 2 st 0
2 te st dt 0
（2.28）
当 A 时的加速度函数称为单位加速度函数，如图2.6(a) 2 所示，用
sin t 1 jt jt (e e ) 2j
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ A sin t ] A jt jt st (e e )e dt 2 j 0 A 1 A 1 A 2 2 j s j 2 j s j s 2
（2.17）
(2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简
化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。 (3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域
中两函数的乘法运算。
第二章 拉普拉斯变换
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出 利用单位阶跃函数 u(t ) 和指数衰减函数 e t (β＞0)所具有的
f (t )
A t0
0
（2.20）
其拉氏变换为
（2.21）
t0
t
图2.4 脉动函数
第二章 拉普拉斯变换 (6) 脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
A lim g (t ) 0 0 0t t 0, t
（2.22）
其拉氏变换为：
A L[ g (t )] lim (1 e s ) 0 s d A(1 e s ) As lim d A 0 d s s d
a(t ) 表示。发生在t＝t
0时的单位加速度函数通常写
1
第二章 拉普拉斯变换 成 a(t t0 ) ，如图2.6(b)所示。
a(t )
8 6 4 2
0
a(t t0 )
1 2 3 4
(a)
t
0
t0
(b)
t
图2.6 单位加速度函数
单位加速度函数
0 a(t ) 1 2 t 2
这里的脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的
阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠 加而成，如图2.4所示，即
A A f (t ) u (t ) u (t t0 ) t0 t0
A A L[ f (t )] L u (t ) L u (t t0 ) t0 t0 A A st 0 A e (1 e st 0 ) t0 s t0 s t0 s
第二章 拉普拉斯变换 单位阶跃函数 u(t )
0 u(t ) 1 t 0 t 0
（2.10）
其拉氏变换为
L[u (t )] e st dt
0
1 s
（2.11）
实际上，发生于 t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时， 把一个定常信号突然加到系统上。 高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t ) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t ) Au(t ) 。 (3) 斜坡函数
t 特点，分别构成两个新的函数 (t )u(t ) 和 (t )e，这时， (t )u(t )
的积分区间由(-∞，∞)变成
[0, )，在积分区间 [0, )内
(t )u(t ) (t ) ；而 (t )e t 就有可能变得绝对可积。
如果再构成一个新的函数
(t )u(t )e t
(t t0 )
d u (t t0 ) dt
（2.25）
相反，如果对单位脉冲函数 (t t0 ) 积分
(t t )dt u(t t )
t0 0 0
t
（2.26）
积分的结果就是单位阶跃函数 u(t t0 ) 。
第二章 拉普拉斯变换 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行 微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应 的不连续点上的量值。 (7) 加速度函数
（2.15）
1 st 1 e dt 2 s 0 s
t 0 t 0
f (t )
(4) 正弦函数
0 f (t ) A sin t
f (t )
（2.16）
式中，A和ω为常数，如
图2.3(a)所示。
0
t
(a)
0
t
(b)
图2.3 正弦函数和余弦函数
第二章 拉普拉斯变换 根据欧拉公式
脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非 常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
第二章 拉普拉斯变换 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉 冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时 间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 (t t0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u(t t0 ) 在间 断点 t t0上的导数，即
L[ Ae t ] Ae t e st dt A e ( s )t dt
0 0
A s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换 (2) 阶跃函数
0 f (t ) A t 0 t 0
（2.8）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
在常数M>0及c≥0，使得
|f(t)| ≤Mect，0≤ t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为 它的增长指数）。 则
f (t )的拉氏变换
F (s) f (t )e st dt
0
（2.5）
在半平面 Re (s) c上一定存在，右端的积分在 Re (s) c1 c
第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F 半平面内， (s)
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为
（2.23）
当面积A=1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克 (Disac)函数，如图2.5(a)所示，用 (t ) 表示。发生在t = t0处的 单位脉冲函数通常用 (t t0 ) 表示，如图2.5(b)所示。此时，
第二章 拉普拉斯变换
(t )
1
(t t0 )
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt
(t )u (t )e
第二章 拉普拉斯变换
第二章
本章学习要点：
拉普拉斯变换
拉氏变换的概念；
拉氏变换的性质；
常用函数的拉氏变换；
拉氏逆变换； 卷积定理。
第二章 拉普拉斯变换
拉氏变换法的优点：
(1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程 的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘 法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程。
1
t≥0
（2.4）
式（2.4）式（2.3）为一对互逆的积分变换公式，我们也称
F (s) 和 f (t ) 构成了一个拉氏变换对。
第二章 拉普拉斯变换 2.1.2 拉氏变换的存在定理 若时间函数
f (t )满足下列条件：
(1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续；
f (2) 当 t 时，(t ) 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存
（2.3）
f 即时间函数 F (s)为 f (t ) 的拉普拉斯变换。在这里，(t ) 称为“原
F (s 函数”， ) 称为“象函数”。
从拉氏变换 F (s)求时间函数 f (t ) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
1 j st L [ F ( s)] f (t ) j F (s)e ds 2j
(t ) ，必须明确地指出拉氏积分的下限是0－还是0＋。
L [ f (t )] f (t )e st dt
0
L [ f (t )] f (t )e dt f (t )e dt L [ f (t )]
st st 0 0
0
（2.31）
(t ) ，则
L[ A] Ae st dt
0
A s
（2.9）
当A＝1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图2.1(a)所示， 用