2018年高考全国2卷理科数学(含答案)
即 y x 5．
设所求圆的圆心坐标为 (x0 , y0 ) ，则
y0
x0
( x0
1)2
5, ( y0
x0 2
1)2
16.
解得
x0 y0
3, 2
或
x0 y0
11, 6.
因此所求圆的方程为 (x 3)2 ( y 2)2 16 或 (x 11)2 ( y 6)2 144 ．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
yˆ 99 17.59 256.5 (亿元)．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y 30.4 13.5t 上下．这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地
笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．B
4．B
5．A
7．B
8．C
9．C
10．A
11．C
二、填空题
13． y 2x
三、解答题
14．9
15． 1 2
16． 40 2π
17．解：
6．A 12．D
（1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1 3d 15．
由 a1 7 得 d=2．
求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．
O
A
C
21．（12 分）
B
M
已知函数 f (x) ex ax2 ．
（1）若 a 1，证明：当 x≥0 时， f (x)≥1；
（2）若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
0．
16k2
16
0
，故
x1
x2
2k 2 k2
4
．
所以 |
AB
||
AF
|
|
BF
|
( x1
1)
( x2
1)
4k 2 k2
4
．
由题设知 4k 2 4 8 ，解得 k 1（舍去）， k 1． k2
因此 l 的方程为 y x 1．
（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 (3, 2) ，所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2 (x 3) ，
234
99 100
序框图，则在空白框中应填入
A． i i 1 B． i i 2 C． i i 3 D． i i 4
开始
N 0, T 0
i 1
是
否
i 100
N N 1 i
T T 1 i 1
S N T 输出 S 结束
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12 分） 设抛物线 C：y2 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，
| AB | 8 ． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得 F(1, 0) ，l 的方程为 y k(x 1)(k 0) ．
设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，
由
y k(x
y
2
4x
1),
得
k 2 x2
(2k2
4)x
k2
若 △SAB 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和，已知 a1 7 ， S3 15 ． （1）求{an} 的通项公式； （2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值． 18．（12 分） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．
B．8
3．函数 f (x) ex ex 的图象大致为 x2
C．5
D．4
4．已知向量 a ， b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b)
A．4
B．3
C．2
D．0
5．双曲线
x2 a2
y2 b2
1 (a
0, b 0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
的余弦值为
A． 1 5
B． 5 6
C． 5 5
10．若 f (x) cos x sin x 在[a, a] 是减函数，则 a 的最大值是
D． 2 2
A． π 4
B． π 2
C． 3π 4
D． π
11．已知 f (x) 是定义域为 (, ) 的奇函数，满足 f (1 x) f (1 x) ．若 f (1) 2 ，
理科数学试题 第 3 页（共 11 页）
20．（12 分）
如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 2 2 ，
P
PA PB PC AC 4 ， O 为 AC 的中点．
（1）证明： PO 平面 ABC ；
（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30 ，
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
2 cos θ, 4sin θ,
（
θ
为参数），直线
l
的参数方
程为
x
y
1 t cos α, 2 t sin α,
（
t
为参数）．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率．
由 OP2 OB2 PB2 知 PO OB ．
由 OP OB,OP AC 知 PO 平面 ABC ．
（2）如图，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz ．
由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0),C(0, 2,0), P(0,0, 2 3), AP (0, 2, 2 3), 取
描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增 加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基
理科数学试题 第 5 页（共 11 页）
础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型
项是符合题目要求的。
1． 1 2i 1 2i
A． 4 3 i 55
B． 4 3 i 55C． 3 4 i 55
D． 3 4 i 55
2．已知集合 A {(x, y) | x2 y2 3, x Z, y Z}，则 A 中元素的个数为
A．9
A． y 2x
B． y 3x
C． y 2 x 2
6．在 △ABC 中， cos C 5 ， BC 1 ， AC 5 ，则 AB 25
D． y 3 x 2
A． 4 2
B． 30
C． 29
D． 2 5
理科数学试题 第 1 页（共 11 页）
7．为计算 S 1 1 1 1 1 1 ，设计了右侧的程
所以{an}的通项公式为 an 2n 9 ．
（2）由（1）得 Sn n2 8n (n 4)2 16 ．
所以当 n=4 时， Sn 取得最小值，最小值为−16．
18．解： （1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
yˆ 30.4 13.519 226.1(亿元)．
yˆ 99 17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模
型②得到的预测值更可靠． （ⅱ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到
的预测值 226．1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明 利用模型②得到的预测值更可靠．
20．解：
理科数学试题 第 6 页（共 11 页）
（1）因为 AP CP AC 4 ， O 为 AC 的中点，所以 OP AC ，且 OP 2 3 ．
2018年高考理科数学新课标全国2卷逐题解析
2018 年一般高等学校招生全国一致考试新课标2 卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及稿本纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要 求的。
1+2i1． 1-2i =( )4 3 4 3 343 4A ．- 5-5iB ． - 5 + 5iC ．- 5-5iD ． - 5 + 5i分析：选 D2．已知会集 A={(x,y)|x2+y 2≤ 3,x ∈Z,y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( )A ． 9B ． 8C ． 5D ． 4分析：选 A 问题为确立圆面内整点个数3．函数 f(x)=e x -e -x的图像大体为 ( ) x 2分析：选 B f(x) 为奇函数，消除A,x>0,f(x)>0,消除 D, 取 x=2,f(2)=e 2-e -2>1, 应选 B44．已知向量 a ， b 满足 |a|=1 ， a · b=-1 ，则 a · (2a-b)= ( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0分析：选 B a · (2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=32－y 25．双曲线 x22 ＝1(a ＞ 0， b ＞ 0) 的离心率为 3，则其渐近线方程为( )ab23A ． y= ± 2xB ． y=± 3xC ． y=± 2 xD ． y=± 2 x分析：选 A e=222a3 c =3a b=C 56．在 ABC 中， cos 2= 5 ， BC=1， AC=5，则 AB= ( )A ．4 2B ． 30C ． 29D ．2 5分析：选 A cosC=2cos2C3 222-1= -AB=AC+BC-2AB · BC ·cosC=32 AB=4 2251 / 61 1 - 1 1 1( )7． 算 S=1- +3+⋯⋯+- ， 了右 的程序框 ， 在空白框中 填入2 499100开始N 0,Ti 1是100 否i1S NTN NiT T1出 Si 1束A ． i=i+1 B． i=i+2C ． i=i+3D． i=i+4分析： B8．我国数学家 景 在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界 先的成就． 哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示 两个素数的和”，如30=7+23．在不超 30 的素数中，随机 取两个不一样的数，其和等于30 的概率是 ()1111A ．B ．C ．D ．121415 18 分析： C不超30 的素数有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17，19， 23， 29 共 10 个，从中 2 个其和 30 的3 2= 17+23， 11+19， 13+17，共 3 种情况，所求概率 P= 15C109．在 方体 ABCD-AB C D 中， AB=BC=1， AA =3， 异面直 AD 与 DB 所成角的余弦 ()1 1 1 11111552A ．B ．C ．D ．5652分析： C建立空 坐 系，利用向量 角公式可得。
2018年高考理科数学新课标全国2卷 逐题解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．1+2i1-2i=( ) A ．- 45 - 35iB ．- 45 + 35iC ．- 35 - 45iD ．- 35 + 45i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3．函数f(x)= e x-e-xx2的图像大致为 ( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e 2-e-24>1,故选B4．已知向量a ，b 满足|a|=1，a ·b=-1，则a ·(2a-b)= ( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=35．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y=±2xB ．y=±3xC ．y=±22x D ．y=±32x 解析：选A e= 3 c 2=3a 2b=2a6．在ΔABC 中，cos C 2=55，BC=1，AC=5，则AB= ( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 27．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选B 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．118解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=3C 102=1159．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A ．15B ．56C ．55D ．22解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
2018年高考理科数学试题(含全国1卷、2卷、3卷)带参考答案
有
种. （用数字填写答案）
16. 已知函数 f（ x） =2sinx+sin2x ，则 f（x）的最小值是
.
三 . 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17. （ 12 分）
A、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数 f （x）=x3+（a-1 ） x2+ax . 若 f（x）为奇函数，则曲线 y= f（x）在点（ 0，0）处的Biblioteka 切线方程为（ ）2
A.y= -2x
B.y= -x C.y=2x D.y=x
6、在 ? ABC中， AD为 BC边上的中线， E 为 AD的中点，则 =（ ）
5
如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件产品作检验，再根
据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为
P
（ 0<P<1），且各件产品是否为不合格品相互独立。
（ 1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（P），求 f（P）的最大值点
A.
-
B.
-
C.
+
D.
+
7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。圆柱表面上的点 M在正视图上的对应 点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上， 从 M到 N 的路径中， 最短路径的长度为（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8. 设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（ -2 ，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 · =( ) A.5 B.6 C.7 D.8
2018年全国二卷数学(含详解答案)
{(x ，y ) x + y 2≤3 ，x ∈ Z ，y ∈ Z ，则 A 中元素的个数为3．函数 f (x ) = 的图像大致为+ - + … + - ，设计了右侧的程序框图，2018 年全国二卷数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 1 + 2i=1 - 2i4 3A ． - - i5 54 3 B ． - + i5 53 4 C ． - - i 5 53 4D ． - + i5 52．已知集合 A =A ．92}B ．8C ．5D ．4e x - e - xx 24．已知向量 a ， b 满足 | a | = 1 ， a ⋅ b = -1 ，则 a ⋅ (2a - b ) =A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1( a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为A ． y = ± 2 xB ． y = ± 3xC ． y = ± 22x D ． y = ± 3 2 x6．在 △ABC 中， cos C 5 =2 5， BC = 1 ， AC = 5 ，则 AB =A ． 4 27．为计算 S = 1 -B ． 30C ． 29D ． 2 51 1 1 1 1234 99 100开始则在空白框中应填入A ． i = i + 1B ． i = i + 2是 N = 0, T = 0i = 1i < 100否C ． i = i + 3D ． i = i + 4N = N +1 iS = N - TT = T +1 i + 1输出 S结束12B ． 6C ． 5D ． 4B ．12．已知 F ， F 是椭圆 C ： a 2 b 214．若 x, y 满足约束条件 ⎨ x - 2 y + 3 ≥ 0 ， 则 z = x + y 的最大值为__________．⎪ x - 5 ≤ 0 ，8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A ． 11 14 C ． 1 15 D ． 1 189．在长方体 ABCD - A B C D 中， AB = BC = 1 ， AA = 3 ，则异面直线 AD 与 DB 所成角1 1 1 1111的余弦值为A ．1 5 B ． 5 52210．若 f ( x ) = cos x - sin x 在 [-a, a] 是减函数，则 a 的最大值是A ． ππ 2 C ． 3π4 D ． π11 ．已知 f ( x ) 是定义域为 (-∞, +∞ ) 的奇函数，满足f (1- x) = f (1+ x) ．若 f (1)= 2，则f (1)+ f (2)+ f (3)+… + f (50)=A ． -50B ．0C ．2D ．501 2 x 2 y 2 += 1( a > b > 0) 的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上， △PF F 为等腰三角形， ∠F F P = 120︒ ，则 C 的离心率为1 2 1 2A ．23B ．12C ．1 3 D ． 14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．曲线 y = 2ln( x + 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．⎧ x + 2 y - 5 ≥ 0 ，⎪⎩15．已知 sin α + cos β = 1， cos α + sin β = 0 ，则 sin(α + β ) = __________．16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ，SB 所成角的余弦值为 7，SA 与圆锥底面所成角为 45°，8若 △SAB 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共 70 分。
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$，求其值。
2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$，求$A$ 中元素的个数。
3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子？4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$，$a\cdot b=-1$，求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。
5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$，求其渐近线方程。
6.在$\triangle ABC$ 中，$\cos A=\frac{4}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，求 $AB$ 的值。
7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。
8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 $30$ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 $30$ 的概率是多少？9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=BC=1$，$AA_1=3$，求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。
10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数，求$a$ 的最大值。
11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，且 $f(1)=2$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。
12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形，且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$，求椭圆的离心率。
2018年全国二卷数学(含详解答案)
2018年全国二卷数学(含详解答案)2018年全国二卷数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．12i12i+=-A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0 5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>3线方程为 A ．2y x= B ．3y x= C ．2y =D ．3y x =6．在ABC△中，5cos2C 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i=+11T T i =++结束是否和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B 5C 5D 210．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。
2018全国2卷数学试题及参考答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（ ）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y =6．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =（ ）A ．BCD ．7．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入（ ） A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15B C D ．210．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．4π B ．2π C ．43πD ．π11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若S A B △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.1212ii+=- 43. 55A i -- 43. 55B i -+ 34. 55C i -- 34. 55D i -+2.已知集合(){}22,3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为. 9A. 8B . 5C . 4D3.函数2()x xe ef x x--=的图象大致为4.已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-,则()2a a b ⋅-=. 4A . 3B . 2C . 0D5.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为. 2A y x =± . 3B y x =± 2. 2C y x =± 3. 2D y x =±6.在ABC ∆中,5cos ,1,5,25C BC AC ===则AB = . 42A . 30B . 29C. 25D 7.为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入. 1A i i =+ . 2B i i =+ . 3C i i =+ . 4D i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23. 在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是1.12A 1. 14B 1. 15C 1. 18D 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,11,3,AB BC AA ===则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为1. 5A5. 6B 5. 5C 2.2D 10.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是.4A π.2B π3.4C π .D π-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________11.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=. 50A -. 0B . 2C . 50D12.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为6的直线上,12PF F ∆为等腰三角形,12120F F P ∠=,则C 的离心率为2. 3A 1. 2B 1. 3C 1. 4D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线2ln(1)y x =+在点()0,0处的切线方程为_____________.14.若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为________.15.已知sin cos 1,cos sin 0αβαβ+=+=,则()sin αβ+=__________.16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA 、SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45.若SAB ∆的面积为则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题（共70分。
2018高考全国新课标2卷理科数学版及答案解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =C ．2y x = D ．3y x = 6．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．2B 30C 29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)[2]
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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2018年高考数学理科试卷（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}8,2,1,0B，那么==A，{}8,6,1,1-=A．⋂B2．若复数z满足i1+⋅，其中i是虚数单位，则z的实部为．=zi23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π， 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示,正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点,()0,5B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅,则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 120=∠ABC ,ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指．定区域．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．(本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=,cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田,如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．(1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ,圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程;（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △,求直线l 的方程．19．(本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值;(3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．(本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明:存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做,则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1:几何证明选讲]（本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点,过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．［选修4—2:矩阵与变换］（本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． (1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分）在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数,且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．(本小题满分10分）如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···,n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序,排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231,只有两个逆序(2,1），(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．(1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式（用n 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1,8｝2．2 3．90 4．85．［2，+∞）6．3107．π6-8．29．210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．(2）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=, 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解:（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ,EC =40sin θ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600(cosθ–sinθcosθ)．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0,则sinθ0=14，θ0∈（0,π6）．当θ∈［θ0,π2)时，才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是[14,1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ)平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是［14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600(cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0,π2）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈［θ0，π2）,则222()cos sin sin(2sin sin1)(2sin1)(sin1)fθθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0fθ′，得θ=π6，当θ∈（θ0,π6）时，()>0fθ′，所以f（θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0fθ′，所以f（θ）为减函数,因此，当θ=π6时,f（θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解:（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=, 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+,即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=．(＊）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为26，所以2126AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ,由（＊）得22000001,22448(2)x y x x ±-=,所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=,解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1,g ′（x )=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′(x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x )与g (x ）不存在“S ”点．(2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =, 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g (x ）的“S "点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，(＊)得01ln 2x =-，即120e x -=,则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组(＊)，即0x 为f （x ）与g (x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．(3)对任意a >0,设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h (x ）的图象是不间断的,所以存在0x ∈（0,1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b 〉0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x )与g (x )且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(*＊) 此时，0x 满足方程组（**)，即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a 〉0，存在b 〉0，使函数f (x )与g （x ）在区间（0,+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：(1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2,3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3,4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9,得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-,当x 〉0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<, 所以()f x 单调递减,从而()f x 〈f （0)=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-, 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m． 因此,d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点,所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力．满分10分．解：（1)因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆, 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P （x ,y ),则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为（3，–1）． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解:因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2，0）,直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=， 则直线l 过A （4,0），倾斜角为π6, 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6．连结OB ,因为OA 为直径，从而∠OBA =π2， 所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解:如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1,则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ,以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--，故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310．（2）因为Q 为BC 的中点，所以31(,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ,z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,2220.y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ,设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CCCC CC |θ==⋅⋅==n n n ,所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：(1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2,3,4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n ,所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2,…，n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时,(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷)本试卷共5页,150分。