数学建模 雨中行走问题
淋雨问题数学建模
s1 bc, s2 ab
淋雨时间：
雨速垂直分量：
分别计算其淋雨量如下：
d t v
u cos
雨速水平分量：
u sin
顶部淋雨量： 迎面淋雨量：
Q1 s1tw cos bc
d w cos v
v d u sin v Q2 s2tw ab w u v u
所以总的淋雨量为：
符号说明
三、模型的建立
人在雨中行走时可能出现以下三种情形： 情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋 遍全身
淋雨的面积
雨中行走的时间 降雨强度
S 2wh 2dh wd (米2 )
D t (秒) v
I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600 ) I (m / s )
s3 bc, s4 ab
d 淋雨时间： t v
雨速垂直分量：
，分别计算其淋雨量如下：
u cos
方向与v相同，故相对雨速
雨速水平分量：u sin 故相对雨速v= u sin v
cos 顶部淋雨量： Q3 s3tw cos bcdw v
v abdw | u sin v | 背面的淋雨量： Q4 s4tw u uv
a b
（3）
由（1）式知总淋雨量
Q stw (2ab 2ac bc)
d w v
易知 v越大，Q值越小，故此时跑得越快，所淋到的 v vm时， Q 最小； 雨量越少。即：当 对（2）式关于v求导可得 ：
Q bdw cu cos au sin 0 2 v u v
时，Q最小
2 v u sin
四、结果分析
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
数学建模实验雨中漫步1
数学实验作业雨中漫步系部：数学系专业：s10数学教育学号：103103011013姓名：张鹏飞实验目的：1.生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少2.运用matlab软件实验内容：给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
1，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
2，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量v时，淋W与行走速度v之间的函数关系。
分析表明当行走速度为m ax雨量最少。
3，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
实验准备： matlab软件绘图，从网上查找各种资料a---长方体的长单位：米b---长方体的宽单位：米c---长方体的厚度单位：米Q---淋雨量单位：升v---人行走的速度单位：米每秒D---路程单位：米I---降雨强度单位：厘米每小时P---雨滴的密度单位：u---雨滴下落的速度单位：米每秒θ---雨迎面吹来时与人体的夹角α---与从后面吹来与人体的夹角实验步骤：在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
雨中行走问题的研究
雨中行走问题的研究
人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想到，走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进,雨的速度(大小和方向)已知，问行人走的速度多大才能使淋雨量最少。
参与这问题的因素：
降雨的大小；风(降雨)的方向；路程的远近和人跑的快慢。
分析：
淋雨量在数学上如何表示？
假设
1. 人行走的路线为直线，行走距离为L
选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v1=(u,0,0),则行走的时间为L/u.
2. 雨的速度不变，记为：v2=(vx,vy,vz)
相对速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz)
3. 人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c
单位时间内的淋雨量: | vx －u|＋| vy |b＋| vz |c
从而总淋雨量:
R(u)=(| vx －u|＋| vy |b＋| vz |c)T (行走的时间为L/u)
=(| vx －u| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c >0)
于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：
已知L,Vx,a,求u为何值时R(u)最小？
1. Vx > 0
vx >a的情形（有最小值）vx a时, u=vx才使取最小值Rmin=La/Vx
当vx a>0时，取u=Vx可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。
数学模型论文雨中行走(1)
队号：第四队成员：刘桂清、徐丽蓉、林雪梅指导老师：刘于江老师雨中行走少淋雨问题真题摘要建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
关键词：少淋雨；雨速的水平分量；夹角；人速1.问题的重述当下雨时，假如你当时没带雨伞你又不得不从A地走到B地，该如何行走才能少淋到雨呢？针对这个问题，建立合理的数学模型。
讨论一下，人在顺风行走时，你以雨速的水平分量的速度走时，雨的夹角至少是多少？进而近一步讨论，在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设（1）把人体看作长方体，底边长a米、宽为b米;高为h米；（2）风速保持不变,人速以V（m/s）匀速行走;（3）人从A地行走到B地，路程为L=1000米；2.2符号说明a 人体的宽度 (m)b 人体的厚度 (m)h 人体的身高 (m)V 人的速度（m/s）ν风速（雨速）（m/s）L 人行走的路程 (m)θ下雨的方向与人的夹角t 人在雨中行走的时间 (s)ρ降雨密度3.模型的建立与求解（1）考虑人在顺风行走时，此种情况下，如图：人淋雨的部位有头、背后，则：头顶的淋雨量：C1=VLabθρνcos侧面的淋雨量：C2=VVLbh)sin(θνρ-总淋雨量： C=C1+C2=VVhaLb)]sin(cos[θνθνρ-+结论：可以看出总淋雨量与速度.角度有关，且与人的速度成反比，当V=νsinθ时，即=θarcsinνV,总淋雨量C最小。
所以，上述情况就转化为与θ有关的问题：（1）当0=θ时C=VhV a Lb )(+νρ=ρρνLbh VLab +结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。
（2）当4πθ=时C=VV h a Lb )]22(22[ννρ-+=VLab νρ22+h Lb ρ-Vh Lb νρ22=(Vh Lbb a ρ22)1-+h Lb ρ结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。
关于雨中行走模型
关于雨中行走模型第六讲建模方法论(5)——建模实例(一)雨中行走问题夏季的某天，你去某地办事，接近目的地时，天空突然下起了大雨，糟糕的是你没有带雨具，且难以找到避雨的地方。
一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能的快走(跑)，以减少雨淋时间。
这样做合理吗,试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能最大限度地减少雨淋的程度，即确定最优行走策略。
问题分析问题是在给定的降雨条件下，设计一个在雨中行走的策略(调整行走速度)，使得你被雨水淋湿的程度最低。
所谓被雨水淋湿的程度，可以用其间被淋在身上的雨水量的大小来刻划，而与此有关的主要因素有:降雨的大小、风(降雨)的方向、路程的远近和行走的速度。
为了简化问题的研究，我们先做以下假设: 模型假设1(降雨的速度(即雨滴降落的速度)和降雨强度保持不变;2(行走速度恒定;3(风速及风向始终保持不变(这三项都是均匀化假设)。
4(把人的身体看成是一个呈长方体形状的物体(理想化)。
5(淋在身上的雨水被完全吸收(极端化)。
6(不考虑降雨的角度的影响，也就是说在行走的过程中身体的上方及前后左右都将淋到雨水。
7(设定变量和参数雨中行走的距离(单位:米):D;雨中行走的速度(单位:米/秒):v;人体的高度、宽度、厚度(单位:米):h，w, d被淋雨水总量(单位:升):C;降雨强度(单位:厘米/小时):I;2 身体被雨淋的面积(单位:米):S;雨中行走时间(单位:秒):t=D/v.其中，降雨强度是单位时间内平面上降雨的厚度，用以刻划降雨的大小。
在本问题中，D，d,w,h从而S是问题的参数;v,t,I是问题中的变量。
C是因变量，而v是决策变量。
模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
模型的建立与求解按上面的分析与假设，容易知道:在雨中行走时被淋雨水总量等于被雨淋时间、被雨淋面积和降雨强度三者的乘积。
考虑到量纲一致性，并注意到I、v、D为常数，我们有C(v)=tS(米)=(米)=模型表明，被淋在身上的雨水总量与在雨中行走的速度成反比，因此在雨中最优行走策略是尽可能的快跑。
雨中行走问题(数学问题解决)
雨中行走问题(数学问题解决)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN科目：数学问题解决摘要：雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅有一公里，况且事情紧急，你不准备花时间翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你也不打算再回去了。
一路上，你将被大雨淋湿。
一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
通过建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度，分别从雨与人的方向以及是否在同一平面等情况找出如何在雨中行走才能淋雨最少。
一．问题的提出对于雨中行走这个实际的问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步讨论。
我们的问题是：要在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低。
显然它可以按确定性模型处理。
分析参与这一问题的因素，主要有：①降雨的大小；②风（降雨）的方向；③路程的远近与你跑的快慢。
二、模型假设1、降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）保持不变；2、你以定常的速度跑完全程；3、风速始终保持不变；4、把人体看成一个长方体的物体；三、模型的建立与求解1、不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。
参数与变量：:d雨中行走的距离；t雨中行走的时间；::v雨中行走的速度；:a你的身高；:b你的宽度;:c你的厚度；:q你身上被淋的雨水的总量；:w降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积22s ba ca bc=++是不变的，可认为是问题的参数。
雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间/t d v=及降雨强度的大小在问题中是可以调节、分析的，是问题中的变量。
考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量是：()3(/3600)0.01()/(/3600)10() q t w S d v w S=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅米升模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
雨中行走问题
甲
乙 丙
103
63 34
10
6 4
103/10=10.3
63/6=10.5 34/4=8.5
中
差 好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 乙 丙 103 63 34 11 7 3 103/11=9.36 63/7=9 34/3=11.33
公平程度
中 好 差
一般地，
单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A
C 6.95104 (0.8 3 / 2) / 2m3 0.24升
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是
pwDh(v r sin ) / v
淋雨总量为 C pwD[dr cos h(v r sin )]/ v
N
N q
表示总人数
表示总席位数
20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 分配方案 (50/100)•20=10 (30/100)•20=6 (20/100)•20=4 席位数 10 6 4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 分配方案 席位数 10
p1 p2 不失一般性， 若 ， 有下面三种情形。 n1 n2
情形1
p1 p2 ， n1 1 n2 p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 说明当对A 不公平时，给A 单
情形2
位增加1席，对B 又不公平。
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数
学
模
型
论
文
学校：
班级：
姓名：
学号：
雨中行走问题
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摘要 当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量
就会越小。但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解
释不同情况下的淋雨量。
在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋
的雨就会越少。那么模型也可算出淋雨量。
当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方
向和竖直方向成角。因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，
可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。便可根据题的要求解出模型。
当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方
向和竖直方向成角。因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。可分
几种情况分别来说。
关键词 人速；雨速；风向；夹角
1.问题的重述
当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，
建立合理的数学模型。讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进
一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋
雨量。
2.问题的分析
当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。人
在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角
度。从而使人所淋到的雨量有所不同。
3.模型的假设与符号说明
3.1模型的假设
（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。
（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cmh）。
（3）风速保持不变。
（4）以定速度()vms跑完全程D。
3.2符号说明
h
人体的身高 （m）
w 人体的宽度 (m)
d 人体的厚度 (m)
D 人跑步的全程 (m)
v 人跑步的速度 (m/s)
i 降雨强度 (cm/h)
c 人在跑步中的淋雨总量 (L)
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s 人在雨中会被雨淋的面积 (㎡)
t 人在雨中跑步的时间 (s)
v 雨滴下落速度 (m/s)
雨滴反方向与人速度方向的夹角
雨滴密度
4.模型的建立与求解
（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。
淋雨面积：22Swhdhwd（2m）
行走世间：()Dtsv
降雨强度：5()0.01()()3.6*10IIcmhImhms
淋雨量：35()()3603.6*10IStDISCLvm
结论：在此种情况下，跑步全程长度、降雨强度、淋雨面积都是定参数，
只有跑步速度是变量。可知，淋雨量与速度成反比。验证了快跑能减少淋雨量。
但我们也可以发现，当我们取参数1000Dm，2Icmh，0.5wm，
1.8hm，0.2dm，6vms时，可求得：22.62Sm，2.6CL
。也就是说
在不到三分钟时间内淋雨量就很大了，不太符合实际情况。
结论：用这种模型来描述淋雨量问题不符合实际，原因是模型太简单，没
有考虑降雨方向，使得模型太粗超。
（2）考虑降雨方向，可知，Ir 此种情况，淋雨的部位只有头顶和前面。
头顶的淋雨量：1sinDwdrvC
前面淋雨量：2((cos)DwhrvvC
淋雨总量：12(sin(cos)wDdrhrvCvCC
取参数64,3600*2,1.39*10rmsIcms
计算上式得：46.95*(0.8sin6cos1.5)10vCv
可以看出：淋雨量与降雨的方向和跑步的速度有关。这样我们就可以把问
题转化成给定角度求淋雨量最小的问题。
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1 2时
44336.95*(1.5()10Cv
结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为
6ms
。则计算可得：
1.13CL
2 3时
44336.95*(1.5)10Cv
结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为
6ms
。则计算可得：
1.47CL
3 2时
雨滴将从身后落下。
40.8sin6cos6.95*[()1.5]10Cv
令2，则02。计算得：
40.8cos6sin6.95*(1.5)10Cv
此种情况中，淋雨量有可能为负值，这是不可能的，产生的原因是我们认为雨是
从前面落到身上的。这种情况另行讨论。
当跑的速度小于雨滴的水平运动速度，即sinvr时，雨滴将会从后面淋在身
上。可计算得：
(cos(sin)DwdrhrvCv
当sinv时，C取最小值。
cossinDwdr
Cr
代入数据得
4cos6.95*5sin10C
结论：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨
水淋湿。
若雨滴是以23的角度落下，即雨滴以6的角从背后落下，应该以
__________________________________________________
__________________________________________________
4sin26vms
的速度行走，此时，淋雨量为 ：
0.24CL
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
当行走速度快与雨滴的水平运动速度，即sinvr你不断地追赶雨滴，雨
水将淋湿 你的前胸。被淋得雨量是：
cossin()drhCDwrvr
当cossin0,drv尽可能大，C 才会最小。
当cossin0,drv尽可能小，C才会最小。
当sin,vrv接近sinr，C才可能最小。
现取6vms，6时，0.77CL
5.模型的评价
经过解题可知：
对于问题一的模型，由于不考虑风向所带来的影响，求得的结果是非常大的。
不符合现实中的实际情况。
对于问题二的模型，在考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小。并
且想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关
系。
对于问题三的模型，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和雨的水平分量有
关。随着人跑步速度的改变淋雨量将发生不同的变化。
模型的优点：（1）模型可以准确的根据已知数据求解出淋浴量的多少。
（2）模型简单明了，易于理解。
模型的缺点：（1）由于假设雨速和人跑步的速度一直不变，可能造成一些误
差。
参考文献
【1】 姜启源、谢金星、叶俊 数学模型（第三版） 高等教育出版社
【2】 姜启源、谢金星、叶俊 数学模型习题参考答案 高等教育出版社