解析几何不对称问题的处理方法
解析几何中“非对称”韦达定理的处理策略公开课教案教学设计课件资料
解析几何中“非对称”韦达定理的处理策略公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解并掌握“非对称”韦达定理的基本概念和应用。
2. 培养学生运用代数方法解决几何问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新思维。
二、教学内容1. “非对称”韦达定理的定义及基本性质。
2. “非对称”韦达定理的应用范围和条件。
3. 运用“非对称”韦达定理解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：掌握“非对称”韦达定理的定义、性质和应用。
2. 难点：灵活运用“非对称”韦达定理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 运用案例分析、小组讨论等教学手段，培养学生的合作能力和创新思维。
3. 利用多媒体课件辅助教学，提高教学效果。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习对称韦达定理，引发学生对“非对称”韦达定理的思考。
2. 讲解概念：介绍“非对称”韦达定理的定义及基本性质。
3. 案例分析：分析典型例题，引导学生理解“非对称”韦达定理的应用范围和条件。
4. 小组讨论：学生分组讨论，探索运用“非对称”韦达定理解决实际问题。
6. 布置作业：设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。
教案设计中，要注意结合具体的教学目标和内容，合理设计教学环节和教学活动，以提高学生的学习兴趣和参与度。
注重培养学生的动手操作能力、思维能力和创新能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对“非对称”韦达定理的理解程度和运用能力。
2. 练习作业：通过学生完成的练习题，评估其对“非对称”韦达定理的掌握情况。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度、合作能力和创新思维。
七、教学反思1. 教师要在课后对教学效果进行反思，分析学生的反馈信息，以便对教学方法和教学内容进行调整。
2. 关注学生在学习过程中的困难，针对性地进行辅导，提高教学效果。
3. 注重培养学生的几何直观能力，使学生能够更好地理解和运用“非对称”韦达定理。
圆锥曲线中的非对称处理
圆锥曲线中的非对称处理
圆锥曲线是平面解析几何中的一个概念，包括椭圆、双曲线和抛物线等。
在圆锥曲线的研究中，对称性是一个重要的概念。
对于一些常见的圆锥曲线，我们可以找到它们的对称性，例如关于坐标轴对称、关于某一点对称等。
然而，对于一些非标准的圆锥曲线，它们的对称性可能更加复杂或者不存在。
在这种情况下，我们需要采取一些特殊的方法来处理这些非对称性。
以下是一些可能的方法：
坐标变换：通过坐标变换，将非对称的圆锥曲线转换为对称的圆锥曲线，从而简化问题的处理。
例如，通过旋转坐标系或者平移坐标系，将非对称的圆锥曲线转换为一个对称的圆锥曲线。
参数化：将圆锥曲线的方程参数化，将参数作为未知数，从而将圆锥曲线的问题转化为参数的问题。
通过研究参数的变化，可以更好地理解非对称性。
微分几何方法：利用微分几何的方法，研究非对称圆锥曲线的曲率、挠率和法线等几何性质。
通过这些性质，可以更好地理解非对称性。
代数方法：通过代数方法，研究非对称圆锥曲线的方程和性质。
例如，利用椭圆函数或者超几何函数等特殊函数，求解非对称圆锥曲线的方程。
总之，处理圆锥曲线中的非对称性需要具体问题具体分析。
根据问题的特点选择合适的方法来处理。
希望以上信息能够帮助到您。
最新解决解析几何问题的六种通法
解决解析几何问题的六种通法中点问题点差法已知点A 、B 的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．【解】 (1)设M (x ，y )，因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)， 即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1，所以直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.直线y ＝kx ＋m 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中点为M (x 0，y 0)，这类问题最常用的方法是“点差法”，即A ，B 在圆锥曲线上，坐标适合圆锥曲线方程，得两个方程作差，通过分解因式，然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程，解方程解决问题．对称问题几何意义法已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1，直线l ：y ＝2x ＋b ，在椭圆上是否存在两点关于直线l对称，若存在，求出b 的取值范围．【解】设椭圆C ：x 216＋y 29＝1上存在两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝2x ＋b 对称，P ，Q 的中点为M (x 0，y 0)．因为PQ ⊥l ，所以可设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋a ，代入C 化简整理得13x 2－16ax＋16a 2－144＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1613a ，y 1＋y 2＝1813a ，故得M ⎝⎛⎭⎫8a 13，9a 13. 因为Δ＞0，所以(－16a )2－4×13(16a 2－144)＞0， 解得－13＜a ＜13.又因为M ⎝⎛⎭⎫8a 13，9a 13在直线l ：y ＝2x ＋b 上， 所以9a 13＝16a 13＋b ，所以b ＝－713a ，因此b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－71313，71313.故在椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，且b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－71313，71313.圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是圆锥曲线上关于直线y ＝kx ＋b 对称的两点，则PQ 的方程为y ＝－1kx ＋m ，代入圆锥曲线方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，其中P ，Q 的横(或纵)坐标即为方程的根，故Δ>0，从而求得k (或b )的取值范围．最值(范围)问题不等式法已知拋物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．【解】 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线C的方程为x 2＝4y .(2)易知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1，又y 1＝x 214，所以x M ＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝2 2⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |取得最小值852.解析几何最值(范围)问题，有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案．定点问题参数法已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆C 的右顶点A 的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N ，问：直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过定点，请说明理由．[点拨] 法一，以双参数表达直线MN 的方程，求解双参数满足的关系．法二，以直线AM 的斜率为参数表达直线MN 的方程．【解】 法一：直线MN 过定点D .当直线MN 的斜率存在时， 设MN ：y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.根据已知可知y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14，即4y 1y 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝0，即(1＋4k 2)x 1x 2＋(4km －2)(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0，所以(1＋4k 2)·4m 2－41＋4k2＋(4km －2)⎝⎛⎭⎫－8km 1＋4k 2＋4m 2＋4＝0， 即(4km －2)(－8km )＋8m 2(1＋4k 2)＝0， 即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k . 当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D (0，0)．由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点(2，0)，故不可能．当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为12，－12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点(0，0)．综上可知，直线MN 过定点D (0，0)． 法二：直线MN 恒过定点D .根据已知直线AM ，AN 的斜率存在且不为零，A (2，0)． 设AM ：y ＝k (x －2)，代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0， 设M (x 1，y 1)，则2x 1＝16k 2－41＋4k 2，即x 1＝8k 2－21＋4k 2，y 1＝k (x 1－2)＝－4k1＋4k 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2.设直线AN 的斜率为k ′，则kk ′＝－14，即k ′＝－14k ，把点M 坐标中的k 替换为－14k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 24k 2＋1，4k 4k 2＋1. 当M ，N 的横坐标不相等，即k ≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k 4k 2＋1＝2k1－4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2－8k 24k 2＋1，即y ＝2k 1－4k 2x ，该直线恒过定点(0，0)．当k ＝±12时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点(0，0)．综上可知，直线MN 过定点D (0，0)．证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．定值问题变量无关法已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．【解】 (1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|·cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1|·|MF 2|(1＋cos 60°)，解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2. 由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)·4k （k －2）2k 2－8k ＝4.当直线l 的斜率不存在时，可得A (－1，142)， B (－1，－142)，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．探索问题直推法已知曲线T ：x 22＋y 2＝1(y ≠0)，点M (2，0)，N (0，1)，是否存在经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线T 有两个不同的交点P 和Q ，使得向量OP →＋OQ →与MN →共线？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【解】 假设存在，则l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋42kx ＋2＝0.因为l 与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝(42k )2－8(1＋2k 2)>0， 解得k 2>12，由题意知直线l 不经过椭圆的左、右顶点，即k ≠±1，亦即k 2>12且k 2≠1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 21＋2k 2＋22＝221＋2k 2. 所以OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－42k 1＋2k 2，221＋2k 2， 又MN →＝(－2，1)，向量OP →＋OQ →与MN →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 所以－42k 1＋2k 2＝(－2)·221＋2k 2，解得k ＝22，不符合题意，所以不存在这样的直线．解决此类问题，首先假设所探求的问题结论成立或存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．。
不对称问题分析方法与应用
2。对称分量法应用
2.1 椭圆形磁场分析
引入 我们知道：三相对称绕组通以三相对称电流产生空间正弦分布的圆形旋转磁 场而三相对称绕组中通以不对称三相电流则产生空间仍然是正弦分布的椭 圆形旋转磁场。 但椭圆形旋转磁场是如何产生的呢？现在可以用对称分量法加以解释： 不对称三相电流流过对称三相绕组的基波磁势
U 0 U e j 0 U A a a j U B U b U b e U C U c U c e j
以A相为参考向量
有5个独立变量
1。对称分量法的基本原理
1.1 三相对称系统的概念、表达，不对称问题引入
大小不相同 相差不是120度 但角频率还是相同的 C
A
不对称三相系统的向量表达式：
U [cos(0 ) j sin(0 )] U A a U B U b [cos( ) j sin( )] U C U c [cos( ) j sin( )]
1。对称分量法的基本原理
1.3 物理解释
U U U ＝U U U U A A A A0 0 2 U U U U U ＝ a U aU B B B B0 0 U U ＝aU a 2U U U U C C C C 0 0
i A 2 I cost iB 0 iC 0
注意其物理含 义
I0 I A 0 I B 0 I
C
? I ? I ? I
0
1。对称分量法的基本原理
1.3 物理解释及算例
结论
（1）正序、负序和零序系统都是对称系统。当求得各个对称分量后， 再把各相的三个分量叠加便得到不对称运行情形。 （2）不同相序具有不同阻抗参数，分有正序阻抗、负序阻抗和零序 阻抗，电流流经电机和变压器具有不同物理性质。 （3）对称分量法根据叠加原理，只适用于线性参数的电路中。
解析几何中“非对称”韦达定理的处理策略 讲义——2022届高三数学二轮微专题
“非对称”韦达定理的处理策略在圆锥曲线解答题中我们通常利用直线与二次曲线联立得到一元二次方程的韦达定理来处理类似12212122212111,y x y x x x x x x x +++-，，等结构，这些形式通过合理的变形均可以用2121x x x x ⋅+，整体带入的方法达到避开解交点坐标的目的。
（这是圆锥曲线大题中普遍使用韦达定理的初衷）但我们在做题中也经常会遇到类似于2121,x x x x μλ+这种系数不对等的结构，（我们不妨称之为“非对称”韦达定理）显然按照先前的方法就很难顺利的处理掉，本专题就此类问题给出几个常见的处理策略。
实例讲解：已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 过点()22，，且离心率为22。
（1）求椭圆C 方程（2）B A ,分别为椭圆C 的上下顶点，过()40，P 点斜率为k 的直线与椭圆C 交于N M ,两点，求证：直线AN BM ,的交点在定直线上解：（1）椭圆148:22=+y x C （2）()()2,0,2,0-B A ,设()()2211,,,y x N y x M ，直线MN 的方程为:4+=kx y 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+414822kx y y x ，得()024162122=+++kx x k ，,0>∆得232>k 则2212212124,2116k x x k k x x +=⋅+-=+ 直线AN 的方程为：x x y y 2222-=- ，直线BM 的方程为：x x y y 1122+=+（这里先要根据对称性分析预判交点在平行于x 轴的定直线上以确定下一步的消元方向！！） 联立两直线方程消元：()()2211212112622222x x kx x x kx x y x y y y ++=+-=+- （21,x x 的系数不对称了） （无论怎么消元都会得到类似的一个非对称结构）下面给出几种处理策略：策略1：暴力平推（这是没有办法的办法，时间成本高） 由二次方程解出22222216428,216428k k k x k k k x +-+-=+---=代入化简， 31641224644821642862124216428221242222222222-=-+---=+-+-+++---++=+-k k k kk k k k k k k k k y y ，得1=y 即直线AN BM ,的交点在定直线1=y 上策略2：利用韦达定理21,x x 保留一个（这是一种试探性的化简，“前途未卜”，不具一般性） 由韦达定理得2212116x k k x -+-=带入化简 ()()31126244286212421162212422222222222-=+++--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=+-x k k x k k x k k x k k k k y y ，得1=y 即直线AN BM ,的交点在定直线1=y 上策略3：将21x x ⋅与21x x +的关系代入化简（倒数反凑对称韦达定理，非对称结构中不含常数项时可尝试此法）由2212212124,2116k x x k k x x +=⋅+-=+，得()212123x kx x x ⋅=+-（即k x x 321121-=+）带入化简 ()()3162322322221121-=++-++-=+-x x x x x x y y ，得1=y ，即直线AN BM ,的交点在定直线1=y 上策略4：带一点进曲线方程转化为对称韦达定理（常见于非对称乘积结构，参考2020年全国一卷题）带()11,y x M 点进椭圆方程得1482121=+y x 化简得()()422418112121y y y x -+=-= 进而得到()()1111222x y y x -=+，带入化简()()212122222x x y y y y ⋅---=+-（奇迹出现了，“对称韦达定理”）接下来就是常规套路，不多赘述了。
解析几何中非对称式处理策略
解析几何中非对称式处理策略
《解析几何中非对称式处理策略》
在解析几何中，对称性是一个非常重要的概念，它能够帮助我们简化问题、减少计算量、提高效率。
然而，在一些情况下，我们会遇到非对称的几何问题，这时我们就需要采取一些特殊的处理策略来解决这类问题。
首先，我们要弄清楚非对称性给我们带来的困难所在。
非对称的问题通常会导致几何图形的对称性质无法直接利用，我们无法直接套用对称的性质来简化问题，这会增加我们解题的难度。
另外，非对称的情况下，几何图形通常会变得复杂，我们需要花更多的时间和精力来分析和计算。
针对非对称性带来的问题，我们可以采取一些策略来应对。
首先，我们可以尝试通过建立对称的性质来简化问题。
虽然几何图形本身没有对称性，但是我们可以通过特定的操作和转换来建立一些“假”的对称性，这样就可以利用对称性来简化问题。
其次，我们可以尝试采用坐标几何的方法来处理非对称的问题。
通过引入坐标系，我们可以通过数学计算来代替对称性的简化操作，从而解决非对称性带来的问题。
最后，我们还可以尝试通过将非对称的问题转化为对称的问题来解决。
通过适当的变换和构造，我们可以将原来的非对称问题转化为对称问题，从而得到简化的解决方案。
总之，非对称的几何问题在解析几何中是很常见的，我们需要采取一些特殊的处理策略来解决这类问题。
通过建立“假”的对称性、采用坐标几何方法和转化问题等策略，我们可以有效地化解非对称性给我们带来的问题，从而更好地解决非对称的几何问题。
张国川：圆锥曲线中非对称韦达式的处理策略——一道解析几何试题的多种解法
张国川：圆锥曲线中非对称韦达式的处理策略——一道解析几何试题的多种解法圆锥曲线中非对称韦达式的处理策略——一道解析几何试题的多种解法福建省泉州第一中学（362000）张国川解析几何试题中，以斜率关系考查为背景的试题在各地模拟试题中经常出现，其本质常与圆锥曲线的第三定义有关，深层次的理论依据则是大学高等几何中的极点极线问题．利用代数方法解决几何问题的核心是将几何基本量代数化，如将斜率用两点坐标表示，再根据题目将所要求解的斜率表达式整合成对称韦达式，并将韦达定理整体代入求解即可．最近在一些模拟试题中却出现了一些非对称韦达式，比较简单的通常是将韦达定理中的两个式子相除，得到两根和与积的倍数关系，代入化简即可；可是有些试题如是操作却不可行，本文结合我校高三最后一卷模拟试题的解法谈谈非对称韦达式的处理策略，以此抛砖引玉，希望对大家今后解决此类问题能有所帮助．试题呈现(泉州一中2021届高三最后一卷数学模拟试题改编)【结束语】非对称韦达式是圆锥曲线中一类比较特殊的代数结构，对学生处理代数式子的要求比较高，本质上是考查学生如何将非对称式子转化成对称式子，和数列中将非特殊数列化成特殊的等差或等比数列有异曲同工之妙，命题者的意图旨在通过试题考查学生数学运算的核心素养，有利于培养学生熟练的式子变形能力，符合解析几何考查代数运算求解能力的基本要求．致谢：本文的部分解答由泉州一中刘彬辉老师提供，在此一并表示感谢！【作者简介】张国川，中共党员，一级教师，泉州一中高中数学教师.中国教育学会会员、新青年数学教师工作室副秘书长、泉州市高中数学林少安名师工作室成员.2015年参加福建省中学教师“说题”比赛《一道几何题的拓展解析》荣获一等奖；2015年在第二届全国新青年数学发展论坛论文评比一等奖；泉州市2018年高中岗位练兵一等奖、被泉州市人社局授予“教学能手”称号；先后在《福建中学数学》《数学教学》《中学数学》等CN刊物上发表或汇编论文近40篇；多次承担省级培训研讨课教学，承担省级、市级公开教学，参与多个省级、市级课题研究；指导学生参加全国中学生数学论文写作比赛荣获二等奖.。
2月12日高三数学 讲义7 解析几何中非对称型韦达定理
讲义7 解析几何中非对称型韦达定理圆锥曲线中很多题目都是利用韦达定理得到两根间的关系，来处理有关21,x x 或21,y y 的对称量，如21x x +，21x x ，21x x -，2221x x +，1221x x x x +，)1)(1(2121--x x y y 等，此类可以用韦达定理的结果整体代入，继而化简。
但有些问题的求解中，会遇到两根不对称的情形，从而不能直接利用韦达定理的结果整体代入化简，那么这类问题如何解决呢？例1如图，A 、B 是椭圆14:22=+y x E 的左、右顶点，过点)0,1(-M 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点，其中点C 在x 轴的上方，设AD k k =1，BC k k =2，证明：21k k 为定值.2.已知椭圆134:22=+y x E ，其左、右顶点分别为B A ,，过左焦点的直线l 交椭圆E 于D C ,两点. (1)求四边形ACBD 面积的最大值；(2)设直线BD AC ,的交点为Q ，试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.作业：1.已知A 、B 是椭圆14:22=+y x E 的右、上顶点，C 、D 在椭圆上，且AB CD //，记直线AC ，BD 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k 为定值。
2.如图椭圆:M )0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为32，上下顶点分别为(0,1)A ，(0,1)B -，过点(0,2)P 斜率为k 的直线l 交椭圆于两个不同的点D C ,，直线AD 与BC 交于点Q ．(1)求椭圆M 的方程；(2)试探究点Q 的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
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解析几何中的不对称问题
1.设,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点,且3AF FB =,求弦AB 的中点到准线的距离.
解:由3AF FB =可知焦点F 在直线AB 上,且直线AB 与坐标轴不平行,故可设其方程为1x my =+,设点,A B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则
由21
4x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=.故有124y y m +=,124y y =-.
由3AF FB =可得123y y =-.
故,221222122()(2)433
y y y y y y +-==--.即2(4)443m =--.故可得213m =. 所以,弦AB 的中点到准线的距离21212118((1)(1))(()4)22223d x x m y y m =+++=++=+=. 注意:将直线与抛物线方程联立消去x 后,通过3AF FB =建立纵坐标间的等量关系,是本题简化计算的关键所在.
2.设直线l :1x y +=与双曲线2222x a y a -=(0)a >交于,A B 两点,与y 轴交于点P ,且512PA PB =,求实数a 的值.
解:设点,A B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则
由22221
x y x a y a +=⎧⎨-=⎩得2222
(1)220a x a x a -+-=. 故212221a x x a +=--,2
12221a x x a
=--. 由512PA PB =可得12512
x x =. 故
2221221227()()2891256012x x x x x x +==.即22222222()2289121601a a a a a a --=-=---. 所以,由0a >可得1713
a =. 注意:将直线与双曲线方程联立消去y 后,通过512PA PB =建立横坐标间的等量关系,是本题简化计算的关键所在.
3.设点,A B 在椭圆2222x y +=上,且点(0,2)P 满足PA PB λ=,当23[,]34
λ∈时,求直线AB 斜率的取值范围.
解:由题意知直线AB 与坐标轴不平行,故可设其方程为2y kx =+,点,A B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则 由22222
y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(21)460k y ky +++=. 故122821k x x k +=-+,122621
x x k =+. 由PA PB λ=可得12x x λ=.
故,有2221222122()((1))(1)4925[,]126
x x x x x x λλλλ+++==∈. 即,有222228(
)32492521[,]63(21)126
21k k k k k +=∈++. 解得
,730[[,1414k ∈-
.
4.设点,A B 在椭圆2222x y +=上,且点(2,0)P -满足PA PB λ=,当11
[,]53
λ∈时,求直线AB 斜率的取值范围.
解:由题意知直线AB 与坐标轴不平行,故可设其方程为2x my =-,点,A B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则 由222
22x my x y =-⎧⎨+=⎩得22
(2)420m y my +-+=. 故12242m y y m +=+,122
22y y m =+. 由PA PB λ=可得12y y λ=.
故,有2221222122()((1))(1)1636[,]35
y y y y y y λλλλ+++==∈. 即,有222224(
)816362[,]2235
2m m m m m +=∈++. 解得
,2[4,18]m ∈. 所以,直线AB 的斜率为1121[,[,]22
k m =∈-.
5.设12,F F 分别是椭圆2233x y +=的左右焦点,点,A B 在椭圆上,且125F A F B =,求点A 的坐标. 解:延长1AF 交椭圆于点C ,则由125F A F B =知1F A ∥2F B ,又由椭圆的对称性可得21F B CF =,故有115F A CF =.
由题意知直线AC 与坐标轴不平行,
设其方程为x my =点,A C 分别为1122(,),(,)A x y C x y ,则
由2233x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
22(3)10m y +--=.
故12y y +=,12213y y m =-+.由115F A CF =得125y y =-. 故,有221222122()(4)1655
y y y y y y +-==--. 即,
有2222
81631353m m m m +=-=-+-+. 解得,22m =. 由21212111535y y y m =-=-=-+得11y =±,故点A 为(0,1)A ±. 注意:(1)将直线与抛物线方程联立消去x 后,通过115F A CF =建立纵坐标间的等量关系,是本题简化计算的关键所在；
(2)关注到过椭圆两焦点的平行直线关于坐标原点对称,并由椭圆的对称性进行转化是本题得以突破的关键所在.
6.设12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆222
236x y c +=的左右焦点,过点(3,0)E c 的直线l 交椭圆于点,A B ,且122F A F B =,求直线l 的斜率.
解:延长1AF 交椭圆于点C ,则由椭圆的对称性知,B C 两点关于坐标原点对称,再由122F A F B =可得112F A CF =.
由题意知直线AC 与坐标轴不平行,故设其方程为x my c =-,点,A C 分别为1122(,),(,)A x y C x y ,则 由222236x my c
x y c =-⎧⎨+=⎩得222
(32)440m y cmy c +--=.
故122432cm y y m +=+,2
122432c y y m
=-+. 由112F A CF =可得122y y =-.
故,有221222122()()122
y y y y y y +-==--. 即,有2222224(
)4132432232cm m m c m m +=-=-+-+. 解得,212m =. 又由,B C 两点关于坐标原点对称可得:直线l 的斜率为
1212212124()242(32)y y y y cm k x x m y y c m cm c m ++=
===++-⋅-⋅+. 7.设12,F F 分别是椭圆22236x y +=的左右焦点,过点(3,0)E 的直线l 与椭圆交于,A B 两点,且12F A F B λ=(1)λ≠-,求直线l 的方程.
解:由12F A F B λ=(1)λ≠-知1F A ∥2F B ,且12F E F E λ=,故
2λ=. 延长1AF 交椭圆于点C ,则由椭圆的对称性知,B C 两点关于坐标原点对称,再由122F A F B =可得112F A CF =.
由题意知直线AC 与坐标轴不平行,设其方程为1x my =-,点,A C 分别为1122(,),(,)A x y C x y ,则 由221
236x my x y =-⎧⎨+=⎩得22
(32)440m y my +--=. 故122432m y y m +=+,122
432y y m =-+. 由112F A CF =可得122y y =-.
故,有221222122()()122y y y y y y +-==--. 即,有222224(
)4132432232m m m m m +=-=-+-+. 解得,212m =. 又由,B C 两点关于坐标原点对称可得:直线l 的斜率为
1212212124()242(32)3
y y y y m k x x m y y m m m ++====±++-⋅-+.
故直线l 的方程为(3)3
y x =±-. 说明:设12(,0),(,0)F c F c -是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点,过点2
(,0)a E c
的直线l 与椭圆交于,A B 两点,且12F A F B λ=(1)λ≠-,则2
221a b
λ=-,直线l 的斜率为2bc k a =±,且过点(0,)b 或(0,)b -.。