解析几何中的最值问题.
解析几何中最值问题的常用方法
分 ：ｚｘｙ ｙ ｘ ， 族 丢 平 的 析 ＝一， ＝ — 作 与 ×行 令 ３４则 孚 ｚ 一
平行线 。 注意到当直线 与椭 圆相切时 ， 线在 Ｙ轴上的截距 一 直 有最值 ， ｚ有最值。 即 （ｘ ４ — ＝ ３ 一 ｖ． ０ Ｚ
由 Ｉ 得
分 ： 最 值即 的 大 ， 看 析求 小 ，求 最 值而 ｝ 作
两点 Ａ（、）ｌ １０的斜率。 ｘｙＢ一 ，） 故等价于在椭圆上找一个点 Ａ， 使
它与 Ｂ连线斜率最大。 解析 ： Ａ 设 Ｂ方程为 ｙ ｋ ＋ ） ＝【 １ ｘ
ｆ＝ 【 １ ｙ ｋｘ ） ＋
的能力 ， 中学数学复 习中不可忽视的问题。下面我结合具体 是
时 ，距离 之和有 最小值 。本题 中点 Ａ Ｂ在 ｌ 、 的异筒 ，易得
变式 ： 已知圆 Ｃ （ ４ ＋ ２４ 圆 Ｄ的圆心 Ｄ在 Ｙ轴上且 ： ＋ 】 ｙ＝ ， Ｘ 与圆 Ｃ相 外切 ， Ｄ与 Ｙ轴交于 Ａ、 圆 Ｂ点 ， Ｐ为 （ ３ ０）当 点 一， ， 点 Ｄ在 Ｙ轴上移动时， ＿ Ｐ 求／Ａ Ｂ的最大值 。 ＿ 答案 ： ｃｔｎ ａｔ ａ
３ ￣２ ａ ４ ＝ ａ＋ ｓ ＋ ｓ ０，由方程有实数根得△ ＝Ｉｓ － ｘ３Ｘ４ ≥０， ２） ４ Ｚ Ｓ
即ｓ １ ≥ ２或 Ｓ （ ）从 而 得 ａ 一 Ｉ＝ ６ ≤Ｏ 舍 ， ＝ ４ｂ一 。
当 Ｉ ＨＰ ｌ Ｐ Ａ Ｂ取得最大值时， Ｐ的坐标是— 点
—
。
提示 ： 当点 Ａ Ｂ Ｉ 、 在 同侧时 ， 距寓之差有最大值 ； ｌ 在 异侧
甘肃省张掖市实验 中学
王希明
【 要】 摘 解析几何中的最值问题是历届高考的热点， 如何利用合理的数学方法解决这类问题， 提高学生分析问题和解决问
解析几何中最值问题的求法
＝Ｔ ｔ ＿Ａ － Ｘ ３ ＋ Ｘ ２ ｃ ｓ０ 了 ） 当 ０ － Ｉ 即（－ ） ２ ／ 一 一 ／ 。 ／ ２ ／ ｏ （＋， ｆ － ｘ ｙ ＼ １ 、
，
解 ：设 与直 线 ３－ ３ １ ＝ ｘ ２， ６ Ｏ斜 率 相 同 且 与 椭 圆 ７Ｚ４ ： ８ ＿ ｘ＋ ￣ ２
三 、 用 不 等 式 。 其 是 均 值 不 等 式 求最 值 利 尤
Ｊ ￣ＡＡＭＢ的 面 积 的 最 小值 是 ０ － ￣ ４
。
≥ ， 当ｘ０ ｌ ＝ ， Ｐ 普。 ｏ・ ＝ 时，ＡＪ 即Ｊ Ｊ 一 ． ． Ｐ Ａ
所 以 距 点 Ａ 最 近 的 点 Ｐ的 坐 标 为 （ ， ）即最 短 距 离 为 。 ００，
二、 利用 三 角 函数 ， 其 是 正 、 弦 函数 的 有 界 性 。 最 值 尤 余 求
相切的直线ｚ 的方程为３－ｙ￡ ， ｘ２ ： 则由｛ ＋ｏ ７ ｘ
得 ｌ ６＋ ｘ
ｊ ２ ｔ 一 ｙ＋ ＝Ｕ
例３ 知椭圆ｃ 筝＋ １ 曰 椭圆中 已 ： 孚＝ ， 是过 Ａ 心的 任意弦， ｆ
是 线 段 Ａ 的 垂 直 平 分 线 ． 是 与椭 圆 的 交 点 ．求 △ＡＭＢ 的 面 积 的最 小 值 解 ： 设 线 段 ＡＢ所 在 直 线 的 斜 率 存 在 且 不 为 零 ． Ａ 所 假 设 Ｂ 在 的 直线 方 程 为 ｙ ｋ （ ≠０ ， ｘ ，Ａ ， ＝ｘｋ ） Ａ（ ＾ ） Ｙ
６ ￡ ２＝ ， 缸十２ ８ ０ 由判 别 式 △＝ ６２４ １ （ — ８ ＝ ． ｆ± ， 直线 ３ ｔ ｘ ６ｔ ２ ）０ 得 ＝ ８ 故 － ２ 的方 程 为 ３ 一 忙 ８ ０ 又 － 直 线 ３ － ｙ ６ ０与 直 线 Ｚ３ － ’ ２ ＝。 ， － ｘ ２ 一１ － － ：ｘ ２， 一
第八课解析几何中的最值定值对称问题
二轮复习之八解析几何中的最值、定值、对称问题一、最值问题 （1）函数法例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求PQ 的最大值。
练习：若(,0)A a ，P 为双曲线221169x y -=上一点，若P 为双曲线左顶点时，AP 长度最小，则_____________∈a（2）不等式法例2、已知：21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点。
证明：（1）当P 为椭圆短轴端点时，三角形21F PF 面积最大。
（2）当P 为椭圆短轴端点时，21F PF ∠最大。
练习：设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ∙的最大值是（3）几何法例题：函数8x 4x 73x 6x y 22+-+++=的最小值为____________。
练习：函数1)4x (25)4x (y 22++-+-=的最大值为M ，最小值为N ，则M －N＝_________ 二、定值问题例题：如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹。
练习：在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．三、对称问题 (1)代入法对称例题：已知双曲线C ：1222=-y x ,点M （0，1），设P 是双曲线上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记t ＝的范围求t ,∙练习：曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________.(2)解析法对称例题：已知椭圆方程为13422=+y x ，试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称。
解析几何最值问题常用求解策略
在评 价过 程 中要 重 视 对 数 学 学 习 过 程 的评 价 ．既 要 关 注 学生 知识 与技 能 的理 解 和 掌 握 ，又 要 关 注 他 们 情 感 与 态 度 的 形成 和发 展 ： 要 关 注 学 生 学 习数 学 的结 果 ， 要 关 注他 们 在 既 又 数学 学 习 过程 中 的 变化 和 发 展 。 多 元 性 的 评 价 包 括 参 与 数 学 活 动 的程 度 、 自信 心 、 作 交 流 的 意 识 、 立 思 考 的 习 惯 、 学 合 独 数 思考 发展 水 平 ， 等 。 如 ， 否积 极 主 动 地 参 与 学 习 活 动 ， 等 例 是 是 否有 学 好 数 学 的信 心 ， 否 乐 于 与 他 人 合 作 ， 否 愿 意 与 同伴 是 是 交 流 各 自的想 法 ．是 否 能够 通 过 独 立 思 考 获 得 解 决 问题 的思 路 ， 否 能 找 到 有 效 解 决 问 题 的方 法 ， 否 能 够 使 用 数 学 语 言 是 是 有 条 理 地 表 达 自己 的思 考 过 程 ．是 否 有 反 思 自 己思 考 过 程 的 意识 ， 等 。 等 四 、 展 性 评 价在 数 学教 学 中 的反 思 发 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 无 原 则 的表 扬 ． 应 是 师 生 在 民 一 发 而 主 气 氛 中 的沟 通 。 些 教 师 经 常 引用 一 理 学 上 的 “ 森 塔 尔 效 应 ” 说 明赞 ｔ Ｌ ， 罗 来 扬 在 教 育 中 的重 要 性 ，坚 持 认 为 在评 价 时 只 能 表 扬 ．不 能 批 评 ， 能尽量发现“ 只 闪光 点 ” 不 能 指 出 缺 点 与 不 足 。 这 些 无 原 ， 则 的评 价 可 能 会 导 致 学 生 出现 基 础 知 识 不 牢 固 、 念 不 清 晰 、 概 努 力 方 向 不 明 确 等 问题 ， 可 能 使 学 生 是 非 不 分 、 恶 不 明 。 也 善 评 价 没 有 起 到 激 励 与 促 进 学 生 发 展 的作 用 ，相 反 却 阻 碍 了学 生 的 发 展 ， 价 活 动 的信 度 与 效 度 更 无 从 谈 起 。 展 性 评 价 注 评 发 重 评 价 过 程 中 被 评 价 者 对 评 价 信 息 的建 构 ，鼓 励 被 评 价 者 参 与 评 价 。 倡 自我 评 价 与 他 人 评 价 相结 合 ， 在 客 观 上 隐 含 了 提 这 评 价 双 方 平 等 交 流 的 基 本 要 求 。评 价 者 与 被 评 价 者 在 民 主 的 气 氛 中沟 通思 想 、 成共 识 ． 展 性 评 价 中 师生 双方 的 参 与 和 达 发 互 动 过 程 实 质 上 就 是 人 际 沟 通 的 过程 。 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 多 种 评 价 方 式 、 价 主 体 的 简单 二 发 评 相加 。 评 价 的多 元 性 是 发 展 性 评 价 的一 个 整 体 特 征 ，它 不 意 味 着 每 一 个 具 体 评 价 活 动 都 要 使 用 所 有 的方 法 、调 动 所 有 的主 体。 而且 ， 价 的 多 元 方 法 与 多元 主体 的使 用 都 应 当 以保 障评 评 价 结 果 的 信 度 和 效 度 为 前 提 ， 价 者 对 评 价 目的 的理 解 、 评 评 对 价 标 准 的 把 握 、 评 价 方 法 的 熟 悉 程 度 等 ， 会 影 响 到 评 价 的 对 都
高中数学解析几何中求最值的方法
一、利用圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。
研究圆锥曲线的最值，利用圆锥曲线的定义，可使问题简化。
例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。
解析：如图所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。
令，即。
此问题转化为折线AMP的最短问题。
显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。
二、利用几何图形的对称性对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题。
例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C 点，使△ABC的周长最小。
分析：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。
解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=周长。
故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。
三、利用参数的几何意义利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题。
例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。
分析：若直接利用两点的距离公式，难度较大，通过椭圆定义转化后，利用几何性质可解决问题。
解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是，最小值是。
四、利用代数性质将问题里某些变化的几何量（长度、点的坐标、斜率、公比）设为自变量，并将问题里的约束条件和目标表示为自变量的解析式，然后利用代数性质（如配方法、不等式法、判别式法等）进行解决，可使问题简单化。
例4、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值。
浅谈高考解析几何中的最值问题
／
图４
转化 为 ｌ Ａ Ｉ ｌ Ｆ Ｉ ＋４的 Ｐ ＋ Ｐ 最 小 值 ，再 由 图 ２ 可 知 ｌ 十 ｌ Ａ Ｉ 最 小 值 就 ＰＦ １ 的 Ｐ
是点 Ａ 到右 焦点 的距离 ．
图２
的 距 离 等 于 Ｉ Ｂ １ 求 椭 圆 上 点 到 点 Ｍ 的 距 离 的 最 ． Ｍ
ｌ Ｆｌ Ｐ 的最小值 转化 为 Ｉ Ｑ ｌ ｌ Ｐ １ ＋ 的最 小 值 ， 由 Ｐ Ｐ 再 图 １知 Ｉ ＰＱＩ Ｉ 的最小 值是 点 Ｑ到 准线 的距离 ． ＋ Ｉ ＰＰ
析 由抛物 线定 义知 Ｉ Ｆｌ 于 点 Ｐ 到 准线 的距 Ｐ 等 离 Ｉ ，Ｐ ＋ Ｉ ＦＩ ｌ ＱＩ Ｉ Ｐ ｌ ＰＰ ｌ １ ＱＩ — ＋ ≥３ Ｐ Ｐ Ｐ
一
／ 】 ６ － 战
—
。
√２
Ｐ
＼
图 １
１ ６ 时 ； 一 ，） ） 一 ， 一 Ａ 譬； 当 ｄ （
２ ）当 ６ 一 时 ， 一 一 ｄ ； Ａ（ ，一 ） ．
义 ｌ — Ｉ Ｐ ｌ 把 Ｉ ＋ Ｉ ， ｌ ＰＦ Ｐ ＰＱ
Ｍ Ｆ Ｊ Ｂ５
—
１ ＡＩ Ｐ 的最小值 为 多少 ？
思 维 导 引 根 据 双 曲 线
。
Ａ ／
的定 义 Ｉ ｌ ｌ ＋４ ＰＦ — ＰＦ ｌ ，
把 １ ＋ ｆ 的 最 小 值 ＰＦ ｌ ＰＡ ｌ
为椭 圆 上 ， 于 ｚ轴 的上 方 ， 位 且 Ｐ Ａ上 Ｐ 若 Ｍ 为 椭 圆长 Ｆ，
Ｐ（ ｙ ， ｚ，） 则 一 （ ＋ ６ ｙ ｚ ， ），ｉ 一 （ ｚ一４ ，
）， ＡＰＩＦ ＿ Ｐ，所 以（ ｚ＋６ （ －４ ＋ 一ｄ ） － ） ．
解析几何中最值问题的常用解法
又Ｐ （，２ ，由直线 两点方 程得 ： ３ ）
， ．
Ｙ一２
一
一
３
‘。． ｘ ２ ｏ一 ２
０—３
设， Ｐ ０交 于 点 （ｔ ），代入上 式 得 轴 ，Ｏ
一
解： （ ）过点Ｐ Ⅳ Ｉ 作Ｐ 垂直直线ｙ一 ＝ 三于点Ｎ。依题意得
玉兰
Ｘ ｏ一３
２ｘ ０—２
最值 时 ，一 定要 关注 等号 成立 的 条件及 等 号是 否 能够取 得 ，而利
用均 值 不等 式求 最值 ，ｌ 必须 关 注三 个条 件 “ 正、 二定 、三 相 轴 所成 夹 ，角 ０ 作为 一个 参变 量 ，此 时可 考虑 用 曲线 的参 数方 贝 ０ 一 应
等 ” ，所 谓 一正 ， 即正值 ，这 是运 用 此方 法 的前提 条件 ，在 解题 程 来表 达流动 点 。
出章节 专 门讲授 ，可是 它却 与 中学数 学 中众 多 的知识 和方 法 紧密
解：１ ．解 （）己 １ 知双曲线实半轴。 ４ ，虚半轴６ ２ ； － √ ，半 ＝
相 关 。譬如 ： 二次 函数 、不 等式 、 函数 的有 界性 等有 关知 识和 方 ｚ 法 的利 用 。所 以 ，这类 最大 值和 最 小值 问题 就在 高考 数学 的考 查 轴６ 中 占有 了 比较重 要 的地位 。再有 ，最 大值 和最 小 值 问题 的另一 个 显 著特 点 是它广 泛 的应 用性 和实 用性 。很 多 实 际问题 的解 决可 以 归 结 为一个 数学 上 的最大 值 或最 小值 问题 的求 解 。所 以这 类实 际 问题 的求解 ，将 有利 于 学生 把实 际 问题抽 象成 数 学 问题 的训练 ， ＝ ， ．所求 的椭 圆方 程为 ２ ・ ． Ｘ
解析几何中最值问题的九种解题策略
解析几何中最值问题的九种解题策略（广东省封开县江口中学 526500） 黎伟初解析几何中涉及最值问题常有求夹角、面积、距离最值或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线（圆）中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
这些问题的处理有九种解题策略。
一．代数策略 解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的关系。
是一门用代数方法研究几何问题及用几何意义直观反映代数关系的学科。
因此在处理解析几何中最值问题时，若目标与条件具有明确的互动函数关系时，不妨可考虑建立目标函数，通过函数的单调性、均值不等式、判别式、二次函数的图象等知识点来解决。
1．二次函数法 利用二次函数求最值要注意自变量的 取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。
例1．若椭圆14922=+y x 上点P 到定 点A （a ，0）（0＜a ＜3）的距离最短是1 ，则实数a 的值是 分析：设椭圆上一点P （3cos θ，2sin θ），()()220sin 2cos 3)(-+-==θθθa f PA ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2254453cos 5a a θ① 当350≤<a 时，因为1530≤<a ，所以 当a 53cos =θ时， 有f （θ）= 1544)53(arccos 2=-=a a f ，得)(35215)(215舍或舍>=-=a a 。
② 当335<<a 时，因为59531<<a ，所以当cos θ=1时，)0()(min min f f =θ1544)531(522=-+-=a a ，得a =2 或a = 4（舍）， 综上得a = 2． 2．单调性 若所构造的函数在指定区间上具有单调性时，求最值可用单调性解决，但要注意自变量的取值范围。
例2．已知圆C ：（x + 4）2 + y 2= 4， 圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 相外切，圆D 与y 轴交于A 、B 点，点P 为（–3，0），当点D 在y 轴上移动时，求∠APB 的最大值。
解析几何中的最值问题
的最值。 求： S = x − 2y 的最值。
解：
Y
由 S = x −2y 得
y= 1x− 1S 2 2
O
− 1 s 为直线在 轴上的截距。 为直线在y轴上的截距 轴上的截距。 2 取最小时,S 取最大值。 当 − 1 s 取最小时 取最大值。 2
此时，直线与圆相切。 此时，直线与圆相切。 .
设右准线为 L , 则 L 的方程是 x =
又设 P 到 L 的距离为 PB ，则
4 3
L
B
PF =e PB
P
A
F
PF 2 即 PB = = PF e 3
B1 P1
2 ∴ PA + PF = PA + PB 3 当且仅当 A、P、B共线时， + PB 最小。 共线时， PA 最小。
X=
4 3
4 8 此 小 为 − = 最 值 4 3 3
小 结
代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段 讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 1 用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决 首先应注意函数方法 参数法）的运用， 函数方法（ 首先应注意函数方法（参数法）的运用， 将所求对象表示成某个变量的函数， 将所求对象表示成某个变量的函数， 利用代数方法来解决。 利用代数方法来解决。
X
圆心（1、-2）到直线的距离等于 5 圆心（ 、 ）
− 1s 2
1 + 2 − S 2 2 = 5 4
5
⇒
S最小值 = 0
S最大值 = 10
例4、已知：实数 x、y 满足 (x − 1) + (y + 2) = 5 。 、已知： 、
高中数学解题方法系列：解析几何中常见的最值求法
高中数学解题方法系列：解析几何中常见的最值求法最值问题是数学高考的热点，也是解析几何综合问题的重要内容之一。
圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，它融解析几何、函数、不等式等知识为一体，是综合试题考查的核心，对解题者有着相当高的能力要求，但其解法仍然有章可循，有法可依。
解析几何求最值常见类型之一是直接根据题意，利用几何关系或代数特征的几何意义求最值。
另一种类型是先根据条件列出所求目标的函数关系式，转化为前一类型或根据函数关系式的特征选用函数法、不等式法等求出它的最值。
本文从几个例子介绍解析几何最值问题的几种常见类型和方法。
一、结合“几何意义”求最值（一）两线段距离的最值问题这是圆锥曲线最值问题的基本方法，根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等问题来解。
例如：已知点F1，F2是双曲线的左右焦点，点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则│PF1│+│PA│的最小值是多少。
解析：根据双曲线的定义，建立点A，P与两焦点之间的关系，发现两点之间线段最短。
即│PF1│+│PA│=│PF1│-│PF2│+│PA│+│PF2│=2a+│PA│+│PF2│≥4+│AF2│=9。
（二）特定代数式的最值问题因为一些数学概念如斜率、截距、两点距离等有特别的代数结构特征，可以根据这些表达式特征把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、直线的截距或直线的斜率等问题来解。
例如：已知实数x，y满足方程x2-6x+y2+6=0。
求①的最大值；②y-x最小值；③x2+（y+2）2的最小值。
解析：①因为的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0上的点（x，y）与定点（-1，0）连线的斜率，由数形结合算得最大值为。
②令y-x=b的几何意义是与圆x2-6x+y2+6=0有交点的平行直线系y=x+b在y轴上的截距，数形结合算得最小值为-3-。
③x2+（y+2）2的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0上的点到定点（0，-2）的距离，数形结合算得最小值是-。
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解析几何中的最值问题
解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。
解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。
本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下：
一、 转化法
例1、 点Q 在椭圆
22
147
x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距
离的最大值为 （ ）
A
B
C
D
分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。
解：设椭圆的切线方程为
3
2
y x b
=+，与
22
147
x y +=消去y 得
224370x bx b ++-=由∆=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与
32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+=
所以所求最大值为d =
=
，故选C 二 、配方法
例2、 在椭圆
22
221x y a b
+=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。
解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与
22
221x y a b
+=消去
y 得： 22b S x a
=⋅=
可知当x a =
时，max 2S ab =
三、 基本不等式法
例3、 设21,F F 是椭圆14
22
=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF •的最大值是 解：
124PF PF +=
由12PF PF +≥得
44
)(2
2121=+≤
•PF PF PF PF
即21PF PF •的最大值是4 。
四、 利用圆锥曲线的统一定义
例4 、设点A (-，P
为椭圆22
11612
x y +=的右焦点，点
M 在椭
圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ）
A
(-
B (-
C
D
解：由已知得椭圆的离心率为1
2
e =
，
过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得
2MN PM =
2AM PM AM MN ∴+=+
当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM
MN +的值最小，此时点M
的坐标为，故选
C
五、 利用平面几何知识
例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22
(3)(4)4x y -+-=上取一点
P ，求使22
AP BP +取最小值时点P 的坐标。
解：知PAB ∆中，PO 为中线，由平面几何知识得：
2
2
2
2
2
2222AP
BP
OP
OB
OP
+=+=+
故当OP 最小时，22
AP BP +也同时达到最小。
点O 与圆心(3,4)的连线与圆的交点的坐标为所求点P 的坐标。
由43
y x =
和22(3)(4)4x y -+-=，结合题意得
95
x =
，125
y
=
，点P
的坐标为912(,)5
5。
六 、参数法
例6 、已知椭圆
E ：22
(1)143
x y -+=，F 为其右焦点，直线L 过坐标
原点且与椭圆E 交于A ，B 两点，连接FA ，FB ，求FA FB •的最大值。
解：22
4,31a b c ==∴=，左焦点即为坐标原点。
由椭圆定义知24OA FA OB FB a +=+==
(2)(2)164FA FB a OA a OB AB OA OB ∴•=--=-+•
设直线L 的参数方程为cos x t θ=和sin y t θ=（t 为参数） 代入椭圆方程，整理得
2(3sin )6cos 90t t θθ+-•-=
由t 的几何意义知：
212
3sin A B AB t t θ
=-=
=+
2
3925
164163sin 4
A B A B FA FB t t t t θ∴•=--+•=-
≤+ 即FA FB •的最大值为25
4。