高三数学选择填空题压轴专题5.4 解析几何中的定值与定点问题(教师版)
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一.方法综述
解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题,其解决思路下;
(1)定值问题:解决这类问题时,要运用辩证的观点,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性;
一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;
另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒定的。
(2)定点问题:定点问题是动直线(或曲线)恒过某一定点的问题;一般方法是先将动直线(或曲线)用参数表示出来,再分析判断出其所过的定点.定点问题的难点是动直线(或曲线)的表示,一旦表示出来,其所过的定点就一目了然了.所以动直线(或曲线)中,参数的选择就至关重要.解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二.解题策略
类型一定值问题
【例1】(2020•青浦区一模)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD,则+的值为()
A.B.C.2p D.
【答案】D
【解析】分析:直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组,进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(),所以设经过焦点直线AB的方程为y=k(x﹣),
所以,整理得,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
所以,所以,
同理设经过焦点直线CD的方程为y=﹣(x﹣),
所以,整理得,
所以:|CD|=p+(p+2k2p),所以,
则则+=.故选:D.
【点评】求定值问题常见的方法有两种:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【举一反三】
1.(2020•华阴市模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F的直线与抛物线交于不同的两点A,D,与
圆(x﹣1)2+y2=1交于不同的两点B,C(如图),则|AB|•|CD|的值是()
A.2B.2C.1D.
【答案】C
【解析】分析:根据题意,设A(x1,y1),D(x2,y2),分析抛物线的焦点以及圆心的坐标,由抛物线的定义可得|AB|、|CD|的值,联立直线方程和抛物线方程,应用韦达定理可得所求值.
解:设A(x1,y1),D(x2,y2),
抛物线方程为y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=﹣1,
圆(x﹣1)2+y2=1的圆心为F(1,0),
圆心与焦点重合,半径为1,
又由直线过抛物线的焦点F,
则|AB|=x1+1﹣1=x1,|CD|=x2+1﹣1=x2,
即有|AB|•|CD|=x1x2,
设直线方程为x=my+1,代入抛物线方程y2=4x,可得y2﹣4my﹣4=0,
则y1y2=﹣4,x1x2==1,故选:C.
2.(2020温州高三月考)如图,P为椭圆上的一动点,过点P作椭圆
的两条切线P A,PB,斜率分别为k1,k2.若k1•k2为定值,则λ=()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分析:取P(a,0),设切线方程为:y=k(x﹣a),代入椭圆椭圆
方程可得:(b2+a2k2)x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ=0,令△=0,化简可得k1•k2,取P(0,b),设切线方程为:y=kx+b,同理可得:k1•k2,根据k1•k2为定值进而得出λ.
解:取P(a,0),设切线方程为:y=k(x﹣a),
代入椭圆椭圆方程可得:(b2+a2k2)x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ=0,令△=4a6k4﹣4(b2+a2k2)(a4k2﹣a2b2λ)=0,
化为:(a2﹣a2λ)k2=b2λ,
∴k1•k2=,
取P(0,b),设切线方程为:y=kx+b,
代入椭圆椭圆方程可得:(b2+a2k2)x2﹣2kba2x+a2b2(1﹣λ)=0,令△=4k2b2a4﹣4(b2+a2k2)a2b2(1﹣λ)=0,
化为:λa2k2=b2(1﹣λ),
∴k1•k2=,
又k1•k2为定值,
∴=,
解得λ=.故选:C.
3.(2020•公安县高三模拟)已知椭圆的离心率为,三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F,且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3(k1k2k3≠0).若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1(O为坐标原点),则=.【答案】2
【解析】分析:求出椭圆方程,设出A、B、C的坐标,通过平方差法转化求解斜率,然后推出结果即可.解:∵椭圆的离心率为,
∴,则,得.
又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,
三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F,三条边所在直线的斜率分别为k1、k2,k3,且k1、k2,k3均不为0.
O为坐标原点,直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则,,
两式作差得,,
则,即,
同理可得,.
∴==﹣2×(﹣1)=2.
类型二定点问题
【例2】(2020•渝中区高三模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点,过点A的直线l交y轴的正半轴于点B,且A,B同在一个以F为圆心的圆上,另有直线l′∥l,且l′与抛物线C相切于点D,则直线AD经过的定点的坐标是()
A.(0,1)B.(0,2)C.(1,0)D.(2,0)
【答案】A
【解析】分析:设A(m,m2),B(0,n),根据A,B同在一个以F为圆心的圆上,可得n=m2+2,再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行,以及导数的几何意义可得a=﹣,求出直线AD的方程,即可求出直线AD经过的定点的坐标.
解:设A(m,m2),B(0,n),
∵抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1)
又A,B同在一个以F为圆心的圆上,
∴|BF|=|AF|
∴n﹣1==m2+1
∴n=m2+2