微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)
解析几何中的最值问题教案
解析几何中的最值问题一、教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。
基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。
二、教学重点方法的灵活应用。
三、教学程序1、基础知识探求解析几何最值的方法有以下几种:(1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。
(2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等）(3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法（4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）（1）函数法例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求PQ 的最大值。
分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。
说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。
例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值（2）不等式法例2、 设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF •的最大值是解：124PF PF +=由12PF PF +≥得 44)(22121=+≤•PF PF PF PF即21PF PF •的最大值是4 。
解析几何中的最值和求范围问题
解析几何中的最值和求范围问题解析几何中的最值和求范围问题，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查学生的分析、比较、转化、归纳等综合能力，因而是高考的热点和重点。
充分利用曲线的性质，运用数形结合，注重问题的转化是研究解析几何中最值和求范围问题特有的方法。
一：结合定义利用图形中几何量求解；例1：已知A （4，0），B （2，2）是椭圆192522=+y x 内的点，M 是椭圆上的动点，则MB MA +的最大值是 。
例2：P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）A. 6B.7C.8D.9例3：已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 。
二：利用不等式（组）求解例4：已知21,F F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。
例5：方程14922=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，焦半径c 的取值范围是（ ） （A ）()+∞,5 （B ）{}13 （C ）()13,5 （D ）{}5三：利用二次函数求解例6：已知P 点在圆x 2+(y-2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。
例7：若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为 。
例8：对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是( )（A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］（D ）（0，2）四：利用基本不等式求解。
例9：若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22例10：已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞五：构造二次方程，利用判别式∆≥0求解。
解析几何中范围和最值问题的解法研究
．
ｌ Ｏ
’ 、
由 Ｄ在 ＡＢ上 ， ￣ ＇ ｌ ｆ Ｘ ｏ ＋２ ｋ ｘ ｏ ＝２ ， 得 知 一
所 以 一 一 １ ０
，
题意 Ｙ ， Ｙ ２ 不 同时为 ０ ，
’
． ．
上述条件等价 于 Ｙ 一 ２ ∞ｚ ； 一ｚ ； ∞（ １ ＋ ） （ ｚ ｌ ｚ ≠ｚ ２ ， ． ． 上述条件等价 于 ｚ １ ＋ ２ － － ０ ．
设 ＡＢ的中点 Ｎ 的坐标为（ Ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ， 则
Ｘ ｏ 一
】 ，
（ ｘｌ 十 ２ ） 一 一百 ， Ｙ ｏ 一 一 Ｘ Ｏ 十 ｍ・
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由Ｎ Ｅ ｌ ， 得 志＋ 一 一 寺＋ ６ ， 于 是６ 一 素＋ 优 ・
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。 ＞一１
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３ ２ ． ６ ＞ 熹一 １ 一 ，
。
间 的等量关 系实现 变量之 间的相互 转化 ， 从 而构造 关于 未知变量 的不等式 ， 即可求变量 的取值 范围或最 值．
这就是说 ， 可 以用 函数 的观点 、 方程 的观点 、 不 等式
的方程 分别 为 ｚ＋２ ｙ ＝２ ， 一尼 ｚ ） ．
即得 ｚ 在 Ｙ轴 上截距 的取值 范围是（ ， ＋。 。 ） ．
评析 ： 第（ ２ ） 题解 法 的 实质 是 建立 关 于纵截 距 ｂ的
函数 ， 从 而将 问题 转 化 为 求 函数 的值 域 ．
即相 应变量之间的等量关系与不等量关系． 若将 变量间的等量关系看 成 函数 关系 ， 则 可 以将 等 量关 系式转换成 函数关系式 ， 然后 可 以用求 函数 的值 域
一
、
故 ＝－ －Ｘ ｌ －
2021-2022年高三数学解析几何中的取值范围问题复习教学案
2021年高三数学解析几何中的取值范围问题复习教学案教学目标：1.通过复习，掌握解析几何取值范围问题中的方程法、函数法、几何法、轨迹法等常见方法；2.通过复习，掌握一些常见范围问题的模式.教学重难点：1.模式的识别，采用何种方法进行求解；2.函数中分式值域的求法.教学过程：一、课前预习(请同学课前做好)1.椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为椭圆上任一点.(1)则PF 2的取值范围为 ；(2)PF 1·PF 2的最大值为 ；(3)的取值范围为 .2.(1)椭圆的左、右焦点分别 为F 1、F 2，点P 为椭圆上任一点，则∠F 1PF 2取最大值时点P 的位置为.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1、F 若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝9离心率的取值范围是________．二、数学应用题型一 方程有解法、轨迹法求取值范围1. 已知A (－4，0)，B (－1，0)，直线上始终存在两个不同点P 满足PA =2PB .求实数b 的取值范围.题型二 利用目标函数法、几何法求取值范围2.已知椭圆，过点F (1，0)引两条互相垂直的两直线、与椭圆分别交于A 、C 与B 、D 点，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.三、课堂小结通过本节课，你学到了什么？四、巩固练习1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的内接矩形的面积最大值为________． 2.若，则的最大值 .3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．4.若实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 长度的最大值是________．5.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．6．如图，A 是半径为1的圆O 上一定点，l 是过点A 的圆O 的切线.设P 是圆O 上不同于A 的一点，PQ ⊥l ，垂足为Q .当点P 在圆O 上运动时，△PAQ 面积的最大值是___ ________.7.设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AP |=|OA |，直线OP 的斜率k 的取值范围为 .8.过B (1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2分别与圆C ：(x －2)2＋(yl 1与圆C 交于F ，G 两点，l 2与圆C 交于P ，Q 两点，求四边形FQGP 面积的最大值.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆经过A （0，2），O A（0，0），D（t,0）（t>0）三点，M是直线AD上的动点，是过点B（1,0）且互相垂直的两条直线，其中交y轴于点E，交圆于P、Q两点．若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．10.如图，点A（ a，0），B（，）是椭圆上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．(1)求椭圆的方程；(2)过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．备课思路本节课的课题是《解析几何中的取值范围》，我的本科主旨是以方法复习为主，通过本节课复习求取值范围的常见方法——方程有解法、轨迹方程法、目标函数法、几何性质法的同时顺带复习长度、角度、离心率、面积等的取值范围.教学设计的各部分目标分别为：【课前预习】部分的设计目标为通过几道基础题渗透求取值范围的常见方法：1(1)是椭圆焦半径的取值范围，复习几何性质法、目标函数法求几何量的取值范围，同时为例2的讲解做好铺垫；1(2)复习用重要不等式求取值范围；1(3)复习目标函数以及合理设椭圆上点的坐标；2(1)是1(2)的延续，同时复习角度最值的求法，此外还涉及目标函数求范围；2(2)是2(1)的延续，复习方程有解法、轨迹方程法求取值范围.此部分内容请学生们课前预习，上课时请学生回答解题思路即可.【数学应用】部分的设计目标为进一步巩固各种常见方法：例1是复习方程有解法和轨迹方程法，本题详细板书两种解法，并归纳小结“给定曲线、特定要求、方程有解或轨迹方程”；例2是复习目标函数法和几何性质法，本题重点分析解题思路，并渗透二次分式函数的常见解法，此外顺带复习几何性质法(利用椭圆的第二定义)，此题的讲解将会是本节课的重点、难点、亮点，并归纳小结“明确目标、确定变量、构造函数、顺利求解”【课堂小结】部分的设计目标为引导学生进行自我总结，解析几何中的解题指导方针：几何与代数并重，计算与技巧同飞.【巩固练习】部分的设计目标为促进学生的自我提升.。
微专题26解析几何中的最值与范围问题(解析)
微专题26 解析几何中的最值与范围问题考题导航题组一 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆的相关范围问题1. (－∞，－2)∪(2，＋∞)∪{3，－3} 解析：由题意知直线y ＝kx ＋2与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点．结合如图所示的图形，易得k<－2或k>2或k ＝± 3.2. 3 －2－6 7－43 解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，即圆心(2，0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，所以k max ＝3；设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)min ＝－2－6；x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最小值为(2－3)2＝7－4 3.另解：设x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α，所以y －x ＝3sin α－2－3cos α＝6sin ⎝⎛⎭⎫α－π4－2∈[－6－2，6－2]，x 2＋y 2＝(2＋3cos α)2＋(3sin α)2＝7＋43cos α∈[7－43，7＋43]．1. 43 解析：圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线y ＝kx －2到点(4，0)的距离小于等于2”，则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|1＋k 2≤2，解得0≤k ≤43，则k 的最大值为43.题组二 构造函数模型解决点点(点线)距离的最值问题1. 15 解析：设点P(m ，n)，n>0，则AP →＝(m ＋6，n)，FP →＝(m －4，n)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 236＋n 220＝1，（m ＋6）（m －4）＋n 2＝0，消去n 得2m 2＋9m －18＝0，解得m ＝32或m ＝－6，因为n>0，所以m ＝32，所以n ＝532，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，532，直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M(t ，0)，则点M 到直线AP 的距离是|t ＋6|2，于是|t ＋6|2＝|6－t|，又－6≤t ≤6，解得t ＝2，所以M(2，0)．设椭圆上的点(x ，y)到点M 的距离d ，d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.1. 255 解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则PA 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54⎝⎛⎭⎫x －1252＋45.由|x|≥2，得当x ＝125时，PA 2有最小值为45，即PA 有最小值为255. 题组三 根据条件构造不等关系求离心率的范围问题 1. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1 解析：由题意得，向量F 2B 1→与B 2A 2→的夹角为钝角，F 2B 1→＝(－c ，－b)，B 2A 2→＝(a ，－b)，所以－ac ＋b 2<0，即a 2－ac －c 2<0，即e 2＋e －1>0，解得e>5－12或e<－5＋12.因为0<e<1，所以5－12<e<1.1. ⎣⎡⎦⎤33，22 解析：因为|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，所以|PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，当且仅当|PF 1→|＝|PF 2→|＝a 时，等号成立，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以2e 2≤1≤3e 2，所以13≤e 2≤12，即33≤e ≤22. 题组四 构造函数模型解决与线段的定比分点及面积相关的范围或最值问题1. 解析：方法一：因为PF 2⊥x 轴，且点P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0，点Q(x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即点P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)． 由PF 1→＝λF 1Q →，得⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝λ（x 1＋c ），－b 2a ＝λy 1，解得⎩⎨⎧x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b 2λa . 因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋1λ2－1λ2e 2＝1， 即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5，所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0. 因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c)．联立⎩⎨⎧y ＝b 22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0. 因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 设点Q(x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5，所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.1. 解析：把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.①(1) Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 即4k 2－m 2＋1>0.②因为直线l 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，所以|m －2|k 2＋1＝1，所以k 2＝m 2－4m ＋3.③把③代入②得3m 2－16m ＋13>0， 解得m>133或m<1.(2) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由题意得点P(0，m)，因为PB →＝2AP →，所以2x 1＋x 2＝0. 由①式得x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，所以x 1＝－(x 1＋x 2)＝8km4k 2＋1. 又因为x 1是方程①的根，所以(4k 2＋1)64k 2m 2（4k 2＋1）2＋64k 2m 24k 2＋1＋4m 2－4＝0， 所以m 2＝4k 2＋136k 2＋1.依题意得k ≠0，显然满足Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)·(4m 2－4)>0.因为|x 1－x 2|＝|3x 1|＝|24km|4k 2＋1，所以S △AOB ＝12|x 1－x 2||m|＝12m 2|k|4k 2＋1＝12|k|36k 2＋1＝39|k|＋14|k|≤1，当且仅当9|k|＝14|k|，即k ＝±16(符合题意)时，等号成立， 所以当k ＝±16时，△AOB 的面积取最大值为1.冲刺强化训练(26)1. (－12，0) 解析：因为双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，所以1<4－k 2<2，解得－12<k<0.2. ⎣⎡⎭⎫22，1 解析：因为椭圆上总存在点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，所以以原点为圆心、半焦距c 为半径的圆与椭圆总有交点，所以c ≥b ，得c 2≥a 2－c 2，所以a 2≤2c 2，即e ≥22，又e<1，故22≤e<1. 3. －74 解析：设M(3cos α，sin α)，所以P(32cos α，12sin α)，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以PF 1→＝(－2－32cos α，－12sin α)，PF 2→＝(2－32cos α，－12sin α)，所以PF 1→·PF 2→＝(－2－32cos α，－12sin α)·(2－32cos α，－12sin α)＝－2＋34cos 2α＋14sin 2α＝12cos 2α－74≥－74，故PF 1→·PF 2→的最小值为－74.4. 62 解析：设椭圆上的点Q(x ，y)．由圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为(0，6)，半径为2，得椭圆上的点Q(x ，y)到圆心(0，6)的距离为x 2＋（y －6）2＝10（1－y 2）＋（y －6）2＝－9⎝⎛⎭⎫y ＋232＋50≤52，所以P ，Q 两点间的最大距离是52＋2＝6 2. 5. (2－1，1) 解析：设P(x ，y)，因为PQ ⊥l ，四边形PQFA 为平行四边形，所以PQ ＝x ＋a 2c ＝FA ＝a ＋c ，可得x ＝a ＋c －a 2c ，椭圆上点P 的横坐标满足x ∈[－a ，a]，且P 、Q 、F 、A 不在一条直线上，所以－a<a ＋c －a 2c <a ，即2a ＋c －a 2c >0且c －a 2c <0，化简得2＋e －1e >0，即e 2＋2e －1>0，解得e<－1－2或e>2－1，因为椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1，1)．6. 95 解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋r.因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以r 的最小值是95. 7. (1，3] 解析：由于左右是对称的，不妨设P 在右支上(即x>0)，根据双曲线的焦半径公式，有PF 1＝2PF 2等价于ex ＋a ＝2(ex －a)，得到ex ＝3a ，从而e ＝3ax ，又因为x ≥a ，故e ≤3，所以1<e ≤3.8. 6 解析：由x 24＋y 23＝1可得F(－1，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 9. －3 解析：设Q 的坐标为(x 0，y 0)，由OP →＝3OQ →得P(3x 0，3y 0)，所以3y 0＝k(3x 0－33)，即y 0＝k(x 0－3)，所以点Q 在直线y ＝k(x －3)上，又因为点Q 在x 2＋(y －1)2＝1上，所以直线y ＝k(x －3)与圆x 2＋(y －1)2＝1相交或相切，所以0≤|1＋3k|k 2＋1≤1，解得－3≤k ≤0，所以k 的最小值为－ 3.10. ⎝⎛⎭⎫13，12∪⎝⎛⎭⎫12，1 解析：如图所示，很明显椭圆上短轴上两个顶点符合题意；根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一个点P 满足△F 1F 2P 为等腰三角形即可，则PF 1＝F 1F 2＝2c ，或PF 2＝F 1F 2＝2c.当F 1P ＝2c 时，则有PF 1>MF 1(M 是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则MF 1＝a ，所以2c>a ，所以e ＝c a >12，所以12<e<1；当PF 2＝2c 时，则有⎩⎪⎨⎪⎧PF 2>F 2Q ，PF 1>MF 1，(Q 是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即⎩⎪⎨⎪⎧2c>a －c ，e<12，所以⎩⎨⎧e>13，e<12，所以13<e<12.综上所得，椭圆C的离心率的取值范围是(13，12)∪⎝⎛⎭⎫12，1.11. 解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，圆的方程为x 2＋y 2＝4.由题意得直线l 的方程为y ＝12(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），x 2＋2y 2＝4，得3x 2＋4x －4＝0，解得x A ＝－2，x P ＝23，所以点P ⎝⎛⎭⎫23，43， 所以AP ＝⎝⎛⎭⎫23＋22＋⎝⎛⎭⎫432＝453，又因为原点O 到直线l 的距离d ＝25， 所以AQ ＝24－45＝855，所以AP AQ ＝453855＝56.(2) 若PQ →＝λAP →，则λ＝AQ AP －1，设直线l ：y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k （x ＋2），得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 所以－2＋x P ＝－8k 22k 2＋1，x P ＝2－4k 22k 2＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1， 所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2（2k 2＋1）2， 即AP ＝4k 2＋12k 2＋1，同理可得AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1，由题意知k 2>0，所以0<λ<1.12. 解析：(1) 连结A 2P ，则A 2P ⊥A 1P ，且A 2P ＝a, 又A 1A 2＝2a ，所以∠A 1A 2P ＝60°， 所以∠POA 2＝60°，所以直线OP 的方程为y ＝3x.(2) 由(1)知，直线A 2P 的方程为y ＝－3(x －a)，直线A 1P 的方程为y ＝33(x ＋a), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －a ），y ＝33（x ＋a ）， 解得x P ＝a 2. 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c 2＝34a 2，b 2＝14a 2， 故椭圆E 的方程为x 2a 2＋4y 2a2＝1.联立⎩⎨⎧y ＝33（x ＋a ），x 2a 2＋4y2a 2＝1，解得x Q＝－a7或x Q＝－a(舍去)，所以PQ QA 1＝a 2－⎝⎛⎭⎫－a 7－a 7－（－a ）＝34.(3) 不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2＋4y 2a 2＝1，解得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋4k 2，ak 1＋4k 2，所以OB ＝a1＋k 21＋4k 2. 用－1k 代替上面的k ，得OC ＝a1＋k 24＋k 2. 同理可得，OM ＝2a 1＋k 2，ON ＝2ak1＋k 2.所以S 1·S 2＝14·OB·OC·OM·ON ＝a 4·k（1＋4k 2）（4＋k 2）.因为k（1＋4k 2）（4＋k 2）＝14⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋17≤15，当且仅当k ＝1时等号成立，所以S 1·S 2的最大值为a 45.。
高中数学课件-解析几何-第四课时 最值、范围问题
第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第四课时 最值、范围问题内容索引分层精练巩固提升题型一 最值问题角度1 基本不等式法求最值[思路分析] 由定义求方程→设直线方程→联立椭圆与直线方程→由条件写出面积的表达方式→通过换元，利用基本不等式求出面积的最大值．→在椭圆中求焦点三角形的周长,问题，常结合椭圆的定义求解．又因为b2＝a2－c2，所以b2＝2②，(3分)(2)依题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为x＝my＋2（m≠0）.→在圆锥曲线中设直线方程时，若所设直线可以垂直于x轴，但不能垂直于y轴，则直接设直线为x＝my＋n(m，n为常数)，这样可以避免分类讨论易知Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AM⊥x轴，BN⊥x轴，所以M(x1，0)，N(x2，0)．[满分规则]❶得步骤分：由①②③准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由④联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，⑤设直线方程可得1分；❷得关键分：由⑥联立两直线求出C点横坐标得2分，⑦表示△ABC面积得1分；❸得计算分：由⑧通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由⑨利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．解 当l⊥x轴时不合题意；设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.Δ＝16(4k2－3)>0，角度2 函数法求最值解 由题意，得椭圆E的焦点在x轴上．(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值．解 ∵点(－2，0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．训练2(2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．解 设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)，题型二 范围问题得其右焦点为(1，0)，因为抛物线的焦点与椭圆右焦点重合，故抛物线C的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．解 设直线BD的方程为y＝kx＋m，则Δ＝(2km－4)2－4k2m2＞0，得km＜1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，设BD中点为M(x0，y0)，由△PBD是以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD，整理得km＝2－2k2.由km＜1，则2－2k2＜1，解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，(2)若存在直线l，使得AF2⊥BF2，求Γ的离心率的取值范围．得(b2m2－a2)y2－2b2cmy＋b4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，∴(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，∴(m2＋1)b4＝4a2c2，∴c4＋a4－6a2c2≤0，∴e4－6e2＋1≤0，∴4a2＜b2＝c2－a2，∴e2＞5.分层精练 巩固提升FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG【A级 基础巩固】解 由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，由于－6≤x≤6，(2)过点(0，2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O 为坐标原点.求△MON的面积的最大值.解 因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，设l的方程为y＝kx＋2，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，解 因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2.(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.解 由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，设B(x1，y1)，C(x2，y2).Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)>0，故k>1或k<－1.即|k|≤3，解得－3≤k≤3.综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].4.(2022·全国甲卷)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点D (p ，0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3.(1)求C 的方程；【B级 能力提升】(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.解 根据(1)知F(1，0)，D(2，0).当MN的斜率存在时,设M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,A(x3,y3) ,B(x4,y4) ,即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，同理，可得直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4.因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x，当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，所以不符合题意.本课结束INNOVATIVEDESIGN。
2020届高三数学一轮复习《解三角形中的最值,范围问题》教学设计
高三一轮复习：解三角形中的最值,范围问题一、教材分析：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。
而三角形中的最值问题又是一个重点。
处理这个最值问题解决方法主要有两种，分别是建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性解决。
这两种方法对学生的思维训练而言是很有价值的。
二、学情分析：授课对象为高三文科平行班学生。
本课之前，学生已经学习了三角函数和正弦余弦定理有关内容，但是本课综合性强，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，学生学习方面比较困难。
因此在教学过程中必须调动学生积极思考和留下给学生独立思考的时间。
我采用与新课标要求相一致的新的教学方式，即互动式的教学与多变式教学相结合的方法，带领学生主动参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，在师生互动、生生互动中实现教学任务和目标。
三、教学重难点：重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用。
难点：掌握解三角形中处理不等关系的两种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值四、教学过程（一）解三角形公式回顾1.正弦定理：，其中为外接圆的半径2.余弦定理：3.面积公式： S =12ab sinC =12bcsinA =12ac sinB2sin sin sin a b c R A B C===R ABC V 2222cos a b c bc A =+-（二）例题精讲已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）求sinB+sinC 的取值范围；[设计意图]： 本题将引导学生利用三角恒等变换和三角函数图像解决取值范围问题。
是对三角函数知识的一个巩固。
试题分析：（1）由，得，题目中边角共存，利用正弦定理化为纯角问题可得(2) 介绍求解三角形取值范围的第一种解法，用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，把角的变量个数减少，这种思路也是多元取值范围问题的常用方法。
初中几何最值教案
初中几何最值教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法和技巧；3. 能够独立解决简单的几何最值问题。
教学内容：1. 几何最值问题的定义和分类；2. 解决几何最值问题的基本方法；3. 典型几何最值问题的解析。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入概念：最值问题是指在一定的条件下，寻找某个几何量的最大值或最小值的问题。
2. 举例说明：如在平面直角坐标系中，求直线与圆的交点中，距离某一点最近的交点。
二、基本概念和性质（15分钟）1. 介绍几何最值问题的分类：长度最值、面积最值、角度最值等；2. 讲解几何最值问题的基本性质：最优解的存在性、唯一性、可达到性等；3. 通过实例讲解几何最值问题的解题思路。
三、解决几何最值问题的方法（20分钟）1. 解析法：通过解析几何知识，建立方程，求解最值；2. 构造法：通过构造辅助线，转化问题，求解最值；3. 代数法：通过代数运算，求解最值；4. 几何法：利用几何性质，直接求解最值。
四、典型问题解析（20分钟）1. 例1：求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1的交点中，距离点A(x0,y0)最近的交点；2. 例2：在三角形ABC中，求边长BC上的线段DE的长度，使得∠AED为直角；3. 例3：已知矩形的长和宽，求矩形内切圆的半径。
五、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立解决几个典型的几何最值问题；2. 学生之间互相讨论，交流解题思路和方法；3. 教师进行解答和讲解，分析学生的解题错误和不足。
六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结几何最值问题的解题方法和技巧；2. 学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 教师给予鼓励和指导，提出更高的要求。
教学评价：1. 课后作业：布置几个典型的几何最值问题，要求学生在规定时间内完成；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作精神；3. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，包括掌握知识的情况、解题能力等。
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微专题26 解析几何中的最值与范围问题
1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题．
2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题．
3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题．
4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用．
考题导航
利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆
2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y
x 的最大值为________；y －x 的最小
值为________；x 2＋y 2的最小值为________．
1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在
椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________．
1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2
＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)，
则PA 的最小值为________．
1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________．
1. 椭圆M ：x 2
a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点，
且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______．
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别
为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→
＝λF 1Q →
.若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦
⎤12，22，求实数λ的取值范围．
1. 如图，已知动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 2
＝1交于A ，B 两点．
(1) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 又与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，求实数m 的取值范围； (2) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，且满足PB →＝2AP →
，O 为坐标原点．求△AOB 面积的最大值，并指出此时k 的值．
冲刺强化训练(26)
1. 已知双曲线x 24＋y 2
k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．
2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→
＝0，则椭圆离心率的取值范围是________.
3. 如图，M 为椭圆x 2
3＋y 2＝1上任意一点，P 为线段OM 的中点，则PF 1→·PF 2→
的最小值
为________．
4. 设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大
距离是________．
5. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P
是椭圆上的一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.
6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4，0)为圆心，r 为半径的圆C 有公共点，则r 的最小值是________．
7. 双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上的一点，且
PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．
8. 若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP
→
的最大值为________．
9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k(x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP →＝3OQ →
，则实数k 的最小值为________.
10. 椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个
不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2
2，长轴
长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q.
(1) 若直线l 的斜率为12，求AP
AQ 的值；
(2) 若PQ →＝λAP →
，求实数λ的取值范围．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝3
2，
A 1、A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点
为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.
(1) 求直线OP 的方程；
(2) 求PQ QA 1
的值；
(3) 设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于B ，C 两点，分别交圆A 2于M ，N 两点，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最大值．。