解析几何中的最值问题教案
解析几何中的最值问题 苏教版精品课件
(2)：S=PA×AC
P
= 17
B
C A
例2变题
变 1．由直线 y x 1上的点 P 向圆 C：(x-3)2+(y+2)2=1 引切
线 PA、PB，求 PA PB 的最小值；
思考：在本题中向量的
数量积用定义式运算还
P
是用坐标运算？
B
C A
例2变题
变 1．由直线 y x 1上的点 P 向圆 C：(x-3)2+(y+2)2=1 引切
线 PA、PB，求 PA PB 的最小值；
解： 设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC d, d 3 2 设APC＝，则APB＝2
sin 1 ，则cos2 1 2sin 2 1 2
解： 设PC d, 设APC＝，则APB＝2
P点2 评： sin 1 ，则cos2 1 2sin 2 1 2 在M本例的解决dP过A程PB中，PA关 P键B是co将s2目标d 2 量值P表。示这P为种1 利PC用长函度(d数d2的的1函) 思数(1想，d研22求)究函d解2数析的d2几2 最 3 何是最如值何A问选题择C在变B解量题。在是PPAA中本什4 P经P题么BBd的的常中？最最6遇d大小的到值值取为为，：值： 51关50825范键围
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
解 析 几 何 中 的 最 值 问 题
解析几何 与圆有关的最值问题 高中数学教案 专题提升课四
专题提升课四与圆有关的最值问题方法一利用距离的定义求最值【典例】圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到直线3x-4y+19=0的最大距离为() A.10B.11C.12D.13【解析】选B.由题意,x2+y2-2x+4y-20=0的圆心为(1,-2),半径为5,圆心到直线的距离d所以圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到直线l的最大距离是5+6=11.【思维提升】利用距离的定义求最值的方法关键是确定距离最大、最小时点的位置.一般通过圆心和点的连线和直线的垂线与圆的交点确定点的位置,再利用距离公式求最值.【即学即练】圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是.【解析】圆x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,圆心为(2,2),半径r=32.圆心(2,2)到直线x+y-14=0=52>32,所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r=62.答案:62方法二利用几何意义求最值【典例】已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求2m+n的最大值;(2)求(m+2)2+(n-3)2的最小值;(3)求r1的范围.【解析】由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,则圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.(1)设2x+y=b,即2x+y-b=0,作出圆(x-2)2+(y-7)2=8与一组平行线2x+y-b=0,当直线2x+y-b=0与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时圆心到直线的距离d4+1=22,解得b=11+210或b=11-210,所以2m+n的最大值为11+210.(2)(m+2)2+(n-3)2表示点M(m,n)与点Q(-2,3)的距离的平方,又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42.所以|MQ|min=42-22=22,即(m+2)2+(n-3)2的最小值为8.(3)r1=-0-(-1)表示点过M(m,n)与点P(-1,0)的直线的斜率,令r1=k,则n=k(m+1),即km-n+k=0.当直线MP与圆相切时,斜率取到最大值、最小值.2+1=22,解得k=1或41,所以r1的范围是1,41.【思维提升】常见的三种几何意义的应用(1)形如t=--形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题,即转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如t=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.【即学即练】已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3,求的最大值和最小值.【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心,3为半径的圆,设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,=3,解得k=±3.故的最大值为3,最小值为-3.方法三距离转化法求最值【典例】若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,求由点(a,b)向圆C 所作的切线长的最小值.【解析】因为圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即a-b=3.又圆的半径为2,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为(+1)2+(-2)2=2(-2)2+18≥32,所以切线长的最小值为(32)2-(2)2=4.【思维提升】关于距离转化法求最值(1)利用勾股定理等方法,将切线长表示出来,分析决定切线长大小的要素,利用该要素的最值求切线长的最值;(2)常见的转化依据:直线外一点与直线上的点的距离的最小值是该点到这条直线的距离.【即学即练】直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,求△ABP 面积的取值范围.【解析】设圆心到直线AB的距离d =22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,所以S△ABP=12·|AB|·d'=2d',所以2≤S△ABP≤6.方法四利用对称转化求最值【典例】已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光线从点A出发经x轴反射到圆C上的最短路程.【解析】点A关于x轴的对称点为A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2=10.所以所求最短路程为10-2=8.【思维提升】利用对称转化求最值涉及光线反射可以利用对称性,将折线转化为直线解题,根据题意可以选择点对称,也可以选择圆对称.【即学即练】(多选题)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程时()A.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1)B.反射光线所在的直线方程是4x-3y+1=0C.光线的最短路程为4D.当光线的路程最短时,反射点的坐标为14,0【解析】选ABC.圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1).因为当反射光线是A'C时,光线的路程最短,所以最短距离为|A'C|-r,即[2-(-1)]2+[3-(-1)]2-1=4,此时,反射光线为直线A'C,其方程是4x-3y+1=0,反射点为直线A'C与x轴的交点,其坐标为-14,0.。
初中数学精品教案：几何最值问题
微设计《破解中考数学压轴题（一）0107几何最值问题》学习目标：1、学会怎样通过平行线和直角三角形构造相似三角形.2、理解并会运用二次函数的性质解决几何最值问题.3、学会通过求2x的最值来求x的最值的方法.4、体会数形结合在解决压轴题中的重要作用.学习重点：1、做辅助线构造相似的过程.2、借助变量表示线段长度,建立等量关系的过程.3、运用二次函数求2x的最小值的过程.学习难点：先求2x的最小值，再求x的最小值的过程.学习过程：一、问题背景几何中最值问题是指在一定条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度，角度大小，图形面积）等的最大值或最小值。
几何最值问题近年来广泛出现在中考中，这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确）。
解题时，需要运用动态思维，数形结合，特殊与一般相结合，逻辑推理与合情想象相结合等思想。
二、例题解析16．（5分）如图1，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为．图11. 思路探究问题一：题中所给的已知条件有哪些呢？这些条件可以分为几大类呢？（设计意图：分析题目之前，首先让学生自主理清题目条件，并归类.）问题二：由l 1∥l 2∥l 3 ，你能想到什么？结合∠ABC ＝90° ，你会做怎样的构造？（设计意图：让学生自主通过角相等联想到三角形相似，自主想到添加辅助线的办法.） 问题三：对于条件4=n m 通常情况下怎么处理？ （设计意图：引导学生常用结论的固定处理方式．让学生联想已有结论表示出线段的长度．） 问题四：在⊿AEB ∽⊿BFC 中，能否尽可能多的表示出线段长？（引导学生二次设元，在相似三角形中表示出更多的线段．）问题五：如何能将BD=4这一条件运用到解题中？你能表示出更多的线段吗？（设计意图：引导学生作出另外两条辅助线，构造出另一组相似三角形⊿AGD ∽⊿CHD ，表示出相应的线段长．从而得到关于两个未知数的等式．） 问题六：结合原题所问，你认为怎样处理236442=--yx y 这一条件会更好？ （设计意图：引导学生分离变量，为后面求x 的最小值做好铺垫．）问题七：观察等式91022y y x -=的左边和右边，你认为怎样与求x 的最小值联系起来？ （设计意图：引导学生尝试先求2x 的最小值，再求x 的最小值.）２.解法展示解：如图2，EABCBF ABE EAB CBF ABE ABC BFC AEB Fl E l EF B ∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠∴︒=∠︒=∠=∠⊥则又则于点，交于点作过点9090909031 E G HDB A 1l 2l 3l 图2∵m+n=5x ∴当x 最大时，m+n 最大 .由二次函数的性质可知：当y=5时，2x 有最大值为925，则x 的最大值为 35，m+n 的最大值为325 . 3.方法小结 本题最主要的解题模型是添加了3条辅助线，构造两组三角形相似，这两个相似三角形是常见的“三垂相似型”，“8字相似型”，课件灵活运用基本图形在解决综合题中的起到关键的作用。
最值教案
课题：几何图形中的最值问题授课教师：教学目标：1.了解解决几何最值问题的基本原理和方法。
2.初步掌握利用平面几何知识及几何图形等知识解决几何最值问题，培养学生几何探究、推理的能力。
3.进一步体验对称变换、旋转变换等的思想方法。
教学重点：几何最值问题原理的运用；教学难点：寻求几何最值问题解决的有效途径及方法。
教学过程：一、引入：中考中的最值问题往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度．通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．1.常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等；2.几何最值问题的基本原理：①两点之间线段最短②垂线段最短③利用函数关系求最值④三角形三边的关系二例题：例1：在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．请直接写出△PDE周长的最小值：．例2如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13 时，求正方形的边长.ADB C三、变式练习阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，连接A ′A ，当点A 落在A ′C 上时，此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4，P 为△ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是四、小结 ：1、“对称、平移、旋转” 是三种保形变换．通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．2、求解时，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长．3、科学选择．捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路4、几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值．五、巩固练习1．（2012四川攀枝花）如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ． 2．（2012湖北鄂州）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。
解析几何最值问题的赏析教案
解析几何最值问题的赏析教案
《解析几何最值问题的赏析教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
作业内容
解析几何最值问题的赏析
问题提出：
已知椭圆方程：，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点。
过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF 面积的最大值。
问题分析：
图形的处理：
不规则图形转化为规则图形(割补法)
变量的选择：
设点：设点则，可得到二元表达式;
设动直线的斜率(可设AF,BF,EF,AE,BE中任意一条直线的斜率)，可得一元表达式。
3，最值的处理方法：
一元表达式可用基本不等式或函数法处理;
二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。
问题解决：
解法一：
由基本不等式得
解法二：
解法三：
因为，所以设切线方程为：
由得
再由得
切线的方程为：，点到直线的最大距离
变式与推广
①已知圆方程：，A，B分别为圆的上顶点和右顶点。
过原点作一直线与线段AB交于点G，并和圆交于E、F两点，则四边形AEBF面积的最大值为;
②已知椭圆方程：，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点。
过原点作一直线与线段AB交于点G，并和椭圆交于E、F两点，则有如下结论：
(1)四边形AEBF面积的最大值;
(2)AB的斜率与EF的斜率互为相反数;
(3)EF过线段AB的中点;
③若条件中点E、F变成椭圆上且位于AB两侧任意的两点，则E、F关于原点对称时，四边形面积取得最大，上述②的结论不变。
解析几何最值问题的赏析教案这篇文章共1626字。
微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)
微专题26 解析几何中的最值与范围问题1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题．2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题．3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题．4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用．考题导航利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则yx 的最大值为________；y －x 的最小值为________；x 2＋y 2的最小值为________．1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________．1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)，则PA 的最小值为________．1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________．1. 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______．1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．1. 如图，已知动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1交于A ，B 两点．(1) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 又与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，求实数m 的取值范围； (2) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，且满足PB →＝2AP →，O 为坐标原点．求△AOB 面积的最大值，并指出此时k 的值．冲刺强化训练(26)1. 已知双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是________.3. 如图，M 为椭圆x 23＋y 2＝1上任意一点，P 为线段OM 的中点，则PF 1→·PF 2→的最小值为________．4. 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P是椭圆上的一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4，0)为圆心，r 为半径的圆C 有公共点，则r 的最小值是________．7. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上的一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．8. 若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k(x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP →＝3OQ →，则实数k 的最小值为________.10. 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q.(1) 若直线l 的斜率为12，求APAQ 的值；(2) 若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A 1、A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.(1) 求直线OP 的方程；(2) 求PQ QA 1的值；(3) 设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于B ，C 两点，分别交圆A 2于M ，N 两点，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最大值．。
解析几何中的最值问题教案
解析几何中的最值问题一、教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。
基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。
二、教学重点方法的灵活应用。
三、教学程序1、基础知识探求解析几何最值的方法有以下几种:(1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。
(2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等）(3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法（4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）（1）函数法例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求PQ 的最大值。
分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。
说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。
例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值（2）不等式法例2、 设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF •的最大值是解：124PF PF +=由12PF PF +≥得 44)(22121=+≤•PF PF PF PF即21PF PF •的最大值是4 。
最新沪教版高中数学高二下册 -12 本章小结：解析几何中的最值问题 教案
解析几何中的最值问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.学习目标：1.能够根据变化中的几何量的关系建立目标函数，求出最值；2.能够熟练应用圆锥的定义和几何性质，运用几何法求出最值；学习重点与难点：1.根据关系建立目标函数或不等式；2.根据问题的几何意义，应用数形结合的思想解决问题一、基础训练：1. 已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．2. 已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的动点，12,F F 是焦点，则12||||PF PF ⋅的取值范围是 ．3. 若C(－3，0)，D(3，0)，M 是椭圆x24＋y2＝1上的动点，则1|MC|＋1|MD|的最小值为________．4. 已知点A(–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ．5. 已知(,)P x y 是椭圆221169x y +=的点，则x y +的最大值是 ． 二、合作探究：例1 已知点(4,0),(0,4)A B ,动点(,)P x y 在线段AB 上，求：（1）x y +的最小值；（2）22x y +的最小值；（3的最小值；的最小值．例2 已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)． （1）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （2）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．例3 已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B , 若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26-．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设T 为直线3-=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅，求||||1PQ TF 的最小值．三、课堂练习：1、设连接双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(b>0，a>0)的四个顶点的四边形面积为S1，连接四个焦点的四边形面积为S2，则S1S2的最大值是 ．2、设P ，Q 分别为圆x2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 ．3、如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为 ．四、归纳小结：。
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解析几何中的最值问题
一、教学目标
解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。
基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。
二、教学重点
方法的灵活应用。
三、教学程序
1、基础知识
探求解析几何最值的方法有以下几种:
(1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。
(2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等）
(3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法
（4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）
（1）函数法
例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2
219
x y +=上移动,试求PQ 的最大值。
分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ|
的最大值，只要求|OQ|的最大值。
说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。
例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2
213
x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值
（2）不等式法
例2、 设21,F F 是椭圆14
22
=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ∙的最大值是
解：124PF PF +=
由12PF PF +≥得 44)(2
2121=+≤∙PF PF PF PF
即21PF PF ∙的最大值是4 。
说明：在用基本不等式时要注意条件“一正二定三相等”须同时具备，缺一不可
(3)曲线定义法：
例3、 给定点(2,2)A -，已知B 是椭圆22
12516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53
AB BF +
取得最小值时，试求B 点的坐标。
分析：因为椭圆的离心率35e =，所以513AB BF AB BF e +=+，而1BF e
为动点B 到左准线的距离。
故本题转法为，在椭圆上求一点B ，使得它到A 点和左准线的距离之和最小，过点B 作l 的垂线，垂点为N ，过A 作此准线的垂线，垂点为M ，由椭圆定义 ||3
5||||||||BF e BF BN e BN BF ==⇒= 于是 5||||||3
AB BF AB BN AN AM +
=+≥≥为定值 其中，当且仅当B 点AM 与椭圆的定点时等点成立，
此时B 为(2) 所以，当53AB BF +
取得最小值时，B 点坐标为(2) 说明：圆锥曲线的定义在处理许多解析几何问题（包括最值问题）时常常显得极其简便。
（4）平面几何法
例4、已知,x y 满足()()22
221(2),x y y -+-=≥
(1)求33
y x ++的最大值和最小值; (2)若2b x y =+，求b 的最大值和最小值。
例4.椭圆离心率为，过点M （1，2），并以y 轴为准线，则长轴的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
分析：设椭圆方程为由已知得，a 2=4c 2 b 2=3c 2 m=4c ，椭圆为化为12c 2-8c+1=
. 故选A.
2．综合问题
例5、已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>过点()3,2-，圆O 的圆心为坐标原点，直径为椭圆的短轴，圆M 的方程为()()22
864x y -+-=，过圆M 上任一点P 作圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线PA 与圆M 的另一交点为Q 点，当弦PQ 最大时，求PA 的方程
(3)求OA OB ⋅的最大值与最小值。
例5.设动点P 到定点F （1，0）及定直线L ：x=3距离之
和为4，求P 点轨迹方程，并画出草图.若过F 点的直线被上
述轨迹截得弦AB ，求|AB|的最大值.
解：设动点P （x,y ），P 到定直线L 的距离d=|x-3|依
题意|PF|+d=4. 即 若x ≥3，
；
.∴P 点轨迹为
设直线AB的倾角θ.
.
3归纳小结
（1）.解决解几中最值问题的基本思路:
（2）求最值常见的方法和技巧：
4．课后思考题：
（2001年春季高考北京、安徽试题）已知抛物线，过动点M（a,0）且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，（1）求a的取值范围。
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴与点N，求面积的最大值。