江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，0)，B(5，0)．若在圆 M：(x－4)
2＋(y－m)2＝4 上存在唯一一点 P，使得直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的
值为________．
12. 已知 AD 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高，点 P 在 DA 的延长线上，且满足(
17. (本小题满分 14 分) 某公园内有一块以 O 为圆心，半径为 20 米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活， 现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形 OAB 区域，其中两 个端点 A，B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的区域，其中 AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且 AB，PQ 在点 O 的同侧．为 保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60
(1) 求实数 λ 的值；
4 (2) 若 a·b＝5，且 tan β＝2，求 tan α 的值．
16. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E 分别是 AB1 和 BC 的中点．求证： (1) DE∥平面 ACC1A1； (2) AE⊥平面 BCC1B1.
(1) 求甲经过点 C 的概率；
(2) 望．
设这 4 名游客中恰有 X 名游客都是经过点 C，求随机变量 X 的概率分布和数学期
23. (本小题满分 10 分) 平面上有 2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这 2n 个点中，任取 3 个点，记 3 个点颜色相同的所有不同取法的总数为 T. (1) 若 n＝3，求 T 的最小值； (2) 若 n≥4，求证：T≥2C3n.
P→B P→C A→D ＋ )· ＝4
2.若 AD＝ 2，则P→B·P→C的值为________．
{ ) |x＋3|， x ≤ 0，
13. 已知函数 f(x)＝ x3－12x＋3，x > 0. 设 g(x)＝kx＋1，且函数 y＝f(x)－g(x)的图象经 过四个象限，则实数 k 的取值范围是________．
22. (本小题满分 10 分)
如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B，每遇到一个岔路 口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅 游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最 后到出口 B 集中，设 C 是其中的一个交叉路口点．
故对于任意 α，上述设计方案均能符合要求．(14 分)
{ ) { ) c 2 ＝， a2
c＝1，
18. (1) 依题意得 a＝ 2， 解得 a＝ 2，
所以 b2＝a2－c2＝1，
x2 所以椭圆 C 的方程为 2 ＋y2＝1.(2 分)
(2) 解法一：设直线的方程为 y＝k(x－2)，
代入椭圆 C 的方程，消去 y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分 组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编 号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一 组与第二组共有 20 人，则第三组的人数为________．
(2) 设经过点 P(2，0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，点 Q(m，0)．
①若对任意直线 l 总存在点 Q，使得 QA＝QB，求实数 m 的取值范围；
②设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 为△FAB 的外心，求实数 m 的值．
19. (本小题满分 16 分) 2x－2
已知函数 f(x)＝ln x－x－1＋2a，a>0. (1) 当 a＝2 时，求函数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程； (2) 若对任意 x∈[1，＋∞)，不等式 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3) 若函数 f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数 a 的取值范围．
[ ] [ ] [ ] 2 b
11
21
已知矩阵 A＝ a 3 ，B＝ 0 －1 ，AB＝ 4 1 .
(1) 求 a，b 的值；
(2) 求 A 的逆矩阵 A－1.
B. [选修 4-4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
{ ) x＝t，
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 y＝ 3t＋2 (t 为参数)，曲线 C 的参数方
{ ) x＝cos θ，
程为 y＝ 3sin θ (θ 为参数)，P 是曲线 C 上的任意一点．求点 P 到直线 l 的距离的最大值．
C. [选修 4-5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 解不等式：|2x－1|－x≥2.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．
2019 届高三年级第二次模拟考试(十)
数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】 本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则 按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修 4-2：矩阵与变换](本小题满分 10 分)
π
π
的距离为2，则 f(4)的值为________．
9. ________．
已知正四棱锥 PABCD 的所有棱长都相等，高为 2，则该正四棱锥的表面积为
10.
已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝x2－5x，则不等式
f(x－1)>f(x)的解集为________．
11.
π 米．设∠OAB＝α，α∈(0，3)．问：对于任意 α，上述设计方案是否均能 符合要求？
18. (本小题满分 16 分)
x2 y2
2
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 ，且椭圆 C 短
轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 2.
(1) 求椭圆 C 的方程；
20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}各项均为正数，且对任意 n∈N*，都有(a1a2…an)2＝an＋1 1an－＋1.
a2 (1) 若 a1，2a2，3a3 成等差数列，求a1的值； (2) ① 求证：数列{an}为等比数列； ② 若对任意 n∈N*，都有 a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比 q 的取值范围．
14. 在△ABC 中，若 sin C＝2cos Acos B，则 cos2A＋cos2B 的最大值为________．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算 步骤．
15. (本小题满分 14 分)
π 设向量 a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)，其中 λ>0，0<α<β<2，且 a＋b 与 a－b 互 相垂直．
＝400(3cos2α＋ 3sin2α＋4)
( )π
2α＋ ＝800 3sin 3 ＋1600.(10 分)
( )π
π
π
0，
因为 α∈ 3 ，所以当 2α＝6，即 α＝12时，
(OP2)max＝800 3＋1600，
即 OPmax＝20 3＋20.(12 分)
因为 20 3＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60 米．(13 分)
2019 届高三年级第二次模拟考试
数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1. 已知集合 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，则 A∪B＝________．
2. ________．
z 若复数 z 满足a＋2i＝i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数 a 的值为
由图可知，点 P 处的观众离点 O 最远．(5 分)
在三角形 OAP 中，由余弦定理可知
( )2π
α＋ OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos 3 (7 分)
1
3
＝400＋(40cosα)2－2×20×40cosα·(－2cosα－ 2 sinα)
＝400(6cos2α＋2 3sinαcosα＋1)
(第 3 题) (第 4 题) 4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果 S 的值为________． 5. 现有 5 件相同的产品，其中 3 件合格，2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合 格，另一件不合格的概率为________． 6. 在等差数列{an}中，a4＝10，前 12 项的和 S12＝90，则 a18 的值为________．
4 即 cos(α－β)＝5.(8 分)
π
π
因为 0<α<β<2，所以－2<α－β<0，
3 所以 sin(α－β)＝－ 1－cos2（α－β）＝－5.(10 分)
sin（α－β） 3 所以 tan(α－β)＝cos（α－β）＝－4，(12 分)
tan（α－β）＋tanβ 1 因此 tanα＝tan(α－β＋β)＝1－tan（α－β）tanβ＝2.(14 分) 16. (1) 连结 A1B，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1∥BB1 且 AA1＝BB1， 所以四边形 AA1B1B 是平行四边形． 又因为 D 是 AB1 的中点， 所以 D 也是 BA1 的中点．(2 分) 在△BA1C 中，D 和 E 分别是 BA1 和 BC 的中点，所以 DE∥A1C. 又因为 DE平面 ACC1A1，A1C平面 ACC1A1， 所以 DE∥平面 ACC1A1.(6 分) (2) 由(1)知 DE∥A1C，因为 A1C⊥BC1， 所以 BC1⊥DE.(8 分) 又因为 BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面 ADE，所以 BC1⊥平面 ADE. 又因为 AE平面 ADE，所以 AE⊥BC1.(10 分) 在△ABC 中，AB＝AC，E 是 BC 的中点， 所以 AE⊥BC.(12 分) 因为 AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B， BC1，BC平面 BCC1B1， 所以 AE⊥平面 BCC1B1.(14 分) 17.过点 O 作 OH 垂直于 AB，垂足为 H. 在直角三角形 OHA 中，OA＝20，∠OAH＝α， 所以 AH＝20cosα，因此 AB＝2AH＝40cosα.(4 分)
江苏省南京市、盐城市2019届高三年级二模联考数学答案
得x2－4mx－4m＝0.(ⅲ)(12分)
当y0≠0时,则直线l为y＝－ (x－2),代入椭圆的方程,
得(2y ＋x )x2－4x x＋4x －4y ＝0.
将(ⅰ)代入上式化简得x2－2x0x＋3x0－2＝0.(ⅳ)
当y0＝0时,此时x0＝0,x1＝－ ,x2＝ 也满足上式．(14分)
由①可知m＝ ,代入(ⅲ)化简得x2－2x0x－2x0＝0.(ⅴ)
又因为sin2α＋cos2α＝1,
所以(λ2－1)sin2α＝0.(4分)
因为0<α< ,所以sin2α≠0,所以λ2－1＝0.
又因为λ>0,所以λ＝1.(6分)
(2)由(1)知a＝(cosα,sinα)．
由a·b＝ ,得cosαcosβ＋sinαsinβ＝ ,
即cos(α－β)＝ .(8分)
因为0<α<β< ,所以－ <α－β<0,
所以sin(α－β)＝－ ＝－ .(10分)
所以tan(α－β)＝ ＝－ ,(12分)
因此tanα＝tan(α－β＋β)＝ ＝ .(14分)
16.(1)连结A1B,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1∥BB1且AA1＝BB1,
所以四边形AA1B1B是平行四边形．
又因为D是AB1的中点,
所以D也是BA1的中点．(2分)
依题意 两式作差,
得 × ＝－ (x0≠0)．
又因为 ＝kAB＝ ,
所以y ＝－ x0(x0－2)．
当x0＝0时,y0＝0,
符合y ＝－ x0(x0－2)．(ⅰ)(4分)
又因为QA＝QB,所以QM⊥l,
所以(x0－m)(x0－2)＋(y0－0)(y0－0)＝0,
2019届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学试题(解析版)
2019届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学试题一、填空题1．已知集合，，则=______.【答案】【解析】直接利用并集的定义求解.【详解】由题得=故答案为：【点睛】本题主要考查并集的运算，意在考查学生对该知识的理解能力掌握水平.2．若复数满足（为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数的值为______.【答案】【解析】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.【详解】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查复数的计算，考查复数实部与虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.3．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有人，则第三组中人数为______.【答案】【解析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为：18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.4．下图是某算法的伪代码，输出的结果的值为______.【答案】【解析】直接按照算法的伪代码运行即得结果.【详解】1＜6，i=3,S=4,3＜6，i=5,S=9,5＜6，i=7,S=16,7＞6，输出S=16.故答案为：16【点睛】本题主要考查算法，意在考查学生对该知识的理解能力和掌握水平.5．现有件相同的产品，其中件合格，件不合格，从中随机抽检件，则一件合格，另一件不合格的概率为______.【答案】【解析】分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出．【详解】从5件产品中任意抽取2有种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率．故答案为:【点睛】熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键．6．等差数列中，，前项的和，则的值为______.【答案】【解析】首先根据已知求出，再利用等差数列的通项求出的值.【详解】由题得.故答案为：-4【点睛】本题主要考查等差数列的通项、前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和计算能力.7．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】设点A(x,y),根据的坐标，再把点A的坐标代入双曲线的方程求出，再求双曲线的渐近线方程.【详解】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，由题得所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.8．若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则的值为______.【答案】【解析】先根据相邻两条对称轴间的距离为求出的值，再根据图象经过点求出，再求的值.【详解】因为相邻两条对称轴间的距离为，所以所以.因为函数的图象经过点所以.所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，考查正弦型函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.9．已知正四凌锥的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为______.【答案】【解析】设正四棱锥的棱长为2a,根据求得a=1,再求正四棱锥的表面积.【详解】设正四棱锥的棱长为2a,由题得.所以四棱锥的棱长为2.所以正四棱锥的表面积=.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间观察想象能力.10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】利用函数的奇偶性求出函数的表达式，然后解不等式件即可．【详解】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图像和性质，考查函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.11．在平面直角坐标系中，已知点，.若圆上存在唯一点，使得直线，在轴上的截距之积为，则实数的值为______.【答案】【解析】根据题意，设的坐标为，据此求出直线、的方程，即可得求出两直线轴上的截距，分析可得，变形可得，即可得的轨迹方程为，据此分析可得圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，结合圆与圆的位置关系可得，解可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设的坐标为，直线的方程为，其在轴上的截距为，直线的方程为，其在轴上的截距为，若点满足使得直线，在轴上的截距之积为5，则有，变形可得，则点在圆上，若圆上存在唯一点，则圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，则有，解可得：，故答案为：．【点睛】本题考查轨迹的求法，涉及圆与圆的位置关系，关键是求出的轨迹，属于综合题．12．已知是直角三角形的斜边上的高，点在的延长线上，且满足.若，则的值为______.【答案】【解析】设∠DPC=,∠DPB=，先化简得到|PD|=2,再利用数量积的公式展开，利用三角函数和三角和角的余弦公式化简即得解.【详解】设∠DPC=,∠DPB=，由题得,所以|PB|所以=.故答案为：2【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，考查和角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.13．已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】先讨论当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，得到k＜.再讨论当x＞0时，f(x)-g(x)=,f(x)-g(x)过第四象限，得到k＞-9.综合即得解.【详解】当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，所以f(-3)-g(-3)<0,解之得k＜.当x＞0时，f(x)-g(x)=,因为，所以须使f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得-9＜k＜.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14．在中，若，则的最大值为______.【答案】【解析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【详解】在△ABC中，有,所以==,当即时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换.二、解答题15．设向量，，其中，，且与互相垂直.（1）求实数的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）由与互相垂直可得，展开化简即得.（2）由，得..，最后求.【详解】解：（1）由与互相垂直，可得，所以.又因为，所以.因为，所以，所以.又因为，所以.（2）由（1）知.由，得，即.因为，所以，所以.所以，因此.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．如图，在三棱柱中，，，，，分别是和的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接，证明，即得平面.（2），，平面.【详解】证明：（1）连接，在三棱柱中，且，所以四边形是平行四边形.又因为是的中点，所以也是的中点.在中，和分别是和的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，因为，所以.又因为，，，平面，所以平面.又因为平面，所以.在中，，是的中点，所以.因为，，，，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理转化能力.17．某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】过作垂直于，垂足为,所以点处观众离点处最远.由余弦定理可得.再求得.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.【详解】解：过作垂直于，垂足为.在直角三角形中，，，所以，因此.由图可知，点处观众离点处最远.在三角形中，由余弦定理可知.因为，所以当时，即时，，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.答：对于任意，上述设计方案均能符合要求.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查余弦定理和三角函数最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和利用数学知识解决实际问题的能力.18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，点.①若对任意直线总存在点，使得，求实数的取值范围；②设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，求实数的值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）依题意解之即得椭圆的方程.(2)①设直线的方程为，代入椭圆的方程，根据，解得.，所以，即.解得.由，解得.②由，.所以，解得.所以.【详解】解：（1）依题意解得所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得.因为直线交椭圆于两点，所以，解得.设，，则有，.①设中点为，则有，.当时，因为，所以，即.解得.当时，可得，符合.因此.由，解得.②因为点为的外心，且，所以.由消去，得，所以，也是此方程的两个根.所以，.又因为，，所以，解得.所以.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等会恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】(1)利用导数的几何意义求得函数图象在处的切线方程为.（2）先求导得，再对a分类讨论得到的取值范围.(3对a分类讨论，结合极大值小于极小值求出的取值范围.【详解】解：（1）当时，，，则.又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.①当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，，所以满足条件.②当时，即时，由，得，当时，，则在上单调递减，所以时，，这与时，恒成立矛盾.所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）①当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.②当时，，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：↗极大值↘极小值↗由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.③当时，由，得.列表如下：↘极小值↗此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.④当时，函数的定义域为，且，.列表如下：↗极大值↘↘极小值↗所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，，，，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程,考查利用导数研究极值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）①求证：数列为等比数列；②若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【答案】（1）或；（2）①详见解析；②.【解析】（1）根据，，成等差数列得到，，成等比数列，即可求出或.（2）①利用定义证明数列为等比数列；②当时，，所以满足条件.当时，由，得，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.【详解】解：（1）因为，所以，因此，，成等比数列.设公比为，因为，，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）①因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，，，由（1）知，所以，，因此数列为等比数列.②当时，由时，可得，所以，因此，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的证明，考查数列的求和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知矩阵，，.（1）求，的值；（2）求的逆矩阵.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由题得即得（2）由题得，即得的逆矩阵.【详解】解：（1）因为，，，所以即（2）因为，所以.【点睛】本题主要考查矩阵的性质和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口开始到出口，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口集中，设点是其中的一个交叉路口点.（1）求甲经过点的概率；（2）设这名游客中恰有名游客都是经过点，求随机变量的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】(1)选择从中间一条路走到的概率为.选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.(2)随机变量可能的取值，，，，，再求出它们对应的概率，即得随机变量的概率分布和数学期望.【详解】解：（1）设“甲从进口开始到出口经过点”为事件，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点的概率为，这两步事件相互独立，所以选择从中间一条路走到的概率为.同理，选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.答：甲从进口开始到出口经过点的概率.（2）随机变量可能的取值，，，，，则，，，，，概率分布为：数学期望.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平，考查学生的应用能力.23．平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.（1）若，求的最小值；（2）若，求证：.【答案】（1）2；（2）详见解析.【解析】（1）当时，共有个点，对染红色的点的个数分类讨论，即得T的最小值为2.(2)首先证明：任意，，，有.设个点中含有个染红色的点，接着证明①时，②时，③时，.【详解】解：（1）当时，共有个点，若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为，则；因此的最小值为.（2）首先证明：任意，，，有.证明：因此，所以.设个点中含有个染红色的点，①当时，，因为，所以，于是.②当时，，同上可得.③当时，，设，，当时，，显然，当即时，，当即时，，即；；因此，即.综上，当时，.【点睛】本题主要考查排列组合的计数问题，考查组合不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，解答本题的关键是分类讨论思想的灵活运用.。
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上•1. ________________________________________________________________ （5 分）已知集合A= ｛x|1 v x v 3）, B=（x|2 v x v 4），则A u B= ___________________ .2. （5分）若复数一邑—（i为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a的值为.a+2i ------------ 3. （5分）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12 , 13）, [13 , 14）, [14 , 15）, [15 , 16）, [16 , 17）,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中人数为________ .C360.2+0.CS4. （5分）如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为 ______ .\ ---------------------------- \:UTiile <6 ；i 5<-i+5 i；End Whik i；Priflt S ;[d I5. （5分）现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为__________ .> 0）一个交点，若抛物线的焦点为F,且FA= 5，则双曲线的渐近线方程为6. （5分）等差数列｛a n｝中，a4= 10,前12项的和$2= 90,则眺的值为____________ .7. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2= 4x与双曲线------------------- -1 （b> 0）一个交点，若抛物线的焦点为F,且FA= 5，则双曲线的渐近线方程为& ( 5分)若函数 f (x ) = 2sin (3 x + 0) (w> 0, 0 v^vn )的图象经过点(9. ( 5分)已知正四棱锥 P - ABCD 勺所有棱长都为 2,则此四棱锥体积为910. (5分)已知函数f (x )是定义在 R 上的奇函数，且当 x < 0时，f (x )= - x - 3x ,则 不等式f (x - 1)>- x +4的解集是 ___________ . 11.(5分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (- 1, 0), B( 5,0)•若圆M (x - 4) +(y - m 2 = 4上存在唯一点P,使得直线 PA PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数m 的 值为 . 12. (5分)已知 AD 时直角三角形 ABC 的斜边BC 上的高，点 P 在DA 的延长线上，且满足：I I '■・t |一・「若.：,则 -1「的值为 ______________________ •f [x+3 |,13. (5分)已知函数f (x )=4弋 .设g (x )= kx +1，且函数y = f (x )-g (x )的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围为 ________ .14. ______________________________________________________________________ (5 分)在厶 ABC 中，若 sin C = 2 cos A cos B,贝U cos A +cos B 的最大值为 ___________________ . 、解答题：本答题共 6分，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题卡的指定区域内15. (14 分)设向量 a =( cos a,入 sin a) , b =( cos 3, sin 3),其中 入〉0, O vav 汗=，且”与7相互垂直. (1) 求实数入的值;16. (14分)如图，在三棱柱 ABC - ABG 中，AB= AC AC 丄BC , AB 丄BC , D, E 分别是 AB ,BC 的中点.求证:(1) DE/平面 ACCA ; (2) AEL 平面 BCCBi ；的值.且相邻两条对称轴间的距离为，且 tan 3 = 2,求 tan17. (14分)某公园内有一块以0为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域, 其中两个端点A B分别在圆周上；观众席为梯形ABQ内且在圆0外的区域，其中AP= AB= BQ / PAB=/ QBA F 120。
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷答案解析
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷答案解析一．填空题（共6小题）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1＜x＜4}．【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|1＜x＜4}．故答案为：{x|1＜x＜4}．2．若复数（i为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a的值为﹣2．【解答】解：由，得z＝i（a+2i）＝﹣2+ai，又∵复数的实部和虚部相等，∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中人数为18．【解答】解：由频率分布直方图得：第一组与第二组的频率和为：1﹣（0.36+0.16+0.08）＝0.4，∵第一组与第二组共有20人，∴样本单元数n＝＝50，∵第三组的频率为0.36，∴第三组中人数为50×0.36＝18．故答案为：18．4．如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为16．【解答】解：根据算法的伪代码知，该程序运行后输出的是S＝1+3+5+7＝16．故答案为：16．5．现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为．【解答】解：从5件产品中任意抽取2有＝10种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有＝6种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率P＝．故答案为．6．等差数列{a n}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为﹣4．【解答】解：∵，∴，∴a18＝a1+17d＝13﹣17＝﹣4．故答案为：﹣4．7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线＝1（b＞0）一个交点，若抛物线的焦点为F，且F A＝5，则双曲线的渐近线方程为y＝±x．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且F A＝5，可得F（1，0）则A（4，±4），点A是抛物线y2＝4x与双曲线＝1（b＞0）一个交点，a＝2，可得，解得b＝，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x．故答案为：y＝±x．8．若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象经过点（），且相邻两条对称轴间的距离为，则f（）的值为．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）图象相邻两条对称轴间的距离为，∴＝，解得T＝π，∴ω＝＝2；又函数f（x）的图象过点（），∴2sin（2×+φ）＝2，∴+φ＝+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）；∴f（）＝2sin（2×+）＝2cos＝．故答案为：．9．已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为．【解答】解：∵棱锥的棱长都为2，∴四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，则AO＝，在Rt△POA中，可得PO＝，∴棱锥P﹣ABCD体积V P﹣ABCD＝×2×2×＝．故答案为：．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，则不等式f （x﹣1）＞﹣x+4的解集是（4，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+3x＝﹣x2+3x＝﹣f（x），∴f（x）＝x2﹣3x，∴，当x﹣1≤0，即x≤1，f（x﹣1）＝﹣（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，∵f（x﹣1）＞﹣x+4，∴x2＜﹣2（舍去）当x﹣1＞0，即x＞1，f（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝x2﹣5x+4，∵f（x﹣1）＞﹣x+4∴x2﹣4x＞0∴x＜0或x＞4，又x＞1，∴x＞4．故答案为：（4，+∞）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（5，0）．若圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝4上存在唯一点P，使得直线P A，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为±或±．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（a，b），直线P A的方程为y＝（x+1），其在y轴上的截距为，直线PB的方程为y＝（x﹣5），其在y轴上的截距为﹣，若点P满足使得直线P A，PB在y轴上的截距之积为5，则有（）×（﹣）＝5，变形可得b2+（a﹣2）2＝9，则点P在圆（x﹣2）2+y2＝9上，（y≠0）若圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝4上存在唯一点P，则圆M与（x﹣2）2+y2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切或圆（x﹣2）2+y2＝9与圆M（x﹣4）2+（y﹣m）2＝4相交与点B，若两圆内切或外切，又由圆心距为≥2，则两圆只能外切，则有4+m2＝25，解可得：m＝±，验证可得：连个圆的切点不是A、B点，故m＝±，若圆（x﹣2）2+y2＝9与圆M（x﹣4）2+（y﹣m）2＝4相交与点B，则B在圆M上，则有（5﹣4）2+m2＝4，解可得m＝±，综合可得：m＝±或m＝±，故答案为：±或±．12．已知AD时直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足．若，则的值为2．【解答】解：如图：∵（+）•＝（+++）•＝2•+•+•＝2||||+||||cos∠BAD+||||cos∠CAD＝2||||+||||×+||||×＝2||||+2||2＝2||+4＝4，∴||＝2﹣，∴•＝（+）•（+）＝2+•+•+•＝||2+||||cos∠CAD+||||cos∠BAD+0＝||2+||||×+||||×＝||2+||||+||||＝（2﹣）2+（2﹣）（+）＝2．故答案为：213．已知函数f（x）＝．设g（x）＝kx+1，且函数y＝f（x）﹣g（x）的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为（﹣9，）．【解答】解：设h（x）＝f（x）﹣g（x），（1）当x＞0时，h（x）＝x3﹣（12+k）x+2，h′（x）＝3x2﹣（12+k），∴当12+k≤0即k≤﹣12时，h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（0）＝2＞0，∴h（x）不经过第四象限，不符合题意，当12+k＞0即k＞﹣12时，令h′（x）＝0可得x＝，∴当0＜x＜时，h′（x）＜0，当x＞时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2（1﹣（4+））．∵h（x）的图象经过第四象限，∴2（1﹣（4+））＜0，∴＞1，即k＞﹣9．（2）当x＜0时，h（x）＝|x+3|﹣kx﹣1＝，若，即k＞1时，则h（x）在（﹣∞，﹣3]上单调递减，在（﹣3，0]上单调递减，又h（0）＝2＞0，且h（x）的图象经过第二象限，∴h（﹣3）＝3（k+1）﹣4＜0，解得k＜（舍）．若，即k＜﹣1时，h（x）在（﹣∞，﹣3]上单调递增，在（﹣3，0]上单调递增，又h（0）＝2．此时h（x）的图象必经过第二和第三象限，符合题意．若，即﹣1＜k＜1时，h（x）在（﹣∞，﹣3]上单调递减，在（﹣3，0]上单调递增，若h（x）的图象经过第二和第三象限，则3（k+1）﹣4＜0或﹣3（1﹣k）+2＜0，解得k＜，故﹣1＜k＜．若﹣1﹣k＝0即k＝﹣1，则h（x）＝，显然h（x）的图象经过第二和第三象限，复合题意；若1﹣k＝0即k＝1，则h（x）＝，显然h（x）的图象不经过第四象限，不符合题意．综上，k的取值范围是：（﹣9，）．故答案为：（﹣9，）．14．在△ABC中，若sin C＝2 cos A cos B，则cos2A+cos2B的最大值为．【解答】解：sin C＝2 cos A cos B，故：sin（A+B）＝2cos A cos B，整理得：sin A cos B+cos A sin B＝2cos A cos B，则：tan A+tan B＝2．所以：cos2A+cos2B＝，＝+，＝，由于（tan A tan B）2﹣2tan A tan B+5＞0，设6﹣2tan A tan B＝t（t＞0），故：＝（当且仅当t＝4时等号成立），故答案为．三．解答题（共11小题）15．设向量＝（cosα，λsinα），＝（cosβ，sinβ），其中λ＞0，0＜α＜β＜，且+与﹣相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若•＝，且tanβ＝2，求tanα的值．【解答】解：（1）由+与﹣互相垂直，可得（+）•（﹣）＝2﹣2＝0，所以cos2α+λ2sin2α﹣1＝0，又因为sin2α+cos2α＝1，所以（λ2﹣1）sin2α＝0，因为0＜α＜，所以sin2α≠0，所以λ2﹣1＝0，又因为λ＞0，所以λ＝1．（2）由（1）知＝（cosα，sinα），由•＝，得cosαcosβ+sinαsinβ＝，即cos（α﹣β）＝，因为0＜α＜β＜，所以﹣＜α﹣β＜0，所以sin（α﹣β）＝﹣＝﹣，所以tan（α﹣β）＝＝﹣，因此tanα＝tan（α﹣β+β）＝＝．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1，BC的中点．求证：（1）DE∥平面ACC1A1；（2）AE⊥平面BCC1B1；【解答】证明：（1）连结A1B，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥BB1，且AA1＝BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，又∵D是AB1的中点，∴D是BA1的中点，在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，∴DE∥A1C，∵DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴DE∥平面ACC1A1．解：（2）由（1）知DE∥A1C，∵A1C∩DE＝D，AB1，DE⊂平面ADE，∴BC1⊥平面ADE，∵AE⊂平面ADE，∴AE⊥BC1，在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，∴AE⊥平面BCC1B1．17．某公园内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB ＝BQ，∠P AB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？【解答】（本题满分为14分）解：过O作OH垂直于AB，垂直为H，在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以：AH＝20cosα，因此：AB＝2AH＝40cosα，…4分由图可知，点P处观众离点O处最远，…5分在三角形OAP中，由余弦定理可得：OP2＝OA2+AP2﹣2OA•OP•cos（α+），…7分＝400+（40cosα）2﹣2×20×40×cosα×（﹣cosα﹣sinα）＝400（6cos2α+2sinαcosα+1）＝400（3cos2α+sin2α+4）＝800sin（2α+）+1600，…10分因为：α∈（0，），所以：2α＝时，即α＝时，（OP2）max＝800+1600，即：（OP）max＝20+20，…12分因为：20+20＜60，所以：观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米，…13分答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求．…14分18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q（m，0）．①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；②设点F为椭圆C的左焦点，若点Q是△F AB的外心，求实数m的值．【解答】解：（1）依题意可得，解得a2＝2，b2＝1，故椭圆方程为+y2＝1（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立，消去y整理得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，由△＝（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得﹣＜k＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝，x1x2＝，①设AB的中点为M（x0，y0），则有x0＝＝，则y0＝k（x0﹣2）＝﹣，当k≠0时，∵QA＝QB，∴QM⊥l，即k QM⊥l，即k QM•l＝•k＝﹣1，解得m＝，当k＝0时，可得m＝0，符合m＝，∴m＝，由0≤m＝＜，解得0≤m＜，②∵Q是△F AB的外心，且F（﹣1，0），∴QA＝QB＝QF，设A或B点的坐标为（x，y）由，消去y，可得x2﹣4mx﹣4m＝0，∴x1，x2也是此时方程的两个根，∴x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4m，∴＝﹣，解得k2＝∴m＝19．已知函数．（1）当a＝2时，求函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程；（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）若f（x）存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝lnx﹣，f′（x）＝﹣，则f′（1）＝，又f（1）＝0，故函数f（x）在x＝1处的切线方程为y＝（x﹣1），即x﹣2y﹣1＝0；（2）∵f（x）＝lnx﹣，故f′（x）＝，且f（1）＝0，∵a＞0，∴1﹣2a＜1，①当4a2﹣4a≥0即a≥1时，∵f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，故f（x）在（1，+∞）递增，故x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）＝0，故a≥1满足条件；②当4a2﹣4a＜0时，即0＜a＜1时，由f′（x）＝0，得x1＝1﹣2∈（0，1），x2＝1+2∈（1，+∞），当x∈（1，x2）时，f′（x）＜0，则f（x）在（1，x2）递减，故当x∈（1，x2）时，f（x）＜f（1）＝0，这与x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立矛盾，故0＜a＜1不满足条件，综上，a的范围是[1，+∞）；（3）①当a≥1时，∵f′（x）≥0区间（0，+∞）恒成立，故f（x）在（0，+∞）递增，故f（x）不存在极值，故a≥1不满足条件，②当＜a＜1时，1﹣2a＜0，故函数f（x）的定义域是（0，+∞），由f′（x）＝0，得x1＝1﹣2∈（0，1），x2＝1+2∈（1，+∞），列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增由于f（x）在（x1，x2）递减，此时极大值大于极小值，不合题意，故＜a＜1不满足条件；③当a＝时，由f′（x）＝0，解得：x＝2，列表如下：x（0，2）2（2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增此时f（x）仅存在极小值，不合题意，故a＝时满足题意，④当0＜a＜时，函数f（x）的定义域是（0，1﹣2a）∪（1﹣2a，+∞），且0＜x1＝1﹣2＜1﹣2a，x2＝1+2＞1﹣2a，列表如下：x（0，x1）x1（x1，1﹣2a）（1﹣2a，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣﹣0+f（x）递增极大值递减递减极小值递增故f（x）存在极大值f（x1）和极小值f（x2），此时f（x1）﹣f（x2）＝lnx1﹣﹣lnx2+＝ln﹣，∵0＜x1＜1﹣2a＜x2，故ln＜0，x1﹣x2＜0，x1﹣1+2a＜0，x2﹣1+2a＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故0＜a＜满足题意，综上，a的范围是（0，）．20．已知数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有．（1）若a1，2a2．3a3成等差数列，求的值；（2）①求证：数列{a n}为等比数列；②若对任意n∈N*，都有，求数列{a n}的公比q的取值范围．【解答】（1）解：∵，∴，因此a1，a2，a3成等比数列，设公比为t，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2＝a1+3a3，即，于是4t＝1+3t2，解得t＝1或t＝．∴＝1或；（2）①证明：∵，∴，两式相除得：，即（*），由（*）得：（**），两式相除得：，即，∴，即，n≥2，n∈N*，由（1）知，，∴，n∈N*，即数列{a n}为等比数列；②解：当0＜q≤2时，由n＝1时，可得0＜a1≤1，∴，因此，，∴0＜q≤2满足条件；当q＞2时，由，得，整理得．∵q＞2，0＜a1≤1，∴a1﹣q+1＜0，因此，＜（q﹣1）2n，即＜，由于＞1，因此n＜，与任意n∈N*恒成立矛盾．∴q＞2不满足条件．综上，公比q的取值范围为（0，2]．21．已知矩阵A＝，，．（1）求a，b的值；（2）求A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：（1）由题意，可知：AB＝A•B＝•＝＝．∴，解得：．（2）由（1），可知：A＝．由题意，可设A﹣1＝．则由逆矩阵公式AA﹣1＝E，可得：•＝，即：＝．∴，解得：．∴A﹣1＝．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），点P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得直线l的普通方程为：﹣y+2＝0，设P（cosθ，sinθ），则点P到直线l的距离d＝＝，取θ＝﹣时，cos（θ+）＝1，此时d取最大值．所以距离d的最大值为．23．解不等式：|2x﹣1|﹣x≥2．【解答】解：当x≥时，有2x﹣1﹣x≥2，解得：x≥3，当x＜时，有1﹣2x﹣x≥2，解得：x≤﹣，综上，不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣}．24．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点．（1）求甲经过点C的概率；（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，∴选择从中间一条路走到点C的概率为：P1＝＝，同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2＝＝，∵选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，∴P（M）＝P1+P2＝，∴甲经过点C的概率为．（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列为：X01234PE（X）＝+4×＝．25．平面上有2n（n≥3，n∈N*）个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法总数为T．（1）若n＝3，求T的最小值；（2）若n≥4，求证：．【解答】解：（1）当n＝3时，共有6个点．若染红色的点的个数为0个或6个，则T＝C＝20；若染红色的点的个为1个或5个，则T＝C＝10，若染红色的点的个数为2个或4个，则T＝C＝4：若染红色的点的个数为3，则T＝C+C＝2．因此T的最小值为为2．（2）首先证明，任意n，k∈N*，n≥k，有C＞C．证明：因为C﹣C＝C＞0所以C＞C．，设2n个点中含有p，（p∈N，p≤2n）个染红色的点，①当p∈{0，1，2}时，T＝C≥C＝＝4×∵n≥4，∴2n﹣3＞n，于是T＞4×＝4C＞2C，②当p∈{2n﹣2，2n﹣1，2n}时，T＝C≥C，同上可得T＞2C，③当3≤p≤2n﹣3时，T＝C：+C，3≤p≤2n﹣3，当3≤p≤2n﹣4时，f（p+1）﹣f（p）＝C+C﹣C﹣C＝C﹣C显然p≠2n﹣p﹣1．当p＞2n﹣p﹣1，即n≤p≤2n﹣4时，f（p+1）＞f（p），当p＜2n﹣p﹣1，即3≤p≤n﹣1时，f（p+1）＜f（p），即f（n）＜f（n+1）＜…＜f（2n﹣3）；f（3）＞f（4）＞…＞f（n）：因此f（p）≥f（n）＝2C．即T≥2C．综上，当n≥4时，T≥2C．。
南京市、盐城市2019届高三年级数学第二次模拟考试参考答案(终稿)
南京市､盐城市2019届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2019.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{ x |1＜x ＜4} 2．－2 3． 18 4． 16 5．356． －4 7．y ＝±233x 8． 3 9．4＋4 3 10．(－2，3) 11．±21 12．2 13．(－9，13) 14．2＋12二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：(1)由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以cos 2α＋λ2sin 2α－1＝0． ·································································· 2分 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以（λ2－1）sin 2α＝0． ····································· 4分 因为0＜α＜π2，所以sin 2α≠0，所以λ2－1＝0．又因为λ＞0，所以λ＝1． ···································································· 6分 (2)由(1)知a ＝(cos α，sin α)．由a ·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝45，即cos(α－β)＝45． ···························· 8分因为0＜α＜β＜π2，所以—π2＜α－β＜0，所以sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－35． ············································· 10分所以tan(α－β)＝sin(α－β) cos(α－β)＝－34， ······················································· 12分因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β) tan β＝12． ···································· 14分16．(本小题满分14分)证明：(1)连接A 1B ，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形．又因为D 是AB 1的中点，所以D 也是BA 1的中点． ································ 2分在△BA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE ∥A 1C ． 又因为DE ⊄平面ACC 1A 1，A 1C ⊂平面ACC 1A 1，所以DE //平面ACC 1A 1． ···································································· 6分 (2)由(1)知DE ∥A 1C ，因为A 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥DE ． ······························· 8分 又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝D ，AB 1，DE ⊂平面ADE ，所以BC 1⊥平面ADE ． 又因为AE ⊂平面ADE ，所以AE ⊥BC 1． ············································· 10分 在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC ．······················· 12分 因为AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ，BC 1∩BC ＝B ，BC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AE ⊥平面BCC 1B 1． ································································· 14分17．(本小题满分14分)解：过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H ．在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α，所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α． ··········································· 4分 由图可知，点P 处观众离点O 处最远． ····················································· 5分 在三角形OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA ·AP ·cos(α＋2π3) ·········· 7分＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－12cos α－32sin α)＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1)＝400(3cos2α＋3sin2α＋4)＝8003sin(2α＋π3)＋1600． ·················································· 10分因为α∈(0，π3)，所以当2α＝π6时，即α＝π12时，(OP 2)max ＝8003＋1600，即(OP )max ＝203＋20．······································· 12分因为203＋20＜60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米． ········································ 13分 答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求． ········································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝ 2 ，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． ···························································· 2分(2)解法1设直线的方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0．因为直线l 交椭圆C 于两点，所以△＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)( 8k 2－2)＞0，解得－22＜k ＜22． ············································································ 4分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2．①设AB 中点为M (x 0，y 0)，则有x 0＝x 1＋x 22＝4k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－2)＝－2k1＋2k 2． ································ 6分 当k ≠0时，因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，即k QM ·k ＝－2k1＋2k 2－0 4k 21＋2k 2－m ·k ＝－1．解得m ＝2k 21＋2k 2． ············································································ 8分当k ＝0时，可得m ＝0，符合m ＝2k 21＋2k 2．因此m ＝2k 21＋2k 2．由0≤k 2＝m 2(1－m )＜12，解得0≤m ＜12． ············································· 10分②因为点Q 为△F AB 的外心，且F (－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF ．由⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2＝(x －m )2＋y 2，x 22＋y 2＝1， ······························································ 12分 消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0，所以x 1，x 2也是此方程的两个根，所以x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－4m ． ························································ 14分 又因为x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，所以8k 21＋2k 2＝－8k 2－21＋2k 2，解得k 2＝18． 所以m ＝2k 21＋2k 2＝15． ······································································ 16分解法2①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，依题意⎩⎨⎧x 122＋y 12＝1，x 222＋y 22＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＝－12 (x 0≠0)．又因为y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝y 0－0x 0－2，所以y 02＝－12x 0(x 0－2)．当x 0＝0时，y 0＝0，符合y 02＝－12x 0(x 0－2)．(i) ···································· 4分又因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，所以(x 0－m )(x 0－2)＋(y 0－0)(y 0－0)＝0， 即y 02＝－(x 0－m )(x 0－2)．(ii) ····························································· 6分 由(i) (ii)，解得x 0＝2m ，因此y 02＝2m －2m 2． ········································ 8分 因为直线l 与椭圆C 相交，所以点M 在椭圆C 内，所以(2m )22＋(2m －2m 2)＜1，解得m ＜12．又y 02＝2m －2m 2≥0，得0≤m ≤1．综上，0≤m ＜12． ·········································································· 10分②因为点Q 为△F AB 的外心，且F (－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF ．由⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2＝(x －m )2＋y 2，x 22＋y 2＝1，消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0． (iii) ················· 12分 当y 0≠0时，则直线l 为y ＝－x 02y 0(x －2)，代入椭圆的方程，得(2y 02＋x 02)x 2－4x 02x ＋4x 02－4y 02＝0． 将(i)带入上式化得x 2－2x 0x ＋3x 0－2＝0．(iv)当y 0＝0时，此时x 0＝0，x 1＝－2，x 2＝2也满足上式． ····················· 14分由①可知m ＝x 02，代入(iii)化得x 2－2x 0x －2x 0＝0．(v)因为(iv)(v)是同一个方程，所以3x 0－2＝－2x 0，解得x 0＝25，所以m ＝x 02＝15． ············································································ 16分19．(本小题满分16分)解：(1)当a ＝2时，f (x )＝ln x －2x －2x ＋3，f '(x )＝1x －8(x ＋3)2，则f '(1)＝12． 又因为f (1)＝0，所以函数f (x )图象在x ＝1处的切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0． ·············································································· 2分 (2)因为 f (x )＝ln x －2x －2x －1＋2a所以f '(x )＝1x －4a (x －1＋2a )2＝x 2－2x ＋4a 2－4a ＋1x (x －1＋2a )2＝(x －1)2＋4a 2－4a x (x －1＋2a )2， ··········· 4分 且f (1)＝0．因为a ＞0，所以1－2a ＜1． ①当4a 2－4a ≥0时，即a ≥1时，因为f '(x )＞0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥f (1)＝0，所以a ≥1满足条件． ······································································· 6分 ②当4a 2－4a ＜0时，即0＜a ＜1时，由f '(x )＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞) 当x ∈(1，x 2)时，f '(x )＜0，则f (x )在(1，x 2)上单调递减，所以当x ∈(1，x 2)时，f (x )＜f (1)＝0，这与x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立矛盾． 所以0＜a ＜1不满足条件．综上，a 的取值范围为[1，＋∞)． ·························································· 8分 (3)①当a ≥1时，因为f '(x )≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不存在极值，所以a ≥1不满足条件． ······································· 9分 ②当 12＜a ＜1时，1－2a ＜0，所以函数f (x )的定义域为(0， ＋∞)，由f '(x )＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)列表如下：由于f (x )在(x 1 ，x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以12＜a ＜1不满足条件． ······························································ 11分③当a ＝12时，由f '(x )＝0，得x ＝2．列表如下：此时f (x )仅存在极小值，不合题意，所以a ＝12不满足条件．····································································· 12分④当0＜a ＜12时，函数f (x )的定义域为(0，1－2a )∪( 1－2a ， ＋∞)，且0＜x 1＝1－2a －a 2＜1－2a ，x 2＝1＋2a －a 2＞1－2a ．列表如下：所以f (x )存在极大值f (x 1)和极小值f (x 2)，················································ 14分 此时f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1－2x 1－2x 1－1＋2a －ln x 2＋2x 2－2x 2－1＋2a＝ln x 1x 2－4a (x 1－x 2)(x 1－1＋2a )( x 2－1＋2a )因为0＜x 1＜1－2a ＜x 2，所以ln x 1x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1－1＋2a ＜0，x 2－1＋2a ＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以0＜a ＜12满足条件．综上，所以a 的取值范围为(0，12)． ·························································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1)因为(a 1a 2)2＝a 13a 3，所以a 22＝a 1a 3，因此a 1，a 2，a 3成等比数列． ················ 2分设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或13，所以a 2a 1＝1或13． ················································································· 4分(2)①因为(a 1a 2…a n )2＝a 1n ＋1a n ＋1n －1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a 1n ＋2a n ＋2n ，两式相除得a n ＋12＝a 1a n ＋2n a n ＋1n －1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a n ＋2n ，(*) ······························ 6分 由（*），得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋3n ＋1，(**)(*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋3n ＋1a n ＋2n ，即a n ＋22n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋3n ＋1， 所以a n ＋22＝a n ＋1a n ＋3，即a n ＋12＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *， ···························· 8分 由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a n ＋12＝a n a n ＋2， n ∈N *，因此数列{a n }为等比数列． ······························································ 10分 ②当0＜q ≤2时，由n ＝1时，可得0＜a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2 n －1，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2 n －1＝2n －1，所以0＜q ≤2满足条件． ································································· 12分 当q ＞2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1(1－q n )1－q≤2n－1，整理得a 1q n ≤(q －1)2n ＋a 1－q ＋1． ···················································· 14分 因为q ＞2，0＜a 1≤1，所以a 1－q ＋1＜0， 因此a 1q n ＜(q －1)2n ，即(q 2)n ＜q －1a 1，由于q2＞1，因此n ＜log q 2 q －1a 1，与任意n ∈N *恒成立相矛盾，所以q ＞2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为0＜q ≤2． ··············································· 16分南京市､盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2019.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤214 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝1，a ＝4， a －3＝1，即⎩⎨⎧b ＝1，a ＝4． ·································································· 4分(2)因为|A |＝2×3－1×4＝2， ······································································ 6分所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12 －42 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12 －21． ··········································· 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)化为普通方程为：3x －y ＋2＝0． ······ 2分设P (cos θ，3sin θ) ，则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ－3sin θ＋2|(3)2+1＝|6cos(θ＋π4)＋2|2， ················ 6分取θ＝－π4时，cos(θ＋π4)＝1，此时d 取最大值，所以距离d 的最大值为6＋22． ······························································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≥12时，有2x －1－x ≥2，得x ≥3． ······················································ 4分当x ＜12时，有1－2x －x ≥2，得x ≤－13． ··················································· 4分综上，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－13}． ··········································· 10分22．（本小题满分10分）解：(1)设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C ”为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，这两步事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C 的概率为P 1＝13×12＝16． ···························· 2分同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2＝13×12＝16．因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， 所以 P (M )＝P 1＋P 2＝16＋16＝13．答：甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率13． ····································· 4分(2)随机变量可能的取值X ＝0，1，2，3，4， ··············································· 5分 则P (X ＝0)＝C 04×(13)0×(23)4＝1681， P (X ＝1)＝C 14×(13)1×(23)3＝3281， P (X ＝2)＝C 24×(13)2×(23)2＝2481， P (X ＝3)＝C 34×(13)3×(23)1＝881， P (X ＝4)＝C 44×(13)4×(23)0＝181， ························································ 8分 概率分布为：数学期望E (X )＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43． ······················· 10分23．（本小题满分10分）解：(1)当n ＝3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0个或6个，则T ＝C 36＝20；若染红色的点的个数为1个或5个，则T ＝C 35＝10；若染红色的点的个数为2个或4个，则T ＝C 34＝4；若染红色的点的个数为3，则T ＝C 33＋C 33＝2；因此T 的最小值为2． ······································································ 3分(2)首先证明：任意n ，k ∈N *，n ≥k ，有C k n ＋1＞C kn ．证明：因为C k n ＋1－C k n ＝C k －1n ＞0，所以C k n ＋1＞C kn ．设2n 个点中含有p (p ∈N ，p ≤2n )个染红色的点， ①当p ∈{0，1，2}时，T ＝C 32n －p ≥C 32n －2＝(2n －2)(2n －3)(2n －4)6＝4×(n －1)(n －2)(2n －3)6， 因为n ≥4，所以2n －3＞n ，于是T ＞4×n (n －1)(n －2)6＝4C 3n ＞2C 3n ． ·············································· 5分②当p ∈{2n －2，2n －1，2n }时，T ＝C 3p ≥C 32n －2，同上可得T ＞2C 3n ． ········································································· 6分 ③当3≤p ≤2n －3时，T ＝C 3p ＋C 32n －p ，设f (p )＝C 3p ＋C 32n －p ，3≤p ≤2n －3， 当3≤p ≤2n －4时，f (p ＋1)－f (p )＝C 3p ＋1＋C 32n －p －1－C 3p －C 32n －p ＝C 2p －C 22n －p －1， 显然p ≠2n －p －1，当p ＞2n －p －1即n ≤p ≤2n －4时，f (p ＋1)＞f (p )， 当p ＜2n －p －1即3≤p ≤n －1时，f (p ＋1)＜f (p )，即f (n )＜f (n ＋1)＜…＜f (2n －3)；f (3)＞f (4)＞…＞f (n )；因此f (p )≥f (n )＝2C 3n ，即T ≥2C 3n ．综上，当n ≥4时，T ≥2C 3n ． ················································· 10分。
(完整word)江苏省南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学试题
6江苏省南京市、盐城市 2019届高三年级第二次模拟考试数学(满分160分卜，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合 A = {x|1<x<3} , B = {x|2<x<4}，贝U AU B= __________ .2.若复数z 满足二r = i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值为 __________3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12 , 13) , [13 , 14), [14 , 15) , [15 , 16) ,[16 ,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为 第一组，第二组，…，第五组•如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二 组共有20人，则第三组的人数为 ___________ .(第3题)(第4题)4.如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为 _________ .5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 __________ .6. 在等差数列{a n }中，a 4 = 10,前12项的和S2 = 90,则 眦的值为 _______________ . 2 2x y7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线y = 4x 与双曲线匚一2= 1(b>0)的一个交4 b点•若抛物线的焦点为F ,且FA = 5,则双曲线的渐近线方程为 __________________________ .n8. 若函数f(x) = 2sin( 3x +$ )( 3 >0, 0<$ <n )的图象经过点(；,2)，且相邻两条对称n n轴间的距离为—，则f(—)的值为____________ .69. _____________________________________________________________________________ 已知正四棱锥PABCD勺所有棱长都相等，高为Q2,则该正四棱锥的表面积为_________________________ .10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x) = x2—5x，则不等式f(x —1)>f(x)的解集为 __________ .11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A( —1, 0) , B(5 , 0).若在圆M (x —4)2+ (y —m)2=4上存在唯一一点P,使得直线PA PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为 __________________ .12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB+ PC) • A D =4 ^2.若AD=农，贝U P B- PCC勺值为 _________ .|x + 3| , x< 0,13. 已知函数f(x) = 3设g(x) = kx + 1，且函数y = f(x) —g(x)的图象经x —12x + 3, x>0.过四个象限，则实数k的取值范围是____________ .14. 在厶ABC中，若sin C = 2cos Acos B，贝U cos A+ cos B 的最大值为_________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)n 设向量a= (cos a,入sin a ), b= (cos 3, sin 3 )，其中入>0, 0<a < 3< y，且a+ b 与a—b互相垂直.(1) 求实数入的值；4(2) 若a -b =，且tan 3= 2,求tan a 的值.516. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCABC中，AB= AC, AC丄BC , AB丄BC, D, E分别是AB和BC的中点.求证:(1) DE //平面ACCA1；某公园内有一块以 0为圆心，半径为20米的圆形区域•为丰富市民的业余文化生活，现提出 如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点 A , B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆0外的区域，其中AP = AB= BQ / PAB=Z QBA= 120°, 且AB, PQ 在点O 的同侧•为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过n60米.设/ OAB=a,a€ (0 , —).冋：对于任意 a,上述设计方案是否均能符合要求?3在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 个顶点到一个焦点的距离等于..'2.(1)求椭圆C 的方程;⑵设经过点P(2, 0)的直线I 交椭圆C 于A B 两点，点Q(m 0) •⑵AE 丄平面BCGB i .18.(本小题满分16分)17.(本小题满分14分) 2 2C a 2+ b 2=gb®的离心率为三，且椭圆C 短轴的一①若对任意直线I总存在点Q,使得QA= QB求实数m的取值范围;19. (本小题满分16分)2x —2 已知函数f(x) = In x —, a>0.x—1 + 2a(1) 当a= 2时，求函数f(x)的图象在x = 1处的切线方程；(2) 若对任意x€ ［1 , )，不等式f(x) >0恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围.20. (本小题满分16分)已知数列｛a n｝各项均为正数，且对任意n€ N，都有(a1a2-a n)2=霁1a n二a2(1)若a1, 2a2, 3a s成等差数列，求一的值；a1⑵①求证：数列｛a n｝为等比数列；② 若对任意n€ N,都有a1+ a2+・・・+ a n<2n—1,求数列｛a n｝的公比q的取值范围.②设F为椭圆C的左焦点，若点QFAB的外心，求实数m的值.江苏省南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分)⑴求a , b 的值;⑵求A 的逆矩阵A 1.x = t ，在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的参数方程y=Q3t + 2x = cos 0, 为（0为参数），P 是曲线C 上的任意一点•求点 P 到直线I 的距离的最大值.y =寸 3sin 0C.［选修4-5 :不等式选讲］（本小题满分10分） 解不等式：|2x — 1| — x > 2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.22. （本小题满分10分）如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B ,每遇到一个岔路口， 每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口 设C 是其2 b11 2 1,B =,AB=a 30 —1 4 1已知矩阵A =B.［选修4-4坐标系与参数方程］（本小题满分10分）B 集中,中的一个交叉路口点.⑴求甲经过点C的概率；(2)设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C,求随机变量X的概率分布和数学期望.23. (本小题满分10分)平面上有2n(n >3, n€ N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色. 从这2n个点中，任取3个点, 记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n= 3，求T的最小值；(2) 若n》4,求证：T>2C n.2019届高三年级第二次模拟考试（南京、盐城）数学参考答案3 1.{x|1<x<4}2. — 23. 184. 165 -6. — 4 516. （1） 连结 AB ,在三棱柱 ABCABQ 中，AA // BB 且 AA = BB , 所以四边形 AAB 1B 是平行四边形. 又因为D 是AB 的中点，7.y =± 爭8. 39. 4 + 4 3 10. (— 2, 3) 11. ± 2112. 2113•— 9, 315. (1)由a + b 与a — b 互相垂直，可得(a + b ) • (a — b ) 2 2=a — b = 0,所以 cos 2 a + 入 2sin 2 a — 1 = 0.(2 分)2 2又因为 sin a + COs a= 1 , 所以(入 2— 1)sin 2 a = 0.(4 分)n o因为0<a<2，所以sin 2aM 0,所以入2— 1 = 0.又因为入>0,所以 入=1.（6分） (2)由(1)知 a = (cos a, sin a ).丄 4 /口由 a •b =-，得 cos a cos 3+ sin a sin 54 3= 5,4 即 COS ( a — 3 ) = .(8 分)5因为n 严n0<a < 3< 2，所以一y< a — 3 <0,所以 sin( a 一 3 ) = 一 \i 1 一cos (a 一 3)= 一 |(10 分)所以 3 3,(12因此, 、 sin (a — 3)tan( a — 3 )=cos (a — 3) tan (a — 3)+ tan 3 tan a= tan( a — 3 + 3 ) = z 7 ■~~~1 — tan (a — 3) tan 3=£(14 分)所以D也是BA的中点.（2分）在厶BAC中，D和E分别是BA和BC的中点，所以DE//AC又因为DE 平面ACCA , AC 平面ACCA , 所以DE//平面 ACCA.（6 分）（2）由（1）知 DE//Ai C,因为 A i C 丄BG ,所以BC 丄DE.（8分）又因为 BC 丄AB , AB Q DE= D, AB , DE 平面 ADE 所以BC 丄平面 ADE.又因为AE 平面ADE 所以AE!BC i .（10分）在厶ABC 中，AB= AC, E 是BC 的中点，所以 AE1 BC.（12 分）因为 AE1 BO , AE1 BC BC Q BC= B,BC , BC 平面 BCCB ,所以AE!平面BCCB i .（14 分）17. 过点0作0H 垂直于AB,垂足为H.在直角三角形 OHA 中,0A= 20 , / OAH=a,所以 AH F = 20cos a,因此 AB = 2AH h 40COS a .（4 分） 由图可知，点P 处的观众离点 0最远.（5分）在三角形OAP 中，由余弦定理可知OP = OA + AF 2- 20A AP- cos a + 年 （7 分） 3 2 =400+ （40COS a ） — 2X 20X 40COS a -（— =400（6cos 2a + 2 ../3sin a COS a+ 1） =400（3COS 2 a+ 3sin2 a+ 4）=800 3sin 2 a + 73 + 1600.（10 分）冗 n n因为a€ 0 , ~ ,所以当2 a =石,即a =石时,（OP 2） max = 800 ,3 + 1600 ,即 OPn a = 20 3+ 20.（12 分）因为20 . 3+ 20<60 ,所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60米.（13分）1 ^COSa故对于任意a,上述设计方案均能符合要求. (14分) c =血c = 1, 18. (1) 依题意得a 2'解 a = 2, a = 2,所以 b2= a 2— c 2= 1,所以 椭圆 2 X 9 C 的方程为-+ y = = 1.(2分) ⑵ 解法 一：设直线的方程为 y = :k(x — 2)代入椭圆C 的方程，消去y ,得(1 + 2k 2)x 2- 8k 2x + 8k 2— 2= 0.因为直线I 交椭圆C 于两点, 所以△= ( — 8k 2)2 — 4(1 + 2k 2)(8k 2— 2)>0 ,解得一 2<«无.(4分)设点 A(x i , y i ) , B(x 2, y 2),X i + X 2 = 8k 2 1 + 2k ' X i X2 = 8k 2— 2 . 1 + 2k① 设AB 的中点为M(x o , y o ),x o = X 1 + X 2 24k 2 1 + 2k ' y o = k(x o — 2)=— 2k 2 1+ 2k (6分) 当k 工0时，因为QA= QB 所以QMLI ,2k即 k QM - k = 1 + 2k 24k1+ 2k 解得m =2k 2 2 1 + 2k -(8分) 当k = 0时，可得 m= 0,符合m= 2k 21 + 2k '因此m= 2 2k 21 + 2k '由 0<k 2=1 1<2，解得 o w m<2.(10②因为点QFAB的外心，且点F( — 1 , o), 所以QA= QB= QF.所以 y 2=—》o (x o — 2).当 x o = o 时，y o = o ,符合 y 2=— 2x o (x o — 2) . ( i )(4 分) 又因为QA= QB 所以QMLl , 所以(x o — m)(x o — 2) + (y o — 0)(y o — O) = O ,即 y o = — (x o — m)(x o — 2) . ( ii )(6 分) 由(i )( ii),解得 xo = 2m,2 2因此 y o = 2m- 2m.(8 分)因为直线l 与椭圆C 相交，所以点 M 在椭圆C 内,2(2m ) 1所以一2— + (2m — 2m i )<1 ,解得 mg.2 2又 y o = 2mi — 2m 》o ,所以 o w mfC 1.2 2 2(nn+ 1) =( x — m + y ,由 x 2 2(12 分)2+y = i ,消去 y ,得 x 2— 4mx- 4nn= 0,所以x i , X 2也是此方程的两个根，所以 X 1 + X 2= 4m X 1X 2= — 4m.(14 分)2 2 ”亠 8k 8k — 2又因为 X 1 + X 2= 1 + 2k ?, X 1X 2 = 1 +2k 2， 8k 2 8k 2 — 2 2 1所以汞=—1^2?，解得k = 8，22k 1 八所以 m= 1 + 2k 2 = 5，(16 分)解法二：①设点 A(X 1, y 1), Bg y 2), AB 中点为 M(x o , y o ).2 X 1 2 ,2+y 1= 1,依题意 2两式作差，X 2 2 A 2 + y 2= 1, y i — y 2 y o 1得 x;二x xr —2(xo 工 °)-y o — 0 又因为賤=k AB =x o — 2'1综上，实数m的取值范围是0, 2 .(10分)②因为点Q为厶FAB的外心，且点F( — 1 , 0),所以QA= QB= QF.2 2 2(1) =( x—m + y ,由x3 42消去y,2+y2= i得x2—4mx— 4m^ 0.( iii )(12 分)当y°M0时，则直线l为y=—(x —2)，代入椭圆的方程，2y o得(2y 0 + x0)x 2—4x0x + 4x2—4y2= 0.将(i )代入上式化简得x2—2x°x + 3X0—2= 0.( iv)当y0= 0时，此时X0= 0, X1 = —丄(2, X2=”J2也满足上式.(14分)由①可知m=—，代入(i)化简得x2—2x°x —2x°= 0.( v)因为(v )( v )是同一个方程，2所以3x0 — 2 = —2x0，解得x°=?5X0 1所以n= —.(16 分)2 52x 一2 18 1 19. (1)当a = 2 时，f(x) = lnx —, f' (x)=】-(x+ 3)2」f' (1) =1又因为f(1) = 0,所以函数f(x)的图象在x = 1处的切线方程为y = -(x —1),3所以 f ' (x) =—— 2x (x —1+ 2a)x2—2x+ 4a2—4a + 1 (x —1) 2+ 4a2—4a=x (x— 1 + 2a) 2= x (x—1 + 2a) 2，(4分)且f(1) = 0.因为a>0,所以1 —2a<1.①当4a2—4a>0,即卩a>1时，因为f' (x)>0在区间(1 ,+s)上恒成立,即x —2y — 1 = 0.(2 分)⑵因为f(x) = lnx —2；,4ax —1 + 2a 所以函数f(x)在区间(1 ,+^)上单调递增.当x € [1 ,+s)时，f(x) >f(1) = 0,所以a》l满足条件.(6分)②当4a2—4a<0，即0<a<1 时，由f' (x) = 0，得x i= 1 — 2 a —a2€ (0 , 1),X2= 1 + 2 a —a2€ (1 ,+^ ),当x € (1 , X2)时，f ' (x)<0 ,则函数f(x)在区间(1 , X2)上单调递减，所以当x€ (1 , X2)时，f(x)<f(1) = 0,这与x€ [1 ,+8)时，f(x) >0 恒成立矛盾,所以0<a<1不满足条件.综上，实数a的取值范围为[1 ,+^) . (8分)⑶①当a>1时，因为函数f ' (x) >0在区间(0 ,+^)上恒成立，所以函数f(x)在区间(0,+^)上单调递增，所以函数f(x)不存在极值，所以a>1不满足条件；(9分)1②当2<a<1 时，1 —2a<0,所以函数f(x)的定义域为(0,+^),由 f ' (x) = 0，得X1= 1 — 2 a —a2€(0 , 1),X2= 1 + 2 a —a2€ (1 ,+s).列表如下：由于函数f(x)在区间(X1, X2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意,1所以，<a<1不满足条件.(11分)③ 当 a = 1 时，由 f ' (x) = 0，得 x = 2.1所以a = 2不满足条件.(12分)1 ④ 当Ova 》时，函数f(x)的定义域为(0, 1-2a) U (1 — 2a ,+^),且 0<X 1 = 1 — 2' r a — a <1 — 2a ,X 2= 1 + 2 a — a 2>1 — 2a.12 X 1 4a (X 1 — X 2)In — —X 2 (X 1— 1 + 2a )( X 2— 1 + 2a )因为 0<X 1<1 — 2a<X 2,X 1 所以 In <0, X 1 — X 2<0, X 1— 1 + 2a<0, X 2— 1 + 2a>0, X 2所以 f(x 1) — f(x 2)<0 ,即即 f(x 1)<f(x 2),1 所以0<a<2满足条件.1 综上，实数a 的取值范围为0, .(16分)此时 f(x 1) — f(x 2) = lnx 2X 1 — 2 X 1— 1 + 2a—lnx 2+ 2X 2 — 2 X 2— 1 + 2a2 3 220. （1） 因为（a i a 2）= a i a 3，所以 a 2= a i a 3,因此a i , a 2, a i 成等比数列.（2分）设公比为t ，因为a i , 2a 2, 3a i 成等差数列,所以 4a 2= a i + 3a 3，即卩 4X —= 1 + 3X a i a i2 i于是4t = i + 3t ，解得t = i 或t = 3,所以一=i 或了.(4分) a i 3(2)①因为(a i a 2・・・a n )2 = aLa n ；；,所以(a i a 2--a n a n +1) 2= aT 2a n + 2,n两式相除得a n +i = a i • e ,a n +i即 a n + i = a i a n ；2, (*)(6 分) 由(*)，得 a n +2= a i a n ； 3, (**) n +2 n +ia n + 2 a n + 3 n +i = ~na n + i a n + 2 2n + 2 n + i n +ia n + 2 = a n + i a n +3, 所以 a n + 2= a n + i a n + 3 ,2 *即 a n + i = a n a n + 2, n 》2, n € N , (8 分) 由(i)知 a 2= a i a 3,所以 a 2+1 = a n a n +2,n € N , 因此数列｛a n ｝为等比数列.（10分）②当0<q W2时, 由n = 1时，可得OW 1,所以 a n = a i q n _ 1W2n _1,因此 a i + a 2+・・・+ a n W 1 + 2+…+ 2 1 = 2 — 1,所以0<q W2满足条件.(12分) 当q>2时,整理得 a i q n < (q — 1)2 n + a i — q + 1.(14 分) 因为 q>2,0<a i < 1,所以 a i — q + 1<0,由 a i + 82+…+ a n W2 — 1, 得 ai (1 — q ) 得 i — qW2 n — 1,(*)(**) 两式相除得q qq — 1 *由于产，因此*砸右-，与任意n e N 恒成立相矛盾,所以q>2不满足条件.综上，公比q 的取值范围为（0，2] . （16分）2 b因为A =, B= a 32— b = 1, b = 1,所以a = 4, 即 '（4分）a = 4.a — 3= 1, （2）因为 | A l = 2X 3— 1X 4= 2, （6 分） x = t , 厂 B. 直线I 的参数方程为 （t 为参数），化为普通方程为-3x — y + 2 = 0.（2分） y = 7 3t + 2 设点 P （cos 0, 3sin 0 ）,n - - 6cos 0 + ; + 2 | 3cos 0— .. 3sin 0 + 2| 4则点P 到直线I 的距离d = ——（ - , L = , （6分） V （羽）4 5+1 2nn取0=— 丁时，cos 0+ 丁 = 1,此时d 取最大值，44 所以距离d 的最大值为 6^ 2.（10分） 1 C. 当 x > 2时，由 2x — 1— x >2,得 x >3.（4 分）当 XV^时，由 1 — 2x — x >2,得 X W — ；.（4 分） 2 3综上，原不等式的解集为{x|x >3或X W — -}. （10分） 5n n q 因此a i q <（q — 1）2，即㊁ n <q —1 a i21.A. （1） 2 1，A B= 4 1所以A 1 =分22. （1）设“甲从进口 A 开始到出口 B 经过点C'为事件Mi i i 择从中间一条路走到点 C 的概率为R =3X 2=6.（2分）i i i同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为p 2= 3X 2=6. 因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥,1 i 1 所以 P （M ）= R+ P 2=6+6= 3.1故甲从进口 A 开始到出口 B 经过点C 的概率3.（4分） （2）随机变量可能的取值 X = 0, 1 , 2, 3, 4, （5分）则 P(X = 0) = C X 3 X 3 =器,P(X = 2)=C 4X3 % I 2 = 81,P(X = 4) = C 4X 14X 30 =右(8 分)概率分布为:16 32 24 814数学期望 E (x )=0X 16+1X 82+2X 才3X 81+4X81= 4.(10 分)1甲选中间的路的概率为 3,在前面从岔路到达点1C 的概率为刁 这两个事件相互独立，所以选P (X = 1) = c i x32 81,1 3P(X = 3) = &X 3 X8 81’323. (1) 当n = 3时，共有6个点, 若染红色的点的个数为 则 T = C 6= 20; 若染红色的点的个数为 则 T = C 5= 10; 若染红色的点的个数为 则 T = C 4= 4; 若染红色的点的个数为因此T 的最小值为2.(3分)(2)首先证明：任意 n , k € N *, n 》k ,有 U+i >C 证明：因为 1+1-c k = &「1>0,所以 c k + i >C. 设这2n 个点中含有 p(p € N, p w 2n)个染红色的点, ①当 p € {0 , 1, 2}时,=4X (n— 1)(n— 2)(2n— 3)6因为n 》4,所以2n — 3>n , 所以 T>4Xn (n-打(n—2)= 4C ?>2C n .(5 分)②当 p € {2n — 2, 2n — 1, 2n}时， T = C >C 2n — 2 , 同理可得T>2C.(6分) ③当3< p w 2n — 3时,T = C + CL p设 f(p) = C p + C 2n — p , 3W p w 2n — 3,当 3w p w 2n — 4 时, 显然 p z 2n — p — 1,当 p>2n — p — 1 即 n W p w 2n — 4 时，f(p + 1)>f(p),(2n — 2) (2n — 3) 6__(2n — 4)3」T = C 3+ C 3= 2;f(p + 1) — f(p) =C p + 1 + C 2n —p —1 — C p — C 2n —p = C p — C 2n —p — 1(&八…八(寸)x (&M e —一一斜丫：乂厂十U V SA d = L——d —u(o 0L ).o 22云Xu汕•：r 源O CXIA -L 品1。
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)
2019届高三年级第二次模拟考试数学一、 填空题：本大题共 ( 满分 160 分，考试时间14 小题，每题 5 分，合计120 分钟 )70 分．1. 已知会合 A ＝ {x|1<x<3} ， B ＝ {x|2<x<4} ，则 A ∪ B ＝ ________．2. z ＝ i(i 为虚数单位 )，且实部和虚部相等，则实数a 的值为 ________． 若复数 z 知足 a ＋ 2i3. 某药厂选用若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据( 单位： kPa)的分组区间为 [12 ， 13)，[13 ，14)，[14 ，15)， [15， 16)， [16 ，17]，将其按从左到右的次序分别编号为第一组，第二组， ，第五组．如图是依据试验数据制成的频次散布直方图，已知第一组与第二组共有 20 人，则第三组的人数为 ________．(第3题)(第 4题)4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为 ________．5. 现有 5 件同样的产品，此中 3 件合格， 2 件不合格，从中随机抽检2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为 ________．6. 在等差数列 {a n } 中， a 4＝ 10，前 12 项的和 S 12＝90，则 a 18 的值为 ________．与双曲线x 227. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y 2＝ 4x－ y2＝ 1(b>0) 的一个交4 b点．若抛物线的焦点为 F ，且 FA ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________ ． 8.π若函数 f(x) ＝2sin( ωx＋φ )( ω，>00<φ <π)的图象经过点 ( ， 2)，且相邻两条对称轴间的距6π π离为 ，则 f( )的值为 ________．2 49. 已知正四棱锥 PABCD 的全部棱长都相等， 高为 2，则该正四棱锥的表面积为 ________．10. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时，f(x) ＝x 2－ 5x ，则不等式 f(x － 1)>f(x)的解集为 ________．11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( － 1， 0)，B(5 ， 0)．若在圆 M ： (x － 4)2＋ (y － m)2＝ 4 上存在独一一点 P ，使得直线 PA ，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的值为 ________．12. 已知 AD 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高，点 P 在 DA 的延伸线上，且知足→ (PB ＋→ →2.若 AD ＝→ →PC) ·AD ＝ 4 2，则 PB·PC的值为________．|x＋ 3|，x≤ 0，13.已知函数 f(x) ＝x3－12x＋3，x>0.设 g(x) ＝ kx ＋ 1，且函数 y＝ f(x) － g(x) 的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是 ________．14.在△ ABC 中，若 sin C ＝ 2cos Acos B，则 cos2A ＋ cos2B 的最大值为 ________．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14 分 )πsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，此中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b相互垂2直．(1)务实数λ的值；4(2) 若a·b＝5，且 tan β＝ 2，求 tan α的值．16.(本小题满分 14 分 )如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1中， AB ＝ AC ，A 1C⊥ BC1，AB 1⊥ BC 1，D，E 分别是 AB 1和BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面 ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面 BCC 1B1 .17. (本小题满分14 分)某公园内有一块以O 为圆心，半径为20 米的圆形地区．为丰富市民的业余文化生活，现提出以下设计方案：如图，在圆形地区内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 地区，此中两个端点 A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的地区，此中 AP ＝ AB ＝ BQ，∠ PAB＝∠ QBA＝ 120°，且 AB ， PQ 在点 O 的同侧．为保证视听成效，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超出 60 米．设∠ OAB ＝α，α∈πα，上述设(0， )．问：关于随意3计方案能否均能切合要求？18. (本小题满分16 分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2 y2 2C：2 ＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆 C 短轴的a b 2一个极点到一个焦点的距离等于 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 P(2， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，点 Q(m ，0) ．①若对随意直线 l 总存在点 Q，使得 QA ＝ QB ，务实数 m 的取值范围；②设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点Q 为△ FAB 的外心，务实数m 的值．19.(本小题满分 16 分 )已知函数 f(x) ＝ ln x －2x－2，a>0.x－1＋ 2a(1)当 a＝ 2 时，求函数 f(x) 的图象在 x＝ 1 处的切线方程；(2)若对随意 x∈ [1，＋∞ )，不等式 f(x) ≥0 恒建立，务实数 a 的取值范围；(3) 若函数 f(x) 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，务实数 a 的取值范围．20. (本小题满分16 分 )已知数列 {a n} 各项均为正数，且对随意* 2 n＋1 n－ 1 n∈N ，都有 (a1a2 a n) ＝ a1 a n＋1.a2(1) 若 a1，2a2， 3a3成等差数列，求a1的值；(2) ①求证：数列 {a n} 为等比数列；②若对随意 n∈N*，都有 a1＋a2＋＋ a n≤ 2n－ 1，求数列 {a n} 的公比 q 的取值范围．2019 届高三年级第二次模拟考试(十 )数学附带题 (本部分满分 40 分，考试时间30 分钟 )21. 【选做题】 此题包含 A 、B 、 C 三小题 ，请选定此中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 4-2：矩阵与变换 ](本小题满分10 分)2 b 1 12 1 已知矩阵 A ＝3 ， B ＝－ 1， AB ＝.a 0 4 1(1) 求 a ， b 的值；－ 1(2) 求A 的逆矩阵 A .B. [ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )x ＝ t ，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为y ＝ 3t ＋ 2x ＝cos ，θP 到直线 l 的距离的最大值．( θ为参数 )，P 是曲线 C 上的随意一点．求点 y ＝ 3sin θC. [ 选修 4-5：不等式选讲 ](本小题满分 10 分 )解不等式： |2x － 1|－ x ≥ 2.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10 分)如图是一旅行景区供旅客行走的路线图，假定从入口 A 开始到出口B，每碰到一个歧路口，每位旅客选择此中一条道路前进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 4 名旅客结伴到旅行景区游玩，他们从入口 A 的歧路口就开始选择道路自行游乐，并按箭头所指路线行走，最后到出口 B 集中，设 C 是此中的一个交错路口点．(1)求甲经过点 C 的概率；(2)设这 4 名旅客中恰有 X 名旅客都是经过点 C，求随机变量 X 的概率散布和数学希望．23.(本小题满分 10 分 )平面上有2n(n ≥3， n∈N* )个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n 个点中，任取 3 个点，记 3 个点颜色同样的全部不一样取法的总数为T.(1)若 n＝ 3，求 T 的最小值；(2)若 n≥ 4，求证： T≥ 2C3n .2019 届高三年级第二次模拟考试 (南京、盐城 )数学参照答案32 31.{x|1<x<4}2.－23.184.165.56.－ 47.y ＝± 3 x8. 39.4＋ 4 310. (－ 2， 3) 11.± 21 12.2 13.－ 9，132＋ 114.215. (1) 由 a ＋ b 与 a － b 相互垂直 ，可得 (a ＋ b )·(a － b )＝ a 2－ b 2＝ 0， 222分 )所以 cos α＋ λsin α－ 1＝0.(2 又因为 sin 2α＋ cos 2α＝ 1，22 α＝ 0.(4 分 )所以 ( λ－ 1)sinπ2－1＝ 0.因为 0<α<，所以 sin22α≠ 0，所以 λ又因为 λ>0，所以 λ＝ 1.(6 分 )(2) 由(1) 知 a ＝ (cos α，sin α)．44由 a ·b ＝ ，得 cos αcos ＋βsin αsin ＝β ，55即 cos( α－β)＝4.(8 分)5ππ因为 0<α<β<，所以－2<α－β <0，2所以 sin(23α－β)＝－ 1－cos （α－β）＝－ .(10 分)5所以 tan( α－ β)＝sin （α－ β）＝－ 3， (12 分 )cos （ α－ β） 4所以 tan α＝ tan( α－ β＋β)＝ tan （α－ β）＋ tan β 1分 )＝ .(141－ tan （α－ β） tan β 2 16. (1) 连接 A 1B ，在三棱柱 ABCA 1B 1 C 1 中， AA 1∥ BB 1 且 AA 1＝BB 1，所以四边形 AA 1B 1B 是平行四边形．又因为 D 是AB 1 的中点， 所以 D 也是 BA 1 的中点． (2 分 )在△ BA 1C 中， D 和 E 分别是 BA 1 和 BC 的中点，所以 DE ∥A 1C.又因为平面 ACC 1A 1，A 1平面 ACC 1A 1，所以 DE ∥平面 ACC 1A 1.(6 分 )(2) 由(1)知 DE ∥ A 1C ，因为 A 1C ⊥BC 1，所以 BC 1⊥ DE.(8 分 )又因为 BC 1⊥ AB 1 ，AB 1∩DE ＝ D ， AB 1， 平面 ADE ，所以 BC 1⊥平面 ADE.又因为平面 ADE ，所以 AE ⊥ BC 1.(10 分 )在△ ABC 中， AB ＝AC ， E 是 BC 的中点，所以 AE ⊥BC.(12 分)因为 AE ⊥BC 1， AE ⊥BC ， BC 1∩ BC ＝ B ， BC 1，平面 BCC 1B 1，所以 AE ⊥平面 BCC 1B 1 .(14 分 ) 17.过点 O 作 OH 垂直于 AB ，垂足为 H.在直角三角形 OHA 中， OA ＝ 20，∠ OAH ＝ α， 所以 AH ＝20cos α，所以 AB ＝ 2AH ＝40cos α(4. 分) 由图可知，点 P 处的观众离点 O 最远． (5 分) 在三角形 OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA ·AP ·cos α＋ 2π3(7 分)213＝ 400＋ (40cos α)－ 2× 20× 40cos α·(－2cos α－ 2 sin α)＝ 400(6cos 2α＋ 2 3sin α cos ＋α1) ＝ 400(3cos2 α＋ 3sin2 α＋ 4)＝ 800 3sin 2α＋π3＋ 1600.(10 分 )π，所以当 2α＝ ππ因为 α∈ 0，3 6，即 α＝12时，(OP 2)max ＝ 800 3＋ 1600，即 OP max ＝ 20 3＋ 20.(12 分)因为 20 3＋20<60 ，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超出 60 米． (13 分)故关于随意 α，上述设计方案均能切合要求．(14 分 )c ＝ 2， c ＝ 1， 18. (1) 依题意得 a 2 解得a ＝ 2， a ＝ 2，所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1，2所以椭圆 C 的方程为 x2 ＋ y 2＝ 1.(2 分 )(2) 解法一：设直线的方程为 y ＝ k(x － 2)，2222代入椭圆 C 的方程，消去 y ，得 (1 ＋2k )x － 8k x ＋ 8k － 2＝ 0.所以＝ (－ 8k 2)2－ 4(1＋ 2k 2 )(8k 2－ 2)>0 ，22解得－ 2 <k< 2 .(4 分 ) 设点 A(x 1 ，y 1)， B(x 2， y 2)，2 2－ 2则 x 1＋ x 2＝ 8k 2， x 1x 2＝ 8k2.1＋2k 1＋ 2k①设 AB 的中点为 M(x 0， y 0 )，则 x 0＝ x 1＋ x 2＝ 4k 22， y 0＝ k(x 0－ 2)＝－ 2k 2.(6 分 )2 1＋2k1＋ 2k 当 k ≠ 0 时，因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥l ，2k－1＋ 2k 2－即 k QM ·k ＝ 4k 2·k ＝－ 1.1＋ 2k 2－m 解得 m ＝2k 21＋2k 2.(8 分 )当 k ＝ 0 时，可得 m ＝0，切合 m ＝2k 22.1＋ 2k2所以 m ＝ 2k1＋2k 2.由2 m 110≤ k ＝2（ 1－ m ） < ，解得 0≤ m< .(10 分 )22 ②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F(－ 1， 0)， 所以 QA ＝QB ＝ QF.（ m ＋ 1） 2＝（ x － m ） 2＋ y 2 ，由 2(12 分)x＋ y 2＝ 1，2消去 y ，得 x 2－ 4mx － 4m ＝ 0，所以 x 1， x 2 也是此方程的两个根，所以 x 1＋ x 2＝ 4m ， x 1x 2＝－ 4m.(14 分 )又因为 x 1 ＋ x 2 ＝ 8k 2 2， x 1x 2＝ 8k 2 － 22，1＋ 2k 1＋2k228k2＝－ 8k－ 21，所以 2，解得 k 2＝1＋ 2k 1＋ 2k 8所以 m ＝ 2k 2 2＝ 11＋2k .(16 分 ) 5 解法二：①设点 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， AB 中点为 M(x 0， y 0)．x 12 2 2 ＋ y 1＝ 1，依题意 x 22 两式作差，2＋ y 2＝ 1，2y 1－ y 2 y 0 1得 － x × x 0＝－ 2(x 0≠ 0)．x 12y 1－ y 2y 0－ 0又因为 x 1－ x 2＝k AB＝x 0－2，2 1所以 y 0＝－x 0(x 0－ 2)．2 当 x 0＝ 0 时， y 0＝ 0，2 1切合 y 0＝－ x 0(x 0－ 2)． (ⅰ )(4 分 )2又因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥ l ，所以 (x 0－ m)(x 0－ 2)＋ (y 0 －0)(y 0－ 0)＝ 0，即 y20＝－ (x0－ m)(x 0－2) ．(ⅱ )(6 分)由 (ⅰ )(ⅱ) ，解得 x0＝ 2m，所以 y20＝ 2m－ 2m2.(8 分 )因为直线 l 与椭圆 C 订交，所以点M 在椭圆 C内，（ 2m）2 2 1.所以＋(2m － 2m )<1 ，解得 m<2 2又 y20＝ 2m－ 2m2≥ 0，所以 0≤ m≤ 1.综上，实数 m 的取值范围是10，2 .(10 分 )②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点F(－ 1， 0)，所以 QA ＝QB ＝ QF.（ m＋ 1）2＝（ x－ m）2＋ y2，2消去 y，由x 2＝ 12 ＋ y得 x2－ 4mx － 4m＝ 0.(ⅲ)(12 分)当 y0≠ 0 时，则直线 l 为 y＝－x0(x－ 2)，代入椭圆的方程，2y0得 (2y 2＋ x2)x2－ 4x2x＋ 4x2－ 4y2＝ 0.00000将 (ⅰ )代入上式化简得 x2－ 2x0x＋ 3x0－ 2＝ 0.(ⅳ)当 y0＝ 0 时，此时x0＝ 0， x1＝－2， x2＝2也知足上式． (14 分 )由①可知m＝x20，代入 (ⅲ )化简得 x2－ 2x0x－ 2x0＝0.(ⅴ)因为 (ⅳ )(ⅴ )是同一个方程，2 所以 3x 0－ 2＝－ 2x0，解得 x0＝，所以 m＝x0 1＝ .(16 分) 2 519. (1)当a＝2时，f(x)＝lnx－2x－ 2 1－82，则f1 ， f ′(x)＝（ x＋ 3）′(1)＝ . x＋ 3 x 2又因为 f(1)＝ 0，所以函数 f(x) 的图象在 x＝ 1 处的切线方程为y＝1 (x－ 1)，2即 x－ 2y－ 1＝ 0.(2 分 )(2)因为 f(x) ＝lnx －2x－2，x－1＋ 2a14a所以 f ′(x)＝x－（x－1＋2a）2＝x2－ 2x＋ 4a2－4a＋ 1＝（x－ 1）2＋ 4a2－ 4ax（ x－1＋ 2a） 2 x（x－ 1＋ 2a）2 ，(4 分)且 f(1) ＝0.因为 a>0，所以 1－ 2a<1.①当 4a2－ 4a≥ 0，即 a≥1 时，因为 f ′(x)>0在区间 (1，＋∞ )上恒建立，所以函数 f(x) 在区间 (1，＋∞ )上单一递加．当 x∈ [1，＋∞ )时， f(x) ≥ f(1) ＝ 0，所以 a≥ 1 知足条件． (6 分 )②当 4a2－ 4a<0，即 0<a<1 时，2由 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 1－ 2a－ a ∈ (0， 1)，当 x∈ (1， x2)时， f ′ (x)<0，则函数 f(x) 在区间 (1， x2)上单一递减，所以当 x∈ (1， x2) 时， f(x)<f(1) ＝ 0，这与 x∈ [1，＋∞ )时， f(x) ≥ 0 恒建立矛盾，所以 0<a<1 不知足条件．综上，实数 a 的取值范围为[1，＋∞ )． (8 分 )(3)①当 a≥ 1 时，因为函数 f ′(x)≥ 0 在区间 (0，＋∞ )上恒建立，所以函数f(x) 在区间 (0，＋∞ )上单一递加，所以函数f(x) 不存在极值，所以 a≥ 1 不知足条件；(9 分 )②当1<a<1 时， 1－ 2a<0，2所以函数 f(x) 的定义域为 (0，＋∞ )，由 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 1－ 2 a－ a2∈ (0， 1)，2x2＝ 1＋ 2a－ a ∈ (1，＋∞ ) ．因为函数f(x) 在区间 (x1，x2) 是单一减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，1所以2<a<1 不知足条件．(11 分 )1③当 a＝时，由 f ′(x)＝ 0，得 x＝2.列表以下：此时函数f(x) 仅存在极小值，不合题意，1所以 a＝不知足条件．(12 分 )④当 0<a<12时，函数f(x) 的定义域为 (0， 1－ 2a)∪ (1－ 2a ，＋∞ )，且 0<x 1＝ 1－2 a － a 2<1 －2a ，x 2＝ 1＋ 2 a － a 2>1－ 2a.列表以下：所以函数 f(x) 存在极大值 f(x 1)和极小值 f(x 2)， (14 分 )此时 f(x 1) － f(x 2)＝ lnx 1－ 2x 1－ 2 － lnx 2 ＋ 2x 2－ 2＝ln x 1－4a （ x 1－ x 2） .x 1－ 1＋ 2a x 2－ 1＋ 2ax 2（ x 1－ 1＋ 2a ）（ x 2－1＋ 2a ）因为 0<x 1<1－2a<x 2，x 1所以 ln <0 ， x 1－ x 2<0，x 1－ 1＋ 2a<0， x 2－ 1＋ 2a>0， x 2 所以 f(x 1) － f(x 2)<0 ，即 f(x 1)<f(x 2)，所以 0<a<1知足条件． 2综上，实数 a 的取值范围为 10，2 .(16 分 )20. (1) 因为 (a 1a 2)2＝ a 31a 3，所以 a 22＝ a 1a 3，所以 a 1， a 2， a 3 成等比数列． (2 分 ) 设公比为 t ，因为 a 1， 2a 2， 3a 3 成等差数列，所以 4a ＝ a ＋ 3a ，即 4×a 2＝ 1＋ 3×a 3，213a 1a 1于是 4t ＝ 1＋3t 2，解得 t ＝1 或 t ＝ 1 ，3 所以 a 2＝ 1 或1.(4 分 )a 1 32n ＋ 1 n －1(2) ①因为 (a 1a 2 a n ) ＝ a 1 a n ＋1，2n ＋2 n所以 (a 1a 2 a n a n ＋ 1) ＝a 1 a n ＋2，n两式相除得2a n ＋2a ＋＝ a n － 1，n1 1·a n ＋1n ＋1n即 a n ＋ 1＝a 1a n ＋ 2， (*)(6 分 )n ＋2n ＋1由 (*) ，得 a n ＋2＝ a 1 a n ＋3， (**)n ＋2 n ＋1 a n ＋2a n ＋ 3，(*)(**) 两式相除得 a n n ＋11＝a n n ＋ 2＋2n ＋2 n ＋1 n ＋ 1即 a n ＋ 2 ＝ a n ＋1a n ＋ 3，2所以 a n ＋ 2＝ a n ＋ 1a n ＋ 3，2*，(8 分)即 a n ＋ 1＝a n a n ＋ 2， n ≥ 2， n ∈ N2 2 * ，由 (1)知 a 2＝ a 1 3 ，所以 a n ＋ 1＝a n n ＋ 2， n ∈ Naa所以数列 {a n } 为等比数列． (10 分)②当 0<q ≤ 2 时，由 n ＝ 1 时，可得 0<a 1≤1，所以 a n ＝ a 1q n － 1≤2n －1，n －1n所以 a 1＋ a 2＋ ＋ a n ≤ 1＋ 2＋ ＋ － 1， 2 ＝ 2 所以 0<q ≤ 2 知足条件． (12 分) 当 q>2 时，nna 1（ 1－ q ）n由 a 1＋ a 2＋ ＋ a n ≤2 － 1，得≤ 2 － 1，nn整理得 a 1q ≤ (q － 1)2 ＋ a 1－ q ＋ 1.(14 分 )所以 a 1q n<(q － 1)2n，即 q n q － 12 <1，a因为 q>1，所以 n<log qq － 1，与随意 n ∈ N * 恒建立相矛盾，2 2 a 1 所以 q>2 不知足条件． 综上，公比 q 的取值范围为 (0 ，2]． (16 分 )21.A. (1) 因为 A ＝ 2 b 1 1 2 1a ， B ＝ ， AB ＝ 4 ，3 0 － 1 1 2－ b ＝ 1，b ＝ 1，所以 a ＝4， 即(4 分)a －3＝ 1， a ＝ 4.(2) 因为 |A |＝2× 3－ 1× 4＝ 2， (6 分 )3 － 13－1 所以 A －1＝2 2 ＝2 2 .(10 分 )－42－ 2 12 2x ＝ t ，B.直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，化为一般方程为 3x － y ＋2＝ 0.(2 分 ) y ＝ 3t ＋ 2设点 P(cos θ， 3sin θ)，6cos θ＋ π＋ 2则点 P 到直线 l 的距离 d ＝ |3cos θ－ 3sin θ＋ 2|＝4分 )2 ， (6（ 3） 2＋1π π取 θ＝－4时， cos θ＋4 ＝ 1，此时 d 取最大值，所以距离 d 的最大值为 6＋ 22 .(10 分)C. 当 x ≥ 1时，由 2x － 1－x ≥ 2，得 x ≥ 3.(4 分 )21 1 当 x< 时，由 1－ 2x － x ≥ 2，得 x ≤－ .(4 分)231综上，原不等式的解集为{x|x ≥ 3 或 x ≤－ 3} ． (10 分 )22. (1) 设“甲从入口 A 开始到出口 B 经过点 C ”为事件 M ， 甲选中间的路的概率为1，在前面从歧路抵达点 C 的概率为 1，这两个事件相互独立，所以选32择从中间一条路走到点 C 的概率为1 1 1P 1＝×＝ .(2 分)3 26同理，选择从最右侧的道路走到点C 的概率为 P 2＝ 1×1＝ 1.3 2 6因为选择中间道路和最右侧道路行走的两个事件相互互斥，1 1 1所以 P(M) ＝ P 1＋P 2＝＋ ＝ .6 6 31故甲从入口 A 开始到出口 B 经过点 C 的概率 3.(4 分 ) (2) 随机变量可能的取值 X ＝0， 1， 2， 3， 4， (5 分)4则 P(X ＝ 0)＝ C 04× 13 × 23 ＝1681，1112 3 32，P(X ＝1)＝C 4× 3 × 3 ＝ 81P(X ＝2)＝C 42× 1 2 2 224， × ＝3 3 81 P(X ＝3)＝C 43× 1 3 2 18 ， × ＝ 3 3811 42 0P(X ＝4)＝C 44× × ＝ 1，(8分)3 381 概率散布为：X 0 1 2 3 4 P16 32 248 1 81 81 818181数学希望 E(X) ＝ 0×16＋ 1×32＋ 2×24＋ 3× 8 ＋ 4× 1 ＝ 4.(10 分 ) 81 8181 81 81 323. (1) 当 n ＝ 3 时，共有 6 个点，若染红色的点的个数为 0或6，则 T ＝C 3＝ 20；6若染红色的点的个数为 1或5，则 T ＝C 53＝ 10；若染红色的点的个数为2或4，则 T ＝C 3＝ 4；4若染红色的点的个数为3，则 T ＝ C 33＋ C 33＝ 2；所以 T 的最小值为 2.(3 分 )(2) 第一证明：随意*， n≥ k，有kkn，k∈N C n＋1>C n.k k k－ 1 k k证明：因为 C n＋1－ C n＝ C n >0，所以 C n＋1 >C n.设这 2n 个点中含有p(p∈N， p≤ 2n)个染红色的点，①当 p∈{0 ， 1，2} 时，T ＝ C2n3－p≥ C2n3（ 2n－2）（ 2n－3）（ 2n－4）－2＝ 6（ n－ 1）（ n－ 2）（ 2n－ 3）＝ 4×6 .因为 n≥4，所以2n－ 3>n ，n（ n－1）（ n－ 2）33.(5 分 )所以 T>4 × 6 ＝ 4C n>2C n②当 p∈{2n － 2， 2n－ 1，2n} 时，T ＝ C3p≥ C2n3－2，3同理可得T>2C n.(6 分 )T ＝ C3p＋ C2n3－p，设 f(p) ＝C3p＋ C32n－p， 3≤ p≤ 2n－ 3，当 3≤ p≤2n－ 4 时，33332 2f(p ＋1) －f(p) ＝ C p＋1＋ C2n－p－1－C p－ C2n－p＝ C p－ C2n－p －1，明显 p≠2n－ p－ 1，当 p>2n －p－ 1 即 n≤ p≤ 2n－ 4 时， f(p＋ 1)>f(p) ，当 p<2n －p－ 1 即 3≤ p≤ n－1 时， f(p ＋ 1)<f(p) ，即 f(n)<f(n ＋ 1)< <f(2n －3)； f(3)>f(4)> >f(n) ；3 3所以 f(p) ≥ f(n) ＝ 2C n，即 T≥ 2C n.。
南京、盐城2019届高三二模数学试卷参考答案
所以四边形 AA1B1B 是平行四边形． 又因为 D 是 AB1 的中点，所以 D 也是 BA1 的中点． ································2 分 在△BA1C 中，D 和 E 分别是 BA1 和 BC 的中点，所以 DE∥A1C． 又因为 DE平面 ACC1A1，A1C平面 ACC1A1， 所以 DE//平面 ACC1A1．····································································6 分 (2)由(1)知 DE∥A1C，因为 A1C⊥BC1，所以 BC1⊥DE． ·······························8 分 又因为 BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面 ADE，所以 BC1⊥平面 ADE． 又因为 AE平面 ADE，所以 AE⊥BC1． ·············································10 分 在△ABC 中，AB＝AC，E 是 BC 的中点，所以 AE⊥BC．·······················12 分 因为 AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC平面 BCC1B1， 所以 AE⊥平面 BCC1B1． ·································································14 分
17．(本小题满分 14 分) 解：过 O 作 OH 垂直于 AB，垂足为 H．
在直角三角形 OHA 中，OA＝20，∠OAH＝α， 所以 AH＝20cos ，因此 AB＝2AH＝40cos ． ···········································4 分 由图可知，点 P 处观众离点 O 处最远． ·····················································5 分 在三角形 OAP 中，由余弦定理可知 OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos(α＋23π)··········7 分
【市级联考】江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题(解析版)
南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合，，则=______.【答案】【解析】【分析】直接利用并集的定义求解.【详解】由题得=故答案为：【点睛】本题主要考查并集的运算，意在考查学生对该知识的理解能力掌握水平.2.若复数满足（为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.【详解】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查复数的计算，考查复数实部与虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有人，则第三组中人数为______.【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为：18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.4.下图是某算法的伪代码，输出的结果的值为______.【答案】【解析】【分析】直接按照算法的伪代码运行即得结果.【详解】1＜6，i=3,S=4,3＜6，i=5,S=9,5＜6，i=7,S=16,7＞6，输出S=16.故答案为：16【点睛】本题主要考查算法，意在考查学生对该知识的理解能力和掌握水平.5.现有件相同的产品，其中件合格，件不合格，从中随机抽检件，则一件合格，另一件不合格的概率为______.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出．【详解】从5件产品中任意抽取2有种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率．故答案为:【点睛】熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键．6.等差数列中，，前项的和，则的值为______.【答案】【解析】【分析】首先根据已知求出，再利用等差数列的通项求出的值.【详解】由题得.故答案为：-4【点睛】本题主要考查等差数列的通项、前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和计算能力.7.在平面直角坐标系中，已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】设点A(x,y),根据的坐标，再把点A的坐标代入双曲线的方程求出，再求双曲线的渐近线方程.【详解】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，由题得所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平. 8.若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则的值为______.【答案】【解析】【分析】先根据相邻两条对称轴间的距离为求出的值，再根据图象经过点求出，再求的值.【详解】因为相邻两条对称轴间的距离为，所以所以.因为函数的图象经过点所以.所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，考查正弦型函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.9.已知正四凌锥的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为______.【答案】【解析】【分析】设正四棱锥的棱长为2a,根据求得a=1,再求正四棱锥的表面积.【详解】设正四棱锥的棱长为2a,由题得.所以四棱锥的棱长为2.所以正四棱锥的表面积=.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间观察想象能力.10.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出函数的表达式，然后解不等式件即可．【详解】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图像和性质，考查函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.11.在平面直角坐标系中，已知点，.若圆上存在唯一点，使得直线，在轴上的截距之积为，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设的坐标为，据此求出直线、的方程，即可得求出两直线轴上的截距，分析可得，变形可得，即可得的轨迹方程为，据此分析可得圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，结合圆与圆的位置关系可得，解可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设的坐标为，直线的方程为，其在轴上的截距为，直线的方程为，其在轴上的截距为，若点满足使得直线，在轴上的截距之积为5，则有，变形可得，则点在圆上，若圆上存在唯一点，则圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，则有，解可得：，故答案为：．【点睛】本题考查轨迹的求法，涉及圆与圆的位置关系，关键是求出的轨迹，属于综合题．12.已知是直角三角形的斜边上的高，点在的延长线上，且满足.若，则的值为______.【答案】【解析】【分析】设∠DPC=,∠DPB=，先化简得到|PD|=2,再利用数量积的公式展开，利用三角函数和三角和角的余弦公式化简即得解.【详解】设∠DPC=,∠DPB=，由题得,所以|PB|所以=.故答案为：2【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，考查和角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.13.已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先讨论当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，得到k＜.再讨论当x＞0时，f(x)-g(x)=, f(x)-g(x)过第四象限，得到k＞-9.综合即得解.【详解】当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，所以f(-3)-g(-3)<0, 解之得k＜.当x＞0时，f(x)-g(x)=,因为，所以须使f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得-9＜k＜.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14.在中，若，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【详解】在△ABC中，有,所以==,当即时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15.设向量，，其中，，且与互相垂直.（1）求实数的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由与互相垂直可得，展开化简即得.（2）由，得..，最后求.【详解】解：（1）由与互相垂直，可得，所以.又因为，所以.因为，所以，所以.又因为，所以.（2）由（1）知.由，得，即.因为，所以，所以.所以，因此.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图，在三棱柱中，，，，，分别是和的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接，证明，即得平面.（2），，平面. 【详解】证明：（1）连接，在三棱柱中，且，所以四边形是平行四边形.又因为是的中点，所以也是的中点.在中，和分别是和的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，因为，所以.又因为，，，平面，所以平面.又因为平面，所以.在中，，是的中点，所以.因为，，，，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理转化能力.17.某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】【分析】过作垂直于，垂足为,所以点处观众离点处最远. 由余弦定理可得.再求得. 因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.【详解】解：过作垂直于，垂足为.在直角三角形中，，，所以，因此.由图可知，点处观众离点处最远.在三角形中，由余弦定理可知.因为，所以当时，即时，，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.答：对于任意，上述设计方案均能符合要求.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查余弦定理和三角函数最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和利用数学知识解决实际问题的能力.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，点.①若对任意直线总存在点，使得，求实数的取值范围；②设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，求实数的值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）依题意解之即得椭圆的方程.(2) ①设直线的方程为，代入椭圆的方程，根据，解得.，所以，即. 解得.由，解得. ②由，.所以，解得.所以.【详解】解：（1）依题意解得所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得.因为直线交椭圆于两点，所以，解得.设，，则有，.①设中点为，则有，.当时，因为，所以，即.解得.当时，可得，符合.因此.由，解得.②因为点为的外心，且，所以.由消去，得，所以，也是此方程的两个根.所以，.又因为，，所以，解得.所以.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等会恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求得函数图象在处的切线方程为.（2）先求导得，再对a分类讨论得到的取值范围.(3对a分类讨论，结合极大值小于极小值求出的取值范围.【详解】解：（1）当时，，，则.又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.①当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，，所以满足条件.②当时，即时，由，得，当时，，则在上单调递减，所以时，，这与时，恒成立矛盾.所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）①当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.②当时，，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.③当时，由，得.列表如下：此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.④当时，函数的定义域为，且，.列表如下：所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，，，，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程,考查利用导数研究极值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）①求证：数列为等比数列；②若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【答案】（1）或；（2）①详见解析；②.【解析】【分析】（1）根据，，成等差数列得到，，成等比数列，即可求出或.（2）①利用定义证明数列为等比数列；②当时，，所以满足条件. 当时，由，得，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件. 综上，公比的取值范围为.【详解】解：（1）因为，所以，因此，，成等比数列. 设公比为，因为，，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）①因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，，，由（1）知，所以，，因此数列为等比数列.②当时，由时，可得，所以，因此，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的证明，考查数列的求和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学附加题【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定．．．．．区域内．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与交换21.已知矩阵，，.（1）求，的值；（2）求的逆矩阵.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由题得即得（2）由题得，即得的逆矩阵.【详解】解：（1）因为，，，所以即（2）因为，所以.【点睛】本题主要考查矩阵的性质和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口开始到出口，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口集中，设点是其中的一个交叉路口点. （1）求甲经过点的概率；（2）设这名游客中恰有名游客都是经过点，求随机变量的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)选择从中间一条路走到的概率为.选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.(2) 随机变量可能的取值，，，，，再求出它们对应的概率，即得随机变量的概率分布和数学期望.【详解】解：（1）设“甲从进口开始到出口经过点”为事件，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点的概率为，这两步事件相互独立，所以选择从中间一条路走到的概率为.同理，选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.答：甲从进口开始到出口经过点的概率.（2）随机变量可能的取值，，，，，则，，，，，概率分布为：数学期望.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平，考查学生的应用能力. 23.平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为. （1）若，求的最小值； （2）若，求证：.【答案】（1）2；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）当时，共有个点，对染红色的点的个数分类讨论，即得T 的最小值为2.(2) 首先证明：任意，，，有. 设个点中含有个染红色的点，接着证明①时，②时，③时，.【详解】解：（1）当时，共有个点，若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为，则；因此的最小值为.（2）首先证明：任意，，，有.证明：因此，所以.设个点中含有个染红色的点，①当时，，因为，所以，于是.②当时，，同上可得.③当时，，设，，当时，，显然，当即时，，当即时，，即；；因此，即.综上，当时，.【点睛】本题主要考查排列组合的计数问题，考查组合不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，解答本题的关键是分类讨论思想的灵活运用.。
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题及答案
江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题及答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的2018名学生的成绩，并根据这2018名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(π3)的值为 ▲ ． a(第3题图)(第6题图)8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2，当x ＞1时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP/⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 PBCDEA(第15题图)16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A(x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35．所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． (6)分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A(35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A(35，45)，所以tan α＝43．………2分 所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)． 所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (12)(第16题图)所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN＝θ，在△A MN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋2032016 APMNBC(第17题图)120°)．…………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．答：设计∠AMN为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． (14)分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD＝θ，在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴MNsin60°＝AMsinθ，AM＝433sinθ，∴AD＝433sinθ＋2cosθ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分AP2＝AD2＋PD2＝(433sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＝163sin2θ＋833sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)．…………………………12分当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………………………14分解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分因为MNsin60°＝ANsinα，即2sin60°＝ysinα，所以sinα＝34y，cosα＝x2＋4－y22×2×x＝x2＋(x2－xy)4x＝2x－y4．…………………………………………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝12cosα－32sinα＝12·2x－y4－32·34y＝APMNBC第17题图D在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤2 3．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x 1，0)，N(x 2，3x 2)，P(x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分MN 的中点K(x 1＋x 22，32x 2)． ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2， ∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x 1，0)，N(x 2，3x 2)，P(x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1， 3x 2)． ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上， (4)分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MNsin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．APMNBCF E即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)分（2）因为P(0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． (8)分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分 所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分 因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 2 2．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k(x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==k k x x x x --+， (4)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。