分形曲线与面积计算
Koch分形雪花图的面积计算
Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。
在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。
而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。
Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。
显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。
算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。
在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。
Koch分形雪花图地面积计算
Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。
在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。
而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。
Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。
显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。
算法如下： （1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。
在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。
土地资源学43第四章 土地类型(分布、结构演替,备课2012)
2.土地类型的空间组合结构
它是指在某个区域内，各类土地的空间 位置及彼此间组合而形成的格局或几何图形 。土地空间组合结构是所有土地结构类型中 最直观的表现形式，它反映了土地类型群体 在空间上的有序性，并产生出特定的土地生 态功能。 根据其土地类型的组合形式，土地空间结构 可归纳为以下两大类：
1）条带状递变组合 指各种土地类型的空间分布按一定方向和方位 发生依次变化，构成随海拔高度增加而变化的 垂直系列。
⑥一些水土流失严重地区的放射状构型； ⑦西南石灰岩地区的串珠状构型; ⑧内蒙古高原的一些“塔拉”中出现的镶嵌 状构型等。 这些土地结构的构型是各地自然环境条件及 其综合作用的具体表现，研究土地结构的构 型有助于深化对土地类型不同组合规律的认 识。
1．盐湖；2．底盐淡灰钙土土质平地；3．丘陵半荒漠 地(旱耕地和草地)
土地类型不仅表现出不同地域的空间组合格 局，而且在同一地域也表现出时间上的变化 和演替过程。这是因为土地是一个动态系统， 不断受到自然环境因素和人类活动的影响， 当这些影响因素的作用强度达到一定程度或 作用效果累积到一定规模时，土地系统就会 发生“涨落”，其属性发生变化，而土地类 型也随之发生演替。 土地类型演替实质上就是土地类型发生发展 的动态过程。
二、土地类型结构的类别
土地结构主要包括土地要素组成的数量 结构和空间组合结构。
指某个区域各种土地类型组成
数量结构
对比关系。 或土地类型在量上的对比关系。
在某个区域内，各类土地的空间位置 空间结构 及彼此间组合而形成的一定格局。常
见的有：条带状、重复式组合、
环状、扇形、树枝状结构等。
1.土地类型的数量结构
土地类型的空间变异规律包括两种类型：地带性分布 规律和非地带性分布规律或区域土地类型分布规律。
分形曲线与面积计算-精品
sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos
(1, 0)
1
0
cos sin
(0, 1)
0 sin
1
cos
5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln
1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn
lnN
/
ln
1
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
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面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
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二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
曲面的面积与曲率
曲面的面积与曲率作为几何学的重要概念，曲面的面积和曲率在数学和物理学中都有广泛的应用。
面积是描述曲面覆盖的大小，而曲率则描述曲面局部的弯曲程度。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨曲面的面积与曲率之间的关系。
一、曲面的面积曲面的面积是指曲面所覆盖的平面区域的大小。
对于平面曲面，我们可以使用常规的计算面积的方法来求解，例如利用直角坐标系下的积分来计算二维平面上的曲线所围成的面积。
然而，对于非平面曲面，例如球面、圆柱面等，计算面积就相对复杂了。
在数学中，我们常常使用参数化的方法来描述曲面。
以球面为例，可以使用球面坐标系来给出球面上每个点的坐标。
然后，通过计算曲面上相邻两点间的距离，再将其累加，即可得到曲面的面积。
这种参数化方法不仅适用于球面，还适用于其他各种曲面。
除了数学领域，曲面的面积在物理学和工程学等应用领域也有着广泛的应用。
例如在工程设计中，计算曲面的面积可以帮助工程师评估材料的使用量，从而进行成本估算。
在物理学中，曲面面积的计算往往与能量、电荷分布等物理量的计算相联系。
二、曲面的曲率曲率是描述曲面局部弯曲程度的量度。
具体而言，曲率可以分为两种，分别是高斯曲率和平均曲率。
高斯曲率是刻画曲面弯曲与平坦程度的量。
如果一个曲面具有正的高斯曲率，说明曲面在该点处向内弯曲，如球面；如果一个曲面具有负的高斯曲率，说明曲面在该点处向外弯曲，如双曲面；如果一个曲面的高斯曲率为零，则说明该点处曲面是平坦的，如平面。
平均曲率是描述曲面在该点处整体弯曲程度的量。
与高斯曲率不同，平均曲率包括了曲面上方向变化率的信息，因此可以更全面地描述曲面的形状。
平均曲率可以通过计算曲面上所有点处的法曲率的平均值得到。
其中，法曲率是指曲面上一点处法线方向的曲率。
曲率的计算方法多种多样，可以通过微分几何的方法求解。
通过计算曲率，我们可以了解曲面在不同点处的形状，从而应用到不同领域中。
例如在计算机图形学中，曲率常用于曲面细分、曲面光滑等算法中。
曲面面积计算方法
曲面面积计算方法曲面面积计算方法1. 引言在几何学中，曲面面积是一个基本的概念，它用于测量和描述不规则曲面的大小。
曲面面积的计算方法有很多种，本文将介绍几种常见的曲面面积计算方法，并探讨它们的优缺点。
2. 曲面面积的定义和意义曲面面积是指一个曲面所占据的空间大小。
在实际应用中，曲面面积计算被广泛应用于建筑设计、地理信息系统等领域。
它有助于我们理解曲面的形状、结构和特征。
3. 曲面面积计算方法的分类曲面面积计算方法可以分为解析法和数值法两大类。
3.1 解析法解析法是指通过数学分析和推导，得到曲面面积的解析表达式。
常见的解析法包括参数化方法和隐函数法。
3.1.1 参数化方法参数化方法通过将曲面表示为参数方程的形式，然后计算参数方程所对应曲面的面积。
这种方法适用于较简单的曲面，如圆柱体、球体等。
以球体为例，假设球体的参数方程为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球体半径，θ和φ为参数。
基于该参数方程，可以推导出球体曲面面积的解析表达式。
3.1.2 隐函数法隐函数法是指通过隐函数的形式来表示曲面，然后利用微积分技术计算曲面的面积。
这种方法适用于一些复杂的曲面，如椭球体、双曲面等。
以椭球体为例，假设椭球体的隐函数方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c为参数。
通过对隐函数进行求导和积分，可以得到椭球体曲面面积的解析表达式。
3.2 数值法数值法是指通过数值计算的方式来近似计算曲面的面积。
常见的数值法包括蒙特卡洛法和积分法。
3.2.1 蒙特卡洛法蒙特卡洛法是一种基于随机抽样的数值计算方法。
它通过在曲面上随机投掷一定数量的点，并计算落在曲面上的点的比例来估计曲面的面积。
蒙特卡洛法的优点是简单易实现，但计算结果的精确度取决于随机抽样点的数量。
3.2.2 积分法积分法是一种通过积分计算曲面的面积的数值方法。
费马求曲线面积
费马求曲线面积是一个数学问题，指的是在给定一条曲线和两个固定点的情况下，如何找 到一条曲线，使得该曲线与给定曲线和两个固定点之间的面积最小。
具体的求解方法是使用费马原理，即假设最优解存在，那么该最优解一定在曲线的切线上 。根据这个原理，可以通过求解给定曲线上每一点的切线与两个固定点连线的夹角，找到使 得夹角最小的点，从而得到最优解。
费马求曲线面积
具体求解费马求曲线面积的步骤如下： 1. 给定一条曲线和两个固定点。 2. 在给定曲线上选择一个点，求解该点处曲线的切线。 3. 计算该切线与两个固定点连线的夹角。 4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完给定曲线上的所有点。 5. 找到夹角最小的点，该点即为最优解。 6. 计算最优解与给定曲线和两个固定点之间的面积。
需要注意的是，费马求曲线面积是一个数学问题，具体求解方法可能需要使用微积分等数 学工具。
分形理论在无机材料中的应用
分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。
1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
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Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln
1 3n
4n
L0
Kn的维数:
Dnln4/ln31.2618
Dn
lnN
/
ln
1
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异性探索,作者:林鸿溢 课外作业:完成面积计算的数学实验报告(电子文档)
格林公式导出的面积计算方法
D( Q x P y)dx dL yPdx Qdy
L的
特
征
值
1 1, 2
2 9
对
应
的
特
征
向
量
为
1=
1 1
，
2=
4
-
3
X (1)
3 7
1
33 112
2
X (n ) L (n 1 ) X (1 )
3 7
n 1
1
1
33 112
n 2
1
2
3
所
以
lim X (n)
n
7 3
，lim n
An
lim
n
area (Pn)
Q3
P2
A是正交矩阵. 功能:对向量做旋转变换.
cos/3 sin/3 Asin/3 cos/3
MATLAB代码
function koch0(P,N) if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for k=1:N
设P1为边长等于1的等边三角形，P2是由P1之各边3等分点连接成的六边形，······，Pn+1是由Pn 之各边3等分点连成的多边形。试证Pn的边数为：
求 Pn 所围面积
Ln 32n1 ln im Are(aPn)
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The key to Problem 2
• 边数 • 面积
Ln非常3容易2n1
分形曲线与面积计算-1
分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967年发表于美国《科学》杂志一篇论文 “英国海岸线有多长” 。
分形(Fractal)图形最基本特征是自相似性，即某一对象的局部与整体在形 态、功能、信息、时间、空间等方面具有相似性。
Mandelbrot 1924- 2010
在自相似的图形中，局部只是整体的缩影，而整体则是局部的放大。 适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。
取 P y Q x
区域 D 的面积公式
设 D 是平面多边形, 顶点为:
1
A2Lydxxdy
Pk(xk, yk) (k1,2, ,n)
第 k 条边:
x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A'; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
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面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选) 一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
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二、竞赛题的实验设计 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
An
A n1
2 3
2
(An
Bn)
(2)
将 ( 2 )代 入 (1)得
（
B n1
B
n
)
2 3
3
2 3
2
( A n+1
B n+1)
(3)
我们有
B
n 1
Bn
3 2
( A n+1
B n+1)
(4)
An
A n1
2 3
2
(An
Bn)
(5 )
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The key to Problem 2(continued)
• 引入矩阵
L
进一步
5 2
B n1
3 2
A n+1+ B n
(6 )
A n1
5 9
An+
4 9
Bn
(7 )
将 (7 )代 入 (6 )得
B n1
1 3
An+
2 3
Bn
(8 )
设
X
(n)
A B
n n
,则
有
X
(n +1) = L X
(n ) , 其
中
5 4
L
9
9
1 2
3 3
3 7
7
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三、电子科技大学清水河校区占地面积计算
参考电子科技大学清水河校区1:200地 图(或参考网上地图). 采样学校周边坐 标数据计算学校占地面积.
同类问题: 杭州西湖面积、 洞庭湖面积、 ·······················
13/13
谢谢！
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Koch分形曲线
算法描述:将一条直线段三等分,删除中间三分之一部分,用一等边三角形的腰代替,形成四条线段的折线. 每一线段重复以上操作,迭代产生曲线 Kn
Koch分形曲线
Koch岛
基本算法 Q2
P1
P2
P1
Q1
(1) Q1 ← P1 + (P2－P1)/3; Q3 ← P1 + 2(P2－P1)/3; (2) Q2 ← Q1 + (Q3－Q1)×AT; (3) P5 ← P2; P2 ← Q1; P3 ← Q2; P4 ← Q3．
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
d 0y [11 (t)xktk x 1]y (k 1yk)d 1
t
2(yk1yk)(xkxk1)
L kyd x xd x y kyk 1x k 1yk (k1,2, ,n)
多边形面积计算公式:
An
1 n 2k1
xk xk1
yk yk1
MATLAB函数: polyarea(x,y)
记
Q
为
n
Pn每
边
的
中
点
连
成
的
多
边
形
，
显
然
，
Qห้องสมุดไป่ตู้
与
n
Pn边
数
相
同
An a rea (Pn ), B n a rea (Q n )
A1
3， 4
B1
3 16
显 然 An单 调 下 降 ， B n单 调 上 升 。
用数学归纳法可以证明如下递推关系式
（
B n1
B
n
)
2 3
3
A n1
A n2
(1 )