分形曲线及面积计算
Koch分形雪花图的面积计算
Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。
在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。
而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。
Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。
显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。
算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。
在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。
形的面积了解形面积的计算方法
形的面积了解形面积的计算方法面积是几何学中一个重要的概念，用于描述平面图形的大小。
在几何中，我们可以通过各种方法来计算不同形状的面积。
本文将介绍常见图形的面积计算方法，帮助读者更好地理解和掌握形的面积的计算方法。
一、矩形的面积计算方法矩形是最常见的图形之一，其面积计算十分简单，可通过以下公式计算：面积 = 长 ×宽其中，长代表矩形的长度，宽代表矩形的宽度。
通过直接将长和宽代入公式即可得到矩形的面积。
二、三角形的面积计算方法三角形的面积计算相对矩形稍微复杂一些，根据三角形的特点，我们可以使用以下两种方法计算三角形的面积：1. 通过底边和高计算面积 = 底边 ×高 ÷ 2其中，底边代表三角形的底边长度，高代表从底边到顶点的垂直距离。
将底边与高代入公式，计算结果除以2即可得到三角形的面积。
2. 通过海伦公式计算当我们只知道三角形的三条边长时，可以通过海伦公式来计算面积。
海伦公式如下：面积= √[p × (p - a) × (p - b) × (p - c)]其中，a、b、c表示三角形的三条边长，p表示三角形的半周长，公式中的√表示开平方。
三、圆的面积计算方法圆也是一种常见的图形，其面积计算方法如下：面积= π × 半径²其中，π是一个常数，可以近似表示为3.14，半径代表圆的半径长度。
将半径的平方乘以π即可得到圆的面积。
四、正方形的面积计算方法正方形是特殊的矩形，其四边长度相等。
正方形的面积计算方法与矩形相同，可使用矩形的面积公式来计算：面积 = 边长 ×边长其中，边长代表正方形的边长长度。
将边长代入公式即可得到正方形的面积。
五、其他图形的面积计算方法除了上述常见图形外，还存在很多其他形状的图形，例如梯形、长方体、圆柱等。
这些图形的面积计算方法因形状特点的不同而各异，具体计算方法可以参考相关几何知识教材或者通过搜索引擎获取。
Koch分形雪花图地面积计算
Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。
在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。
而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。
Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。
显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。
算法如下： （1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。
在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。
分形曲线与面积计算-精品
sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos
(1, 0)
1
0
cos sin
(0, 1)
0 sin
1
cos
5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln
1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn
lnN
/
ln
1
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
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面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
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二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
一类分形曲线的构造算法及维数
一类分形曲线的构造算法及维数
王若恩;陈锦昌
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2005(026)005
【摘要】以分形理论为依据,根据分形几何描绘自然景物的基本思想,论述了一类分形曲线的递归算法和生成过程,通过参数控制,研究了如何使一条直线段生成了3种不同结构的分形曲线,运用C++编程绘出3种不同结构的分形曲线的图形;同时对Hausdorff维数理论进行了深入的研究与探讨,并且以Hausdorff维数理论为依据分析了由直线分形演绎生成的分形曲线的雏数,把维数理论与实践应用相结合.本研究为分形曲线的生成和实践应用提供了理论依据.
【总页数】5页(P105-109)
【作者】王若恩;陈锦昌
【作者单位】华南理工大学机械工程学院,广州,510640;广东工业大学应用数学学院,广州,510090;华南理工大学机械工程学院,广州,510640
【正文语种】中文
【中图分类】TP39
【相关文献】
1.三维空间中的分形插值曲线及其维数 [J], 李玲;冯志刚;许荣飞
2.一类分形方块的拓扑豪斯道夫维数 [J], 代玉霞;柯枫;李青
3.一类耦合的非线性KdV方程组的Hausdorff维数和分形维数 [J], 房少梅
4.一类非自治分数阶随机反应扩散方程随机吸引子的分形维数 [J], 白欠欠;舒级;李林妍;李辉
5.一类化学模型的确定模式和分形维数（英文） [J], 郭延涛;陈学勇
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曲线与曲面的长度与面积
曲线与曲面的长度与面积在数学中，曲线与曲面是常见的几何概念，它们的长度与面积是我们研究的重点。
本文将探讨曲线与曲面的长度与面积计算方法，并举例说明。
一、曲线的长度计算对于平面曲线来说，我们可以使用弧长公式来计算其长度。
假设曲线方程为y=f(x)，其中a≤x≤b，那么曲线的长度L可以由以下积分求解：L = ∫[a,b]√[1+(f'(x))²]dx其中f'(x)表示曲线的导数。
通过求解上述积分，我们可以得到曲线的长度。
举例来说，考虑一条抛物线y=x²，其中-1≤x≤1。
我们可以计算出该曲线在给定范围内的长度。
首先求导得到f'(x)=2x，然后根据公式计算弧长：L = ∫[-1,1]√[1+(2x)²]dx通过计算上述积分，最终得到该抛物线在-1≤x≤1范围内的长度。
二、曲面的面积计算对于曲面来说，我们可以使用曲面面积公式来计算其面积。
假设曲面方程为z=f(x,y)，其中D为曲面在xy平面上的投影区域，那么曲面的面积S可以由以下积分求解：S = ∬[D]√[1+(fₓ(x,y))²+(fᵧ(x,y))²]dA其中fₓ(x,y)和fᵧ(x,y)分别表示曲面在x和y方向的偏导数，dA表示曲面元素的面积元。
举例来说，考虑一个半径为R的球面，其球心位于原点，那么球面方程可以表示为x²+y²+z²=R²。
我们可以计算出该球面的面积。
首先计算出fₓ(x,y)=fᵧ(x,y)=2z，然后根据公式计算曲面的面积：S = ∬[D]√[1+(2z)²]dA通过计算上述积分，最终得到该球面的面积。
综上所述，曲线与曲面的长度与面积可以通过数学方法计算得出。
这些计算公式为我们研究几何形体提供了有力的工具。
通过适当选择积分范围及运用相关计算方法，我们可以准确求解曲线与曲面的长度与面积问题。
这些计算结果对于实际应用中的建模、工程设计和科学研究等领域都具有重要的意义。
雪花曲线面积公式
雪花曲线面积公式雪花曲线（snowflake curve）是一种分形曲线，具有类似于雪花的形状。
雪花曲线在科学、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍雪花曲线的面积公式、原理和实际应用场景。
一、雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式是由德国数学家康托尔（Georg Cantor）最先发现的，即：S=\frac{3\sqrt{3}}{20}L^2S表示雪花曲线的面积，L表示雪花曲线的边长。
二、雪花曲线的原理雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性。
雪花曲线的生成是通过迭代过程得到的。
具体来说，生成一个雪花曲线需要以下几个步骤：Step 1：以一个正三角形为起点。
Step 2：将正三角形的每条边等分为3段，并将中间一段替换为两个边长相等、与中间一段成60度角的小正三角形，即在正三角形的每一条边上均生成一个小正三角形。
Step 3：对于每个小正三角形，重复Step 2的操作，直到达到所需的细节程度。
整个过程类似于“分形生长”，即通过不断重复根据一定规律生成新的形状。
这样生成的雪花曲线具有自相似性和不规则性，且细节层次丰富，看起来别具一格。
三、雪花曲线的实际应用场景1.计算机图形学雪花曲线是计算机图形学中常用的一种分形曲线，可以通过计算机程序生成。
由于雪花曲线具有自相似性和不规则性，可以给图形增加一定的复杂度和美感，因此在图形设计领域有着广泛的应用。
2.科学研究雪花曲线还被应用于物理、化学、生物等科学研究领域。
在材料科学中，雪花曲线可以用于研究材料表面的形貌、结构和性质。
在气象学中，雪花曲线可以用于模拟雪花的形状和降雪规律。
3.金融市场分析雪花曲线还可以应用于金融市场的波动性分析和预测。
利用雪花曲线的自相似性和不规则性，可以揭示金融市场存在的某些隐含规律或规律的破坏，进而预测市场的趋势和波动，为投资决策提供参考。
四、结语雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性，广泛应用于计算机图形学、科学研究、金融市场分析等领域。
Koch分形曲线
Koch 分形曲线1.1 分形原理这是一类复杂的平面曲线，可用算法描述。
从一条直线段开始，将线段中间三分之一部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形(图1)；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形(图2)，这时，图形中共有17个结点。
这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。
在迭代过程中，图形中的点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辩率。
1.2 算法分析算法分析：考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程。
设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点。
现在需要在直线段的中间依次插入三个点234,,P P P 产生第一次迭代的图形(图1)。
显然，2P位于1P 点右端直线段的三分之一处， 4P 位于1P 点右端直线段的三分之二处；而3P 点的位置可以看成是由4P 点绕2P 旋转60度(逆时针方向)而得到的，故可以处理为向量24P P 经正交变换而得到向量23P P 。
算法如下：(1) 2151()/3P P P P =+-；(2) 41512()/3P P P P =+-；(3) 3242()T P P P P A =+-⨯；图2 第二次迭代图1 第一次迭代在(3)中， A 为正交矩阵：c o s s i n 33sin cos 33A ππππ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦算法根据初始数据(1P 和5P 点的坐标)，产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个5×2矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标，……，第五行为5P 的坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的X 坐标，第二列元素分别为5个结点的Y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第k 次迭代产生结点数为k n ，第k+1次迭代产生结点数为1k n +，则k n 和1k n +之间的递推关系式为143k k n n +=-。
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x( t ) (1 t ) xk txk 1 , t (0,1) y( t ) (1 t ) yk tyk 1
Lk
ydx [(1 t ) yk tyk 1 ]( xk 1 xk )dt
0
1
1 ( xk 1 xk )( yk yk 1 ) 2
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Koch分形曲线与面积计算
分形图形的基本特征 正交矩阵与正交变换 Koch分形曲线 Koch分形雪花面积计算
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分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967 年发表于美国《科学》杂志一篇论文
“英国海岸线有多长” 。 分形(Fractal)图形最基本特征是自相 似性，即某一对象的局部与整体在形 态、功能、信息、时间、空间等方面 具有相似性。 在自相似的图形中，局部只是整 体的缩影，而整体则是局部的放 大。适当的放大或缩小几何尺寸， 整个结构并不改变。
格林公式导出的面积计算方法
Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D
取 P y
Q x
区域 D 的面积公式
1 A ydx xdy 2 L
(k 1,2,, n)
设 D 是平面多边形, 顶点为:
Pk ( xk , yk )
第 k 条边:
MATLAB函数: polyarea(x,y)
yk yk 1
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面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 3 4
n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
lim Area ( K n )
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Mandelbrot 1924- 2010
Koch分形曲线 算法描述 : 将一条直线段三等分 , 删除中间三分之一 部分 , 用一等边三角形的腰代替 , 形成四条线段的折 线.每一线段重复以上操作,迭代产生曲线 Kn
Koch岛 Koch分形曲线
基本算法
P1 P2 P1 Q1
Q2
Q3 P2
lim Area ( Pn )
n
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三、电子科技大学清水河校区占地面积计算
参考电子科技大学 清水河校区1:200 地图(或参考网上 地图). 采样学校周 边坐标数据计算学 校占地面积. 同类问题: 杭州西湖面积、 洞庭湖面积、 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(0, 1)
cos sin
cos A sin
sin x1 cos x2
sin cos
0 sin 1 cos
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MATLAB代码
function koch0(P,N) if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A'; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
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Sn 4 1 Kn的周长: Ln n 4 n L0 3 Kn的维数: Dn ln4 / ln3 1.2618
Kn的边数:
n
Dn ln N / ln
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相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
xdy [(1 t ) xk txk 1 ]( yk 1 yk )dt 01 1 ( yk 1 yk )( xk xk 1 ) 2
Lk
Lk
ydx xdy xk yk 1 xk 1 yk
(k : An 2 k 1 x k 1
n
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二、竞赛题的实验设计
(第一届全国大学生数学夏令营第6题 ) 设P1为边长等于1的等边三角形，P2是由P1之各边3等 分点连接成的六边形，· · · · · · ，Pn+1是由Pn之各边3等分 点连成的多边形。 试证Pn的边数为：
Ln 3 2
n1
求 Pn 所围面积和面积数列的极限
功能:对向量做旋转变换.
x1 1 0 x1 x 2 0 1 x2 x1 cos sin x2 x1 x 2 sin cos
(1, 0)
cos 1 0 sin
(1) Q1 ← P1 + (P2－P1)/3; Q3 ← P1 + 2(P2－P1)/3; (2) Q2 ← Q1 + (Q3－Q1)×AT;
(3) P5 ← P2; P2 ← Q1; P3 ← Q2; P4 ← Q3．
A是正交矩阵.
cos / 3 sin / 3 A sin / 3 cos / 3