分形维数算法
团聚体分形维数d -回复
团聚体分形维数d -回复团聚体分形维数d是描述团聚体内部结构复杂程度的一个重要概念。
团聚体是由多个较小的团块组成的聚合体，而分形维数则是用来度量这种聚合体内部结构的维度。
本文将逐步介绍团聚体分形维数d的概念、计算方法以及其在科学研究中的应用。
第一部分：团聚体分形维数的概念和背景知识（300字）团聚体是一种常见的聚合体，如颗粒聚集体、纳米颗粒团聚、分子聚集体等。
它们由许多较小的团块组成，形成层次性的结构。
团聚体的内部结构往往呈现复杂的几何形状，如分支、环状、网状等，而团聚体分形维数d 则是用来描述这种复杂几何结构的一个重要指标。
分形维数是由数学家Benoit Mandelbrot在20世纪70年代首次提出的，用来描述不规则的几何形状。
传统的几何学中，维数只有整数值，如直线的维数是1，平面的维数是2。
而分形维数可以是小数或非整数，用于描述那些具有分形特征的复杂结构。
第二部分：团聚体分形维数的计算方法（500字）计算团聚体分形维数的方法有多种，其中最常用的是盒计数法（box-counting method）。
这种方法是在团聚体上覆盖一系列大小不同的正方形网格，然后计算每个网格含有的团体块数目。
将每个网格的大小的对数值和团体块数目的对数值作图，并拟合出一条直线。
这条直线的斜率就是团聚体的分形维数。
盒计数法的基本原理是通过不同尺度下盒子内的团体块数目，来描述团聚体内部结构的复杂程度。
因为团聚体内部结构具有层次性，所以在不同尺度下，盒子内的团体块数目会有显著的差异。
通过计算这些差异，我们可以得到团聚体的分形维数。
除了盒计数法，还有其他计算团聚体分形维数的方法，如谱维数法、统计方法等。
这些方法在某些情况下可能更适用，但盒计数法由于其简单性和广泛应用性而成为最常用的方法。
第三部分：团聚体分形维数在科学研究中的应用（700字）团聚体分形维数在许多科学研究领域都有重要的应用价值。
以下将介绍其中几个应用方向。
1. 材料科学：团聚体分形维数可以用来研究材料的孔隙结构，如多孔介质的孔隙分布、孔隙尺寸等。
河流形态特征的分维计算方法
关键词 河流形态 河网 分形维数 河系定律
1 引言
“分维” 是混沌数学中的概念 , 可用于研究大小现象具有自相似性的不规则分形几何图 形问题。 自然界到处都充满了分形现象 , 河流几何形态即是其中的一例 , 其蜿蜒曲折的河 道 , 及各种分枝状的河网水系都不是简单的直线 , 亦非可微分的曲线 , 却又具有处处连续 的分形特性。[1 ]。
河 长 ( k m) 915 452 445 925
Hor ton河流参数
RL 2. 07
RA 3. 56
2. 40
5. 18
1. 95
3. 07
2. 12
3. 79
河长的分维 d
计算网格法
河系定律法
1. 14
1. 15
1. 01
1. 07
1. 14
1. 19
1. 09
1. 13
32 8
地 理 学 报 52卷
维的推求方法。 它还适用于推求与之有类似分形性质的流域周边长度等的分维。 各河流的
分维不同 , 可代表其受地形等因素影响而形成的不同蜿蜒曲折程度。 一般而言 , 分维越大 , 河流的蜿蜒程度越高 , 因此分维也反映了河流发育的自然特征。 另外联系到河长与某流域
参数有关 , 因此还可以利用 Hor ton河系定律来推求河长的分维。
由于当 K ∞ , 则 L1 0, 这样就可以视 L1 为比例尺的比值 r , 比较式 ( 2-7) 和式 ( 2-22) , 就得
考虑到 D≥ 1, 则有
D = logB /logRL
( 2-23)
D = max ( 1, log RB /logRL )
( 2-24)
这就是 La Barbera和 Rosso 给出的河网分形维计算公式 [5]。 可见河网的分维与河流的分枝
一类自仿集的分形维数的算法
第２卷 第 ５ ７ 期
李 艳 晓 ， ： 类 自仿集 的分形 维数 的算 法 等 一
｛ ， ）： （ ＋ ｄ ） ， ｆ（ ＝ ＝ｑ ｝
Ｄ 一 ｛ ｄ１— ０， ２ … ， ｄ ， ｄＮ｝ ｎ ， ”
１ ９
则Ｔ —ｎ （ ｒ ）且Ａ ： ｛『 ． 是 Ｕ ｇ（）， 一 ｒ １ ∈ｓ ） Ｊ ，
问题 转 化 ， 然后 建立 一 个 图递 归 系统 计 算 自仿 集 的 Ｈａ ｓ ｏ ｆ 数 ． 算 法极 大 地 减 少 了对 自仿 集 的 条 件 限 ｕｄ ｒ ｆ维 该
制 （ 重 叠 结构 ）并 结 合 实例 验 证 了该 算 法 的 有 效 性 ． 有 ，
关键词 ： 自仿 集 ； 形 维 数 ； 分 图递 归 ； 法 算 中图 分 类 号 ： ７ Ｏ１ ４ 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ １ ９ ７ （０ ０ ０ ０ １ Ｏ １ ７ — ４ ６ ２ １ ） ５— ０ ８一 ３
分形维 数是研 究分 形集 的一 个 重要 指标 ， 是 也 近年分 形理论 在 应用 中 的一个 热 点 问题． 比如在 地 震 科学 中可 以研究 演示 破裂 的过 程 ， 在材 料力 学 中
每 一 个 ｋ有
Ｔ— Ｕ ｆｌ Ｊ （ ｒ）一 ｑ （ 丁＋ Ｄ ， ）
其中 Ｄ 一 Ｄ＋ ｑ ＋ … ＋ｑ Ｄ． Ｄ
维数 ， 文献 ［ ］ ３ 理论 上讨论 了 白仿集 及 边界 的维数 ， 但 只是 给 出 理 论 ， 于 具 体 算 法 的研 究 却 几 乎 没 对
生成 的 自仿 ｔ ｅｒ满 足 ｉ ｌ
丁 ， ｒ＋ Ｄ （＝ ＝ ．
有． 基于 此 ， 者结合 文献 ［ ］ 笔 ３ 的理 论 给 出了一 类具
分形维数二进算法及应用
Ｍｉｒｃ ｍｐ ｔｒＡ ｐｉ ｔ ｎ ｏ． ８ Ｎ ． ，０ ２ ｃｏｏ ｕｅ ｐ ｌ ａｉ ｓＶ １１ ， ｏ ４ ２ ０ ｃ ｏ
研 究与设计
擞 型电脑应用
２０ 年 第 １ ０２ ８卷第 ４期
分形 维 数 二 进 算 法 及 应 用
距为 Ｋ△ 上 的集合 ｘ的计 点数 。得到 ｋ个不同 网格宽度上 的 ）
计 点 数 Ｎ Ａｋ ， … ， ｘ ． 一１ ２ Ｋ
见 设
）
则
ｍ
的直线的斜 率
二 、 息分形 维数 的二 进算法 信
１ 信 息 分 形 概 述 ． 对 离 散 数 据 和 连 续 函数 应 用 信 息 维 数 进 行 分 析 Ⅲ ， 本 基 含 义 是 在 Ｒ 上 ， 为 集 类 序 列 ｘ 的 分 形 扳 限集 ． ： （ ｎ ｘ 则 ｂ ｘ）
立 方 体 是三 维 当一 十 实际 结 构 或 函 数存 在 用 ｎ维 测 量 时 ， 结 果 为 无 穷大 ； 用 ｎ １ 测 量 时 ． 而 ＋ 维 结果 为零 。 明它 具 有 非 整 说 数 维 数 ， 维 数 值 Ｓ为 分 数 ， 足 ｎ ｓ ｎ １维 数 可 用 来 定 其 满 ＜ ＜ ＋ ， 量 描 述 分 形 集 的 复 杂 内在 特 性 ， 数 计 算 成 为 分 析 分 形 集 合 维
行 性
曼 ｇＮ／ ｇ ｉ －
２ 分形集合描述 ．
下面 是 分 形 集 合 是 在 Ｒ 内说 明 ． 图 示 为 分 形 集 合 Ｆ分 设 布 在 Ｄ 内 ， 计 算 Ｆ的 分 形 维 数 应 分 裂 后 取 扳 限 计 算 ， ｘ 要 对 进 行 正规 的 分 割 嘲 ， 图 １所 示 。 如
能确定信号特 征的时间长度 Ｔ， 设采样 周期 为 △ 使得 Ｔ／ ． Ａ＝
分形维数计算
分形维数计算分形维数是一种衡量不规则形状复杂度的数学工具，它可以用来描述分形图像的复杂程度。
分形维数通常使用数学方法来计算，这种方法称为维数计算。
维数计算的基本思路是：对于分形图像中的每个区域，测量它周围区域内像素的数量。
随着区域的大小减小，周围像素的数量也会随之减小。
如果这种减小是按照某种规律发生的，那么这个分形图像就具有规律性，并且可以使用维数来描述它的复杂程度。
具体来说，分形维数可以通过如下公式计算：D = log(N) / log(1/r)其中，D是分形维数，N是每个区域周围像素的数量，r是区域的相对大小。
通常情况下，r 是一个小于1的常数，表示区域的相对大小减小的速率。
分形维数的值可以在0和无限大之间取值。
数值越大，分形图像的复杂程度就越高。
例如，一个线段的分形维数为1，而一个平面的分形维数为2。
分形维数的应用非常广泛，它可以用来描述各种不规则形分维数的应用非常广泛，它可以用来描述各种不规则形状的复杂程度，如自然景观、生物形态、社会网络等。
它也可以用来研究物理系统中的结构和动态变化，如气流、地震波传播、经济趋势等。
分形维数还可以用来衡量数据集的复杂程度，这在数据挖掘和机器学习中非常有用。
例如，在文本分类任务中，分形维数可以用来评估不同文本数据集的复杂程度，从而选择合适的分类算法。
维数计算的具体实现方式有很多种，其中常用的方法包括扩展的分维数计算法、信息熵算法、盒子数算法、结构函数算法等。
这些方法在不同的应用场景下各有优劣，需要根据具体情况进行选择。
总之，分形维数是一种非常有用的工具，可以用来描述各种不规则形状的复杂程度，并且在数据挖掘和机器学习中有着广泛的应用。
分形几何中的分形维数和分形拓扑
分形几何是一门研究自相似性和自恶化性质的数学分支。
分形几何的基本思想是运用递归和迭代方法来构造并研究具有特殊性质的几何对象，这些几何对象被称为分形。
在分形几何中，分形维数和分形拓扑是两个重要的概念。
分形维数描述了分形对象的尺度特征和空间填充性质。
对于一般的几何图形，维数可以用整数来描述，比如点的维数是0，线的维数是1，平面的维数是2。
然而，对于分形对象来说，用整数维度来描述是不合适的，因为分形对象通常具有非整数维的特点。
分形维数是一种介于整数维和分数维之间的维数概念，它可以帮助我们理解和揭示分形对象的尺度特性。
常见的分形维数包括Hausdorff维数、盒维数等。
Hausdorff维数描述了分形对象的自相似性，而盒维数则描述了分形对象的空间填充性。
分形拓扑研究的是分形对象如何在拓扑空间中进行组合和分解。
传统的拓扑学主要研究整体性质和连续性，无法很好地描述分形对象的自相似性和分布特点。
分形拓扑通过引入分形维度和分形结构等概念，对分形对象进行了全面而深入的研究。
在分形拓扑中，分形对象可以通过分形维度和分形结构来分解成多个部分，并且这些部分之间仍然表现出自相似性。
通过分形拓扑的方法，人们可以更好地理解分形对象的组合特性、变换特性以及拓扑空间中的分形结构。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在纯数学领域中具有重要意义，而且在物理学、生物学、地理学、经济学等多个学科中也有广泛的应用。
在物理学中，分形维数被用来描述复杂系统的几何特征，如分形海岸线、分形粉末的填充性等；在生物学中，分形维数被用来研究生物体的形态特征和生存策略；在地理学中，分形维数被用来描述地形形状的复杂性和多样性；在经济学中，分形拓扑可以用于模拟金融市场的波动性和奇异性。
总之，分形维数和分形拓扑是分形几何中的两个重要概念，它们描述了分形对象的尺度特性和空间组织特性。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在其他学科中也发挥着重要作用。
通过对分形维数和分形拓扑的深入研究，我们可以更好地理解和揭示自然界和人类社会中的复杂系统的结构和行为规律。
裂隙分形维数
裂隙分形维数
裂隙分形维数是一种用于描述自相似结构复杂度的参数。
下面我们
将详细解释裂隙分形维数的概念、计算方法和应用。
一、概念
裂隙分形维数是指从一个完整的自相似结构中删除某些部分后，剩余
部分相对于原结构的复杂度。
简单来说，就是一个结构被破坏后剩下
来的结构与原结构的相似程度。
二、计算方法
裂隙分形维数的计算方法与经典分形维数不同。
具体而言，我们需要
先将自相似结构曲线进行划分，然后通过计算每段曲线的长度和直径
的比值，求出每段曲线的分形维数，最终求取整个自相似结构的平均
分形维数。
三、应用
裂隙分形维数广泛应用于工程、物理、化学、地理和生物学等领域中。
在石油勘探和开采过程中，裂隙分形维数可用于对岩石中的孔隙度和
渗透率进行测量和预测。
而在生物学中，则可用于描述生物细胞膜的
内部结构和细胞的形态特征。
四、总结
裂隙分形维数是一种衡量自相似结构复杂度的参数，具有广泛的应用领域。
它的计算方法比较复杂，需要通过将曲线进行划分后，分别计算每段曲线的分形维数来求取整个结构的平均分形维数。
分形现象与分形维数
第一章分形现象与分形维数1.分形现象（Natural Fractals ）Construction of the Koch curve (Koch Helge Von,1904,瑞典数学家。
)Ө=60o •局部几何性质很难描述，处处连续但不可微；•无特征尺度（长度及面积）；•永远看不清的“精细结构”，传统几何学很难研究(妖魔曲线)；•具有自相似性。
Koch 魔线（海岸线）(2)(1cos )()n n D nn b t w t b =+∞−=−∞−=∑Weierstrass 函数（1872）b=1.5 ,D=1.1b=1.5 ,D=1.12()()Dw bt bw t −=自相似结构处处连续处处不可微函数b=2 ,D=1.5b=2 ,D=1.1(2)(1cos )()n n D nn b t w t b =+∞−=−∞−=∑Weierstrass 函数（1872）处处连续处处不可微函数The Lorenz Attractor as Viewed from Eight Different AnglesA geometric figure of this sort with an infinite level of detail is called a fractal. Chaos always results in the formation of a fractal, but not all fractalsare associated with chaos.最近几十年无（却有自相似性）适合自然界形状（递推公式）大于2000年有适合人造物体（公式）年代特征尺度形状分形(Fractal)欧几里德形状（Euclidean Geometry)分形与欧几里德形状区别2.分形概念（Fractal）FractalsA set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimensionFractalsA shape made of parts similar to the whole in some way3.分形维数（Fractal Dimension ）(1). Similarity Dimension（相似维数）22114.43331114.163993.............1433nnr L r L r L ⎛⎞⎛⎞=⎯⎯→==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎯⎯→==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=⎯⎯→=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠10.2618:()4ln 14ln 4ln 3ln 43:11133ln1ln 3ln 3ln 3ln 4: 1.2618ln 3:()()ln ()1ln :"",nnD Let L r N r rThen D where D Then L r r r L N r D r µµµ−−==⋅⎛⎞⎜⎟⎡⎤−⎛⎞⎛⎞⎝⎠=⎯⎯→===−=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟−⎛⎞⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎜⎟⎝⎠====⎯⎯→↓→↑=→⎛⎞⎜⎟⎝⎠分形维数意义用边长为r的小立方块去覆盖客体量出N(r)的小立方块的最小个数是13r =r =213r ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠①②相似维数Ds适用范围：主要用于自相似性质的规则图形，对于自然界广泛存在的随机图形的分形，还需另外的维数定义。
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分形维数算法．
分形维数算法
分形包括规则分形和无规则分形两种。
规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。
这些分形图形具有严格的自相似性。
无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，
如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。
这类曲线的自相似性是近
似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。
对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。
不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。
因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。
分形维数
D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）
如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维
D=ln4/ln3=1.262;
Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。
对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。
不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。
点
集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法
用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。
不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。
如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系
-D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。
Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。
海岸线绝对长度L被表示为：
1-D（2-22）L=Nλ～λ
他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。
这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3．
）小岛法（2面积如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。
则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比，
二次方成正比。
通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：1/2
(2-23)
AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下Mandelbrot 述关系式：21/??D??1/1/D2）（2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P）式），使1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓，a是和岛的形状有关的常数，为小于是测量尺寸，一般取0/D）（1-D??减小而增大。
作随测
量尺寸值（如取岛的最大直径为1），使因子1/2????图，从其中直线部分的斜率的
倒数，可以得到)log[P(])//]～log[A( D。
分维体积法）。
这个方法也可以推广到粗糙曲线（表面积-[28]计盒维数法（3）把的小盒子，这是一种常用的计算分形图形分维数的实用方法。
取边长为r分形曲线覆盖起来。
则有些小盒子是空的，有些小盒子覆盖了曲线的一部分。
然后缩小盒子的尺寸，。
（r）计数多少小盒子不是空的，所得的非空盒子数记为N 时，得到分形维数：）自然要增大，当r→0
所得N（r log N(r)lim?D?（2-25）log r0?r实际计算中只能取有限的r，通
常的做法与尺码法类似，求一系列r和N（r），然后在双对数坐标中用最小二乘法拟合直线，所得直线的斜率即所求分形维数。
[29]结构函数法（４）具有分形特征的时间序列能使其采样数据的结构函数满足：24?2D???C?)(?xz?S()[(?)zx]（2-26）
式中：
2?表示差方的算术平均值。
)]xz[z(x?()??是数据间隔的任意选择值。
??然后在对数坐对分形曲线的离散信号计算出相应的Ｓ（，针对若干尺度）?? )～log标中得logS(直线的斜率Ｗ，则分形维数：
W4?2-27）（?D2系统所采用的二种计算维数的方法2.2.4在原理上都是利用了它们的自以上介绍的各种测量不规则分形的分维方法，相似性和被测量是随测量尺度的改变而改变的特性。
因此选择哪一种方法来测定和计算分维只能从实际问题出发，没有统一的标准。
但在计算分维时存在的共同点是在计算原则上要求图形象素尽量多以及相似的层次尽量多。
但实际图形往往达不到这样的要求，计算机模拟结果原则上可以有大得多的线性范围，个量级。
因此我们在实际的3但限于计算时，一般双对数图上的线性范围是2～研究工作中，对研究对象使用分形或分维等概念时一定要注意它的适用范围。
下面介绍在系
统中所使用的二种求分形的方法。
半方差法、a半方差法用于复杂的分形曲线
的计算，适用于对随机过程数据的处理。
该方法简单易行，适合于计算机处理，
是一种较实用的计算方法。
，且随机变量的平均差）（t设在某一测量距离或测量时间序列上得到一族z 表示为：1?（2-28）)])z[(t)??t?t(?zam(n其中：m(a)为平均差；
z(t)为在t位置函数曲线的测量值；
z(t+Δt)为在t+Δt位置函数曲线的测量值；
Δt为一对数据的间据
n为数据对数。
方差表示为：
1?2 2-29）（)]t??t[z(t)?z?s(a)(n半方差表示为：11?2
（2-30）)]t?)?z(t?r(a)?(s(a)?[zt
n22连续测量某一距离的各点t式中数据的对数n的确定方法是：若以等间距Δ所示如图2-6数值时，得到一随机数据z(1),z(2),…,z(k), 所示。
如图2-6 (a)=Δt时，数据的对数n=k-1,当一对数据的间距t1=k-2,nt时，计算相应的半方差时，数据的对数当一对数据的间距t=2Δ22所示。
如图2-6 (b 当一对数据的间=时，计算相应的半方差时，数据的对=k-3如2-6 (c所示
t
=k-1 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k)
(a)
=t
=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k)
(b)
=t
=k-3z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)z(7)z(8)z(9)
2-6 半方差法中参的确
F ig 2-6 the definition of n in semi-variance
method
当试验数据较多时，往下依次类推。
每当改变一对数据的间距时，由式（2-30）可以得到相应的半方差r(a)。
对于分形曲线，a与r(a)存在如下的幂型关系：
W (2-31)
h∝r(a)．
绘到双对数坐r(h)是幂指数，是分形维数D的一种逼近，把h和其中，W与分形维W标图上，并进行线性回归，得到回归方程，其斜率即为W。
而斜率[23]数D有如下关系：（2-32）W=4-2D
则W4?（2-33）?D2b、变换法
[29]介绍的方法，在本质上它与计盒维数法相似，但对已知分等这是Dubuc[25]把此方Irene后来Spanos和形曲线运用此法得到的结果比计盒维数法准确，。
法推广应用于粗糙曲面，也得到很好的结果。
此法设置宽为Ｒ的矩形（盒子）覆盖到分形曲线上，矩形的高度由分形曲线在框内的最高点和最低点决定（图2-7），一步一步移动矩形遍及所有象素点，将所有矩形的高和宽相乘并且相加起来得到总面积S（R），系列改变Ｒ的大小重复以上操作，得到一系列S（R）。
注意上述操作过程中矩形经过的范围应远远大于矩形的宽度。
将
R
R1
图2-7 变换法求分维
Fig 2-7 dimension calculating using
variation
２２，作lnN(R)～ln(1/R)曲线，取其中RSRN得到（R）＝（R）／）除以（SR －Ｄ的关系。
或者）～RN线性部分的斜率为分维Ｄ，因为在线性范围内存在（R 。
D，并且由此斜率得到分维W曲线，其中线性部分斜率为lnR～lnS(R)直接作
D＝２－W （2-34）
变换法也可以推广到粗糙曲面的分维计算。
此时测量用的矩形被正方柱代替。
变换法和计盒维数法在本质上是相同的，它们都是用不断改变尺寸的盒子去覆盖图
形。
其较为准确的原因在于它允许二维或三维的盒子数N（R）为非整
数，同时N（R）也是遍及所有象素点得到的数值。