2018版高中数学小问题集中营专题2.3二次函数在闭区间上的最值
高一数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数在闭区间上的最值问题
高一数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：(1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者．(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是．(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．当时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设－．(待定系数法，二次函数设为交点式)在区间－上的最大值是．由已知得，，－．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，－综上所述，得的表达式为：．【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求在区间上的最大值和最小值．【解析】的对称轴为．①当时，如图①可知，在上递增，，．②当时，在上递减，在上递增，而，(此时最大值为和中较大者)当时，，如图，当时，，如图③，③当时，由图④可知，在上递减，，．综上所述，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．【点拨】①题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.②在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定、哪个是最大值，则还有分类;【题型三】逆向题型已知函数在区间上最大值为，求实数的值．【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)则而在上的最大值,(2)若则的对称轴为，则的最大值必定是、、这三数之一，若，解得，此时而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．若，解得，此时而距右端点较远，最大值符合条件，.若，解得，当时，，则最大值不可能是；当时，此时最大值为，；综上所述或【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是、、这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数．当时，求函数在区间上的值域；当时，求函数在区间上的最大值；求在上的最大值与最小值．【答案】(1) (2) ；(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．【解析】(1)当时，，函数在－－上单调递减，在－上单调递增，－，，，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数的对称轴为，①当，即时，函数在－上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当－，即－时，－a时，函数取得最小值为－；当－时，函数取得最大值为－．④当－，即－时，函数在－上是减函数，故当－时，函数取得最大值为－；当时，函数取得最小值为．2(★★) 已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值(2)或(3)或【解析】(1)时，；在－上的最大值是，最小值是－；(2)在为单调函数；区间－在f(x)对称轴－的一边，即－－，或－；或－；－(3)－，中必有一个最大值；若－－－；－－，符合－最大；若，；，符合最大；或．3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.【答案】【解析】若时，在上是减函数，即则条件成立，令(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，=即，解得或,(Ⅱ)当即若解得与矛盾;(2)若时即解得与矛盾;综上述：．4(★★★)已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.【答案】【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。
通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。
本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。
如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。
这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。
驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。
这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。
根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。
由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。
对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2。
这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。
在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。
高中数学闭区间上二次函数的最值专题辅导
2a
则 f (x) 的最小值是 f (m) ，最大值是 f (n)
若n
b ，由 f ( x) 在 m， n 上是减函数
2a
则 f (x) 的最大值是 f (m) ，最小值是 f (n)
二. 动二次函数在定区间上的最值
二次函数随着参数 a 的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我 们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
2 ，或 a 2 5
解后反思：例 7 中，二次函数的对称轴是变化的；例 的。
8 中，二次函数的对称轴是固定
另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参 数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处
取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。
若 3 2a a ，即 0 a 1 则当 x 3 2a 时， S最小 12a 8a2 4
1 此时， a 1，或 a
2
若 3 2a a ，即 a 1
则当 x a 时， S最小
a
(3
2
2a)
12a
8a 2
4
此时， a 5 ，或 a 1（因 a 1， a 1舍去） 综上讨论，参变数 a 的取值为 a 1，或 a 1 ，或 a 5
4， 1 上。
a 2 4a 1，其对称轴方程为 x 2 ，顶
a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间
若 a 0 ，函数图象开口向下，如图 即 f ( 2) a2 4a 1 5
4 所示，当 x
解得 a 2 10
故 a 2 10( a 2 10舍去 )
2 时，函数取得最大值 5
若 a 0 时，函数图象开口向上，如图 即 f (1) 5a a 2 1 5
高中数学二次函数在闭区间上的最值优秀课件
物联网工程 光电信息科学与工程
通信工程 医学信息工程 电气工程及其自动化
科类 理工类
理工类 理工类
理工类 理工类 理工类 理工类 理工类
学制 四年
四年 四年
四年 四年 四年 四年 四年
国家“985工程〞 、“211工程〞重 点建设高之一
20xx年9月，入选国家“双 一流〞〔世界一流大学和 一流学科〕A类建设高。
在数据分析、软件开发、保险金融、通讯工程、航空航 天、建筑设计、公司企划等都离不开函数的相关知识。
练习题
1.已 知 f(x)x22x2的 定 义 域 和 值 域 都 为 [1,b],则 b的 值 为 _____.
2.关于已知x的方程 sin2x-2sinx-a=0有实数解，
则a的取值范围是
3.若不等式 2xx2 a 对于任意的x∈[-2,3]恒
清水河、沙河、九里堤三个区， 占地4100余亩，20xx年10月截 止，设23个学院部、66个本科专 业；13个博士后流动站，16个一 级学科博士学位授权点、1个博 士专业学位授授权点，27个一级 学科硕士学位授权点、8个专硕 士业学位授权点；教职工3800余 人；全日制在生33000余人，其 中博士、硕士研究生12000余人
专题复习：二次函数在闭区间上的最值问题
xx三十 范绍超 20xx年11月
复习旧知，进入新课：二次函数的相关知识
典型例题：函数f(x)= x2–2x –3.假设x∈[ –2，0 ] 求函数f(x)的最值。
f(x)ma xf(2)5 f(x)mi nf(0)-3
y
y
O
–2
3
x
O2
–2
3
x
X=1
二次函数闭区间上的最值问题动轴定区间类型PPT课件
1.定轴定区间上的最值问题； 2.动轴定区间上的最值问题；开开口口向向上上时时函函数数最最小大值值 3.定轴动区间上的最值问题。
第1页/共9页
一、函数f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间m,n上的最
小值
分 三 类 讨 论
(1)当
b 2a
m时，f (x)min
f (m)
(2)当m
b 2a
n时，f
( x)min
f
(
b) 2a
(3)当 b 2a
n时，f (x)min
f (n)
第2页/共9页
【例题】已知函数 f x x2 2ax 2 ,求函数 f(x)
在[-5,5]上的最小值。 分析：
解析：
(1)当a 5时，f (x)min f (5) 25 10a 2 10a 27 (2)当 5 a 5时，f (x)min f (a) a2 2a2 2 a2 2
m, n 上的最大值。
当- b m n 时，f x f n
2a 2
max
当- b m n 时，f x f m
2a 2
max
第5页/共9页
【练习】已知函数 f x x2 2ax 2，求 f x 在5,5
上的最大值。
解析：函数图像的对称轴为：x a 区间中点为：x=0 当a 0时，f x f 5 =27-10a
(3)当a 5时，f (x)min f (5) 25 10a 2 10a 27
第3页/共9页
点评：二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或端点 处取得。如果解析式中含有参数，需对参数分类讨论， 根据对称轴与区间的位置关系，结合二次函数的图像 利用二次函数的单调性处理。
二次函数在闭区间上最值求法讲解
二次函数在闭区间上最值问题影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。
就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。
一、动函数定区间例1：求函数)11(2≤≤-+=x tx x y 的最小值。
解:函数的对称轴是2t x -=。
（1）当2t x -=在区间[]1,1-的左侧时, 则12-<-t 即2>t 时，所以，当1-=x 时，t y -=1min ； （2）当2t x -=在区间[]1,1-上时, 则 -1≤-2t ≤1 即 22≤≤-t 时，所以，当2t x -=时42min t y -=； （3）当2t x -=在区间[]1,1-的右侧时, 则 12>-t 即2-<t 时，所以当1=x 时t y +=1min 。
练习：（1）求二次函数a ax x y -++-=122在[]1,0∈x 上的最大值。
（2）求二次函数a ax x y -++-=122在[]1,0∈x 上的最小值。
例2：求12)(2--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值与最小值。
解：1)()(22---=a a x x f ，按直线a x =与区间[0,2]的不同位置关系分类讨论：（1）若a f x f f x f a 43)2()(1)0()(0max min -==-==<，，则； （2）若a f x f a a f x f a 43)2()(1)()(10max 2min -==--==≤≤，，则；（3）若1)0()(1)()(21max 2min -==--==≤<f x f a a f x f a ，，则；（4）若1)0()(43)2()(2max min -==-==>f x f a f x f a ，，则。
二、定函数动区间例1：求函数1222+≤≤+-=t x t x x y 在上的最小值。
中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴变区间变
第1页（共1页） 中考数学二次函数在闭区间上的最值-轴变区间变一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪baa cb a 2442，、对称轴为x b a =-2当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。
解：将24()y a x a =-代入u 中，得①，即时，②，即时， 所以。
二次函数在闭区间上最值
二次函数在闭区间上的最值一．知识点精讲1 二次函数的三种形式（1）一般式 c bx ax x f ++=2)(； （2）交点式))(()(21x x x x a x f --=； （3）顶点式k h x a x f +-=2)()( 2．二次函数的基本性质（1）开口方向 0>a 时，开口向上， 0<a 时，开口向上，（2）对称轴方程ab x 2-= （3）02=++c bx ax 根的判别式 ac b 42-=∆（4）02=++c bx ax 的求根公式 aac b b x 2422,1-±-=（5）02=++c bx ax 两根和，两根积 a b x x -=+21 ac x x =21 3 解决二次函数问题的常用方法——数形结合法二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。
结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。
因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。
4 二次函数c bx ax x f ++=2)(在区间［p ，q ］上的值域求法方法：讨论或分析对称轴和区间的位置关系。
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。
二 典型例题1 求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最小值 解析：二次函数的对称轴为1=x ，（1）当11<+m 时，即0<m ，12m in +=m y（2）当1>m 时，1)1(2m in +-=m y （3）当10≤≤m 时，1m in =y变式1：求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最大值 解析：（1）当21≤m 时，1)1(2m ax +-=m y （2）当21>m 时，12max +=m y变式2 求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最小值 解析：二次函数的对称轴为a x =， （1）当1-<a 时， 12m in +=a y （2）当1>a 时，1)1(2m in +-=a y （3）当10≤≤a 时，1m in =y变式3：求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最大值 解析：（1）当0≤a 时， a y 24m ax -=（2）当0>a 时，a y 24m ax +=二次函数是个筐，什么东西都能往里装变式4求124)(1+-=+x xx f ，]2,1[-∈x 的值域解析：xt 2=]4,21[∈t ，22)1(12)(-=+-=t t t t g ，当1=t 时，即0=x ，0)(m in =t g 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]9,0[∈y变式5 求1log log )(222++=x x x f ]2,81(∈x 的值域 注意：22)(log log x x a a =解析：x t 2log =，]1,3(-∈t ，43)21(1)(22++=++=t t t t g ，当21-=t 时，即22=x 时，43)(min =t g 当3-=t 时，即81=x ，7)(m ax =t g ，∴]7,43()(∈t g 即]9,0[∈y 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]7,43[∈y变式6 （2009福建理）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- 1 - 专题三 二次函数在闭区间上的最值数 一、问题的提出 【2017课标II，理14】函数23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是 。 二次函数是中学阶段研究最深入、最完备的一类函数,虽然是初中所学内容,却一直是高考与各类数学竞赛中的热点与难点,很多创新试题都是以二次函数为载体命制的.尤其是二次函数在闭区间上的最值,是二次函数中难度较大且考查频率较高的一个知识点,本专题对此作一些探讨. 二、问题的探源
【点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。 1. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；求解二次函数在闭区间上的最值问题,解题的关键都是抓住“三点一轴”,“三点”即区间两端点与区间中点,“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”,只不过讨论要复杂一些而已． 2. 对于“动轴定区间”问题,一般分两大类：①若轴在区间左边或右边,则直接依单调性可解；②若轴在区间中,则最值在顶点及区间端点取得(有时需要比较区间端点的函数值,从而进行二次分类)．． - 2 -
3.函数xf在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得； 设2fxaxbxc0a0,则二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情况： bmn2a bmn2a即nmab,2 bmn2a
图象
最大、最小值
nfxfmfxf
minmax
max
minfxmaxfn,fmbfxf2a
max
min
fxfnfxfm
对于开口向下的情况,讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论： （1）若nmab,2,则
maxbfxmaxfm,f,fn2a,min
bfxminfm,f,fn2a
；
（2）若bm,n2a,则maxfxmaxfm,fn,minfxminfm,fn 当对称轴位于区间之间时,考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右边,往往通过比较对称轴b2a与区间中点mn2的大小来判断. 另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越大；反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越小. 三、问题的佐证 (一)对称轴定,区间动 【例1】已知函数2()243fxxx,则函数()fx在[1,2]上的最大值为 . 【解析】'()44fxx,令'()0fx有12x,令'()0fx有11x,所以函数()fx- 3 -
在
1,1
为减函数,在1,2上为增函数. 故函数()fx在[1,2]上的最大值为(1)f或(2)f, 而(1)9f,(2)3f.故最大值为9. 【例2】求函数2yx4x3在区间t,t1上的最值. 【解析】对称轴0x2 （1）当2t即t2时,2minyftt4t3,2maxyft1t2t； （2）当t2t1即1t2时,minyf21, 当31t2时,2maxyft1t2t,当3t22时,2maxyftt4t3； （3）当2t1即t1时,2minyft1t2t,2
maxyftt4x3
【例3】【2015高考浙江】已知函数2()(,)fxxaxbabR，记(,)Mab是|()|fx在区间[1,1]上的 最大值. 证明：（1）当||2a时，(,)2Mab； （2）当a，b满足(,)2Mab，求||||ab的最大值.
解析：（1）由22()()24aafxxb，得对称轴为直线2ax，由||2a， 得||12a，故()fx在[1,1]上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}Mabff， 当2a时，由(1)(1)24ffa，得max{(1),(1)}2ff，即(,)2Mab， - 4 -
当2a时，由(1)(1)24ffa，得max{(1),(1)}2ff，即(,)2Mab， 综上，当||2a时，(,)2Mab； （2）由(,)2Mab得|1||(1)|2abf，|1||(1)|2abf，故||3ab，||3ab，
由||,0||||||,0ababababab，得||||3ab，当2a，1b时，||||3ab， 且2|21|xx在[1,1]上的最大值为2，即(2,1)2M，∴||||ab的最大值为3.. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题，以二次函数或指对 函数为背景的函数综合题是今年数学考试说明调整之后的热点题型，创新题，亮点问题常源于此，通常会结合函数与方程，不等式，化归，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识点，综合考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注. (二)区间定,对称轴动 【例4】已知二次函数f(x)＝x2－2tx＋2t＋1,x∈[－1,2]．若f(x)≥－1恒成立,求t的取值范围．
【解析】①若t＜－1,要使f(x)≥－1恒成立,只需f(－1)≥－1,即4t＋2≥－1,则t≥－34,这与t＜－1矛盾． ②若－1≤t≤2,要使f(x)≥－1恒成立,只需f(t)≥－1,即－t2＋2t＋1≥－1,则1－3≤t≤1＋3,∴1－3≤t≤2. ③若t＞2,要使f(x)≥－1恒成立,只需f(2)≥－1,即－2t＋5≥－1,∴2＜t≤3.
综上所述,t的取值范围是[1－3,3]． 【例5】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值g(a)． 【解析】(1)当a＝0时,f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减, ∴g(a)＝f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0时,f(x)＝ax2－2x的图象开口方向向上,且其对称轴为x＝1a.
①当0＜1a≤1,即a≥1时,f(x)＝ax2－2x的图象对称轴在[0,1]内, ∴f(x)在0，1a上单调递减,在1a，1上单调递增．∴g(a)＝f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a. - 5 -
②1a>1,即0∴g(a)＝f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)当a＜0时,f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下,且对称轴x＝1a＜0,在y轴的左侧, ∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减,∴g(a)＝f(x)min＝f(1) ＝a－2.
综上所述,g(a)＝a－2，a<1，－1a，a≥1. 【例6】【2015高考湖北文17】a为实数，函数2()||fxxax在区间[0,1]上的最大值记为()ga. 求()ga的值最小. 【解析】因为函数2()||fxxax，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a时，函数 22()||fxxaxxax在区间[0,1]上单调递增，所以max()(a)1fxga；
②当0222a时，此时22()|()|2224aaaafa，(1)1fa， 而22(2)(1)2044aaa，所以max()(a)1fxga；
【点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()ga的表达式和分段函数在区间上的最值求法. - 6 -
四、问题的解决 1．已知函数432xxy的定义域是m,0,值域为4,425,则m的取值范围是（ ）
A. 4,0 B. 4,23 C. 3,23 D. ,231[,)2 【答案】C 【解析】由题432xxy,对称轴为：32x.则325()24f,(0)4(3)ff. 结合图形 332m 2．函数)31(2xxxy的值域是（ ） A．[0,12] B．[-14,12] C．[-12,12] D．[34,12] 【答案】B 【解析】二次函数开口向上,对称轴为12x,结合单调性可知当12x时函数取得最小值14,当3x时函数取得最大值12,因此函数值域为[-14,12]
3.【2017课标II文8】函数2()ln(28)fxxx 的单调递增区间是 A.(,2) B. (,1) C. (1,) D. (4,) 【答案】D 【解析】函数有意义，则：2280xx ，解得：2x 或4x ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为4, .故选D. 4.【2016高考浙江】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A