江苏建湖二中2010—2011学年度高三暑假作业(4)

BC江苏建湖二中2010—2011学年度高三暑假作业（4）数学试题(总分160分,考试时间120分钟)命题：郑介宏一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上。

） 1、已知命题q p x x q x p 是则命题,02:,2|:|2<--<的_____▲______条件。

（填条件类型） 2、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =_____▲______． 3、按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数H 的值是 ▲ ．4. 等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则}{n a 的公比为 ▲ ．5、函数2cos y x x =+在[0,]2π上取最大值时，x 的值是____▲____．6. 已知函数0021,1)(,0,log 0,3)(x x f x x x x f x 则若≥⎩⎨⎧>≤=+的取值范围为 ▲ ．7、已知集合A={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=<<-042,51x x x B x x ，在集合A 中任取一个元素x ，则事件―B A x ∈‖的概率是_____▲______．8．设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0f x a f x -⋅=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___▲_____． 9、己知,0>x 由不等式,34224,2122≥++=+≥+xx x xx x x启发我们可以推广结论：)(1+∈+≥+N n n xm x n，则m ＝_____▲______．10、已知()5,2A 、()1,1B 、221,5C ⎛⎫⎪⎝⎭，在ABC ∆所在的平面区域内， 若使目标函数z ax y =+（0a >）取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为_____▲______． 11、椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax m 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆M ⋅最大值的取值范围是22[2,3]c c ，其中22ba C -=，则椭圆m 的离心率e 的取值范围是_____▲______．12. 已知向量)1,5(),7,1(),1,2(===OB OA OP ，设M 是直线OP 上任意一点（O 为坐标原点），则MB MA ⋅的最小值为 ▲ ．13．已知定义在R 上的函数()f x 满足'(1)2,()1f f x =<，则不等式22()1f x x <+的解集为__ ▲ 。

14．已知：M={a |函数2sin y ax =在[4,3ππ-]上是增函数}，N={b|方程013|1|=+---b x 有实数解}，设D=N M ，且定义在R 上的奇函数mx n x x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，向量()cos()1A C =-，m 和(1cos )B =，n 满足32⋅=m n .（1）求sin sin A C 的值；（2）求证：三角形ABC 为等边三角形．16. （本小题满分14分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且12AB AA ==，,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点，（1）求证：D E //平面ABC ；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ； （3）求三棱锥E －AB 1F 的体积。

17．（本小题满分16分）设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=， （1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆2214xy +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由．18、（本题满分16分）江苏某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为长为x （米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC 与两腰长的和．．．．．．）为y （米）. ⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.19．(本小题满分16分)已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠.（Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.20． （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的最大项； （2）设b n =a n + pa n – 2，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列； （3）设*,,,N m n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．B江苏建湖二中2010—2011学年度高三暑假作业（4）数学试题(总分160分,考试时间120分钟)命题：郑介宏一、填空题1必要不充分 2、－1 3、5 4.315、6π 6. ),2[]0,1[+∞- 7、318． {}01a a << 9、n n10、3511、]22,33[12. -813． ()(),11,-∞-+∞ 14． m>23二、解答题15【解】（1）由32⋅=m n 得，3cos()cos 2A CB -+=， ……………………2分又B =π-(A +C )，得cos(A -C )-cos(A +C )=32， ……………………4分即cos A cos C +sin A sin C -(cos A cos C -sin A sin C )=32，所以sin A sin C =34． ……………6分【证明】（2）由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =，故23sin 4B =. ……………8分 于是231cos 144B =-=，所以 1cos 2B =或12-. 因为cos B =32-cos(A -C )>0，所以 1cos 2B =，故π3B =． ………………… 11分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222b a c ac =+-， 又b 2=ac ，所以22ac a c ac =+-， 得a =c . 因为π3B =，所以三角形ABC 为等边三角形. ………… 14分16. 解：（1）取BB 1 中点G ，连DG ,EG∵B 1D=AD ， B 1G=GB ，∴DG//AB ，同理GE//BC,∵DG ⋂GE=G ，AB ⋂BC=B ，∴平面DGE//平面ABC ,∵DE ⊂平面DGE ，∴DE//平面ABC . ………………5分（2） ∵AB=AC=2 ∠BAC=90, ∴在△B 1FE 中EC=1 ∴1B E =3 1B F∴1B F FE ⊥又∵1.AF BC AF BB ⊥⊥ , ∴AF ⊥平面1B C ,∴AF ⊥1B F∵1B F FE ⊥，AF ⊥1B F , ∴1B F ⊥平面AFE ………………10分（3）61=F B . 31=E B ，1EFB A V -=1 …14分17．解（1）将方程2222(8)4120 x y ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，4分将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y，则1P T = (8)分2P T =， ………………………………10分12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）…………………………………………………12分存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022002014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩有解， 解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………14分故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55或-．………………16分18.解：（1）1()2AD BC h =+，其中22x AD BC BC x =+⋅=+，2h x =，∴1(2)22BC x x =+，得182x BC x=-，由21802h x x BC x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，得26x ≤<∴1832,(26)2x y BC x x x=+=+≤<； ----------------6分（2）18310.52x y x =+≤得34x ≤≤∵[3,4][2,6)⊂ ∴腰长x 的范围是 [3,4] --------10分 （3）1832xy x =+≥=1832xx =，即[2,6)x =时等号成立．∴外周长的最小值为米。

--------------------------16分19.解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-……………………………3分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，故()0f x '=有唯一解0x =……………………………………………………………………7分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根，而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………………………11分 （Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…………12分 由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-， 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t=-->，因为22121()1(1)0g t tt t'=+-=-≥（当1t =时取等号）， 所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………………………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a ae--≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦…………………………………………16分20. 解： （1）由题意a n = 2 +43n– 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4． …4分 （2）b n = 2 + 4n+ p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列，则b 2n +1 – b n b n +2= 0（n ∈N * ）所以 [(2 + p )3n +1 ＋(2 – p )]2 – [(2 + p )3n ＋(2 – p )][(2 + p )3n +2 ＋(2 – p )] = 0（n ∈N *）， 化简得（4 – p 2）(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ）= 0即– (4 – p 2）·3n ·4 = 0, 解得p = ±2．…………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列． 所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列． ………………………………………………10分 （3）因为4231m ma =+-，4231n na =+-，4231p pa =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+， 所以42(2)31n+-=4231m+-4231p++-，……………12分化简得3(2331)1323np n p mp mn m----⨯--=+-⨯（*），因为*,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+， 所以13333p mp n p n--+-≥=⨯，13333p mn m n m--+-≥=⨯，（*）的左边3(23331)3(31)0n p np nnp n---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn mn m---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列． ………16分。