第三次理科数学周考题
江西省高二(下)第三次周考数学试卷(理科)(有答案)
江西省高二（下）第三次周考数学试卷（理科）一、选择题1. 已知函数f(x)=x+cos x，则f′(π6)=()A.1 2B.32C.1−√32D.√322. y′=1x2，则y可以是下列各式中的（）A.1 xB.−x+1xC.−2x−3D.−12x33. 曲线y=10+2ln x在点(1, 10)处的切线方程是（）A.12x−y−2=0B.2x−y+8=0C.2x+y−12=0D.x−2y+19=04. 下列推理：①由A，B为两个不同的定点，动点P满足|PA|−|PB|=2a<|AB|，得点P的轨迹为双曲线；②由a1=1，a n=3n−1，求出S1，S2，S3猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式；③由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=abπ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．其中是归纳推理的命题个数为（）A.0B.1C.2D.35. 函数f(x)=e x sin x的图象在点（3, f(3)）处的切线的倾斜角为（）A.π2B.0C.钝角D.锐角6. 已知函数f(x)=x3+ax2−2ax+3a2，且f(x)图象在点(1, f(1))处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是( )A.(−1, 1)B.(23，1) C.(−23，1) D.(−1,23)7. 已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a2010满足（）A.0<a2010<110B.110≤a2010<1 C.1≤a2010≤10 D.a2010>108. 等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f(x)=x(x−a1)(x−a2)…(x−a8)，则f′(0)=()A.26B.29C.212D.2159. 已知偶函数f(x)在R上可导，且f′(1)=−2，f(x+2)=f(x−2)，则曲线y=f(x)在x=−5处的切线的斜率为（）A.2B.−2C.1D.−110. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0, 1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀的拉成一个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的坐标12变成1，等等）．则区间[0, 1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是14，34，那么在第n次操作完成后(n≥1)，恰好被拉到与1重合的点对应的坐标是（）A.k2n（k为[1, 2n]中所有奇数）B.2k+12n(k∈N∗，且k≤n)C.k2n−1（k为[1, 2n−1]中所有奇数）D.2k−12n(k∈N∗，且k≤n)二、填空题已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f(x)在x=−12的切线方程为________．已知函数f(x)的图象在点M（1, f(1)）处的切线方程是2x−3y+1＝0，则f(1)+ f′(1)＝________．若曲线f(x)=12sin x−√32cos x的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________．已知函数f(x)=12x−14sin x−√34cos x的图象在点A(x0, y0)处的切线斜率为1，则tan x0=________．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数f′(x)，f′(0)>0，且f(x)的值域为[0, +∞)，则f(1)f′(0)的最小值为________．三、解答题（1）求下列函数的导数①y=x(x2+1x +1x3)；②y=(√x+1)(√x1)；（2）已知函数f(x)=3x+2cos x+sin x，且a=f′(π2)，f′(x)是f(x)的导函数，求过曲线y=x3上一点P(a, b)的切线方程．已知曲线C:y=f(x)=x3−3px2(p∈R)．（1）当p=13时，求曲线C的斜率为1的切线方程；（2）设斜率为m的两条直线与曲线C相切于A，B两点，求证：AB中点M在曲线C上；（3）在（2）的条件下，又已知直线AB的方程为：y=−x−1，求p，m的值．参考答案与试题解析江西省高二（下）第三次周考数学试卷（理科）一、选择题1.【答案】A【考点】导数的运算【解析】求出函数的导数，直接代入即可进行求值．【解答】解：∵f(x)=x+cos x，∴f′(x)=1−sin x，即f′(π6)=1−sinπ6=1−12=12，故选：A．2.【答案】B【考点】导数的运算【解析】根据导数的基本公式计算即可．【解答】解：∵(1x )′=−1x2，(−x+1x)′=(−1−1x)′=1x2，(−2x−3)′=6x−4，(−12x3)′=32x4，只有B正确，故选：B3.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据(1, 10)和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=10+2ln x知y′=2×1x =2x，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2，则切线方程为：y−10=2(x−1)，即2x−y+8=0．故选B．4.【答案】B【考点】归纳推理【解析】根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．【解答】解：①由A，B为两个不同的定点，动点P满足|PA|−|PB|=2a<|AB|，得点P的轨迹为双曲线，是一般到特殊的推理，是演绎推理；②由a1=1，a n=3n−1，求出S1，S2，S3猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式，是特殊到一般的推理，是归纳推理；③由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=abπ，是特殊到特殊的推理，是类比推理；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，是特殊到特殊的推理，是类比推理；故归纳推理只有1个，故选：B5.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由求导公式和法则求出导数，把x=3代入再求出切线的斜率，再由两角和的正弦公式化简，判断出斜率的符号，即得答案．【解答】解：由题意得，f′(x)=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x)，∴在点（3, f(3)）处的切线的斜率是k=e3(sin3+cos3)，∵sin3+cos3=√2sin(3+π4)<0，∴k=e3(sin3+cos3)<0，则对应切线的倾斜角是钝角，故选C．6.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先求函数的导函数f′(x)，再求所求切线的斜率即f′(1)，由于切点为（1, f(1)），故由点斜式即可得所求切线的方程，最后利用切线在y轴上的截距小于0建立不等关系求解即可．【解答】解：由题意f′(x)=3x2+2ax−2a，∴f′(1)=3，f(1)=3a2−a+1，即函数f(x)图象在点(1, f(1))处的切线斜率为3，∴图象在点(1, f(1))处的切线方程为y−(3a2−a+1)=3(x−1)，令x=0得y=3a2−a−2，由题意得3a2−a−2<0，解得：a∈(−23，1)，故选C．7.【答案】B【考点】数列递推式【解析】把数列看成11，2 1，12，3 1，22，13，以此类推，第N大项为N 1，N−12，N−23…由此能够找到这个数列的第2010项a2010满足的条件．【解答】解：数列可看成11，2 1，12，3 1，22，13，以此类推，第N大项为N 1，N−12，N−23等此时有1+2+3+4+...+N=N(N+1)2，当N=62时，共有1953项当N=63时，共有2016项故a2010=757，故选B．8.【答案】C【考点】导数的运算等比数列的性质【解析】对函数进行求导发现f′(0)在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′(0)，含有x 项均取0， 得：f′(0)=a 1a 2a 3...a 8=(a 1a 8)4=212． 故选C ． 9. 【答案】 A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】由f(x)可导，对f(x +2)=f(x −2)两边求导，结合f(x)为偶函数，得到一个式子，对此式两边求导，从而可得f′(x +4)=f′(x)，由此可求即f′(−5)的值即为所求切线的斜率． 【解答】解：由f(x)在R 上可导，对f(x +2)=f(x −2)两边求导得：f′(x +2)(x +2)′=f′(x −2)(x −2)′，即f′(x +2)=f′(x −2)①， 由f(x)为偶函数，得到f(−x)=f(x)，故f′(−x)(−x)′=f′(x)，即f′(−x)=−f′(x)②，则f′(x +2+2)=f′(x +2−2)，即f′(x +4)=f′(x)，所以f′(−5)=f′(−1)=−f′(1)=2，即所求切线的斜率为2． 故选A 10. 【答案】 A【考点】进行简单的合情推理 数列的应用【解析】根据题意，可知下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍．因为第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12，则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是14和34，则它们的和可求．根据题意，将恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标列出数据，找出规律，列出通式即可． 【解答】解：∵ 第一次操作后，原线段AB 上的14，34，均变成12， ∴ 对应点扩大了2倍，则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是14和34， 根据题意，得由上图表格，可以推出第n 次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为为12n，2n−12n．所以恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为12，122,322， (1)2n ，2n−12n．故选A ． 二、填空题【答案】20x +4y +1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的运算【解析】求导函数，求出f′(1)的值，可得函数的解析式，从而可得切线的斜率与切点的坐标，即可求出切线方程 【解答】解：∵ f(x)=x 2+2xf′(1)， ∴ f′(x)=2x +2f′(1)， ∴ f′(1)=2+2f′(1)， 解得f′(1)=−2，∴ f(x)=x 2−4x ，f′(x)=2x −4， ∴ f(−12)=94，f′(−12)=−5，∴ 函数在x =−12的切线方程为y −94=−5(x +12)，即20x +4y +1=0，故答案为：20x +4y +1=0． 【答案】53【考点】 导数的运算利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由切线的方程找出切线的斜率，根据导函数在x ＝1的值等于斜率，得到x ＝1时，f′(1)的值，又切点在切线方程上，所以把x ＝1代入切线方程，求出的y 的值即为f(1)，把求出的f(1)和f′(1)相加即可得到所求式子的值． 【解答】由切线方程2x −3y +1＝0，得到斜率k =23，即f′(1)=23，又切点在切线方程上，所以把x ＝1代入切线方程得：2−3y +1＝0，解得y ＝1即f(1)＝1，则f(1)+f′(1)=23+1=53．故答案为：53【答案】[0,π4]∪[3π4,π)【考点】导数的几何意义【解析】先求出导数f′(x)，根据导数的几何意义即可得到tanα的取值范围，再利用正切函数的单调性及倾斜角的取值范围即可解出α的取值范围．【解答】解：∵f(x)=12sin x−√32cos x，∴f′(x)=12cos x+√32sin x=sin(x+π6)∈[−1, 1]，∴−1≤tanα≤1，又α∈[0, π)，解得α∈[0,π4]∪[3π4,π)．故α的取值范围是α∈[0,π4]∪[3π4,π)．【答案】−√3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导函数，确定切线的斜率，利用切线斜率为1，即可求得tan x0的值．【解答】解：求导函数，可得f′(x)=12−14cos x+√34sin x∵函数f(x)=12x−14sin x−√34cos x的图象在点A(x0, y0)处的切线斜率为1∴12−14cos x0+√34sin x0=1∴sin(x0−π6)=1∴x0−π6=2kπ+π2(k∈Z)∴x0=2kπ+2π3(k∈Z)∴tan x0=−√3故答案为：−√3【答案】2【考点】导数的运算二次函数的性质【解析】由f(x)的值域为[0, +∞)，可得对于任意实数x，f(x)≥0成立求出a的范围及a，bc的关系，求出f(1)及f′(0)，作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f′(x)=2ax+b，f′(0)>0，且f(x)的值域为[0, +∞)，∴a>0，且4ac−b24a=0，即4ac=b2，∴c>0，∴f(1)=a+b+c，∴f(1)f′(0)=a+b+cb=1+a+cb≥1+2√acb=1+√4acb=1+1=2，∴最小值为2．故答案为：2三、解答题【答案】解：（1）①y=x(x2+1x +1x3)=x3+1+1x2，∴y′=3x2−2x3；②y=(√x+1)(√x 1)√x√x−√x√x1=−x12+x12，∴y′=−12x−12−12x−32=2√x+1x)；（2）由f(x)=3x+2cos x+sin x，得f′(x)=3−2sin x+cos x，则a=f′(π2)=1，∴P(1, 1)，设切点Q(x0, y0)，又y′=3x2，∴得切线斜率k=3x02，∴曲线在点Q处的切线方程为：y−x03=3x02(x−x0)，又切线过点P(1, 1)，∴有1−x03=3x02(1−x0)，整理得：(x0−1)(2x02−1)=0，解得：x0=1或x0=√22或x0=−√22，∴切线方程为：y=3x−2或y=32x±√22．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的运算【解析】（1）①利用单项式乘多项式化简，然后利用基本初等函数的导数公式化简； ②利用多项式乘多项式化简，然后利用基本初等函数的导数公式化简；（2）求出函数f(x)的导函数，结合a =f′(π2)求得a 的值，把点P(a, b)代入y =x 3求b 的值，然后设出切点Q 的坐标，求出切线方程，结合P 的坐标求出切点坐标，则切线方程可求．【解答】解：（1）①y =x(x 2+1x +1x 3)=x 3+1+1x 2，∴ y ′=3x 2−2x 3；②y =(√x +1)(√x 1)√x √x −√x √x 1=−x 12+x 12， ∴ y ′=−12x −12−12x −32=2√x +1x )；（2）由f(x)=3x +2cos x +sin x ，得f′(x)=3−2sin x +cos x ，则a =f ′(π2)=1， ∴ P(1, 1)，设切点Q(x 0, y 0)，又y′=3x 2，∴ 得切线斜率k =3x 02，∴ 曲线在点Q 处的切线方程为：y −x 03=3x 02(x −x 0)，又切线过点P(1, 1)，∴ 有1−x 03=3x 02(1−x 0)，整理得：(x 0−1)(2x 02−1)=0，解得：x 0=1或x 0=√22或x 0=−√22， ∴ 切线方程为：y =3x −2或y =32x ±√22． 【答案】解：（1）当p =13时，y =f(x)=x 3−x 2，函数的导数为f′(x)=3x 2−2x ，由f′(x)=3x 2−2x =1，解得x =1或x =−13，即切点坐标为(1, 0)或(−13, −427)， 对应的切线方程为y =x =−1，或y =x +527．（2）f′(x)=3x 2−6px ，设A(x 1, x 13−3px 12)，B(x 2, x 23−3px 22)，(x 1≠x 2)，由导数的几何意义得{m =3x 12−6px 1m =3x 22−6px 2，即3(x 1+x 2)(x 1−x 2)−6p(x 1−x 2)=0， 解得x 1+x 2=2p ，∵x 13−3px 12+x 23−3px 222=(x 1+x 2)(x 12−x 1x 2+x 22)−3p[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]2 =2p[(2p)2−3x 1x 2]−3p[(2p)2−2x 1x 2]2=−2p 3，∴ AB 的中点M(x 1+x 22, x 13−3px 12+x 23−3px 222)，即M(p, −2p 3)又AB 的中点M 在曲线C 上，等价为，−2p 3=p 3−3p ⋅p 2，显然成立．（3）知，AB 中点M 的横坐标为p ，且M 在AB 上，则M(p, −p −1)，又M 在曲线C 上，∴ −p −1=p 3−3p ⋅p 2，即2p 2−p −1=0，则(p −1)(2p 2+2p +1)=0，所以p =1．由{y =x 3−3x 2y =−x −1，即x 3−3x 2+x +1=0， 则(x 3−x 2)−(2x 2−2x)−x +1=0，即(x −1)(x 2−2x −1)=0，由于x 1+x 2=2．x 1=1+√2，x 2=1−√2，故m =3x 12−6x 1=3(1+√2)2−6(1+√2)=3．综上，p =1，m =3为所求．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）当p =13时，先求导，通过斜率为1得到切点．然后利用点斜式得到所求切线方程； （2）先将A ，B 两点的坐标设出，其中纵坐标用相应点的横坐标表示．再由导数的几何意义，得到A ，B 两点横坐标满足x 1+x 2=2p ．从而得到AB 中点M ，即可得到结论．（3）由AB 中点在直线y =−x −1，又在曲线C ，从而得p =1，再反代如直线与曲线联立得方程，得到A ．B 两点的坐标，代入导函数中得到斜率，从而得到m =3．【解答】解：（1）当p =13时，y =f(x)=x 3−x 2，函数的导数为f′(x)=3x 2−2x ，由f′(x)=3x 2−2x =1，解得x =1或x =−13，即切点坐标为(1, 0)或(−13, −427)， 对应的切线方程为y =x =−1，或y =x +527．（2）f′(x)=3x 2−6px ，设A(x 1, x 13−3px 12)，B(x 2, x 23−3px 22)，(x 1≠x 2)，由导数的几何意义得{m =3x 12−6px 1m =3x 22−6px 2，即3(x 1+x 2)(x 1−x 2)−6p(x 1−x 2)=0， 解得x 1+x 2=2p ， ∵x 13−3px 12+x 23−3px 222=(x 1+x 2)(x 12−x 1x 2+x 22)−3p[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]2 =2p[(2p)2−3x 1x 2]−3p[(2p)2−2x 1x 2]2=−2p 3， ∴ AB 的中点M(x 1+x 22, x 13−3px 12+x 23−3px 222)，即M(p, −2p 3) 又AB 的中点M 在曲线C 上，等价为，−2p 3=p 3−3p ⋅p 2，显然成立．（3）知，AB 中点M 的横坐标为p ，且M 在AB 上，则M(p, −p −1)，又M 在曲线C 上，∴ −p −1=p 3−3p ⋅p 2，即2p 2−p −1=0，则(p −1)(2p 2+2p +1)=0，所以p =1．由{y =x 3−3x 2y =−x −1，即x 3−3x 2+x +1=0， 则(x 3−x 2)−(2x 2−2x)−x +1=0，即(x −1)(x 2−2x −1)=0， 由于x 1+x 2=2．x 1=1+√2，x 2=1−√2，故m =3x 12−6x 1=3(1+√2)2−6(1+√2)=3． 综上，p =1，m =3为所求．。
高三数学理科第三次周日考试卷课标试题
卜人入州八九几市潮王学校HY 二零二零—二零二壹高三数学理科第三次周日考试卷一、选择题〔每一小题只有一个正确选项，把正确选项涂在答题卡的相应位置。
一共8×5＝40分) 1、集合{}{}01m x x ,2,1=+=-=丨B A ,假设B B A = ，那么符合条件的实数m 组成的集合是()A 、{}2,1-B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,1C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,0,21D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,12、对于平面α和一共面的直线m 、,n 〔〕A ．假设,,m m n α⊥⊥那么n α∥B ．假设m n αα∥,∥,那么m n ∥C ．假设,m n αα⊂∥,那么m n ∥D ．假设m 、n 与α所成的角相等，那么m n ∥3、设A 、B 是两个集合，定义{|,}{||12}.|A Bx x A x B M x x -=∈∉=+≤且若，∈==αα|,sin ||{x x N R}，那么M －N=〔〕A ．[－3，1]B ．[－3，0〕C ．[0，1]D ．[－3，0]4、不等式10x x->成立的充分不必要条件是〔〕 A ．10x -<<或者1x >B ．1x <-或者01x <<C ．1x >-D ．1x >5、设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如下列图，那么)(x f y =的图象最有可能的是〔〕67、如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，假设直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体ABC主视图 左视图俯视图的体积为()()A 1()B 128、为确保信息平安,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),加密规那么为:明文,,,a b c d对应密文2,2,23,4a b b c c d d+++,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,那么解密得到的明文为〔〕A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7二填空题〔把正确答案填在答题卡的相应位置，填在试卷上无效。
贵州省遵义市高三第三次统一考试理科数学答案
遵义市2023届高三年级第三次统一考试参考答案（理科数学）一、选择题题号123456789101112答案ADBCDCBCDABD二、填空题14.2115.216.3三、解答题17.（12分）解：（1）110)01.002.003.0035.0(=⨯++++a ，得005.0=a …………………………3分由图知：年龄位于)40,30[这一组频率为35.0，此时频率最大所以，众数为3524030=+……………………………………………………………………5分（2）X 所有可能的值是0,1,2,3……………………………………………………………………6分P (X =0)=033336C C C =120,P (X =1)=123336C C C =920,P (X =2)=033336C C C =920,P (X =3)=303336C C C =120………………………………………………………10分因此X 的分布列为X0123P120920920120于是X 的期望为19913()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人）……………………12分18.（12分）解：（1）由题知：n n a n S 2=+①当1=n 时，111==a S ……………………………………………………………………1分当2≥n 时，112)1(--=-+n n a n S ②①-②得到，1221--=+n n n a a a ，化简得：121+=-n n a a …………………………3分所以)1(211+=+-n n a a …………………………………………………………………4分所以}1{+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列…………………………………5分（2）由（1）知：n n n a a 221111=+=+-）（，即21n n a =-……………………………6分121121)12()12(22111---=-⨯-==∴+++n n n n n n n n n a a b ……………………………………8分12122311111111()()()2121212121211121n nn n n T b b b ++∴=+++=-+-++-------=-- ……………………………10分由111312114n +-<-得，1215n +<，故n 的最大值为2………………………………………12分19.（12分）解：（1）如图，以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .A(4，0，0)，C '(1，3，D(0，0，0)，B(4，4，0)(33AC '=-，()440DB = ，，因为0AC AC ''⋅= ，所以AC '⊥BD ………………………………………………………6分（2）由(1)知()400DA = ，，，(3DC '=()440DB = ，，设平面AC D '与平面DC B '的法向量分别为m =(x 0，y 0，z 0)，n=(x 1，y 1，z 1)则00DA m DC m ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩即0000400x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令01y =，则0z =，即(0,1,m =同理可求得n = ，于是330cos ,20m n m n m n ⋅<>==因此二面角'A DC B --的余弦值是20 (12)分20.（12分）解：（1）由题可知有21=a c ，1434122=+b a ，222c b a =-联立解得1,3,2===c b a 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ……………………………………………………5分（2）由直线l 的斜率为21，可设直线l 的方程为t y x +=2，联立椭圆方程消去x 可得123121622=-++t ty y 设Q P ,的坐标为),(),,(2211y x Q y x P ，则4321ty y -=+，16123221-=t y y ①……………………………………………………7分所以22)(22121tt y y x x =++=+，所以)1)(1()1)(23()1)(23(1231232112212211----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k AQ AP …………………9分展开整理得)1)(1(3)()(232121211221--++-+-+=+x x y y x x y x y x k k AQ AP ，3)2()2(12211221-=+++=+y t y y t y y x y x ②将①②代入可得0=+AQ AP k k ，从而ANM AMN ∠=∠，因此||||AN AM =………………………………12分21.（12分）解：（1）证明：，xe x xf -sin =)( x e x x f -cos =)(′∴………………………………………………………………1分记),(′=)(x f x g x x e x x g e x x g -cos -=)(′-sin -=)(′∴，………………………………………2分<e -0,<cosx -∴)0,1-(∈x ，x )(′∴,0<)(′′∴x g x g 在)0,1-(单调递减且0>1-21>1-1sin =-)1-sin(-=)1-(′1-ee e g ，0<1-=)0(′g …………………4分所以在)0,1-(存在唯一0x ，使得0=)(′0x g 当0<<1-x x ，)(,0>)(′x g x g 在),1(-0x 单调递增当0<<0x x ，)(,0<)(′x g x g 在)0(0，x 单调递减所以)(x g 在)0,1-(存在唯一极大值点………………………………………………6分1-1-)0()0,1-()(0)(1)0()()0,1-()())0,1-((0cos 2)()cos (sin )(cos )cos (sin -1cos sin )-(sin cos )-(cos )(∴cos -sin )(,cos -sin ≥∴cos ≤)()01-(∈∀222≥∴=∴>'∴=<∴∴∈>='∴+=+=+='=a h x h x h t x t x t x x e x t x x e x t xx x e x x e x x e x x h xe x x h x e x a x a xf x x x x x x xx 上单调递增且在上单调递增，在，记记成立，，都有，）（ …………………………………………………………………………………………………………12分22.（10分）解：（1）由题得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-t y t x 233212所以直线l 的直角坐标方程为033=--y x ………………………………………………2分曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=∴θρρcos 62=，由⎩⎨⎧=+=θρρcos 222x y x 得：曲线C 的普通方程为0622=-+x y x ………………………………………………………………5分（2）由点)0,1(P 可知点P 在直线l 上则直线l 的参数方程可写为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='+=t y t x 23211（t '为参数）………………………………………6分将直线参数方程带入曲线C 的普通方程为0622=-+x y x 得：522=-'-'t t 不妨假设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ''，则：522121-=''='+'t t t t ，…………………………………………………………………………………8分∴624)(2122121=''-'+'='+'=+t t t t t t PB P A ………………………………………………10分23.（10分）解：（1）由题意：①当1<x 时，32)(+-=x x f ，则：532≤+-x ，解得1-≥x 此时11<≤-x ②当21≤≤x 时，1)(=x f ，则：5)(≤x f 恒成立此时21≤≤x ③当2>x 时，32)(-=x x f ，则：532≤-x ，解得4≤x 此时42≤<x 综上所述，不等式5)(≤x f 的解集为[]4,1-…………………………………………………………5分（2）由绝对值三角不等式得1)2(121)(=---≥-+-=x x x x x f ）（…………………………7分（当且仅当02(1≤--））（x x 时等号成立）因为函数)(x f 的最小值为t 1=∴t ⇒1=++c b a 由柯西不等式得：9)111())(111(1112=++≥++++=++c b a cb ac b a ∴9111≥++c b a ，当且仅当13a b c ===时，“=”成立…………………………………………10分。
2023届陕西省榆林市第三次模拟考试理科数学试题
绝密★启用前榆林市2022～2023年度第三次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝2i，则( )(A)z2＝2(B)z2＝－4(C)z4＝2(D)z4＝42．已知集合A＝{x|0＜x＜16}，B＝{y|－4＜4y＜16}，则A∪B＝( )(A)(－1，16)(B)(0，4)(C)(－1，4)(D)(－4，16)3．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为( )(A)－2(B)－4(C)1(D)24．已知两个非零向量a＝(1，x)，b＝(x2，4x)，则“|x|＝2”是“a∥b”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5．实轴在y轴上的双曲线的离心率为10，则该双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( )(A)1010(B)110(C)31010(D)3106．某省将从5个A类科技项目、6个B类科技项目、4个C类科技项目中选4个项目重点发展，其中这3类项目都要有，且A类项目中有1个项目已经被选定．则满足条件的不同选法共有( )(A)96(B)144种(C)192种(D)206种7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是25，M为A1C1的中点，N是侧面BC C1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则线段MN的最大值为( )(A)22(B)23(C)10(D)38．执行如图所示的程序框图，若输入的a＝2，则输出的k＝( )(A)2(B)4(C)6(D)89．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，g(x)的导函数都存在，f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)＜1，且f(1)＝2，g(1)＝1，则f(x)g(x)＜x＋1的解集为( )(A)(1，2)(B)(2，＋∞)(C)(0，1)(D)(1，＋∞)10．现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i(i＝1，2，…，16)匹马的日行路程是第i＋1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为(取1.0517＝2.292)( )(A)7750里(B)7752里(C)7754里(D)7756里11．已知a＝log3.43.5＋log3.53.4，b＝log3.53.6＋log3.63.5，c＝logπ3.7，则( )(A)a＞b＞c(B)b＞a＞c(C)a＞c＞b(D)b＞c＞a12．已知三棱锥A－BCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD＝2AB＝2BC＝4，二面角A－BC－D 为60°，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为( )(A)16π(B)24π(C)18π(D)20π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知奇函数f(x)＝x3＋(a－5)x2＋ax(x∈R)，则f(1)＝▲ ．14．若不等式ax 2－6x ＋3＞0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ，a ＋9a －1的最小值为 ▲ ．(本题第一空3分，第二空2分)15．已知函数f (x )＝tan2x 与g (x )＝sin(x －π6)的图象在区间[－π，π]上的交点个数为m ，直线x ＋y ＝2与f (x )的图象在区间[0，π]上的交点的个数为n ，则m ＋n ＝ ▲ ． 16．已知直线y ＝x －m 与椭圆C ：x 2＋y 22＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点P 的轨迹长度为 ▲ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)如图，底面为矩形ABCD 的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ．(2)若PA ＝AD ＝3，AB ＝1，E 在棱AD 上，若AD ＝3AE ，求PE 与平面PBD 所成角的正弦值．18．(12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →＝4，且ac sin B ＝8sin A ． (1)求A ；(2)求sin A sin B sin C 的取值范围．19．(12分)已知1个不透明的袋子中装有6个白球和4个黄球(这些球除颜色外无其他差异)．甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放入1个黄球．再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球，记袋子中白球的个数为X ．(1)求袋子中球的颜色只有一种的概率；(2)求X 的分布列和期望． 20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是C 上的动点，点P (1，1)不在C 上，且|AF |＋|AP |的最小值为2．(1)求C 的方程；(2)若直线AP 与C 交于另一点B ，与直线l 交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝μPB →，且λ＋μ＝4，求直线l 的方程． 21．(2023年榆林市三模)(12分)已知函数f (x )＝x ln x ．(1)若直线y ＝2x ＋m 与曲线y ＝f (x )相切，求m 的值； (2)证明：－1e ≤f (x )＜e x2x (参考数据：e 4＞54)．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为y ＝－x 2＋4x ，曲线N 的方程为xy ＝9．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：θ＝θ0(ρ≥0，0＜θ0＜π2)与曲线M 交于点A (均异于极点)，与曲线N 交于点B ，且|OA |·|OB |＝12，求θ0． 23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x －a －1|＋|x －2a |．(1)证明：存在a ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥1恒成立； (2)当x ∈[2a ，4]时，f (x )≤x ＋a ，求a 的取值范围．绝密★启用前榆林市2022～2023年度第三次模拟考试数学试题解析(理科)1．【答案】D【解析】z ＝2i ，z 2＝－2，z 4＝4，故选(D)． 2．【答案】A【解析】因为A ＝{x |0＜x ＜16}，B ＝{y |－1＜y ＜4}，所以A ∪B ＝(－1，16)，故选(A)． 3．【答案】B【解析】S 3＝3a 2＝12，a 2＝4，而a 4＝0，故a 6＝－4，故选(B)．【解析】非零向量a ＝(1，x )，b ＝(x 2，4x )，a ∥b ⇔x 2＝4⇔|x |＝2，故选(C)． 5．【答案】A【解析】因为实轴在y 轴上，所以e 2＝1＋1k 2＝10，k ＝tan α＝13，sin α＝1010，故选(A)．6．【答案】C【解析】满足条件的不同选法共有C 14C 16C 14＋C 26C 14＋C 16C 24＝192，故选(C)．7．【答案】A【解析】取B 1C 1、BB 1的中点D 、E ，则平面MDE ∥平面ABC 1，所以N 在线段DE ，MN 的最大值为32＋52＝22，故选(A)．8．【答案】B【解析】执行程序框图，可得下表：a －13 －32 2 k24结束故选(B)． 9．【答案】D【解析】令φ(x )＝f(x )g (x )－x －1，则φ'(x )＝f'(x )g (x )＋f(x )g'(x )－1＜0，所以φ(x )在(0，＋∞)上递减，而φ(1)＝0，因为f(x )g (x )＜x ＋1，所以φ(x )＜φ(1)，解得：x ＞1，故选(D)．10．【答案】B【解析】因为第16匹马的日行路程为315里，所以第17匹马的日行路程为3151.05＝300里，则这17匹马的日行路程之和为300(1－1.0517)1－1.05≈7752里，故选(B)．11．【答案】A【解析】令φ(x )＝x ＋1x ，则φ(x )在(1，＋∞)上递增，因为log 3.43.5－log 3.53.6＝lg3.5lg3.4－lg3.6lg3.5＝lg 23.5－lg3.4lg3.6lg3.4lg3.5，lg3.4lg3.6＜(lg3.4＋lg3.62)2＝(lg3.4·3.62)2＜lg 23.5，所以log 3.43.5＞log 3.53.6＞1，a ＝φ(log 3.43.5)＞b ＝φ(log 3.53.6)＞φ(1)＝2，c ＝log π3.7＜2，所以a ＞b ＞c ，故选(A)．【解析】解法1：作正方形ABCE ，则∠DCE ＝60°，因为CD ＝2AB ＝2BC ＝4，所以DE ⊥EC ，故BD 为三棱锥A －BCD 外接球的直径，即BD 2＝4R 2＝20，所以球O 的表面积是4πR 2＝20π，故选(D)．13．【答案】6【解析】因为奇函数f (x )＝x 3＋(a －5)x 2＋ax (x ∈R )，所以a ＝5，即：f (1)＝6．14．【答案】(3，＋∞)，7【解析】因为不等式ax 2－6x ＋3＞0对x ∈R 恒成立，所以错误!，解得：a ＞3，a ＋错误!＝a －1＋9a －1＋1≥7，当且仅当a ＝4时取等号． 15．【答案】7【解析】由图像可得：m ＝4，n ＝3，则m ＋n ＝7．16．【答案】2153【解析】解法1：因为k OP k AB ＝－2，所以k OP ＝－2，而P 的轨迹经过坐标原点O ，故中点P 的轨迹所在的直线方程为y ＝－2x ，联立错误!可得：x ＝±错误!，故中点P 的轨迹长度为错误!|33－(－33)|＝2153． 解法2：横坐标不变，纵坐标缩短为原来的22倍，则在新的坐标系中，可得下表： 项目 方程 直线AB 的斜率中点P 的轨迹所在直线斜率中点P 的轨迹长度 变换前 x 2＋y 22＝1 1 －2 l 变换后x 2＋y 2＝122－22则l ＝21＋(－2)21＋(－2)2＝2153．17．【解析】(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又因为CD ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，又因为CD 平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ；(2)以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，E (0，1，0)，BP →＝(－1，0，3)，DP →＝(0，－3，3)，PE →＝(0，1，－3)，设平面PBD 的法向量为n →＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n →•BP →＝0n →•DP →＝0可得：⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0 －3y ＋3z ＝0，令y ＝1，则n →＝(3，1，1)，cos<PE →，n →>＝PE →•n →|PE →||n →|＝－11055，故PE 与平面PBD 所成角的正弦值为11055．18．【解析】(1)因为ac sin B ＝8sin A ，所以由正弦定理可得：abc ＝8a ，即：bc ＝8，而AB →•AC→＝bc cos A ＝8cos A ＝4，故cos A ＝12，A ＝π3；(2)解法1：sin A sin B sin C ＝32sin B sin C ＝34[cos(B －C )－cos(B ＋C )]＝34[cos(2B －2π3)＋12]，因为B ∈(0，2π3)，所以2B －2π3∈(－2π3，2π3)，故sin A sin B sin C ∈(0，338]．19．【解析】分别记第i 次摸到白球和黄球为事件A i ，B i ，(1)记“4次摸球后，袋子中球的颜色只有一种”为事件M ，则P (M )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝610×710×810×910＝0.3024； (2)X 的可能取值为2，4，6，8，10．P (X ＝2)＝P (B 1B 2B 3B 4)＝410×510×610×710＝0.084；P (X ＝4)＝P (A 1B 2B 3B 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＋P (B 1B 2A 3B 4)＋P (B 1B 2B 3A 4)＝610×310×410×510＋410×510×410×510＋410×510×410×510＋410×510×610×310＝0.152； P (X ＝8)＝P (B 1A 2A 3A 4)＋P (A 1B 2A 3A 4)＋P (A 1A 2B 3A 4)＋P (A 1A 2A 3B 4)＝410×510×610×710＋610×310×610×710＋610×710×210×710＋610×710×810×110＝0.252； P (X ＝10)＝0.3024；P (X ＝6)＝1－0.084－0.136－0.252－0.3024＝0.2096； X 的分布列为：X 2 4 6 6 8 10 P0.0840.1520.20960.1520.2520.3024EX 20．【解析】(1)当P 在C 的外部时，0＜p ＜12，|AF |＋|AP |≥|PF |，此时|PF |＜2，不成立；当P 在C 的内部时，设A 在C 的准线上的投影为M ，|AF |＋|AP |＝|AM |＋|AP |≥1＋p2，当且仅当A 、P 、M 共线时取等号，则1＋p2＝2，解得：p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x ；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，直线AP 的斜率不为0，设AP 的方程为：x ＝my ＋1－m ，联立方程错误!可得：y 2－4my ＋4m －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4m －4，因为错误!＝λP A →，QB →＝μPB →，所以λ＋μ＝y 1－y y 1－1＋y 2－y y 2－1＝2＋1－y y 1－1＋1－y y 2－1＝2＋(1－y )(y 1＋y 2－2)y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝2－4m (1－y )－2＋2y3＝4，即：2m (y －1)＝y ＋2，而x ＝my ＋1－m ，所以2x －y －4＝0．21．【解析】(1)因为f (x )＝x ln x ，所以f'(x )＝ln x ＋1，令f'(x )＝2可得：x ＝e ，f (e)＝e ，故m ＝y －2x ＝e ；(2)当0＜x ＜1e 时，f'(x )＜0，当x ＞1e 时，f'(x )＞0，f (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，故f (x )≥f (1e )＝－1e ，即：ln x ≥－1e x ，所以ln 1x ≥－x e ，即：ln x x ≤1e ，令φ(x )＝e x2x 3，φ'(x )＝e x (x －3)2x 4，当x ＜3时，φ'(x )＜0，当x ＞3时，φ'(x )＞0，所以φ(x )≥φ(3)＝e 354＝e 454e ＞1e ，则ln x x ＜e x2x 3，即：f (x )＜e x 2x ，故－1e ≤f (x )＜e x2x．22．【解析】(1)曲线M 的方程为：x 2＋y 2－4x ＝0(y ≥0)，故M 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝0(0≤θ≤π2)，即：ρ＝4cos θ(0≤θ≤π2)，而曲线N 的方程为xy ＝9，故曲线N 的极坐标方程为ρ2sin2θ＝18；(2)因为|OA |2·|OB |2＝16cos 2θ0·18sin2θ0＝144，即tan θ0＝1，故θ0＝π4． 23．【解析】(1)f (x )＝|x －a －1|＋|x －2a |≥|(x －a －1)－(x －2a )|＝|a －1|，当a ∈[2，＋∞)时，f (x )≥|a －1|≥1，故存在a ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥1恒成立；(2)因为当x ∈[2a ，4]时，f (x )＝|x －a －1|＋x －2a ≤x ＋a ，即：|x －a －1|≤3a ，所以0＜a ＜2，此时1－2a ≤x ≤4a ＋1，故[2a ，4]∈[1－2a ，4a ＋1]，即：错误!，解得：错误!≤a ＜2，故a 的取值范围为[34，2)．。
高三上学期理科数学第三次周考试卷(解析)
合肥六中2019-2020学年度高三第三次周测数学（理）时间：90分钟 满分：100分一、单选题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分)1．已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D.【答案】C解不等式 ，即 ，得 ，，因此， ，故选：C. 2．函数f (x )＝ln(2x )－1的零点位于区间( ) A ．(2,3) B ．(3,4) C ．(0,1) D ．(1,2)【答案】D由题意，函数()ln 21f x x =-，可得函数()f x 为单调递增函数，且是连续函数 又由f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上． 故选D.3．0x ∃≥ ，使20x x a +-≤ ，则实数的取值范围是( ) A ．1a > B ．1a ≥ C ．1a < D ．1a ≤【答案】B由题意可知：0x ∃≥，使2x a x ≥+，则()min2xa x≥+.由于函数2xy x =+是定义域内的单调递增函数， 故当0x =时，函数取得最小值0201+=， 综上可得，实数a 的取值范围是1a ≥. 本题选择B 选项.4．已知函数f (x )＝15⎛⎫⎪⎝⎭x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )A．恒为正值B．等于0 C．恒为负值D．不大于0【答案】A由题意，可得函数f(x)＝1()5x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，故选A.5．若函数的值域是，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C值域为的值域为：本题正确选项：6．已知函数在上有极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D∵，∴．①当时，，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．∴为函数的极大值点．符合题意．②当时，，，若，则恒成立，所以有两个不同的零点，函数有一个极大值点和一个极小值点，符合题意．若，则由解得，此时导函数有两个不同的零点，函数有一个极大值点和一个极小值点．综上可得，∴实数的取值范围是．故选D．7．若 为自然对数底数，则有（ ） A. B. C. D.【答案】D令 ，则 在R 上单调递增，又 ， 所以 ，解 ，所以 ，即 . 故选D8．设，则函数 （ ） A.仅有一个极小值 B.仅有一个极大值 C.有无数个极值 D.没有极值【答案】A，得 . 设 ，则 . 即 为增函数，且 .所以当 ,则 单调递减； 当 ,则 单调递增， 且 .所以函数 仅有一个极小值 . 故选A.9．关于x 的方程20ax x a -+=有四个不同的解，则实数a 的值可能是（ ）. A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A将方程20ax x a -+=整理变形可得：2||1x a x =+， 则方程20ax x a -+=有四个不同的解等价于函数y a =与函数2||1x y x =+有四个不同的交点，注意到函数2||1x y x =+是定义在R 上的偶函数，且0x >时，2111x y x x x==++，结合对勾函数的性质和复合函数的性质可知函数2||1x y x =+在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， 当1x =时，2||112x y x ==+，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像可知满足题意的实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合选项可知：实数a 的值可能是14.故选：A . 另解：令|x|=t ，用二次函数根的分布即可。
南阳市第一中学2023届高三上学期第三次阶段测数学(理)试卷(PDF版,含解析)
2023届年高三第三次阶段性测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A ．2B ．3C ．5D ．62.设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4B ．2−C ．4或2−D ．4−或23．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．355．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ） A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅ 7. 给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 和OB u u u r，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则的最小值为 A. 4− B. 2− C. 0 D. 28．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()213cos sin 222x f x x ϕϕ+=−++22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（ ）A ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．()9322− D ．32211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰.14.2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．15. 在ABC V 中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．16.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =3AC =，求BDC ∆的面积.20．（12分）已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点． (1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．21. （12分）已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A 2B 3C 5D 6【答案】C2．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．2− C ．4或2− D ．4−或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B ⋂=∅，确定直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x −=−，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)， 集合B 表示直线4160x ay +−=上的点， 当A B ⋂=∅时，直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)， 所以42a−=或43160a +−=， 解得2a =−或4a =． 故选：C.3．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±【答案】C4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．35【答案】B5．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）． D A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅ C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅u u u r u u u rA. 4−B. 2−C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB u u u r u u u r为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2CO OC OA OB OC OB OA =−⋅−⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=−⨯−⨯⋅−+⨯⋅44cos 4cos(120)2αα︒=−−−− 24cos 2cos 23ααα=−+− 22cos 23αα=−−24cos(60)α︒=−−，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒−∈−，所以当600α︒︒−=时，即60α︒=，CB CA ⋅u u u r u u r有最小值，最小值为242−=−. 故选：B8．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题 ③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A9．已知函数()()213cos 22x f x x ϕϕ+=−+22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数ππA ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】B ()()21cos 22x f x x ϕϕ+=−+ ()()1cos sin 26x x x πϕϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛−⎫ ⎪⎝⎭，∴36k ππϕπ−++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ−<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ−<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2−.故选：B .10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）BA ．3 BC．92D．211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++， 所以3322log 421log 4a −=+−+()333log log 1g 4144lo =+−，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+−，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >， 所以2b >.再来比较,a b 的大小： 因为20a −>， 所以222512135144122511693a a a a a a −−−++⨯−=⨯−⨯22212144122516913a a a −−−<⨯−⨯+⨯221691216931a a −−=−⨯⨯()2216912301a a −−=−<，所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面''ABB A 的距离为4，因为254PF =>，所以FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222542−=，圆锥的高为4，母线25=PF ，对于①，点P 的轨迹长度为224ππ⨯=，故①错误，对于②，由题意知，平面''A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面''A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，以'AA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，()4,2N ，P 点所在的圆的圆心为()2,4O ，所以圆的标准方程为()()22244x y −+−=，AE 所在的直线方程为12y x =，所以圆心到直线的距离为222465512−⨯=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为6525−，即NP 的最小值为65105−，故③正确；则(0,D 0，0)，'(0,D 0，4)，(0,C 4，0)，(4,G 0，2)，(4,B 4，0)设(4,P y ，)z ，因为'D P CG ⊥，所以'0D P CG =g u u u u r u u u r，即()164240y z −+−=，对于P ，()()22244y z −+−=，tan BC BPC BP∠=，即求BP 的最小值，()222452432BP y z y y =−+=−+，由二次函数的性质知，当24 2.425y −=−=⨯时，BP 取得最小值455，又因为42BC =，所以10BC BP=，所以tan BPC ∠的最大值为10，所以④错误，故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰. 14π+14.已知(),2a k =−r ，() 3,5b =−r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;15. 在中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．【答案】3【详解】解：由题得24sin()403a a B π−++=，因为方程有解，所以2216sin ()160,sin ()133B B ππ∆=+−≥∴+≥,所以sin()13B π+=±,因为0.333B B πππππ<<∴<+<+,所以24402a a a −+=∴=，. 由余弦定理得22328=4+22,23240,432c c c c c −⨯⨯⨯∴−−=∴=. 所以的面积为111sin 24323222S ac B ==⨯⨯⨯=. 故答案为：2316.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【答案】944(2e ,2e )ππ【分析】由已知可得方程e sin x a x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，利用导数研究e sin xy x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =−>>有两个零点， 所以方程()e sin 00,0xa x x a −=>>有两个根，所以()2,2N x k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x−'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x −=， 化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()xg x =，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有所以当9442e 2e a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =−>()0a >有两个零点，故答案为：944(2e ,2e )ππ．题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17．解：（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =,故111222n n n n b b q−−==⨯=,┅┅┅┅┅┅4分又由122n a n +=,得1n a n =−. ┅┅┅┅┅┅6分 （2）依题意1(1)2n n c n −=−⨯.┅┅┅┅┅┅7分01221021222(2)2(1)2n n n S n n −−=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,①则12312021222(2)2(1)2n n n S n n −=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n −−−=+++−−⨯=−−⨯−…,┅┅┅┅┅┅10分即2(2)2n n S n −=−+−⨯,故2(2)2nn S n =+−⨯.┅┅┅┅┅┅12分18. 如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （215（1）证明：由AB ＝AC ，则有A 1B 1＝A 1C 1. ∵D 为B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1. 由BC ＝2，则有B 1D ＝1，BB 1＝2， ∵1113B BC C BC π=∠=∠，∴2222111112cos21221332BD B B B D B B B D π=+−⋅=+−⨯⨯⨯= ∴BD 2+B 1D 2＝BB 12，∴BD ⊥B 1C 1，∵A 1D ∩BD ＝D ，∴B 1C 1⊥平面A 1DB . ┅┅┅┅┅┅6分（2）取BC 中点为E ，连接AE ，C 1E ， 由AB ⊥AC ，得AE ＝12BC ＝1， 由题意得C 1E ＝BD ＝3，∴222114AE C E AC +==，∴AE ⊥C 1E ，又可知AE ⊥BC ，AE ∩C 1E ＝E ，则AE ⊥平面BB 1C 1C ，如图，以E 为坐标原点，1C E BE AE u u u u r u u u r u u u r，，分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，┅┅┅┅┅┅7分则C （0，﹣1，0），B 1（3，2，0），A 1（3，1，1），B （0，1，0），D （3，1，0），由A 1D ∥AE ，得A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，∴BD ⊥B 1C 1，∵BD ⊥B 1C 1，A 1D ∩B 1C 1＝D ，∴BD ⊥平面A 1B 1C 1， ∴平面A 1B 1C 1的法向量BD u u u r＝（3，0，0），┅┅┅┅┅┅8分设平面A 1B 1C 的法向量n r＝（x ，y ，z ），则，不妨取x ＝﹣3，得n r＝（﹣3，3，3），┅┅┅┅┅┅9分设二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的平面角为θ，由图示θ为锐角. ┅┅┅┅┅┅10分 则cosθ＝，┅┅┅┅┅┅11分 ∴二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值为155．┅┅┅┅┅┅12分 19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=. （1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =，3AC =，求BDC ∆的面积.19．（1）∵1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=， ∴sin cos sin cos 3cos a A C c A A b A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin 3sin cos A A C A C B A +=， ∴()sin sin 3sin cos A A C B A +=，即sin sin 3sin cos A B B A =， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，∴tan 3A =，∵0A π<<，∴3A π=.┅┅┅┅┅┅6分（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+−⋅，即()222173232AD AD =+−⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍），∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴133313224BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.┅┅┅┅┅┅12分20．已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点．(1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20x y −++=，圆心(4,2)C −，半径25r =． 若1l 垂直于x 轴，则4MN =不合题意，┅┅┅┅┅┅2分故1l 斜率存在，设为k ，则1l 的方程为2y kx =−，即20kx y −−=．┅┅┅┅┅┅3分8MN =，C 到1l 的距离()222542d =−=，242221k k +−=+，解得33k =±，┅┅┅┅┅┅4分故直线1l 的方程为323y x =±−，即3360x y ±−−=．┅┅┅┅┅┅5分 （2）由已知，2l 斜率不为0，故1l 斜率存在．┅┅┅┅┅┅6分当2l 斜率不存在时，2l 方程为0x =，则(0,0)Q ，此时1l 方程为=2y −，此时45MN =， 1452452QMN S =⨯⨯=△．┅┅┅┅┅┅7分当2l 斜率存在时，设1:2l y kx =−即20kx y −−=，则圆心C 到直线MN 的距离为241k k +．┅┅┅┅┅8分()222222216420522524111k k k MN k k k ++=−==+++，┅┅┅┅┅┅9分 2l 方程为12y x k =−−，即20x ky ++=，()2,0Q k −，则点Q 到MN 的距离为22221k k−−+．┅┅┅┅┅┅10分22222122454545211QMNk k S k k k ++=⨯⨯=+>++△.┅┅┅┅┅┅11分 综上：面积的最小值为45．┅┅┅┅┅12分21. 已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）()12ln 1f x x x ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭，令其为()p x ，则()21120p x x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭┅┅┅┅┅┅1分 所以可得()p x ，即单调递增，┅┅┅┅┅┅2分而()10f '=，则在区间()0,1上，，函数()f x 单调递减；┅┅┅┅┅┅3分在区间上，函数()f x 单调递增┅┅┅┅┅┅4分（2）()()2112ln x f x x x a x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x ax −=+，可知()10h =. ()222ax x a h x x++'=，令()22,0g x ax x a x =++>，┅┅┅┅┅┅5分 ①当1a ≤−时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以函数()h x 单调递减，∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x >，()1,∈+∞x 时，()0h x <， 可知此时()0≤f x 满足条件；┅┅┅┅┅┅7分②当0a ≥时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x '>，()h x 单调递增， ∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x <，()1,∈+∞x 时，()0h x >， 可知此时()0≤f x 不恒成立，┅┅┅┅┅┅9分 ③当10a −<<时，研究函数()22g x ax x a =++.可知()10g >.对称轴11x a=−>. 那么()g x 在区间11,a ⎛⎫−⎪⎝⎭大于0，即()h x '在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭大于0， ()h x 在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，()()10h x h >=，可知此时()0f x >.所以不满足条件. ┅┅┅┅┅11分综上所述：1a ≤−.┅┅┅┅┅┅12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，点)P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．解：由223645cos ρθ=+得()2245cos 36ρρθ+=， 即()2224536y x x ++=，所以229436x y +=，即22149x y +=，┅┅┅┅┅┅2分∴(2F ，∴直线2PF 1=，即0x y +=；┅┅┅┅┅┅4分（2）解：由（1）知(10,F ，直线l的直角坐标方程为y x =，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的标准方程可得：213320t −−=，┅┅┅┅┅┅6分 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123213t t =−，∴1t ，2t 异号，┅┅┅┅┅┅8分∴111213AF BF t t −=+=．┅┅┅┅┅┅10分 23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.23．(1)()1f x x ≤+，即131x x x −+−≤+.当1x <时，不等式可化为421x x −≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅； ┅┅┅┅┅┅1分当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.┅┅┅┅┅┅2分当3x >时，不等式可化为241x x −≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.┅┅┅┅┅┅3分综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.┅┅┅┅┅┅4分 ∴原不等式的解集为[]1,5.┅┅┅┅┅┅5分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x −+−≥−−−=， ∴2c =，即2a b +=.┅┅┅┅┅┅6分令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =−=−+=,,，┅┅┅┅┅┅7分()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n −−+=+=+++−=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ┅┅┅┅┅┅9分 当且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证. ┅┅┅┅┅┅10分。
曲靖一中高三年级第三次复习检测数学试题(理科)及参考答案
曲靖一中高三年级第三次复习检测数 学 试 卷（理）考生注意：所有题目均在答题卡上做答，直接做在试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}a A ,2,0=，{}2,1a B =，若{}16,4,2,1,0=B A ，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．设a 是实数且211ii a +++是实数，则a 等于（ ） A ．21 B ．1 C ．23D ．23．函数()1sin 3++=x x x f 的图象（ ）A ．关于点（1,0）对称B ．关于点（0,1）对称C ．关于点（－1,0）对称D ．关于点（0,－1）对称 4．在等差数列{}n a 中，若80108642=++++a a a a a ，则8721a a -的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．105．从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任意以出3台，其中至少有甲型与乙型电脑各1台，不同取法有（ ）A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种6．若352lim 222=--++→x x a x x x ，则a 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．－67．已知在一段时间内有200辆汽车经过某一雷达测速区，测得的车速制成的时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车的数量及频率分别为（ ）A ．65辆，0.325B ．76辆，0.38C ．88辆，0.44D ．95辆，0.4758．设函数()()()()⎩⎨⎧≤>+-=-4241log 43x x x x f x 的反函数为()x f 1-，且a f =⎪⎭⎫⎝⎛1-81，则()7+a f 等于（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4221=S ，若1392112a a a n b --=，则数列{}n b （ ）A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列10．已知函数()x f 满足：当4≥x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21，当4<x 时，()x f ()1+=x f ，则()=+3log 22f （ ）A ．241B ．121C ．81D ．8311．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前n 2项和与前n 3项和分别为X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．Y Z X 2=+B ．()()X Z Z X Y Y -=-C ．XZ Y =2D ．()()X Z X X Y Y -=-12．设函数()()2x x g x f +=，曲线()x g y =在点()()1,1g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．4B ．41-C ．2D ．21-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若()6a x +的展开式中2x 项的系数为60，则实数=a ．14．在4次独立重复试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为8165，则事件A 在1次试验中出现的概率为 ．15．已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+--=11111142x a x x x x x x f 在1=x 处连续，则实数a 的值为 ．16．对于数列{}n a①若{}n a 的前n 项和n n S n -=22，则{}n a 是等比数列． ②若11=a ，22=a ，212+++=n n n a a a ，*N n ∈，令n n n a a b -=+1，则{}n b 是等比数列． ③{}n a 是等差数列，且前6项之和为正数，前7项之和为负数，则其前n 项和n S 的最大值为3S ．④若{}n a 满足3221=+a a ，且对任意*N n ∈，点()n a n P ,都有()2,11=+n n P P ，则{}n a 的前n 项和n S 为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43n n S n ．上述命题正确的是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知{}02223>--+=x x x x A ，{}02≤++=b ax x x B ，{}02>+=x x B A ，{}31≤<=x x B A ，求实数a ，b 的值．18．（本题满分12分）()4log log 2x x x f -=()10<<x ，又知数列{}n a 的通项n a 满足()n f n a 22=，*N n ∈．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）判断此数列{}n a 的增减性．19．（本题满分12分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为32和21，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中成活的株数ξ的分布列与期望．20．（本题满分12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个墩相距m 米，余下工程只需建两墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为()x +2x 万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当640=m 米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小． 21．（本题满分12分）在数列{}n a 中，611=a ，n n n a a 3121211⨯+=-（*N n ∈，且2≥n ）．（Ⅰ）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 31是等比数列；（Ⅱ）救数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：21<n S ． 22．（本题满分12分）设函数()xe xf x=．（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）若0>k ，求不等式()()()01>-+'x f x k x f 的解集．曲靖一中高三年级第三次复习检测数学试卷参考答案（理）一、1．D ；2．B ；3．B ；4．C ；5．C ；6．D ；7．B ；8．A ；9．C ；10．A ；11．D ；12．A ． 二、 13．2；14．31；15．1；16．②③． 三、17．解：设[]21,x x B =，由()()()()()01121222223>-++=-+=--+x x x x x x x x 知：{}112>-<<-=x x x A 或 ∵{}2->=x x B A ，{}31≤<=x x B A ∴11-=x ，32=x ，∴－1,3是方程：02=++b ax x 的两根．由韦达定理知：⎩⎨⎧-=+-=-331b a ，故2-=a ，3-=b ．18．解：（Ⅰ）∵()xx x f 22log 2log -=，且()n f n a 22=， ∴n n na a 22log 22log 22=-，即n a a nn 22=-．∴0222=--n n na a 得22+±=n n a n ，∵10<<x ，∴120<<na ，∴0<n a故22+-=n n a n（Ⅱ）∵()()()()12112221122221<++++++=+-++-+=+n n n n n n n n a a n n 即：11<+n n a a ． 而0<n a ，∴n n a a >+1，∴数列{}n a 是单调递增数列．19．解：（Ⅰ）设k A 表示甲种大树成活k 株，2,1,0=k ，l B 表示乙种大树成活l 株，2,1,0=l法一：ξ的可能值为：0，1，2，3，4，且()()()()361419100000=⨯=⋅=⋅==B P A P B A P P ξ ()1=ξP ()()61419421910110=⨯+⨯=⋅=⋅=B A P B A P()()()()36134194219441912021120=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅==B A P B A P B A P P ξ ()()()312194419431221=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ()()914194422=⨯=⋅==B A P P ξ∴ξ的分布列为379143133613236113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （株） 法二：分布列求法同前令1ξ、2ξ分别表示甲、乙两种树成活的株数．则：⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2~1B ξ，⎪⎭⎫⎝⎛21,2~2B ξ故343221=⨯=ξE ，12122=⨯=ξ，从而3713421=+=+=ξξξE E E （株） 20．解：（Ⅰ）设需新建n 个桥墩，则：()m x n =+1，即1-=xmn ．从而：()()()()25622562125621256-++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=m x m x m x x x mx m x x n n x f （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-='-512221256232212x xmmx m x x f 令()0='x f 得：51223=x ，所以64=x∵()x f 在()64,0上单调递减，在（64, 640）上单调递增∴()x f 在64=x 处取得最小值，此时91646401=-=-=x m n 故需建9个桥墩才能使y 最小．21．解：（Ⅰ）证明：由已知得：21313131212131311111=++⨯+=++++++nn n n n nn n n a a a a∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 31是等比数列．（Ⅱ）设n n n a A 31+=则2131613111=+=+=a A 且21=q∴n n n A 2121211=⋅=-，∴n n n a 2131=+，故n n n a 3121-=．（Ⅲ）证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 3121 (312131212211)216223221312121213121212113113113121121121<⨯-⨯-=⋅+-=⋅+--=-⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n n n n 21622322131212121312121211<⨯-⨯-=⋅+-=⋅+--=n n n n n n n21622322*********<⨯-⨯-=⋅+-=n n n n n 216223221<⨯-⨯-=nn n ． 22．解：（Ⅰ）()xx x e xx x e x e x f 221-=+-='，由()0='x f 得1=x ∵当0<x 时，()0<'x f ，当10<<x 时，()0<'x f ，当1>x 时，()0>'x f ∴()x f 的单调递增区间是[)+∞,1，单调递减区间是()(]1,0,0,∞-．（Ⅱ）由()()()xe xkx kx x x f x k x f 2211-+-=-+' ()()0112>+--=x e x kx x ．得：()()011<--kx x ，故当10<<k 时，解集是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<k x x 11，当1>k 时，解集是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x k x ．。
高二数学第三次阶段考试试卷理科 试题
智才艺州攀枝花市创界学校仙游第一高二数学第三次阶段考试试卷(理科)2021年12月 班级座号成绩一选择题：〔本大题一一共12个小题，每一小题5分．每一小题只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕 1．设集合A={x|011<+-x x }，B={x||x －1|＜a}，那么“a=1”是“A ∩B ≠φ〞的〔A 〕 A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角； ④DM 与BN C 〕 A .①②③B .②④C .③④D .②③④3．方程|2|)1(3)1(322-+=+++y x y x 表示的曲线是(A )A 、 椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、不能确定4．F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，假设边MF 1的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是〔D 〕A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+5，以抛物线y 2=2px 〔p>0〕的焦半径|PF|为直径的圆与y 轴位置关系是(B )A 、相交B 、相切C 、相离D 、以上三种均有可能6．长方体A BCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面A B 1D 1于点M ，那么以下结论错误的选项是〔D 〕EAFBC MDCAA1A CA ．A ，M ，O 三点一共线B ．A ，M ，O ，A 1四点一共面C ．A ，O ，C ，M 四点一共面D ．B ，B 1，O ，M 四点一共面7，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB=，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，那么当QA QB ⋅获得最小值时，点Q 的坐标为〔C 〕A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)3338，a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，那么向量a 与b 之间的夹角><b a ,为〔C 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9，不一共面的四个定点到平面α的间隔都相等，这样的平面α一共有〔D 〕A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个10．设A ，B ，C ，D是空间不一共面的四点，且满足0=⋅AC AB，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，那么△BCD 是(C)〔A 〕钝角三角形〔B 〕直角三角形〔C 〕锐角三角形〔D 〕不确定解析：假设AB 为a ，AD 为b ，AC 为c ，且ab c >>那么，，，D那么BD 为最长边，根据余弦定理222cos 0DCB +-∠=>DCB ∴∠最大角为锐角。
第三次理科数学答案
第三次月考理科数学答案解析及命题意图参考二、填空题：20分。
函数知识和方法学习和理解程度把握情况综合检测，不拘泥常规问题训练。
13.【答案】[]5,2-- 14. 【答案】7 15.【答案】34k ≤或54k ≥ 16. 【答案】①③④ 三、解答题：70分。
17.(12分)本题设计内容是集合子集概念，集合间简单运算，分类辨析等思想，查数学运算推理抽象素养。
【解答】（1）3m =得{}|56B x x =<≤{}{}{}{}222|log (x 3)3|log(x 3)log 8|3x 5|36A x x x A B x x =+≤=+≤=-<≤⇒=-<≤ ............................5分（2）A B B B A =⇒⊆,若2134m m m -≥+⇒≥,B =Φ,符合题意； 若2134m m m -<+⇒<，且2131235m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩综上所述：实数m 取值范围为[][)1,24,-+∞..................10分18. (12分)主要针对函数双变量的“任意性问题”与“存在性问题”辨析思考及初等函数最值，考查抽象推理逻辑素养。
【解答】（1）因为[]12121,1,2,3,()g()2x x f x x ⎡⎤∀∈∃∈≤⎢⎥⎣⎦等价于()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦最大值小于g()x 在[]2,3上的最大值.g()x 在[]2,3递增，所以max g()8x a =+，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，max 11()()822f x f ==+所以有1882a +≥+，即12a ≥.........6分 （2）由1202x y =->得104y ≤<，则212log (841)s xy y =++ 221122log (841)log (1241)xy y y y =++=-++21214log [12(y ))63=--+，故当1y 6=时，其最小值为124log 3............12分 19. (12分)幂函数定义和性质简单应用，以及不等式恒成立下最值求解，具体函数问题解决处理情况，函数是一种重要反映变量间的模型，应用广泛，考查学生运算及数学建模素养情况。
2021年高三下学期第三次周考数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期第三次周考数学（理）试题含答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设集合，，则AB（）A．[1，2] B．[0，2] C．（1，2] D．[-1.0）2．已知，“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的最小正周期为（）A． B． C． D．24．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2805．已知函数定义在区间上的偶函数（），且，则（）A．1 B．2 C．9 D．106．如图为某几何体的三视图，求该几何体的体积（）A．36 B．24C．12 D．97．若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+21,01,01yyxyx表示的区域Ω，不等式表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．执行如图所示的程序框图，输出的S值为-4时，则条件框内应填写（）A． B．C． D．9．已知直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若是△中心，且三棱柱的体积为，则与平面所成的角大小是（）A． B． C． D．11．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若，则（）A． B． C． D．12.已知函数，，在[1，4]上的最大值为，当时，恒成立，则的取值范围（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．14．在四边形中，，，，则在上的投影为．15．已知数列,满足，=1，，，则．16．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
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第三次理科数学周考题
班级 姓名
一、选择题
1.已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．
2.设复数z 满足
=i ，则|z|= （A ）1 （B
（C （D ）2 3.若非零向量a ，b 满足|a |
b |， 且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（ ） A 、
4π B 、2π C 、34
π D 、π 4. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A ）
15 （B ）25 （C ）35 （D ）45
5、观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )
A ．22项
B ．23项
C ．24项
D ．25项
6．若，则下列命题中正确的是（ ）
A ．
B
C ．
D 7、若函数21
()2x x
f x a
+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )
（A ）(
) (B)(
) （C ）（0 ，1） （D ）1,+∞（）
8．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
}1|{<=x x M }12|{>=x x N =N M ∅}0|{<x x }1|{<x x }10|{<<x x 1+z
1z
-d c b a >>,d b c a ->-bd ac >
A ．
B ．
C ．
D ．
9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( ) A.
20
3
B.72
C.165
D.158
10.函数x lg x y +π
+
=)2cos(
的零点个数是（
） A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知圆C ：()()1112
2
=-++y x 与x 轴切于A 点，与
y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是( )
A ．22-+=x y
B .2
1
1-
+=x y C 22+-=x y D ．21-+=x y
12、若存在正数x 使2x
(x －a )＜1 成立，则a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞) 二、填空题
13．已知在等比数列{a n }中，a 5a 11＝6，a 6＋a 10＝7，则a 7
a 9
的值是________．
14.已知点满足，过点的直线与圆相交于两点，则
）
A ．2
B ．4
15、正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面
体ABCD 外接球表面积为_____．
16．已知抛物线C ：px y 22
=()0>p 的焦点为F ，M 是抛物C 上的点，若三角形OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π36，则P 的值为: .
(),P x y 41x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
P 2214x y +=,A B
三、解答题
17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c
a
b b a
c a -=++， （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若ABC △的面积为32，且A C sin 2sin =，求最小边长．
18、在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、
，设为坐标原点，点的坐标为，记．
（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点． （Ⅰ）证明：BE ⊥DC ； （Ⅱ）求BE 的长；
（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．
x y O P (2,)x x y --2
OP ξ= ξξ
ξ
20．(本小题满分12分)椭圆C ：122
22=+b
y a x ()0>>b a 的离心率为21，其左焦点到点()1,2P 的
距离为10.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 若直m kx y l +=:线与椭圆C 相交于B A ,两点(B A ,不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
21、本题满分15分）设函数
（Ⅰ）求
单调区间
（Ⅱ）求所有实数，使
对
恒成立(注：为自然对数的底数)
23.在平面直角坐标系中，已知直线
的参数方程为为参数），以坐
标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是
．
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标系方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．
xOy l t x C ()23400ρρρ--=≥l C l C A B 、AOB ∠。