自相似的分形曲线
自相似性的由来分形理论及其发展历程
⾃相似性的由来分形理论及其发展历程分形理论及其发展历程被誉为⼤⾃然的⼏何学的分形(Fractal)理论，是现代数学的⼀个新分⽀，但其本质却是⼀种新的世界观和⽅法论。
它与动⼒系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在⼀定条件下、过程中、在某⼀⽅⾯(形态，结构，信息，功能，时间，能量等)表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变既可以是离散的也可以是连续的，因⽽拓展了视野。
⼀、分形⼏何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)1975年⾸先提出的，但最早的⼯作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯(K.Weierestrass)构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始⼈康托(G.Cantor，德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意⼤利数学家⽪亚诺(G.Peano)构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫(H.von Koch)设计出类似雪花和岛屿边缘的⼀类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)设计了像地毯和海绵⼀样的⼏何图形。
这些都是为解决分析与拓扑学中的问题⽽提出的反例，但它们正是分形⼏何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利⼲(G.Bouligand)将闵可夫斯基容度应⽤于⾮整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特⾥亚⾦(L.S.Pontryagin)等引⼊盒维数。
1934年，贝塞考维奇(A.S.Besicovitch)更深刻地提⽰了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其⼏何的研究领域中做出了主要贡献，从⽽产⽣了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这⼀领域的研究⼯作没有引起更多⼈的注意，先驱们的⼯作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例⽽流传开来。
⼆、1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在⼤⼩尺度间的对称性。
[转载]分形---自相似性
![[转载]分形---自相似性](https://img.taocdn.com/s3/m/e588f34e3a3567ec102de2bd960590c69ec3d885.png)
[转载]分形---⾃相似性原⽂地址：分形---⾃相似性作者：凯分形, 简单的讲就是指系统具有“⾃相似性”和“分数维度”。
所谓⾃相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采⽤什么样⼤⼩的测量“尺度”，物体的形状不变。
如树⽊不管⼤⼩形状长得都差不多, 即使有些树⽊从来也没见过, 也会认得它是树⽊；不管树枝的⼤⼩如何，其形状都具有⼀定的相似性。
所谓分形的分数维, 是相对于欧⽒⼏何中的直线、平⾯、⽴⽅⽽⾔的, 它们分别对应整数⼀、⼆、三维，当然分数维度“空间”不同于⼈们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。
说起来⼀般⼈可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对⼀个⾜够⼤的海岸线⽆论采⽤多么⼩的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于⼀个确定值！⽤数学语⾔来描述即是海岸线长度与测量标尺不是⼀维空间的正⽐关系，⽽是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
⾃相似性⼜揭⽰了⼀种新的对称性，即画⾯的局部与更⼤范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧⼏⾥德⼏何的对称，⽽是⼤⼩⽐例的对称，即系统中的每⼀元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
⽆论放⼤多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
但是，注意观察上图，我们会发现：每次放⼤的图形却并不和原来的图形完全相似。
这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的⾃相似特性。
分形能够保持⾃然物体⽆限细致的特性，所以，⽆论你怎么放⼤，最终，还是可以看见清晰的细节。
周期性是⾃然界发展变化的基本规律之⼀，经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复；总体上讲⼈类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。
随机波动曲线具有“⾃相似性”。
价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线⼀样表现为精确的⼏何图形，随机性是这种曲线⾛势的基本特征；曲线⾃相似性的意义是突出随机过程中的关联效应。
魏尔斯特拉斯曲线
魏尔斯特拉斯曲线
魏尔斯特拉斯曲线是一条著名的分形曲线，由德国数学家魏尔斯特拉斯于19世纪提出。
这条曲线的特点是在任何局部都有类似于整个曲线的形态，因此被称为自相似曲线。
魏尔斯特拉斯曲线的构造方法非常简单，从一条线段开始，每次将其分成三等份，然后将中间一段替换成两条形状相同的线段，这样就得到了新的曲线。
重复这个过程无限次，就可以得到越来越复杂的魏尔斯特拉斯曲线。
尽管魏尔斯特拉斯曲线看起来非常复杂，但它却有许多有趣的性质和应用。
例如，它可以用于描述自然界中的许多曲线形态，如树枝、河流、山脉等。
此外，魏尔斯特拉斯曲线还可以用于解决一些数学问题，如分形几何、复杂度理论等。
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自仿射分形,自反演分形和自平方分形
自仿射分形，自反演分形和自平方分形是分形几何中的三种重要概念。
它们分别以自相似、自反演和自平方的特性而闻名，被广泛应用于数学、物理、生物学等领域。
本文将分别介绍这三种分形的基本概念、特点和应用，并对它们的发展和研究进行简要探讨。
一、自仿射分形1. 基本概念自仿射分形是指其每个部分都与整体相似的分形。
在自仿射分形中，整体的图形可以被分成若干个部分，每个部分都与整体相似，且比例尺相同。
这种自相似的特性使得自仿射分形具有无限的细节和结构，能够在不同尺度下展现出相似的图像。
著名的科赫雪花和谢尔宾斯基三角形就是自仿射分形的典型代表。
2. 特点自仿射分形的特点主要包括：自相似性、边界无限长度、面积有限、维数非整数等。
这些特点使得自仿射分形不同于传统的几何图形，展现出更加复杂和多样的结构。
3. 应用自仿射分形广泛应用于图像压缩、信号处理、地理信息系统等领域。
它能够有效地描述和处理自然界中复杂的图形和结构，为数据的分析和处理提供了新的途径和方法。
二、自反演分形1. 基本概念自反演分形是指通过一定的数学变换，将整体分成若干个部分，每个部分又是整体的缩小复制。
在自反演分形中，通过不断的反复迭代和变换，可以生成具有高度复杂结构和无限细节的图形。
著名的分段几何、龙曲线等都是自反演分形的典型代表。
2. 特点自反演分形的特点主要包括：无限复杂、嵌套结构、自相似性等。
这些特点使得自反演分形能够描述和展现出自然界中许多复杂的现象和图形，具有重要的理论和应用意义。
3. 应用自反演分形在信号处理、图像压缩、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
通过自反演分形的特性，可以更加有效地描述和处理复杂的图形和数据，为信息的存储和传输提供了新的技术手段。
三、自平方分形1. 基本概念自平方分形是指通过对整体进行一定的变换和缩放，使得整体可以被分成若干个部分，每个部分又是整体的缩小复制。
在自平方分形中，通过不断的平方变换和迭代，可以生成具有无限细节和结构的图形。
分形几何学与自相似性研究
分形几何学与自相似性研究分形几何学是一门独特而富有趣味的数学领域，它研究的是数学上的自相似性，并通过这种自相似性来描述和解释复杂自然现象。
在分形几何学中，我们可以发现一些神奇而迷人的图形和概念，这些图形展示了自然界的美妙和多样性。
首先，让我们来看看什么是自相似性。
自相似性是指一个物体的内部部分与整体之间的某种相似关系。
这种相似性在不同的尺度上都存在，即使我们通过放大或缩小来改变尺度，物体的形状和结构仍然保持相似。
举个例子，我们可以想象一颗树的分支结构。
如果我们将树的一个小分支放大，我们会发现它与整棵树的形态非常相似。
这种自相似性是由树的生长方式决定的，也是分形几何学研究的一个重要领域。
分形几何学并不局限于自然界，它还可以应用于许多其他领域。
例如，金融市场也存在自相似性的特征。
通过分析金融市场的价格走势，我们可以发现某些模式和规律，这些模式和规律在不同的时间尺度上都具有相似性。
这种自相似性可以用来预测金融市场的未来走势，对投资决策和风险管理具有重要意义。
分形几何学的研究还涉及到图像压缩和信号处理等领域。
通过利用分形的自相似性，我们可以将图像或信号进行压缩，以节省存储空间和传输带宽。
分形压缩算法能够以较低的失真率来压缩大量数据，这使得分形压缩在数字媒体和通信领域得到广泛应用。
另外，分形几何学还可以用来研究生物学中的一些现象。
例如，分形结构在生物体的形态生成和模拟中起到重要作用。
树叶的形状和血管的分布模式都具有分形的特征。
生物的分形结构不仅美观而且高效，它们能够最大程度地利用有限的资源来满足生物体的需求。
除了在科学研究中的应用，分形几何学也给人们带来了艺术上的启发。
分形图形的非凡美感使其成为艺术创作中的重要元素。
艺术家们可以通过分形几何学中的自相似性概念来创造出各种绚丽多彩的图案和形状，这些作品表达了人们对自然和宇宙的深入思考。
总之，分形几何学与自相似性的研究为我们提供了一种全新的视角来理解和描述复杂的自然现象。
Koch分形曲线
在新的图形中，有将没一直线段中间的三 分之一部分都用一个等边三角形的另两边 代替，得到15个结点的图形
• 每迭代一次，曲线的长度增加4/3。 • 下面是迭代5次的图形。
算法的程序设计见下页的M-文件
p=[0,0;10,0]; a=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)];
练习
• 以正三角形为基础图形，在每一个边上 构造Koch曲线，得到Koch雪花。
结点 p(4:4:4*n-4,:)=q+2*d; end plot(p(:,1),p(:,2)) %插入第三组结点
算法的设计
(1) Q 1 P 1 ( p 2 P 1) / 3 ( 2 ) Q 3 P 1 2 ( P 2 P 1) / 3 ( 3 ) Q 2 Q 1 ( Q 3 Q 1) A ' ( 4 ) P 5 P 2 ; P 2 Q 1; P 3 Q 2 ; P 4 Q 3;
Koch分形曲线
一、分形的概念
• 把形态、功能和信息方面具有自相似性的对象 称为分形(fractal)。 • Koch曲线是最简单的分形曲线，从一条直线段 开始，将中间的三分之一部分用一个等边三角 形的另两条边代替，得到5个结点的图形
（ 0, 0),( 3.3333, 0),(5.0000, 2.8868),(6.6667,0),(10.0000,0)
• 在第三步中的矩阵A为
cos A sin
3
Байду номын сангаас
sin
3
3 cos 3
• 由上面的程序，从{P1,P2}得到一个新的5 个顶点的数组{P1,P2,P3,P4,P5},就是我们 的生成元，然后对每一个线段{Pi,Pi+1} 再依次进行新的生成过程，得到一个17 个顶点的数组，第n步得到4n-3个顶 点……直至无限，就得到Koch曲线。
分形几何的典型范例
分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。
3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。
通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。
5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。
这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。
这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。
哈森曼曲线
哈森曼曲线哈森曼曲线（Hilbert Curve）是一种分形曲线，于1891年由德国数学家大卫·哈森曼首次提出。
这条曲线的特点是将一维的线条纵向卷曲后变成了二维的图形，而且可以无限地进行迭代。
哈森曼曲线不仅在数学领域具有重要意义，还被广泛应用于计算机科学、物理学、信号处理等领域。
首先，从正方形的角度来看哈森曼曲线。
我们可以先将一个正方形切分成四个小正方形，然后在中央放置一条连接四个小正方形的曲线。
然后，将每个小正方形都再次切分成四个更小的正方形，重复上述步骤，直到无限迭代。
最后，我们可以得到一条充满规则的曲线。
这个过程可以用递归函数来实现。
其次，从空间曲线的角度来看哈森曼曲线。
我们可以先将一个立方体切分成八个小立方体，然后通过连线构成一条连续的曲线。
同样地，我们不断地重复这个过程，直到曲线充满整个空间。
这个过程可以用四叉树和递归函数来实现。
haosenman_curve哈森曼曲线的重要性在于它具有自相似性和分形特性。
自相似性指的是曲线的某些部分和整个曲线具有相似的形状和结构。
而分形特性则指的是曲线的形态和结构可以在不同的尺度上重复出现。
这些特性让哈森曼曲线在很多领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，哈森曼曲线被用来表示数据的空间编码，例如用于减小存储空间和快速搜索。
在物理学领域中，哈森曼曲线被用来表示空间时间的曲率，或者描述物质的形态和结构。
在信号处理领域中，哈森曼曲线被用来表示数字信号的频率分布和相位关系。
哈森曼曲线不仅具有数学上的重要性，而且由于其规则、美丽和神秘的形状，还被广泛应用于设计和艺术领域。
很多设计师和艺术家都喜欢用哈森曼曲线来创造独特的图案和形态。
总的来说，哈森曼曲线是一条非常重要且充满美感的分形曲线。
它不仅仅是数学研究的领域，也被广泛应用于计算机科学、物理学、信号处理、设计和艺术领域。
哈森曼曲线的研究和应用，将为我们带来诸多有趣而有意义的事情，为人类的进步和发展提供了强大而有力的支持。
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练习题
1. 按照分形的自相似原理，设计一个严格 按照分形的自相似原理， 自相似分形集，并计算其自相似分维。 自相似分形集，并计算其自相似分维。
且由三角形三边关系, 得r > 1 3 取r = 0.33912, Ds = ln5 ≈ 1.48829 − ln0.33912
其它分形图
花篮族
Байду номын сангаас
羊凿树叶状分形
分数维( 分数维 Fractal Dimension)的意 的意 义
我们把维数看成是“复杂性指标” 我们把维数看成是“复杂性指标”，看 维数看成是 作是图形填充空间的程度。 作是图形填充空间的程度。则在曲线的构成 Koch曲线为例 曲线为例， 中，以Koch曲线为例，当转角由零度到九十 度 从小到大变化时，其分形维数也由1(直 从小到大变化时，其分形维数也由1(直 1( 线段维数)从小到大，甚至接近并达到2( 2(三 线段维数)从小到大，甚至接近并达到2(三 角形面片) 角形面片)。
桧树分形小枝： 桧树分形小枝：
刺柏)分形小枝 桧(gui)树(刺柏 分形小枝： 树 刺柏 分形小枝： 主型由五条折线段组成， 主型由五条折线段组成， 设其长度为r 设其长度为
由余弦定理有 : r + 0.5 − 2 × r × 0.5cos α = (0.5r )
2 2 2
3r 1 即 − cosα + =0 4 4r
分形相似维数(Similar Dimension) 分形相似维数 计 算
分形几何学起初确实没有太多公式， 分形几何学起初确实没有太多公式，但 它揭示了众多现象的自相似性， 它揭示了众多现象的自相似性，Mandelbrot 紧紧抓住了双对数关系(幂律关系 幂律关系)， 紧紧抓住了双对数关系 幂律关系 ，在非线性 中找到了一个重要不变量——分数维数。有 分数维数。 中找到了一个重要不变量 分数维数 了这些，对于一门学科的初创者来说， 了这些，对于一门学科的初创者来说，也就 足够了。 足够了。
严格自相似分形的相似维数 :
D s = ln N − ln r
双对数形式.
康托尔尘埃(Cantor dust) 康托尔尘埃
生成方法： 生成方法：初始元为正 方形， 方形，将初始元分成 16个小正方形 个小正方形( 16个小正方形(如右 保留4 图)，保留4个小正方 形成生成元， 形，形成生成元，无 穷次操作形成一点集, 穷次操作形成一点集, 显然它是一个严格的 自相似形 生成元由4 分形维数 :生成元由4个 与初始元相似比为4 与初始元相似比为4的 注意：分形的相似维数 不一定是分数。 部分组 Ds=ln4/ln4=1
维数计算
从一个小立方体出发，将小立方体的每边 从一个小立方体出发， 放大3 则此时体积放大27 27倍 放大3倍，则此时体积放大27倍，共舍去体心 和六个面面心上的7个小立方体， 和六个面面心上的7个小立方体，实际得的是 N=20 个小立方体； 个小立方体； 边长放大倍数为k 边长放大倍数为 ＝3.
(2)
2.第二步再对每个小立 2.第二步再对每个小立 方体进行同样的操作： 方体进行同样的操作： 此时保留下来的小立方 体数目为20 20＝400个 20× 体数目为20×20＝400个； 3.如此反复操作直至无 3.如此反复操作直至无 穷，极限情况下，小立 极限情况下， 方体的体积为零， 方体的体积为零，而其 表面面积之和趋于无穷 大。所以实际得一个面 集，是一个具有自相似 性结构的规则分形系统. 性结构的规则分形系统.
ln N 严格自相似分形的相似维数 : Ds = − ln r
其中 N 为折线段的段数; r 为折线段的长度.
自相似性的一点注记
部分与整体具有严格的自相似的分形又称 作有规分形。 Koch曲线 曲线, 作有规分形。如Koch曲线,它是按一定的数学 法则(迭代)生成的， 法则(迭代)生成的，因此它的任一片段与整体 严格自相似。 严格自相似。 但自然界的分形， 但自然界的分形，其自相似性并不是严格 如海岸线，天空的云团， 的，如海岸线，天空的云团，树的枝干等只是 一种统计意义下的自相似。对于Koch曲线也可 一种统计意义下的自相似。对于 曲线也可 随机生成” 以“随机生成”－可用掷硬币的方式来决定新 的部分位于被去掉部分的哪一侧。 的部分位于被去掉部分的哪一侧。这类分形又 称作无规分形。 称作无规分形。
ln N ln 20 Ds = = ≈ 2.7268 ln K ln 3
几种严格自相似分形的生成格 式
(1)Koch曲线 (1)Koch曲线
基线为单位长度线段； 基线为单位长度线段； 主型中折线段数为4， 主型中折线段数为 ，即 N=4 ； 折线段长度为1/3； 折线段长度为 ；
Koch 曲线相似性维数：
二维空间上的分形图形生成法
分形最本质的特征是自相似性， 分形最本质的特征是自相似性，对于整体与部分 严格自相似的分形点集，其生成格式如下： 严格自相似的分形点集，其生成格式如下： (严格 自相似分形 或有规分形 的迭代生成： 严格)自相似分形 或有规分形)的迭代生成 严格 自相似分形(或有规分形 的迭代生成： 初始元：单位长度线段或其它几何图形； 初始元：单位长度线段或其它几何图形； 主型(motif)：又称作生成元，提供生成格式； ：又称作生成元，提供生成格式； 主型
谢尔宾斯基海绵(sierpinski’s sponge) 谢尔宾斯基海绵
1. 如图所示，取一立方体,第一步将立方体等分 如图所示，取一立方体, 27个小立方体 个小立方体， 成27个小立方体，舍去体心的一个小立方体 和六个面上面心的小立方体, 即舍去7 和六个面上面心的小立方体, 即舍去7个小立 方体，保留27 27－ 20个小立方体 个小立方体. 方体，保留27－7＝20个小立方体.
ln 4 Ds = ≈ 1.26186 1 − ln 3
Levy曲线分形 曲线分形
Levy曲线主型： Ds = 曲线主型： 曲线主型
ln 2 − ln 2
=2 2
皇冠分形曲线
设主型第一(六)条折线段与水平线夹角为α = 30o ,
故由方程 2r cos 30o + r = 1 得 r= 1 Ds = ln(ln36 1 ) ≈ 1.78275 + ( 3 +1 )