成都树德中学2019级高二数月10(理科)
树德中学高2019级第三期10月阶段性测试数学试题（理科）（完卷时间120分钟；满分150分） 命题人：韦莉第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2222135x y m n +=1. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （ ）A. 2B. 26C. 25D. 12. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3)与点B(1, 3, 5)之间的距离（ ） A.1B.√5C.3√10D.23. 圆x 2+y 2−2x −8=0和圆x 2+y 2+2x −4y −4=0的公共弦所在的直线方程是（ ） A.x +y +1=0 B.x +y −3=0 C.x −y +1=0D.x −y −3=04．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22B ．1C ．2D ．25. 已知圆C 1:x 2+y 2+2x −4y +1=0，圆C 2：(x −3)2+(y +1)2=1，则这两圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相离C.外切D.内含6．已知椭圆2222135xy mn +=和双曲线2222231x y m n -=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. 15x y =± B. 15y x =± C. 3y x =± D. 3x y =± 7．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（ ）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆 8. 若圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上有且仅有三个不同点到直线l:y =kx 的距离为2√2，则直线l 的倾斜角是（ ）A.π12或5π12B.π12或π4C.π6或π3D.0或π29. 若方程√4−x 2=kx −2k +3有两个不等实根，则k 的取值范围（ ）A.(0, 512) B.(13, 34]C.(512, +∞)D.(512,34] 10. 曲线C 的方程为()()2222112,x y x y -++++=若直线:12l y kx k =+-与曲线C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11. 如图，△PAB 所在的平面α和梯形ABCD 所在的平面β互相垂直，且,4AD AB AD ⊥=，86BC AB AD BC ==，，,tan 2tan 10ADP BCP ∠+∠=，则点P 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆的一部分B. 椭圆的一部分 C ．直线的一部分 D. 抛物线的一部分12．已知圆C 的方程为(x −1)2+y 2=1，P 是椭圆x 24+y 23=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A 、B ，求PA →⋅PB →的范围为（ ） A.[0, 569]B.[2√2−3, 569]C. [2√2−3, +∞]D.[32, 569]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 圆22:6210C x y x y +-++=关于直线0x y +=对称的圆的方程为 _______． 14. 如果椭圆x 236+y 29=1的弦被点(4, −2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．16. 设圆O:x 2+y 2=3，直线l:x +3y −6=0，点P(x 0, y 0)∈l 若在圆O 上存在点Q ，使得∠OPQ =60∘，则x 0的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（本小题满分10分） 已知Rt PAB 中,A ∠是直角, 4,3PA AB ==, 有一个椭圆C 以P 为一个焦点, 另一个焦点Q 在AB 上, 且椭圆经过点A 、B .（1）求AQ 长度； （2）求椭圆的离心率。
18.（本小题满分12分）如图，已知点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1) 求圆A 的方程；(2) 当|MN |＝219时，求直线l 的方程．19.（本小题满分12分）已知定点(0,1)A ，(0,1)B -，(1,0)C ，动点P 满足：2||AP BP k PC ⋅= (1)求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当2k =时，求||AP BP +的最大值和最小值。
20.（本小题满分12分）已知直线:1l y kx =-与双曲线22:4C x y -= （1）如果l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2） 如果l 与C 的左右两支分别相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且12||25x x -=k 的值。
21.（本小题满分12分）已知定点A(−2, 0)，动点B 是圆F ：(x −2)2+y 2=64（F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ；(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线y =√3x +1与曲线E 交于M ，N 两点，试问在曲线E 位于第二象限部分上是否存在一点C ，使OM →+ON →与OC →共线（O 为坐标原点）？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．22.（本小题满分12分）已知曲线C 上任意一点),(y x M ，都满足：点),(y x M 与定点)0,6(F 的距离和它到直线364:=x L 的距离的比是常数23． (1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,1)，若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．树德中学高2019级第三期10月阶段性测试数学试题（理科）参考答案一、选择题13. ()()22139x y -++= 14、x −2y −8=0 15、316、[0,65]三、解答题17、 (1)=2;AQ 18、 解 (1)由题意知，A (－1，2)到直线x ＋2y ＋7＝0的距离为圆A 的半径R ， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. ------------------------------------5分 (2)设MN 的中点为Q ，连接QA ， 则由垂径定理可知∠MQA ＝90°， 且|MQ |＝19，在Rt △AMQ 中， 由勾股定理知，|AQ |＝AM 2－MQ 2＝1，①当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，显然符合题意， ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. ∴|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. ------------------------------------12分19、解：（1）设(,)P x y (,1);(,1);(1,);AP x y BP x y PC x y =-=+=-2||AP BP k PC ⋅=⇒22221[(1)]x y k x y +-=-+∴ 22(1)(1)210k x k y kx k -+-+--= （1）…………………………4分若1k = 方程（1）可化简为：1x = ，表示垂直于x 轴的一条直线………5分 若1k ≠ 方程（1）可化简为：2221()()11k x y k k++=-- 表示以(,0)1k k -为圆心，以1||1k-为半径的圆……………………6分 （2）当2k =时，点P 的轨迹方程为：22(2)1x y -+=……………………7分(2,2)AP BP x y +=∴||2AP BP x +==分22(2)1x y -+=∴[1,3]x ∈………10分∴max ||6AP BP += （当3x =时取得）………11分min ||2AP BP += （当1x =时取得）……12分 （注：用圆的参数方程求最值也可）20、解：（1）由题意：联立2241xy y kx ⎧-=⎨=-⎩⇒22(1)250k x kx -+-= (2)分当1k =±时，方程有一个解，此时只有一个公共点………………………………4分当1k ≠±时，22420(1)k k ∆=+- 由22420(1)0k k +-=⇒ 2k =±，此时也只有一个公共点。
∴ 1k =±或2k =±………………………………………………………………6分 （或用双曲线的图像求出k 也可以） （2）l 与C 的左右两支分别相交于,A B 两点∴1200x x ∆>⎧⎨<⎩ ⇒ 11k -<<…………………………………………………………8分 12||x x -=又12||x x -=……………………10分 ∴2|1|k -= ⇒22605k k ==或 11k -<<∴0k =……………………………………………………………………………12分21、解：(1)由题意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8， ∴|PA|+|PF|=8>|AF|．因此点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆． 设所求椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∴2a =8，a =4，a 2−b 2=c 2=22=4∴b 2=12 ∴点P 的轨迹方程为x 216+y 212=1．(2)假设存在满足题意的点C(x 0, y 0)(x 0<0, y 0>0)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，OM →+ON →=mOC →(m ∈R ，且m ≠0)， 则(x 1+x 2, y 1+y 2)=m(x 0, y 0)． ∴x 0=x 1+x 2m，y 0=y 1+y 2m．由{y =√3x +1x 216+y 212=1，得15x 2+8√3x −44=0．∴x 1+x 2=−8√315,y 1+y 2=√3(x 1+x 2)+2=25．∴x 0=−8√315m ,y 0=25m ．又x 0216+y 0212=1，解得m 2=115．∴m =±√1515．又∵x 0<0，y 0>0 ∴m =√1515所以存在满足题意的点C(−8√55,2√155) 22、解 (1)曲线C 的方程为椭圆C ：12822=+y x -----------------------------------5分 (2)方法一 因为∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴， 所以P A 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称． 设直线P A 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k . 所以直线P A 的方程为y －1＝k (x －2)， 直线AQ 的方程为y －1＝－k (x －2)．设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，x 28＋y 22＝1，得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －4＝0.①因为点A (2,1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，则2x P ＝16k 2－16k －41＋4k 2，所以x P ＝8k 2－8k －21＋4k 2.同理x Q ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.所以x P －x Q ＝－16k1＋4k 2，x P ＋x Q ＝16k 2－41＋4k 2.又y P －y Q ＝k (x P ＋x Q －4)＝－8k1＋4k 2， 所以直线PQ 的斜率k PQ ＝y P －y Q x P －x Q ＝12，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ------------------------------------12分方法二 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ， 点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ， 直线P A 的斜率k P A ＝y 1－1x 1－2，直线QA 的斜率k QA ＝y 2－1x 2－2.因为∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以P A 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称， 所以k P A ＝－k QA ，即y 1－1x 1－2＝－y 2－1x 2－2，化简得x 1y 2＋x 2y 1－(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4＝0. 把y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，化简得 2kx 1x 2＋(b －1－2k )(x 1＋x 2)－4b ＋4＝0.① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 28＋y 22＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－8＝0，② 则x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－84k 2＋1，代入①，得2k 4b 2－84k 2＋1－8kb b －1－2k4k 2＋1－4b ＋4＝0，整理得(2k －1)(b ＋2k －1)＝0， 所以k ＝12或b ＝1－2k .若b ＝1－2k ，可得方程②的一个根为2，不符合题意．所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ------------------------------------12分。
四川省树德中学2019-2020学年高二数学下学期定时检测线上开学考试题答案
而平面 PAB 平面 ABCD ，交线为 AB ，故 PO 平面 ABCD ，从而 BD PO ①
在矩形 ABCD 中，连接 CO ，设 CO 与 BD 交于 M ，则由 CD : CB BC : BO 知 BCD ~ OBC ，
所以 BCO CDB ，所以 BCM CBM CDB CBM 90 ，故 BD CO ②
（2）过圆心 C 作 CD AB ，则根据题意和圆的性质，
得
| |
CD CD
| |2
| 4 2a |, a2 1
| DA |2 |
AC
|2
22
,
|
DA
|
1
|
AB
|
2,
2
解得 a 7 或 a 1.
故所求直线方程为 7x y 14 0 或 x y 2 0 .（10 分）
x2
y2
1,
联立 4
得
4 m2
y2 6my 5 0 .
x my 3,
所以 36m2 4 5 4 m2 16m2 80 0 ，所以 m2 5 .
所以
y1
y2
6m 4 m2
，
y1 y2
5 4 m2
（2）由（1）知各小组依次是0, 2,2, 4,4,6,6,8,8,10,10,12，
其中点分别为1,3,5, 7,9,11，对应的频率分别为 0.16, 0.20, 0.28, 0.24, 0.08, 0.04 ，
故可估计平均值为1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.04 5 ；（6 分）
四川省树德中学2019-2020学年高二上学期10月阶段性检测 物理 PDF版含答案
高二物理 2019-10 阶考 第 3页 共 2 页
（1）初速度 v0 的最小值． （2）若小球的初速度为（1）中的最小值，小球与挡板 A、B 第一次 碰撞前瞬间，轻绳的拉力分别为多大；
（3）若小球的初速度为（1）中的最小值，且轻绳能承受的最大拉 力为 50mg，在轻绳断前，小球与挡板总共碰撞的次数．
高二物理 2019-10 阶考 第 2页 共 2 页
达 P 点时速度大小为 v2，不计正、负电子受到的重力．则（ ）
A．v1<v2
B．v1>v2
C．t1>t2
D．t1<t2
7．在空间中存在着沿 x 轴的静电场，其电场强度 E 随位置坐标 x 变化规律如图所示，A、B、C 为 x 轴
上的点，取 x 轴正方向为电场强度的正方向．下列说法中正确的是（ ）
A．AC 段中 B 点的电势最低
C．A 的左侧某点电场强度可能为零
D．AB 连线上从 A 到 B 电势降低
6．某区域的电场线分布如图所示，一电场线上有 P、Q 两点，一电子以速度
v0 从 P 点向 Q 点运动，经过时间 t1 到达 Q 点时速度大小为 v1． 一正电子（带正电，
质量、电荷量均与电子相同）以大小为 v0 的速度从 Q 点向 P 点运动，经过时间 t2 到
（1）电荷进入水平放置电容器时的速度大小； （2）水平放置电容器所带电荷量大小； （3）电荷穿过水平放置电容器过程中电势能的增量．
18．（15 分）如图所示，一足够长的斜面倾角为θ＝37°，斜面所在的空间存在水平向右的匀强电场（未
画出）．现将一质量为 m、电荷量为 q 的带正电小球（可视为质点）以初速度 v0 从斜面底端的 A 点竖直
运动的 v－t 图像分别如图（b）中甲、乙两曲线所示．则由图线可知 （）
四川省树德中学2018-2019学年高二数学5月阶段性测试试题理含解析
可得
A
1,
0,
0
，
A1
1,
0,
3
，故
AA1
1,
0,
3
1,
0,
0
0,
0,
3
，而
B1 1, 0,3,C1 0, 3,3 ，设平面 AB1C1 的法向量为 m = a,b, c，根据
m
AB1
0,
m
AC1
0
，解得
m
3,
3, 2
，
cos
m ,
AA1
mm | AAAA11|
1 2
有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研
究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的
关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造
则有
x
，
即函数 g x在 0, 上为减函数，
g 1 ln1 f 1 0
又由
，
则在区间 0,1上， g x ln x f x g 1 0 ，
又由 ln x 0 ，则 f x 0 ，
在区间 1,上， g x ln x f x g 1 0 ，
又由 ln x 0 ，则 f x 0 ，
则 f x在 0,1和 1,上， f x 0 ，
于基础题.
5.已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB ， AC ， M ， N 分别是边 OA ， CB 的中点，
点 G 在线段 MN 上，且使 MG 2GN ，用向量 OA ， OB ， OC 表示向量 OG 是（ ）
四川省成都市树德中学2019-2020学年高二5月半期考试数学(文)试题
四川省成都市树德中学2019-2020学年高二5月半期考试数学（文)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若复数112z i =+，复数21z i =-，则12z z =A ．6BCD2< ）A ．22-< B ．22<C ．22<D ．(22<3．下列三个数：33ln ,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>4．否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ） A ．,,a b c 都是奇数 B ．,,a b c 都是偶数C ．,,a b c 至少有两个偶数D ．,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数5．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换22x xy y''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线()()22561x y -++=，则曲线C 的对称中心是（ ） A ．()5,6-B ．5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()10,12-D ．5,62⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知函数()21f x x m =+-，()3g x x m =-++.若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,1-B ．[]2,1-C ．()1,2-D ．[]1,2-7．已函数3211()32f x x ax bx =-+的两个极值点是sin θ和()cos R θθ∈，则点(),a b 的轨迹是（ ） A ．椭圆弧B ．圆弧C ．双曲线弧D ．抛物线弧8．定义在(0,)2π上的函数()f x , 其导函数为'()f x , 若恒有()'()tan <f x f x x , 则（ ）A ． ()()63>ππf B ． ()()63<ππfC ．()()63>ππfD ．()()63<ππf9．已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（ ）A ．1BC D ．210．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE V 、BCF V 均为正三角形，EF AB ∥，2EF =，则该多面体的体积为（ ）.A ．3B C ．43D ．3211．已知函数()f x 是定义在()0,∞+的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则 ()1f =（ ）A ．0B ．1C ．38D ．1512．已知(),()ln x f x e g x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时，()f t 所在区间是（ ） A ．(ln 2,1)B ．1(,ln 2)2C ．(11,3e)D ．(11,e 2)13．已知220201()(,)2i m ni m R n R ⎛⎫+=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则复数z m ni =+的虚部是______.14．已知圆的极坐标方程为22(cos )5ρρθθ++=，则此圆被直线0θ=截得的弦长为______．15．在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上第一象限内的一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若1FR =，则直线PF 的斜率为______.16．已知()x e f x x=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为__________.17．（1）已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >），当4a =时，求不等式的解集；（2）已知x ，y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y +≥+-+.18．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2√5cosα,y =2sinα, (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ2+4ρcosθ−2ρsinθ+4=0. （Ⅰ）写出曲线C 1，C 2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 1的左焦点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 2于A,B 两点，求|AB |.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.（1）证明：AE PD ⊥；（2）设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 求直线AF 与直线PB 所成的角余弦值.20．设函数()()ln 1f x x m x =-+，()22m g x x =，()0,x m R >∈.（1）若对任意121x x >>，()()12121f x f x x x -<--恒成立，求m 的取值范围；（2）()()()h x f x g x =+，讨论函数()y h x =的单调性.21．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：（Ⅰ）求12C C 、的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥u u u u r u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 22．已知函数()()0axf x x ea =->.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在12,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（3）若存在()1212,x x x x <，使得()()120f x f x ==，证明：12x ae x <.参考答案1．B 【解析】 【分析】先计算12z z ，再求12z z . 【详解】123z z i =+，故12z z = B.【点睛】本题考察复数的概念与运算，涉及到乘法运算和复数的模，为基础题. 2．C 【解析】 【分析】. 【详解】，只需证22<.故选：C. 【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，体现转化思想，属于基础题. 3．A 【解析】试题分析：构造函数，因为对一切恒成立， 所以函数在上是减函数，从而有，即a c b >>，故选A ． 考点：函数单调性的应用． 4．D【解析】 【分析】 【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定，而“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定是“,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数”， 所以否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的正确的反设为“,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数”， 故选D. 5．B 【解析】 【分析】根据题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，由伸缩变换公式22x xy y ''=⎧⎨=⎩，将其代入()()22561x y -++=中化简，将其变形为标准方程即可求解. 【详解】解：由题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，()()22561x y ''∴-++=，又22x x y y'==⎩'⎧⎨Q ，()()()22225125261324x y x y ⎛⎫∴-++=⇒-++= ⎪⎝⎭，所以曲线C 的对称中心是5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查伸缩变换公式的应用， 关键是将变换后的量代入方程进行化简，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】将原问题转化为求不等式213x x m m +++>+恒成立，然后利用绝对值三角不等式的性质求解13x x +++的最小值，最后解一元二次不等式，即可得出m 的取值范围. 【详解】解：由题可知，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方， 即213x m x m +->-++对任意实数x 恒成立， 即不等式213x x m m +++>+恒成立，又由绝对值三角不等式的性质，可得对于任意实数x 恒有：()()13132x x x x +++≥+-+=，于是得：22m m +<，即220m m +-<， 所以解得：21m -<<， 即m 的取值范围是()2,1-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式的性质求最值，用于解决恒成立问题，还涉及一元二次不等式的解法，考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】 【分析】根据极值点的定义把,a b 用θ表示后，消去θ得关于,a b 的方程，由方程确定曲线． 【详解】由题意()2f x x ax b '=-+，所以sin ,cos θθ是方程20x ax b -+=的两根，所以sin cos sin cos a b θθθθ=+⎧⎨=⎩且240a b ->，所以212sin cos 12a b θθ=+=+，sin cos )[4a πθθθ=+=+∈，所以点(,)a b 在曲线211(22y x x =-≤上，还要满足240x y ->，轨迹为抛物线弧．故选：D ． 【点睛】本题考查值点的定义，考查由方程研究曲线，掌握极值与导数的关系是解题基础．在由方程研究曲线时，注意方程中变量的取值范围． 8．D 【解析】试题分析：因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>．由()'()tan <f x f x x ，得'()sin ()cos 0f x x f x x ->．不妨设()()sin f x g x x =，则2'()sin ()cos ()0sin f x x f x xg x x-'=>，所以函数()g x 在(0,)2 π上单调递增，所以()()63g g ππ<，即()()63sin sin 63f f ππ<ππ，亦即()()63<ππf ，故选D ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【技巧点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了． 9．A 【解析】 【分析】设球心O 到底面距离为x ，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论． 【详解】如图，PAC V 是正四棱锥P ABCD -的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，O 是圆心（球心），设正四棱锥底面边长为a，则AC =，3==OA OP ，设OE x =(03)x <<，则由222AO OE AE =+得22192x a +=，22182a x =-，3PE x =+，2182ABCD S x =-， 232112(182)(3)(3927)333ABCD V S PE x x x x x =⋅=-+=--++，22(369)2(1)(3)3V x x x x '=--+=--+， 当01x <<时，0V '>，V 递增，13x <<时， 0V '<，V 递减，∴1x =时，V 取得极大值也是最大值max 643V =．此时高4PE =，4a ==，1PEa=． 故选：A ．【点睛】本题考查导数的实际应用，解题关键是引入变量OE x =，把棱锥体积V 表示为x 的函数，利用导数求得最大值． 10．A 【解析】 【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【详解】在EF 上取点,M N 使12EM FE ==，连接,,,AM DM BN CN ， ABCD 是边长为1的正方形，且ADE V 、BCF V 均为正三角形，EF AB ∥，所以四边形ABFE 为等腰梯形，2EF =，1MN =，根据等腰梯形性质，,,,AM EF DM EF BN EF CN EF ⊥⊥⊥⊥，,AM DM 是平面AMD 内两条相交直线，,BN CN 是平面BNC 内两条相交直线，所以EF ⊥平面AMD ，EF ⊥平面BNC ，2MA MD NB NC ====， 几何体体积为2E AMD AMD BNC V V V --=+1111121132223=⨯⨯⨯+⨯=故选：A【点睛】此题考查几何体的体积的计算，关键在于将几何体进行准确切割，分别利用锥体柱体体积计算方法求解. 11．C 【解析】当0x ＞ 且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，可得：1x ＞ 时，20f x xf x +'（）（）＞； 10＞＞x 时，20f x xf x +'（）（）＜． 令20g x x f x x =∈+∞（）（），（，）．22[2]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'（）（）（）（）（）． 可得：1x ＞ 时，0gx '（）＞ ；10＞＞x 时，0g x '（）＜． 可得：函数g x （）在1x =处取得极值，31211014g f f f ∴'=+'='=-（）（）（），（）， 1331()248f ∴=-⨯-=（） ．故答案为3812．B 【解析】令()()f t g s a ==，即e ln 0t s a ==> ∴ln t a =，e a s =∴e ln (0)as t a a -=-> 令e (n )l a h a a =-，则1()e ah a a=-' ∵a y e =递增，1y a=递减 ∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，则00a a <<时，1ae a <，()0h a '<，0a a >时，1ae a>，()0'>h a∴min 0()()h a h a =，即s t -取最小值时，0()f t a a ==根据零点存在定理验证010a e a -=的根的范围： 当012a =时，01e 0a a -< 当0ln 2a =，01e 0a a -> ∴01(,ln 2)2a ∈ 故选B点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 13【解析】 【分析】利用复数的乘方，将220201()(,)2i m ni m R n R ⎛⎫+=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，转化为122m ni +=-+，从而得到复数z ，进而可求得其虚部.【详解】因为220201()(,)22i m ni m R n R ⎛⎫+=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以122m ni i +=-+所以12z =-+所以复数z的虚部是2【点睛】本题主要考查复数的乘方和复数相等以及复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．【解析】由1221220250{5ρρθρρρρ+=-=⇒-=⇒⇒=-＋弦长12AB ρρ=-==15【解析】 【分析】根据题意画出示意图，由几何关系证得PQF ∆是等边三角形后，即可求解. 【详解】解:根据题意，作示意图如下图所示：22y x =Q ，1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，记l 与x 轴的交点为H ，则1FH =，1FR =Q ，且由几何关系可证PMN FNR ∆≅∆1PM FR ⇒==，∴过点F 作PQ 的垂线，可知其垂足就为点M ，且可得||||FQ PF PQ ==，PQF ∴∆是等边三角形，由几何关系可得：3PFR QPF π∠=∠=，所以直线PF 的斜率为3tan PFR tan π∠==【点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 16．()1,e ++∞ 【解析】 【分析】 由方程()()210fx mf x m -+-=可解得f （x ）＝1或f （x ）＝m ﹣1；分析函数f （x ）的单调性与极值，画出f （x ）的大致图像，数形结合即可得到满足4个根时的m 的取值范围． 【详解】 解方程()()210fx mf x m -+-=得，f （x ）＝1或f （x ）＝m ﹣1；又当x>0时，()xe f x x =，f ′（x ）()21x e x x-=； 故f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；且f （1）e =，当x ＜0时，()xe f x x =-，f ′（x ）()21x e x x-=->0,所以()f x 在（﹣∞，0）上是增函数，画出()f x 的大致图像：若有四个不相等的实数解，则f （x ）＝1有一个根记为t ， 只需使方程f （x ）＝m ﹣1有3个不同于t 的根， 则m ﹣1e >； 即m >1e +； 故答案为()1,e ++∞ 【点睛】本题考查了利用导数研究方程根的问题，考查了函数的单调性、极值与图像的应用，属于中档题．17．（1）243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用已知条件，先分析2211log x x a +--≤的解集就是绝对值不等式的求解，利用三段论法得到即可；（2）根据要证结论分析可知()2221122()()2x y x y x y +x xy y x y +-=-+--+-由三元基本不等式即可证得结论成立. 【详解】（1）当4a =时，不等式为2112x x +--≤. 当21x <-时，22x --≤，解得142x -≤<-；当112x -≤≤时，32x ≤，解得1223x -≤≤； 当1x >时，0x ≤，此时x 不存在，∴原不等式的解集为243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）因为0x >，0y >，0x y ->，()22211222()2x y x y x xy y x y +-=-+-+-21()()3()x y x y x y =-+-+≥-=，当且仅当1x y -=时等号成立， 所以2212232x y x xy y +≥+-+.【点睛】本试题主要是考查了绝对值不等式的求解，考查三元基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 18．（1）x 220+y 24=1,C 2:(x +2)2+(y −1)2=1（2）√2【解析】分析：（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C 1，C 2的普通方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程为{x =−4+√22ty =√22t（t 为参数），将其代入曲线C 2整理可得：t 2−3√2t +4=0，利用参数的几何运用求|AB |．详解:（Ⅰ）{x =2√5cosαy =2sinα ⇒(2√5)2+(y 2)2=cos 2α+sin 2α=1即曲线C 1的普通方程为x 220+y 24=1∵ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsin 曲线C 2的方程可化为x 2+y 2+4x −2y +4=0 即C 2:(x +2)2+(y −1)2=1.（Ⅱ）曲线C 1左焦点为(−4,0)直线l 的倾斜角为α=π4，sinα=cosα=√22所以直线l 的参数方程为{x =−4+√22ty =√22t（t 参数）将其代入曲线C 2整理可得t 2−3√2t +4=0，所以Δ=(−3√2)2−4×4=2>0.设A,B 对应的参数分别为t 1,t 2则所以t 1+t 2=3√2，t 1t 2=4.所以|AB |=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√(3√2)2−4×4=√2.点睛: 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题． 19．（1）见解析（2）14. 【解析】 【分析】（1）证明AE ⊥平面PAD 得到答案.（2）过A 作AH PD ⊥于H ，连HE ，证明EH PD ⊥得到2PA =，根据余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴三角形ABC 为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又//AD BC ，∴AE AD ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，而PA AD A ⋂=，∴AE ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，则AE PD ⊥. （2）过A 作AH PD ⊥于H ，连HE ，AE PD ⊥，AH AE A =I ，故PD ⊥平面AEH ，EH ⊂平面AEH ，∴EH PD ⊥，即EH =∵AE =AH =4π∠=PAD ，故2PA =.异面直线AF 与PB 所成的角即为AF 与EF 所点的角.在AEF ∆中：AE =12EF PB ==12AF PC ==， 故2221cos24AF EF AE AFE AE EF +-∠===⋅， 故直线AF 与直线PB 所成的角余弦值为14.【点睛】本题考查了线线垂直，异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．（1）1m ≥；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将对任意121x x >>，()()12121f x f x x x -<--恒成立，转化为对任意121x x >>，()()1122f x x f x x +<+恒成立，令()()ln k x f x x x mx =+=-，由函数()y k x =在区间()1,+∞上单调递减，只需证()0(1)k x x '≤>恒成立即可.（2）得到2()ln (1)(0)2m h x x m x x m =-++>，求导(1)(1)()mx x h x x--'=，再分0m =，0m <， 1m =， 1m >，01m <<五种情况讨论求解.【详解】（1）因为121x x >>，()()12121f x f x x x -<--，即()()()1212f x f x x x -<--，即()()1122f x x f x x +<+， 令()()ln k x f x x x mx =+=-，因为函数()y k x =在区间()1,+∞上单调递减， 所以1()0(1)k x m x x'=-≤>恒成立， 即1m x≤在区间()1,+∞上恒成立， 故1m ≥.（2）2()ln (1)(0)2m h x x m x x m =-++>， 21(1)1(1)(1)()(1)mx m x mx x h x m mx x x x-++--'=-++==， 当0m =时，1()xh x x-'=， ()0,1x ∈，()0h x '>，()h x 递增，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当0m <时，101m<<， ()0,1x ∈，()0h x '>，()h x 递增，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当1m =时，()0h x '≥，()h x 的单调递增区间为()0,∞+， 当1m >时，()00h x '=，01x =或1；101<<，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，减区间为1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭. 当01m <<时，()00h x '=，01x =或1；11>，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为()0,1，1,m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭. 综上：当0m ≤时，单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞， 当01m <<时，单调增区间为()0,1，1,m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭， 当1m =时，()h x 的单调递增区间为()0,∞+， 当1m >时，单调增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，减区间为1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题. 21．（Ⅰ），1C ：；（Ⅱ） 22y x =-或22y x =-+【解析】 【分析】 【详解】 （Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证4个点知（3，）、（4，-4）在抛物线上，易求设1C ：，把点（-2，0）（，）代入得：解得∴1C 方程为（Ⅱ）假设存在这样的直线过抛物线焦点(1,0)F ，设直线的方程为两交点坐标为，由消去，得∴①212121212(1)(1)1()x x my my m y y m y y =++=+++②由OM ON ⊥u u u u r u u u r，即，得将①②代入（*）式，得，解得所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+ 法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为由221{4(1)x y y k x +==-消掉y ，得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，于是2122814k x x k +=+，21224(1)14k x x k -=+①212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-⨯-=-++ 即2222122224(1)83(1)141414k k k y y k k k k -=-+=-+++② 由OM ON ⊥u u u u r u u u r ，即，得将①、②代入（*）式，得2222224(1)340141414k k k k k k ---==+++，解得2k =±； 所以存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+．22．（1）增区间为11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）22max 221,011111()ln ,11,e a a e f x a a a a e e e a a e ⎧-<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩；（3）见解析 【解析】【分析】（1）利用导数证明单调区间即可；（2）讨论11ln a a 区间12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦端点的大小关系，确定()f x 在12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，即可得出其最大值；（3）由()f x 有两个零点，得出11111ln ln 0f a a a a a⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，进而得出a 的取值范围，根据12111ln x x a a a<<<，由不等式的性质得出12111ln x x a a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，由()()120f x f x ==得出11ax x e =，22ax x e =，进而得出()1212a x x x e x -=，结合12111ln x x a a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即可证明12x ae x <. 【详解】（1）()()10ax f x ae a '=->()110ln f x x a a '>⇒<，()110ln f x x a a'<⇒> ()f x \的增区间为11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当112ln a a a ≥即210a e <≤时，函数()f x 在12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 2max 22()f x f e a a⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭ 当1112ln a a a a <<即211a e e <<时，函数()f x 在111,ln a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在112ln ,a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减max 11111()ln ln f x f a a a a a⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭ 当111ln a a a ≤即1a e ≥时，函数()f x 在12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 max 11()f x f e a a⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭ 综上：22max 221,011111()ln ,11,e a a e f x a a a a ee e a a e ⎧-<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. （3）当()f x 有两个零点必有11111ln ln 0f a a a a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭ ∴10a e <<，∴110f e a a⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ ∴12111ln x x a a a <<<，∴21111ln x x a a a->-，即12111ln x x a a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭又()1110ax f x x e=-=，()2220ax f x x e =-= ∴11ax x e =，22ax x e =()12111ln ln()12a a x x a a ae x e e e ae x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦=<==得证. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及最值，利用导数研究双变量问题，属于中档题.。
四川省树德中学2019-2020学年高二上学期10月阶段性检测 数学(文) PDF版含答案
点分别为 A x1, y1 , B x2, y2 ．
（1）求曲线 E 的轨迹方程；
x2
（2）（结论：过椭圆 a2
y2 b2
1上一点
x0 , y0
的椭圆的切线方程为
x0 x a2
y0 y b2
1）利用结论解决以下
问题：设 O 为坐标原点，求 OAB 面积的最大值。
高二数学 2019-10 阶考 第 2页 共 2 页
(2)如果△BMN 的重心 G (2，0) ，求直线 l 方程的一般式．
18.（12 分）已知以点 䁚h 䁚䁚h
h
且 h 䃊䁚为圆心的圆经过原点 O, 且直线
M,N, 圆心 圆原 ,
䁚 䁚求圆 C 的方程．
䁚
䁚若点 P x, y 在圆 C 上，求
x y
的取值范围。
x 1
䃊 与圆 C 交于
21（. 12 分）设 M
→→ 由三角形重心的性质知BF＝2FQ，
2＝2x0－2，
又 B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，即
故得 x0＝3，y0＝－2，即 Q 的坐标为(3，－2)．
－4＝2y0，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且2x021 ＋1y621 ＝1，2x022 ＋1y622 ＝1，
A．(－3,5)
B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5)
D．(－5,1)∪(1,3)
3．已知双曲线ax22－y2＝1(a>0)的焦距为 4，则双曲线的渐近线方程是(
)
A．y＝± 3x 3
B．y＝± 3x
C．y＝±2 3x 3
D．y＝± 3x 2
四川省树德中学2018-2019学年高二下学期5月阶段性测试 数学(文) PDF版含答案
第二种生产方式
线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
合计
（2）建立 y 关于 x 的回归方程，并预测当 A 指标数为 7 时，B 指标数的估计值；
(2)根据(1)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： K 2 =
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
不超过������������
合计
∑ ∑ ∑ 5
5
经计算得： (xi − x)2 = 2 5,
=i 1 =i 1
( yi
− y)2 = 2, s= 1 5 = 5 i 1
( xi
−
x)2
=
2
第一种生产方式
（1）试求 y 与 x 间的相关系数 r ，并利用 r 说明 y 与 x 是否具有较强的线性相关关系（若 r > 0.75 ，则
x
−
2
y
= 2 按ϕ
:
x′
=
1 2
x
变换后得到的直线为
l
，若以坐标原点
y′ = 4 y
8．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不
是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四
位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ）
围为（
）
A．[−e, +∞)
B．[−1, +∞)
C． (−∞, −1]
D． (−∞, −e]
12．已知函数 f (x) = ex − ax −1在区间 (−1,1) 内存在极值点，且恰有唯一整数解 x0 使得 f (x0 ) < 0 ，则 a
树德中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测 数学(文)试题(含答案)
16.
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
与双曲线
C2
:
x2 m2
y2 n2
1(m 0, n 0) 有相同的焦点 F1, F2 ，其中
F1 为左焦点．点 P 为两曲线在第一象限的交点，e1、e2 分别为曲线 C1、C2 的离心率，若△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，则 e2﹣e1 的取值范围为_____． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 如图，圆 C 与 x 轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的右方），与 y 轴相切
A． k 4 或 k 0 B． k 3 C． k 3 或 k 1 D． k 1
3
4
4
12.点 A 、 B
为椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 长轴的端点， C
、 D 为椭圆 E 短轴的端点，动点 M
满足
MA MB 2 ，若 MAB 面积的最大值为 8， MCD 面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为
于点 M 0,1 ，已知 AB 2 3 .
（1）求圆 C 的标．准．方程； （2）求圆 C 在点 A 处的切线 l 的方程.
20.
设椭圆 M
：x2 a2
y2 b2
1a b 0 的离心率与双曲线 x2 y2
1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴
长为 4.
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）若直线 x 2 y m 交椭圆 M 于 A ， B 两点， P 2，1 为椭圆 M 上一点，求 PAB 面积的最大
联立
x2 3
y
y2 1
2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．与直线20x ++=垂直的直线的倾斜角为（ ）． A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可. 【详解】20x y x +=⇒=,所以该直线的斜率为设与它垂直的直线的斜率为k ,所以有1k k =-⇒=,设与直线20x +=垂直的直线的倾斜角为α,则有tan 3παα=⇒=.故选：B 【点睛】本题考查了由直线方程求直线的斜率,考查了直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系,考查了两直线垂直时斜率之间的关系,考查了数学运算能力.2．命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是（ ）． A ．若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠ B ．若0x =且0y =,220x y +≠ C ．若220x y +≠,则0x ≠或0y ≠ D ．若220x y +≠,则0x ≠且0y ≠【答案】A【解析】根据原命题与逆否命题是等价命题,按照逆否命题的定义直接写出即可. 【详解】因为原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠. 故选：A本题考查了原命题的等价命题,本题考查了写出一个命题的逆否命题.3．若双曲线221y x m-=的一个顶点在抛物线212y x =的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） ABC．D．【答案】B【解析】求出抛物线212y x =的准线，这样可以求出m 的值，进而可以求出双曲线的离心率. 【详解】∵抛物线212y x =的准线方程为12y =-，∴14m =，则离心率2e ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.4．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题． 5．下列说法正确．．的个数是（ ）． ①“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”是一个真命题； ③命题:p αβ≠,:sin sin q αβ≠,则p 是q 的必要不充分条件；④命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】说法①：按照逆命题的定义写出“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题,然后通过举特例可以判断该命题是不是真命题；说法②：根据原命题与逆否命题是等价命题,按逆否命题的定义写出命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题,然后根据等式的性质可以判断该命题是不是真命题；说法③：按照必要不充分条件的定义,结合正弦函数的性质可以判断p 是不是q 的必要不充分条件；说法④：根据含存在量词的命题否定的定义就可以判断“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是不是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． 【详解】说法①：“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是若m ,n 中至少有一个不小于2”,则4m n +≥,当3,0m n ==时,显然满足m ,n 中至少有一个不小于2”,但是得不到4m n +≥,所以本说法是错误的；说法②：命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题是若2a =且3b =则5a b +=,显然是真命题,因此原命题也是真命题,所以本说法是正确的；说法③：当0,αβπ==时，显然αβ≠成立,但是sin sin αβ≠不成立,故由:p αβ≠不一定能推出sin sin αβ≠成立,但是由sin sin αβ≠成立,一定能推出αβ≠,所以本说法是正确的；说法④：因为命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”,所以本说法是正确的.因此一共有3个说法是正确的. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了写含存在量词的否定,考查了原命题、逆命题的真假.6．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可. 【详解】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为13， 故选B. 【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.7．为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得x ,y 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ0.78b =,由此估计该社区一户收入为14万元,家庭年支出为（ ）． A ．11.12万元 B ．12.02万元C ．11.02万元D ．12.12万元【答案】A【解析】求出,y x ,根据ˆ0.78b=,ˆˆa y bx =-,可以求出ˆa ,最后把14代入ˆˆˆy bx a =+中,求出家庭年支出. 【详解】5.87.88.18.49.98.38.69.911.112.18,1055y x ++++++++====.因此有ˆˆ80.78100.2ay bx =-=-⨯=,所以ˆ0.780.2y x =+,最后把14代入得, ˆ0.78140.211.12y=⨯+=. 故选：A 【点睛】本题考查了求几个数的平均数,本题考查了求线性回归方程,考查了线性回归方程的应用,考查了数学运算能力.8．已知在平面直角坐标系xOy 中,圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,若AO BO =（O 为坐标原点）,则实数t 的值为（ ）． A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】根据相交圆的几何性质和等腰三角形的性质可知：12,,O C C 在同一条直线上,得到t 的值,再检验两圆是否相交. 【详解】因为圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,所以直线12C C 垂直平分线段AB ,又因为AO BO =,所以点A 在线段AB 的垂直平分线上,故12,,O C C 在同一条直线上, 圆()()221:1216C x y -++=的圆心坐标为1(1,2)C -,半径为4, 圆()()222:31C x t y t -+--=的圆心坐标为2(,3)C t t +,半径为1,所以直线1OC 的方程为2y x =-,把2(,3)C t t +的坐标代入,得321t t t +=-⇒=-,此时有123255C C =<<∴符合题意.故选：C【点睛】本题考查了两圆相交弦的性质,考查了等腰三角形的性质,考查了三点共线,考查了数学运算能力. 9．已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，求得是的中点，且，过作于点，由抛物线的定义，得直线的倾斜角为，设直线交轴于点，由及是的中点，得，解得，即,进而求解直线的方程.【详解】 由题意，根据，，得是的中点，且.过作于点，则由抛物线的定义，得,所以，即直线的倾斜角为.设直线交轴于点，根据及是的中点，得.又，所以，即,因此直线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义的转化作用，以及熟记抛物线的几何性质的应用是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．太极图被称为“中华第一图”．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极鱼”．已知()(){22,11A x y x y =+-≤或()22224110x y x y x ⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪++≥⎨⎬⎪⎪≤⎪⎪⎩⎭，下列命题中：①A 在平面直角坐标系中表示的区域的面积为3π2；②()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=；③(),x y A ∀∈，都有22x y -≤+≤+点(),x y A ∈，则223x t x y -=--的取值范围是2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】集合A 表示的图形，分别分析选项，得到正确答案， ①根据图象，直接求判断集合A 的面积是圆面积的一半； ②转化为两圆是否相交问题； ③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，转化为线性规划问题； ④变形为()22112312222x y x y y tx x x --+---===----，先求12y z x -=-的范围，最后求t 的范围.【详解】①如图，根据对称性可知，集合A 表示的面积占圆面积的一半，2114222S r πππ==⨯⨯=，故①不正确；②22000410x y x +-+=，整理为()2223x y -+=，以()2,0为圆心，r =的圆，与()2211x y +-=的圆的圆心距1d=<，可知两圆相交，有2个交点，所以()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=，故②正确；③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，如图，当直线与圆()2211x y +-=相切时，2z x y =+取得最大值，此时圆心到直线的距离1d ==，解得2z =2z =2z =z 的最大值是2，如图，当直线与224x y +=相切时，2z x y =+取得最小值，圆心到直线的距离2d ==，z =±z =z的最小值是z =-(),x y A ∀∈，都有22x y -≤+≤+成立，③正确；④()22112312222x y x y y tx x x --+---===----， 设12y z x -=-表示可行域内的点与点()2,1连线的斜率， 设()12y k x -=-，当直线与圆()2211x y +-=相切时，圆心到直线的距离1d ==，解得k =，如图可知k =，当直线过点()0,2-时，斜率()123202k --==-，其他满足条件的直线夹在这两直线之间，所以32z ≤≤，1222z ∴≤-≤+2t ≤≤，故④不正确.故只有②③正确.故选：B 【点睛】本题考查不等式，线性规划问题，圆与圆的位置关系的综合问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.11．双曲线22:13x C y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于P 、Q 两点,且190F PQ ∠=︒,则1F PQ 的内切圆半径等于（ ）．A -B 1-C 1D 【答案】D【解析】根据双曲线的定义和勾股定理可以计算出12PF PF +的值,最后再根据直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义可以求出1F PQ 的内切圆半径. 【详解】因为190F PQ ∠=︒,所以22212(216PF PF +==,而12PF PF -=可得12PF PF +=根据直角三角形内切圆半径,可得1F PQ 的内切圆半径等于111221222PF PQ FQ PF PF F Q FQ +-++-===故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了勾股定理的应用,考查了直角三角形内切圆的半径公式,考查了数学运算能力.12．如图，过抛物线24y x =焦点F 作直线l ，交抛物线于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，则22AB CD的最小值为（ ）A ．114B ．52CD【答案】D【解析】设出直线l 的方程，代入抛物线方程，求出线段PQ 的中点M 的坐标，以及圆M 的半径，然后表示出2AB ，2CD ，最后用换元法及基本不等式求出22AB CD的最小值. 【详解】由题意()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，代入24y x =，并消去x ，得2440y my --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12124,4y y m y y +==-，1222y y m +=，代入2121x my m =+=+ ， ()22,21M m m ∴+，圆的半径1212r PQ y ==-=()221m ==+ 过点M 作MG AB ⊥，MH CD ⊥，则()()()()2222224244222161AB r MGm m m m ⎡⎤=-=+-=++⎢⎥⎣⎦， ()()()()22222222442221443CD r MHm m m ⎡⎤=-=+-+=+⎢⎥⎣⎦， ()()24222161443m m AB m CD++∴=+ ，令()2433m t t +=≥ ，234t m -=，22223312134444t t AB t t t t CD--⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭∴=⨯=())11311221442t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭，当13t t=时，等号成立，即t =∴22AB CD故选：D 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的综合问题，意在考查逻辑推理和计算能力，属于中档难题，本题的关键是通过所设的直线，正确表示2AB 和2CD .二、填空题13．某协会有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1200~编号,并按编号顺序平均分为40组（15~号,610~号,…,196200~号）,若第1组抽出的号码为3,则第6组抽出的号码是______． 【答案】28【解析】根据组数可以求出每组的人数,再根据第1组抽出的号码为3,这样就可以求出第k 组的号码,让6k =代入求值即可. 【详解】有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,因此每组5人,又因为第1组抽出的号码为3,所以第k 组的号码为5(1)352k k -+=-,当6k =时，可得28. 故答案为：28 【点睛】本题考查了系统抽样时计算抽出的号码问题,考查了数学运算能力. 14．已知函数()4f x x x=+，()2xg x t =+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则实数t 的取值范围是______．【答案】1t ≤【解析】首先根据单调性求两个函数的值域，由题意可知()()max max f x g x ≥ 【详解】()4f x x x=+，在[]1,2上单调递减， ()()15,24f f == ， ()45f x ∴≤≤，()2x g x t =+，在[]1,2上单调递增，()()12,24g t g t =+=+ ()24t g x t ∴+≤≤+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则()()max max f x g x ≥，即54t ≥+ ， 解得：1t ≤ . 故答案为：1t ≤ 【点睛】本题考查双变量任意，存在问题求参数的取值范围，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，一般对于双变量，若满足1x A ∀∈，2x B ∃∈，使()()12f x g x ≥，只需满足()()min min f x g x ≥ ，若是()()12f x g x ≤，只需满足()()max max f x g x ≤.15．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，直线y =交双曲线C于A ，B 两点，若AF 、BF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则双曲线C 的离心率为______．1【解析】首先根据数形结合分析，FA FB ⊥，且O 是AB 的中点，所以OF OA =，直线与双曲线方程联立求点A 的坐标，根据22OF OA =，得到222222222333a b a b c b a b a∴+=--，再转化为关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由对称性可知原点O 是AB 的中点，又AF 、BF 的中点分别为M 、N ，//,//OM BF ON AF ∴， ∴四边形ONFM 是平行四边形，0OM ON ⋅=，OM ON ∴⊥ ，∴ 四边形ONFM 是矩形，FA FB ∴⊥,OF OA ∴=设(),A x y22221x y a b y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ ，解得2222222222333a b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩ ， 222222222333a b a b c b a b a∴+=-- ，即()2222243a b c b a =- ，222b c a =-， ()()22222244a c a c c a -=-4224840c a c a -+= ，两边同时除以4a ，得42840e e -+=，1e > ，)2241e ∴=+= ，∴1e =.1【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.16．已知向量1a =，2b =，则2a b a b ++-的取值范围为______． 【答案】3z ≤≤【解析】首先根据绝对值三角不等式求最小值，然后利用数量积求()()222254cos a b a b a b a b ++-=++-=+利用柯西不等式求最大值. 【详解】a b a b +≥+ 当a 与b 同向时，等号成立，()()2233a b a b a b a b a ∴++-≥++-==，当a b +与2a b -同向，即a 与b 同向时，确定最小值3，()()222254cos a b a b a b a b++-=++-=+ac bd +≤，当ad bc =时等号成立，上式1=≤==，解得1cos 2θ=-， 0θπ≤≤Q ，23θπ∴=，当a 与b 的夹角为23π时取得最大值∴原式的最大值是3z ∴≤≤【点睛】本题考查向量的模的范围，意在考查转化与化归和计算能力，公式a b a b +≤+既适应于实数，也适用于向量，柯西不等式注意变形.三、解答题17．已知圆C 过点()2,1A --，和直线10x y -+=相切，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 【答案】（1）()()22122x y +++=；（2）0x =或34y x =． 【解析】（1）根据条件设圆心(),2C a a ，圆心到直线10x y -+=的距离就是半径，CA r =， 待定系数法求圆的方程；（2）由弦长公式可知圆心到直线的距离1d =，所以分k 不存在和k 存在两种情况讨论求直线方程. 【详解】（1）设圆心为(),2C a a ，∴d ==1a =-．所以圆心()1,2--，r =C 的方程()()22122x y +++=．（2）2l =⇒=21d =， ①k 不存在时，0x =，满足条件1d =； ②k 存在时，设:l y kx =，1d ==，得34k =，所以3:4l y x =． 综上，直线l 的方程为0x =或34y x =． 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程和求直线方程，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.18．设命题:p 实数m 满足240m am -+>；命题:q 曲线22115x y m m +=--表示双曲线．（1）若5a =，若p 为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）14m <≤；（2）4a <．【解析】（1）分别求两个命题表示的m 的取值范围，由题意可知，命题p 假q 真，列不等式求m 的取值范围；（2）根据逆否命题的等价性可知q 是p 的充分不必要条件，转化为在给定区间恒成立求参数，即4a m m ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，15m <<时恒成立，求a 的取值范围.【详解】（1）当5a =时，2540m m -+> ，解得：4m >或1m <，22115x y m m +=--表示双曲线，可知()()150m m --<，解得：15m <<， :4p m >或1m <；:15q m <<．由题意知，p 假q 真141415m m m ≤≤⎧⇒<≤⎨<<⎩．综上，14m <≤．（2）由条件得q 是p 的充分不必要条件， ∴()1,5m ∀∈，240m am -+>恒成立，4a m m ∴<+恒成立，当()1,5m ∈时， 即min4a m m ⎛⎫<+⎪⎝⎭， 44m m +≥，当4m m=时等号成立，解得2m = 所以4a <． 【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数和根据充分必要条件求参数，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.19．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在[]50,100内,现将成绩按区间[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90，[]90,100进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．青年组中老年组(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；(2)从青年组[)80,90,[]90,100的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率．【答案】(1)中位数为80，平均数为73.5(2)310【解析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；(2) 求邮青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y ,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率． 【详解】解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为0.5,后2个小矩形的面积和为0.5,所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为()550.01650.03750.03850.025950.0051073.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．(2)青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷分别为12份,8份, 抽取比例为511284=+,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y , 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：(),,a b c ,(),,a b x ,(),,a b y ,(),,a c x ,(),,a c y ,(),,a x y ,(),,b c x ,(),,b c y ,(),,b x y ,(),,c x y ．其中,有2位来自[]90,100的有3种：(),,a x y ,(),,b x y ,(),,c x y ． 所以所求概率310P =． 【点睛】本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>直线0x y +=过椭圆C 的右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过椭圆C 上顶点M 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ,B 两点,且1MA MB k k +=-．求证：直线l 恒过定点,并求出该定点．【答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析,过定点()2,1-.【解析】(1)根据直线0x y +=过椭圆C 的右焦点可以求出c 的值,再根据离心率的公式求出a 的值,根据,,a b c 之间的关系求出b ,最后写出椭圆方程即可； (2)求出上顶点M 的坐标,设()11,A x y ,()22,B x y ,利用斜率公式化简等式1MA MB k k +=-,最后将直线方程与椭圆方程联立,根据根与系数关系,最后得到21m k =--,进而可以确定直线l 恒过定点,也就求出该定点的坐标.【详解】解：(1)c =，22c e a a ==⇒=,1b =,椭圆C 的方程为2214x y +=；(2)上顶点()0,1M ,设()11,A x y ,()22,B x y ,12121111MA MB y y k k x x --+=-⇒+=-, 即()1212121211211kx m kx m x x k m x x x x +-+-++=+-=-．① 联立直线和椭圆得()222418440k x kmx m +++-=,12221282441x x km km x x m m +--==--,代入①式得,21m k =--, ∴:21l y kx m kx k =+=--恒过定点()2,1-． 【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线过定点的判断,考查了数学运算能力.21．已知动圆过定点()0,1A ，在x 轴截得的弦长为2． （1）求动圆圆心的轨迹E 的方程；（2）若()0001,2P x y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭为轨迹E 上一动点，过点P 作圆()22:11C x y +-=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN 面积的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）22x y =；（2）2，()P ．【解析】（1）设(),E x y ，根据EA R =，弦长2l == ，所以221R y =+，利用2R 相等，转化成关于(),x y 的方程；（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-，首先表示纵截距00y y kx =-，然后利用直线与圆相切，有1d ==，表示为关于k 的二次方程，并且()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=-，最后再表示面积()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△，再求最值. 【详解】（1）设(),E x y ，根据EA R =()2221R x y ∴=+-弦长2l =⇒=，解得：221R y =+ ，()22211x y y ∴+-=+ ，整理为：22x y =,E ∴的轨迹方程为22x y =．（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-， 令0x =，得00y y kx =-，∴切线与y 轴的交点为()000,y kx -，而1d ==，整理得()()2220000012120x k x y k y y -+-+-=，012y >，∴201x >． 设两切线斜率为1k ，2k ，则()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=- ∴()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△， ∵()()()()2222200000122222200042414111y y x y y k k x x x ---=-=---， ∴0122021y k k x -=-，则200221PMN y S y =-△．令()0210y t t -=>，则012t y +=， ()221221121222t t t t f t t t t+⎛⎫ ⎪++⎝⎭===++而111222t t ++≥=，当且仅当122t t =，即1t =时，“＝”成立．此时，()P∴PMN S △的最小值为2，()P ． 【点睛】本题考查轨迹法求抛物线方程，以及直线，圆，抛物线三者的综合性问题，考查了转化与化归和计算，变形，化简能力，属于难题，本题第二问的关键是设直线()00y y k x x -=-，利用相切，有1d ==，表示为关于k 的二次方程，这样是求面积，化简面积的基础.22．已知抛物线21:1C y x =-与y 轴交于点M ,直线1:l y kx =与抛物线1C 交于点A ，B 两点．直线MA ,MB 分别交椭圆222:14x C y +=于点D 、E （D ,E 与M 不重合）(1)求证：MD ME ⊥； (2)若1732MAB MDE S S =△△,求直线1l 的斜率k 的值；(3)若O 为坐标原点,直线2l 交椭圆2C 于P ，Q ，若ON OP OQ =+,且14OP OQ k k ⋅=-,则22ON PQ +是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)32k =±；(3)是定值,22ON PQ +为定值10. 【解析】(1) 直线l 和抛物线方程联立,根据根与系数关系、斜率公式可以计算出1MA MB k k ⋅=-,也就证明出MD ME ⊥；(2)设出直线MA 的斜率,直线MB 的斜率,求出它们的直线方程,通过解一元二次方程组求出A ,B 的坐标,最后利用面积公式求出MAB S △的表达式,同理求出MDE S △的表达式,最后求出直线1l 的斜率k 的值；(3) 设()33,P x y ,()44,Q x y ,根据余弦定理和14OP OQ k k ⋅=-,可以得到又223344x y +=,224444x y +=.通过对两个等式进行移项相乘和两个等式相加,最后可以求出22ON PQ +的值为定值. 【详解】解：(1)由题意知,直线l 的方程为y kx =．由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根， 于是12x x k +=,121x x =-． 又点M 的坐标为()0,1-， 所以()()()2221212121212121211111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x +++++++-++⋅=⋅====--故MA MB ⊥,即MD ME ⊥．(2)设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为()211,1k k -． 又直线MB 的斜率为11k ，同理可得点B 的坐标为21111,1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．于是，21111111122k S MA MB k k k +=⋅==．由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得()22111480k x k x +-=, 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又直线的斜率为11k ,同理可得点E 的坐标211221184,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 于是,()()()2112221132112144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 因此，21122111174176432S k S k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭． 由题意知,解得214k =或2114k =．又由点A ,B 的坐标可知,21211111111k k k k k k k -==-+,所以32k =±． (3)设()33,P x y ,()44,Q x y ,四边形OPNQ 为平行四边形， 由余弦定理有2222cos ONOP PN OP PN OPN =+-⋅⋅∠,2222cos PQ OP OQ OP OQ POQ =+-⋅⋅∠,两式相加得()22222ON PQ OP OQ +=+．又3434144OA OB k k x x y y ⋅=-⇒=-． 又223344x y +=,224444x y +=，上面两式移项相乘得()()222222223434343444164x xy y x x x x --==⇒+=,上面两式相加得()2222223434344441x x y y y y -+-=-+⇒+=． 所以()()2222222234342210ON PQ OP OQ xx y y +=+=+++=．因此22ON PQ +为定值10． 【点睛】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了椭圆中定值问题,考查了数学运算能力和等式恒等变形能力.。
四川省成都市树德中学2018-2019学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
四川省成都市树德中学2018-2019学年上学期期末高二数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a ∈R ，则“a=1”是“直线l 1：ax+2y ﹣1=0与直线l 2：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜1”C ．命题“若x=y ，则co sx=cosy”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A．B．C．D．6．在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．7．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称10．点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．11．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．3212．已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞] C．[2﹣3，] D．[，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．已知圆O 1：x 2+y 2=1，圆O 2：（x+4）2+（y ﹣a ）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a= ．15．已知知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则= ．16．已知直线y=k （x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；P （x ，y ）是椭圆+=1上一动点，点P 1（x 1，y 1）与点P 关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B ，若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是 ． 三、解答题17．设命题p ：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部；命题q ：直线mx ﹣y+1+2m=0（k ∈R ）不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；，直线（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1只有一个交点，求k的取值范围．与曲线C121．已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为kAC ，直线BD的斜率为kBD，且kAC+4kBD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．四川省成都市树德中学2018-2019学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D ．3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x ﹣85.71，0.85＞0，可知A ，B ，C 均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A ，0.85＞0，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故正确；对于B ，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C ，∵回归方程为=0.85x ﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，故正确；对于D ，x=170cm 时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg ，故不正确 故选D ．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜1”C ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B ．6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不小于9cm 2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x ，则BC=10﹣x ，由矩形的面积S=x （10﹣x ）≥9可求x 的范围，利用几何概率的求解公式可求． 【解答】解：设AC=x ，则BC=10﹣x ， 矩形的面积S=x （10﹣x ）≥9， ∴x 2﹣10x+9≤0 解得1≤x ≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm 2的概率为P==．故选：A ．7．直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线的倾斜角．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tan θ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D9．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，确定m的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B10．点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称1的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．【考点】关于点、直线对称的圆的方程；两点间的距离公式．【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆心坐标到抛物线上的坐标的距离的最小值，减去半径即可得到|MN|的最小值．【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的圆的圆心坐标（3，0），1半径是1；设M的坐标为（y2，y），所以圆心到M的距离：，当y2=时，它的最小值为，则|MN|的最小值是：．故选A．11．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32【考点】椭圆的简单性质；循环结构．【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．12．已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞] C．[2﹣3，] D．[，]【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的范围为[2﹣3，]．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a= ±2或0 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论．【解答】解：∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时， =4，外切时， =6，∴a=±2或0，故答案为±2或015．已知知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则= 4 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i ，b i ＞0，a 1＞b 1，i=1，2），a 12﹣b 12=a 22+b 22=c 2，c ＞0．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．可得m+n=2a 1，n ﹣m=2a 2，∠F 1PF 2=，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos，化简整理由离心率公式即可得出．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i ，b i ＞0，a 1＞b 1，i=1，2），a 12﹣b 12=a 22+b 22=c 2，c ＞0． 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ． 则m+n=2a 1，n ﹣m=2a 2， 解得m=a 1﹣a 2，n=a 1+a 2，由∠F 1PF 2=，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：（2c ）2=m 2+n 2﹣2mncos，∴4c 2=（a 1﹣a 2）2+（a 1+a 2）2﹣（a 1﹣a 2）（a 1+a 2）， 化为4c 2=a 12+3a 22，化为=4．故答案为：4．16．已知直线y=k （x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；P （x ，y ）是椭圆+=1上一动点，点P 1（x 1，y 1）与点P 关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B ，若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A ，B ，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=，∴x=y 2，代入y=k （x+）得y=k （y 2+），整理得ky 2﹣y+=0，直线y=k （x+）与曲线y=恰有两个不同交点，等价为ky 2﹣y+=0有两个不同的非负根，即△=1﹣k 2＞0，且＞0， 解得0＜k ＜1， ∴A={k|0＜k ＜1}．P 1（x 1，y 1）关于直线y=x+1的对称点为P （y 1﹣1，x 1+1），P 是椭圆+=l 上一动点，∴﹣4≤y 1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b ≤1，∴B={b|﹣1≤b ≤1}．∴随机的从集合A ，B 中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：．三、解答题17．设命题p ：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部；命题q ：直线mx ﹣y+1+2m=0（k ∈R ）不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围． 【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p ，q 为真时的m 的范围，通过讨论p ，q 的真假，得到关于m 的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…∴P（A）=．…19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义可得，即p=2，可得抛物线的方程，结合题意可得椭圆中有4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（2）联立抛物线、椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=2px中，P到焦点距离等于P到准线距离，所以，p=2故抛物线的方程为C：y2=4x；又由椭圆，可知4﹣n=1，即n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C，直线1与曲线C只有一个交点，求k的取值范围．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ，可得切线方程；（2）当直线l ⊥CN 时，弦长最短，可求直线l 的方程；（3）求出轨迹C 1，利用直线与曲线C 1只有一个交点，求k 的值．【解答】解：（1）圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0，即 （x ﹣2）2+y 2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为 y ﹣2=k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x ﹣4y ﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x ﹣4y ﹣1=0…（2）直线l ：2mx+2y ﹣1﹣3m=0恒过定点当直线l ⊥CN 时，弦长最短，此时直线的方程为x ﹣y ﹣1=0…（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP ⊥OP ，∴化简得（x ﹣1）2+y 2=1…由于点P 在圆内，由得x=所以C 1：（注：范围也可写成）…圆心到直线的距离d==1，∴，过（，）时，k=因为直线与曲线C 1只有一个交点，所以或…21．已知抛物线x 2=2py （p ＞0），其焦点F 到准线的距离为1．过F 作抛物线的两条弦AB 和CD （点A 、C 在第一象限），且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． （1）若AB ⊥CD ，求△FMN 面积的最小值；（2）设直线AC 的斜率为k AC ，直线BD 的斜率为k BD ，且k AC +4k BD =0，求证：直线AC 过定点，并求此定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出M，N的坐标，可得S△FMN=|FM|•|FN|==，利用基本不等式求△FMN面积的最小值；（2）利用kAC+4kBD=0，得出x1x3=4，可得直线AC的方程，即可得出结论．【解答】（1）解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为y=kx+联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，，同理∴S△FMN=|FM|•|FN|==≥1当且仅当k=±1时，△FMN的面积取最小值1．…（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y=kx+，联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1 …故kAC+4kBD===注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4，…直线AC的方程为，化简得即所以，直线AC恒经过点（0，﹣2）…22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）由题意列关于P 的坐标的函数关系式，整理可得动点P 的轨迹C 的方程； （2）设直线AB 的方程为x=my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A 、B 中点的坐标，得到直线PQ 的，求出圆心与直线mx+2y=0的距离为，得到|PQ|．设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ 面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C 的方程是；（2）∵AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x=my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1=0．y 1+y 2=，y 1y 2=．x 1+x 2=m （y 1+y 2）﹣2=，于是AB 的中点为M （），故直线PQ 的斜率为﹣，PQ 的方程为y=﹣x ，即mx+2y=0，圆心与直线mx+2y=0的距离为，|PQ|=．设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，∴2d=．∵点A ，B 在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx 1+2y 1）（mx 2+2y 2）＜0，于是|mx 1+2y 1|+|mx 2+2y 2|=|mx 1+2y 1﹣mx 2﹣2y 2|，从而2d=．∵|y 1﹣y 2|==，∴2d=．故四边形APBQ 的面积S=|PQ|•2d=．令m 2+4=t （t ≥4），则S=（）．当，即时，．。
【全国百强校】四川省成都市树德中学2019届高三10月月考数学理)试题
α 高 2016 级高三上期 10 月阶段性测试数学试题（理）一、选择题：（共大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合10 ． 过 点P (2,1)的 直 线 与 函 数 f (x ) =x -1 x - 2的 图 象 交 于 A , B 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 则 题目要求的）1. 已知集合 M 9 10|02 9 香䁕，N 9 10|ݔ0 9 香䁕，若 N Š M ，则实数 ݔ的取值集合为（ ）A ． 1香䁕B ． 1 ݔ 香ݔ香䁕C ． 1香ݔǡ䁕D ． 1香ݔ ݔ 香ݔǡ䁕 2. 若z 9 香+ 2i ，z 9 香ݔ i ，则|z z | 9 䁕 )OA ⋅ O P + OB ⋅ O P = ()A ．10B ．2C ．5D ．11.已知抛物线 䁟:y 2 9 香0 的焦点为 F ，过 F 的直线交 C 于 A ，B 两点，点 A 在第一象限，P (0，6)，O 为坐 香2香 2A ． 6B ． 香ǡC ． 6D ． 23. 已知命题 p ：若 a ，b 是实数，则 a ＞b 是 a 2＞b 2的充分不必要条件；命题 q ：“∃x ∈R ，x 2+2＞3x ”的标原点，则四边形 O P A B 面积的最小值为 （）否定是“∀x ∈R ，x 2+2＜3x ”，则下列命题为真命题的是（ ） A.7香B.香3 香C. 3 D ． 4A. p ∨ qB. ⌝p ∧ q 3C. p ∧ ⌝q 3D. ⌝p ∧ ⌝q12.已知 f (x ) = e x, g (x ) = ln x ，若 f (t ) = g (s ) ，则当 s - t 取得最小值时， f (t ) 所在区间是（ ） 4.下列三个数： a = ln - 2 2确的是（ ）， b = ln π-π， c = ln 3 - 3，大小顺序正A ．（ ，ln2）B ．（ln2，1）C ．（ ， ）D ．（ ， ）A ． a ＞c ＞bB ． a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞ aD ．b ＞ a ＞c5. 阅读如右下图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. sin α+ cos α 13.已知直线 2x + y - 3 = 0 的倾斜角为 ，则sin α- cos α的值是6．正项等比数列{a n }中，a 3，a 4 的等比中项为，令 T n =a 1•a 2•a 3•…•a n ，则 T 6=（）14. 若 x ，y满足约束条件 x + y − 香 ≥ݔǡx − 2y − 香 ≤ݔǡ ，则 x − y ≥ݔǡ香 2x+y （ ） 的最大值为 ．2A ．6B ．16C ．32D ．6415. 某科室派出 4 名调研员到 3 个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为.7.在6A ㌳䁟 中，内角 A ݔ㌳ݔ䁟的对边分别为 ݔݔb ݔc ，若6A ㌳䁟 的面积为 S ，且 2S 9 ݔ2+ b 2 ݔ c 2，则 tan 䁟 9（）16. 定义：如果函数 f (x ) 在[a ，b]上存在 x ，x （a ＜x ＜x ＜b ），满足 f '(x ) =f '(x ) = f (a ) - f (b ) ，A .香B .香C ． 2D ． 2121212a - b28. 一个空间几何体的三视图䁕单位：cm)如图所示，则该几何体的体积 为䁕 )A. 䁕n + 香)cm 3B. 䁕n + 香)cm 3633 3则称数 x 1，x 2 为[a ，b]上的“对望数”，函数 f （x ）为[a ，b]上的“对望函数”，给出下列四个命题： （1）二次函数 f （x ）=x 2+mx+n 在任意区间[a ，b]上都不可能是“对望函数”； （2）函数 f （x ）=x 3﹣x 2+2 是[0，2]上的“对望函数”；（3）函数 f （x ）=x+sinx 是[ ， ]上的“对望函数”；C.䁕n + 2 )cm 3D. 䁕n + 2 )cm 36333（4）f （x ）为[a ，b]上的“对望函数”，则 f （x ）在[a ，b]上不单调其中正确命题的序号为（填上所有正确命题的序号）9. 设 F 1，F 2 分别为双曲线 C ：的两个焦点，M ，N 是双曲线 C 的一条渐近线上的两点，四边形 MF 1NF 2 为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．D ．2 n 香三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 17 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. x 2 y 2⎛ ⎫ 第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答.满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过 20. 已知椭圆C : + a 2 b2 = 1(a > b > 0) 的四个顶点组成的四边形的面积为2 ，且经过点 1,2 ⎪ ． 程）17. 已知正数数列1a n 䁕的前 n 项和为S n ，满足a 29 S n + S n −香䁕n ≥ݔ2)，a 香 9 香． 䁕香)求数列1an 䁕的通项公式；䁕2)设b n 9 䁕香− a n )2 − a 䁕香− a n )，若1b n 䁕是递增数列，求实数 a 的取值范围．⎝ ⎭（1） 求椭圆C 的方程；（2） 若过点 M (2, 0) 作直线与椭圆C 相交于两点G , H ，设 P 为椭圆C 上动点，且满足OG + OH = tOP（ O 为坐标原点）.当t ≥ 1时，求∆OGH 面积 S 的取值范围18. 某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：21. 已知函数 f (x ) = ln x - mx(m ∈ R ) ．（Ⅰ）讨论函数 f (x ) 的单调区间．（Ⅱ）当 m ≥ 2时，设 g (x ) = 2 f (x ) + x 2的两个极值点 x , x (x < x ) 恰为 h (x ) = ln x - cx 2 - bx 的2x + x 1212零点，求 y = (x 1 - x 2 )h '( 12) 的最小值．2已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为3．5䁕香)请将上述列联表补充完整：并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； 䁕2)针对于问卷调查的 100 名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取 6 人成立 游泳科普知识宣传组，并在这 6 人中任选 2 人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（二）选考题（共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号） 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程x 9 2 5cos α 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 香的参数方程为 䁕α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴y 9 2sin α下面的临界值表仅供参考：䁕参考公式：K 2 9n 䁕ݔݔb c )2，其中 n 9 ݔ + b + c + ݔ) 为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ2 + 香ρcos θ − 2ρsin θ + 香 9 ǡ．䁕Ⅰ)写出曲线C 香，C 2的普通方程；䁕Ⅱ)过曲线C 香的左焦点且倾斜角为π的直线 l 交曲线C 2于 A ，B 两点，求|AB|．䁕ݔ+b)䁕c+ݔ)䁕ݔ+c)䁕b+ݔ)19．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD ，AB=2， ∠ABC=60°，E ，F 分别是 BC ，PC 的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）设 H 为线段 PD 上的动点，若线段 EH 长的最小值为，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．23. 选修 4-5:不等式选讲已知∃x ∈ݔR ，使不等式|x − 香| − |x − 2| ≥ݔt 成立．䁕香)求满足条件的实数 t 的集合 T ；䁕2)若 m > 香，n > 香，对∀t ∈ݔT ，不等式log 3m ⋅ log 3n ≥ݔt 恒成立，求m 2 + n 2的最小值．2 32 2 9 6ǡ 䁕香 ) 1y 䁟25䁟2䁟22 2香5 香5× 53因为，所以点1 2 高 2016 级高三上期 10 月阶段性测试数学试题（理）参考答案D B D A A DD A D A B A∴EH⊥PD，即 EH=，∵AE=，∴AH=，则 PA=2．以 A 为原点，AE ，AD ，AP 分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，A （0，0，0），E （，0，0），D （0，2，0），C （，1，0），P （0，0，2），F （， ，1）．=（，0，13. 1314. 16415.3616.(1) (2) (3)17.解：䁕香)ݔ2 9 S +S䁕n ≤ 2)，ݔ2 9 S+ S，䁕n ≤ 3)．相减可得：ݔ2 ݔ ݔ2 9 ݔ + ݔ，0）， =（ ， ，1），nnn ݔ香n ݔ香n ݔ香n ݔ2nn ݔ香nn ݔ香ݔn > ǡ，ݔn ݔ香 > ǡ， ݔn ݔ ݔn ݔ香 9 香，䁕n ≤ 3)． .................................... 4 分n 9 2 时 ，ݔ2 9 ݔ 香 + ݔ2 + ݔ 香 ， ݔ2 9 2 + ݔ2，ݔ2 > ǡ， ݔ2 9 2． 2 2 设平面 AEF 的法向量 ，由 ，取 z=1，可得 =（0，因此 n 9 2 时，ݔn ݔ ݔn ݔ香 9 香 成立． 数列1ݔn 䁕是等差数列，公差为 1．（缺验证扣 2 分） ݔn 9 香+ n ݔ 香 9 n ． ...................................... 6 分 䁕2)bn 9 䁕香ݔ ݔn )2 ݔ ݔ䁕香ݔ ݔn ) 9 䁕n ݔ 香)2 + ݔ䁕n ݔ 香)，1bn 䁕是递增数列， bn+香 ݔ bn 9 n 2 + ݔn ݔ 䁕n ݔ 香)2 ݔ ݔ䁕n ݔ 香) 9 2n + ݔ ݔ香> ǡ，即 ݔ > 香ݔ 2n 恒成立， ݔ >ݔ 香．实数 a 的取值范围是䁕ݔ 香ݔ + ∞)． (12)分﹣2，1）； ............... 8 分又∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面 AFC ， 故为平面 AEC 的一个法向量， ............. 10 分18.解：䁕香) 3 因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ， 5所以喜欢游泳的学生人数为 香ǡǡ 3× 人 …ݔ分 5 ∴cos＜ ＞= ．即二面角 E ﹣AF ﹣C 的余弦值为其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列联表补充如下：⎛ ⎫ 1 1 。